Đề thi HSG Toán Bác giang từ 1996-2010

Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang


Trịnh Hữu Lý – Email:

1

SỞ GD&ĐT
BẮC GIANG



Bài 1: Rút gọn biểu thức :
`
3
3 5 3 5 ( 5 1). 2 5
2 3 5 2 3 5
28 10 3 3
P
+ − − +
= − +
+ + − −
− +

Bài 2 : Cho phương trình : x
4
-8x
3
+64x+m = 0
a) Giải phương trình khi m = 15.
b) Tìm m ñể phương trình ñã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 3 : Cho a, b là các số dương.
a) Chứng minh rằng :
1 1
1 1
n n n n
n n n n
a b a b
b a b a
+ +
+ +
+ ≥ +
với mọi số tự nhiên n
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2 3 3 1999 1999
2 2 3 3 1999 1999
( ) ( ) ( ) ( )
a b a b a b a b
Q
b a b a b a b a
= + − + + + − + +

Bài 4 : Cho phương trình : x
2
-8x+1=0 có hai nghiệm là x
1
,x
2
. Tìm số dư khi chia
x
1

1997
+x
2
1997
cho 7.
Bài 5 : Các ñường phân giác trong của tam giác ABC cắt ñường tròn tâm O
ngoại tiếp tam giác tại A
’
,B
’
,C
’
. Các cạnh của tam giác ABC và A
’
B
’
C
’
cắt nhau
tạo thành hình lục giác.
a) Chứng minh các ñường chéo của hình lục giác cắt nhau tại một ñiểm là
tâm ñường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Chứng minh
'
2
3
S S
≥
. Trong ñó S là diện tích của hình lục giác tạo
thành, S’ là diện tích tam giác ABC.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
N
Ă
M H
Ọ
C : 1997 - 1998
MÔN : TOÁN L
Ớ
P 9
Thời gian làm bài : 150 phút
***
Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang


Trịnh Hữu Lý – Email:

2

SỞ GD&ĐT
BẮC GIANG



Bài 1:
a) Tính giá trị biểu thức :
(5 2 6). 5 2 6
3 2
P

+ −
=
+

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thoả mãn a+c=2b thì ta
luôn có :
1 1 2
a b b c a c
+ =
+ + +

Bài 2 :
a) Chứng minh rằng:10
n
+45n-1 chia hết cho 27 với mọi số tự nhiên n.
b) Tìm x ,y nguyên là nghiệm của phương trình : x
2
+xy-2y
2
=7
Bài 3 : Cho phương trình ẩn x:
2
2
2
0
3 3
m
x mx
m
− + − =

a) Tìm m ñể phương trình ñã cho có nghiệm.
b) Khi phương trình có nghiệm là x
1
,x
2
, tìm m ñể tích x
1
x
2
ñạt giá trị lớn
nhất.
Bài 4 :
a) Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn O. Đường phân giác trong của
góc B cắt AC tại E và cắt ñường tròn tại M. Đường phân giác trong của góc C
cắt AB tại F và cắt ñường tròn tại N thoả mãn EM=FN. Chứng minh tam giác
ABC cân.
b) Từ ñiểm K nằm trong tam giác ABC cho trước , hạ các ñường vuông
góc KA
1
,KB
1
,KC
1
lần lượt xuống các cạnh BC, CA, AB. Hãy xác ñịnh vị trí của
ñiểm K trong tam giác ABC sao cho tổng :
1 1 1
BC AC AB
KA KB KC
+ +

có giá trị nhỏ nhất.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC : 1999 - 2000
MÔN : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 150 phút
***
Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang


Trịnh Hữu Lý – Email:

3

SỞ GD&ĐT
BẮC GIANG



Bài 1:
a) Rút gọn:
1 1 1

2 2 3 2 2 3 100 99 99 100
A = + + +
+ + +

b) Cho 3 số thực a, b, c khác 0 và
a b a c b c
+ = + + +
. Chứng minh

rằng:
1 1 1
0
a b c
+ + =

Bài 2 :
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n
2
+3n+5 không chia hết
cho 121.
b) Tìm x ,y nguyên là nghiệm của phương trình : 6x
2
+5y
2
=74
Bài 3 : Cho phương trình ẩn x: x
2
+mx+n=0
a) Tìm m và n biết rằng phương trình có 2 nghiệm x
1
,

x
2
thoả mãn:
1 2
3 3
1 2
1

7
x x
x x
− =


− =


b) Cho biết n=m-2. Tìm m, n ñể x
1
2
+x
2
2
ñạt giá trị lớn nhất.
Bài 4 :
a) Cho góc xOy và một ñộ dài a không ñổi. Các ñiểm A, B lần lượt
chuyển ñộng trên các tia Ox, Oy sao cho OA+OB=a. Tìm quỹ tích trung ñiểm M
của ñoạn AB.
b) Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn (O). Đường phân giác trong
AD. Vẽ ñường tròn (O
1
) ngoại tiếp tam giác ABD và ñường tròn (O
2
) ngoại tiếp
tam giác CAD. Chứng minh: OO
1
=OO
2

=
.
BC R
AC AB
+
(R là bán kính của ñường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC : 2000 - 2001
MÔN : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 150 phút
***
Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang


Trịnh Hữu Lý – Email:

4

SỞ GD&ĐT
BẮC GIANG


Bài 1: Cho biểu thức sau với x, y dương:
1 1 2 1 1
. :
( )
x x y x x y y y
A

x y
x y x y xy x y
 
 
+ + +
= + + +
 
 
 
+ +
 
 
 

a) Rút gọn A
b) Cho xy=16. Tìm x, y ñể A có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2 : Tìm m ñể phương trình : x
2
-2mx+(m+1)
x m
−
+1=0
a) Có nghiệm duy nhất.
b) Có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3 :Tìm 3 số tự nhiên sao cho tổng các nghịch ñảo của chúng bằng 3/2.
Bài 4 : Cho tam giác ABC(AC>AB, góc BAC>90
0
). Gọi I và K theo thứ tự là
trung ñiểm của AB, AC. Các ñường tròn ñường kính AB , AC cắt nhau tại ñiểm
thứ hai D; tia BA cắt ñường tròn (K) tại ñiểm thứ hai E; tia CA cắt ñường tròn

(I) tại ñiểm thứ hai F.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
b) Chứng minh AD, BF, CE ñường qui.
c) Gọi H là giao ñiểm thứ hai của tia DF với ñường tròn ngoại tiếp tam
giác AEF. Hãy so sánh DH và DE.
d) Gọi R là giao của AB và DF. Chứng minh rằng :
FD=FR(EF+ED)/EF
Bài 5: 1) Cho tam giác ABC, M là một ñiểm bất kì trong tam giác . Kẻ AM,
BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại các ñiểm A’, B’, C’. Chứng minh
rằng :
' ' '
MA MB MC
AA BB CC
+ +
không ñổi.
2) Chứng minh rằng phương trình x
2
+y
2
=3(z
2
+u
2
) không có nghiệm nguyên
dương.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC : 2001 - 2002
MÔN : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 150 phút
***

Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang


Trịnh Hữu Lý – Email:

5

SỞ GD&ĐT
BẮC GIANG


Bài 1: Cho biểu thức:
3
2
( 2)(1 ) 1 1
:
1
1 1
a a a a a a
P a a
a
a a
 
  
− − − +
= + −
 
  
  
−

− +
 
  
 

a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của P với a=2(4+
15)( 10 6) 4 15
− −

c) Tìm các giá trị nguyên của a ñể P nhận giá trị nguyên.
Bài 2 : Cho phương trình(ẩn x) : x
2
-2(m+1)x+2m
2
-2=0 (1)
1) Tìm m ñể phương trình (1) vô nghiệm? Có nghiệm kép? Có hai nghiệm
phân biệt
2) Trong trường hợp phương trình (1) có nghiệm là x
1
,x
2

a) Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
,x
2
ñộc lập với m.
b) Tìm m ñể hai nghiệm x
1

,x
2
thoả mãn x
1
<m<x
2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của biểu thức A=x
1
2
+x
2
2
-
1
2
x
1
x
2

Bài 3 : Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ và B ñi ngược chiều nhau. Tính
quãng ñường AB và vận tốc mỗi xe biết rằng sau 2 giờ thì 2 xe gặp nhau tại ñịa
ñiểm cách chính giữa quãng ñường AB là 10 km và nếu xe ñi chậm tăng vận tốc
gấp ñôi thì 2 xe gặp nhau sau 1 giờ 24 phút.
Bài 4 : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ñường tròn (O); H là trực tâm của tam
giác ABC, M là ñiểm nằm trên cung BC không chứa A. N và P là các ñiểm ñối
xứng của M qua AB và AC
a) Chứng minh các tứ giác ANBH, APCH nội tiếp.
b) Chứng minh ba ñiểm N, H, P thẳng hàng.

c) Xác ñịnh vị trí của M trên cung BC ñể ñoạn thẳng NP có ñộ dài lớn
nhất.
Bài 5
: Tìm số nguyên x ñể : x(x+1)(x+7)(x+8) là số chính phương.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC : 2002 - 2003
MÔN : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 150 phút
***
Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang


Trịnh Hữu Lý – Email:

6

SỞ GD&ĐT
BẮC GIANG


Bài 1:
a) Rút gọn biểu thức :
13 30 2 9 4 2
P = + + +

b) Cho f(x)=2x
2
+2(a+1)x+a
2
+4a+3=0. Gọi các nghiệm của f(x) là x

1
, x
2

và gọi F=
1 2 1 2
2 2
x x x x
+ −
. Chứng minh F
≤
4,5.
Bài 2 :
1) Cho 2 phương trình:
x
2
+ax+b=0 (1)
x
2
+cx+d=0 (2)
có các hệ số thoả mãn ñiều kiện 2(b+d)
≤
ac. Chứng minh rằng ít nhất một
trong hai phương trình trên có nghiệm.
2) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 4 3 7 0
2 6 6 3 7 0
x y x y z

x y xy x y z

+ − + − + =


+ − − + + + =



Bài 3 : Cho một số gồm 2 chữ số . Tìm số ñó, biết rằng tổng 2 chữ số của nó nhỏ
hơn số ñó 6 lần và nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số của nó thì ñược một số
viết theo thứ tự ngược lại của số ñã cho.
Bài 4 : Cho hai tia Ox, Oy tạo với nhau một góc 45
0
và tự quay xung quanh
ñiểm O cố ñịnh. Từ ñiểm A cố ñịnh , hạ ñường vuông góc AB xuống Ox và AC
xuống Oy.
a) Chứng minh ñoạn thẳng BC có ñộ dài không ñổi .
b) Tìm ñiểm cố ñịnh mà các ñường tròn ñường kính BC ñi qua.
c) Gọi D và E lần lượt là giao ñiểm của AB và AC với Oy và Ox. Tam
giác ACD là tam giác gì? Chứng minh DE có ñộ dài không ñổi.
Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình x
2
-4x+1=0. Chứng minh rằng
với mọi số nguyên dương n thì biểu thức x
1

2n
+x
2
2n
luôn là tổng của 3 số chính
phương liên tiếp.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC : 2003 - 2004
MÔN : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 150 phút
***
Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang


Trịnh Hữu Lý – Email:

7

SỞ GD&ĐT
BẮC GIANG



Bài 1:
a) Tính giá trị của biểu thức : A=(6x
3
+7x
2
+2003)
2005

với x
3
( 5 2). 17 5 38
5 14 6 5
+ −
=
+ −

b) Chứng minh rằng:
B=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 3 4 1 2003 2004 1 2004 2005
+ + + + + + + + + + + +

là một số hữu tỉ.
Bài 2 : Cho phương trình : 2x
2
+2(m+2)x+m
2
+4m+3=0
a) Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm x
1
,x
2
.
b) Chứng minh các nghiệm x
1
,x

2
thoả mãn bất ñẳng thức:
2
1 2 1 2
2
3 1
2
x x x x
 
+ + ≤ +
 
 
 

Bài 3 : 1) Cho hệ phương trình :
2
2 5
x my
mx y
+ =


− =

( với m là tham số )
a) Tìm số nguyên m ñể hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn:x>0; y<0.
b) Tìm số nguyên m ñể hệ có nghiệm duy nhất (x;y) với x; y ñều là số
nguyên.
2) Cho x, y, z
≥

0; x+y+z
≥
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P với
P=
2 2 2 2 2 2
x xy y y yz z z zx x
+ + + + + + + +

Bài 4 : 1) Cho hai ñường tròn (I) và (K) cắt nhau tại A và B. Tia IA cắt ñường
tròn (K) tại ñiểm thứ hai N, tia KA cắt ñường tròn (I) tại ñiểm thứ hai M. Qua A
kẻ ñường thẳng song song với MN lần lượt cắt ñường tròn (I) và (K) tại các
ñiểm thứ hai là E và F.
a) Chứng minh 5 ñiểm I, M, N, K, B cùng nằm trên một ñường tròn.
b) Chứng minh : BM+BN=EF.
2) P là ñiểm nằm trong tam giác nhọn ABC. Gọi M, N, L lần lượt là các chân
ñường vuông góc hạ từ P xuống CA, AB, BC.
Đặt f(p)=BL
2
+CM
2
+AN
2
. Hãy xác ñịnh vị trí của P sao cho f(p) ñạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 5: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
x
3
+(x+1)
3
+(x+2)

3
+ +(x+7)
3
=y
3

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC : 2004 - 2005
MÔN : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 150 phút
***
Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang


Trịnh Hữu Lý – Email:

8

SỞ GD&ĐT
BẮC GIANG



Bài 1: a) Cho A=
(
((
(
)
))
)

(
((
(
)
))
)
2 2
a a 2006 b b 2006 2006
+ + + + =
+ + + + =+ + + + =
+ + + + =
. Hãy tính tổng
a+b.
b) Giải hệ phương trình:
x y
x y



+ =
+ =+ =
+ =






+ =
+ =+ =

+ =






2 2
3 3
1
1

Bài 2 : a) Cho P(x) là ña thức với hệ số nguyên không âm và không lớn hơn 8,
biết P(9)=32078. Tìm ña thức P(x).
b) Giải phương trình:
x 1
+
++
+
+x
4
-2x
2
+1 = 0.
Bài 3 : a) Tìm x, y nguyên dương thoả mãn phương trình 2
x
+153 = y
2
.
b) Cho a, b, c là ba số thực dương không nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng:

3 3 3
1 1 1 3
1 a 1 b 1 c 1 abc
+ + ≥
+ + ≥+ + ≥
+ + ≥
+ + + +
+ + + ++ + + +
+ + + +
.
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A. góc BAC bằng 30
0
. O là một ñiểm nằm
trên ñường trung tuyến AD sao cho AO=OC. Các ñường BO, CO lần lượt cắt
các ñoạn thẳng AC, AB tại các ñiểm tương ứng E, F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung ñiểm các ñoạn thẳng BO, OF, BF, CE.
a) Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp .
b) Chứng minh tam giác MNQ là tam giác ñều.
c) Gọi H là trực tâm của tam giác MNQ, chứng minh H, O, A thẳng hàng.
Bài 5: Cho ña giác lồi 2006 cạnh, các ñỉnh của nó ñược ñánh số theo thứ tự từ 1,
2, 3 ñến 2006. Người ta lại dùng ñúng các số 1, 2, , 2006 ñể ñánh số lại các
ñỉnh theo quy tắc: ñỉnh ñược ñánh số 1 (lần ñầu) ñược ñánh số 2005, các ñỉnh
còn lại ñánh tuỳ ý sao cho mỗi ñỉnh ñược ñánh ñúng một số trong tập hợp các số
{
{{
{
}
}}
}
1,2, ,2004,2006

. Gọi S là tổng các giá trị tuyệt ñối của hiệu số giữa số mới
và số ñánh ban ñầu tại mỗi ñỉnh của ña giác ñó. Xác ñịnh tính chẵn, lẻ của S.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC : 2005 - 2006
MÔN : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 150 phút
***
Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang


Trịnh Hữu Lý – Email:

9

SỞ GD&ĐT
BẮC GIANG


Bài 1: a) Cho A=
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
x . x x

x
 
  
 
+ − + − −
+ − + − −+ − + − −
+ − + − −
 
  
 
 
  
 
+ −
+ −+ −
+ −
3 3
2
2
1 1 1 1
2 1
; với
x
− ≤ ≤
− ≤ ≤− ≤ ≤
− ≤ ≤
1 1
.
Rút gọn A và tính góc nhọn
α

αα
α
biết cos
α
αα
α
là giá trị của A tại x=
1
2
.
b) Cho a, b, c là các số dương khác 1; x, y, z là các số nguyên dương thoả
mãn a
x
=bc; b
y
=ca; c
z
=ab. Chứng minh rằng xyz - x - y - z = 2.
Bài 2 : a) Cho hai số a, b thoả mãn a+b
≥
≥≥
≥
2.
Chứng minh rằng phương trình (x
2
+2a
2
bx+b
5
) (x

2
+2ab
2
x+a
5
)=0 luôn có
nghiệm.
2) Giải hệ phương trình:
(
((
( )
))
)
(
((
( )
))
)
x y x y
xy. x y



+ − + =
+ − + =+ − + =
+ − + =







+ = −
+ = −+ = −
+ = −






4
2 2
2 2
6 215 0
78

Bài 3 : a) Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn ñiều kiện x+y+z=1. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức P =
x y y z z x
+ + + + +
+ + + + ++ + + + +
+ + + + +
.
b) Trong hệ trục toạ ñộ Oxy, cho Parabol (P) và ñường thẳng (d) lần lượt có
phương trình là
y x
=
==
=

2
1
4
và
y x
= − −
= − −= − −
= − −
1
2
2
. Gọi A và B là giao ñiểm của (P) và
(d). Tìm vị trí của N trên trục Ox sao cho AN+BN ngắn nhất.
Bài 4 : Cho A là một ñiểm cố ñịnh nằm ngoài ñường tròn (O;R). Kẻ tiếp tuyến
AB, AC với (O). Đường thẳng (d) thay ñổi nhưng luôn ñi qua A cắt (O) tại hai
ñiểm D và E(D nằm giữa A và E). Gọi I là trung ñiểm của dây DE, M là giao
ñiểm của tia CI với (O)
a) Chứng minh bốn ñiểm A, B, I, C cùng thuộc một ñường tròn cố ñịnh .
b) Chứng minh tứ giác DEMB là hình thang cân.
c) Xác ñịnh vị trí ñường thẳng (d) ñể diện tích tam giác AME lớn nhất.
Bài 5: Tìm tất cả các cặp số nguyên(x, y) thoả mãn x
2
y
2
-x
2
-8y
2
=2xy.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC : 2006 - 2007
MÔN : TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài : 150 phút
***
Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang


Trịnh Hữu Lý – Email:

10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM 2007-2008
Môn thi: Toán, lớp 9
Ngày thi: 06 tháng 04 năm 2008
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I. (4 ñiểm)
1. Cho biểu thức
2
2 2
x 2 x 3x
T 1
ax 2a x (1 2a)x 2a x 3
 
+

= − +
 
− + − − +
 
, với a là tham số.
Tìm x ñể T=a.

2. Cho p = n
3
- n
2
+ n - 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n ñể p là số nguyên
tố.
Câu II. (4 ñiểm)
1. Giải phương trình
2 2
x 3x 1 (x 3) x 1
+ + = + +

2. Giải hệ phương trình
2 2
2
2x y 1
xy x 2

− =


+ =




Câu III. (4 ñiểm)
1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

3
a b c a b c
(1 )(1 )(1 ) 2(1 )
b c a
abc
+ +
+ + + ≥ +
.
2. Tìm các số nguyên dương n sao cho hai số n +26 và n -11 ñều là lập phương
của hai số nguyên dương.
Câu IV. (6 ñiểm) Cho ñường tròn (O; R) với hai ñường kính phân biệt AB và
CD. Tiếp tuyến tại A cắt các ñường thẳng BC, BD lần lượt tại tại M và N. Gọi P
và Q lần lượt là trung ñiểm của AM, AN.
1. Chứng minh rằng tứ giác CDNM nội tiếp.
2. Tính diện tích của tứ giác CDQP theo R biết MN = 4R.
3. Cho ñường kính AB cố ñịnh. Tìm tập hợp tâm các ñường tròn ngoại tiếp
tam giác BPQ khi ñường kính CD thay ñổi.
Câu V. (2 ñiểm)
Cho n là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng:
(1
n
+ 2
n
+ + 2007
n

+ 2008
n
) chia hết cho (1+ 2 + + 2007+2008)




Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang


Trịnh Hữu Lý – Email:

11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM 2008-2009
Môn thi: Toán, lớp 9
Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I. (4 ñiểm)
1. Rút gọn biểu thức
P =
)
1

1
1
)(
11
1
11
1
(
2
2
xx
xx
x
xx
x
−−
+−−
−
+
−−+
+
với 0 < x < 1.
2. Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 và 4p + 1 cũng là số nguyên tố.
Câu II. (4 ñiểm)
4. Giải phương trình
.223321 −+=+++ xxxx

5. Giải hệ phương trình






=+−+
−=−+
.21
121
yxx
xyx

Câu III. (4 ñiểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
1
2
++
+
=
x
x
x
y
.
2. Tìm các số nguyên tố p sao cho tổng các ước số của p
4
là một số chính
phương.
Câu IV. (6 ñiểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp ñường tròn (C) tâm I. Đường
tròn (C) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F.
6. Gọi h

a
, h
b
, h
c
và r lần lượt là chiều cao của ∆ABC xuất phát từ A, B, C và
bán kính ñường tròn (C). Chứng minh rằng:
cba
hhhr
1111
++=
.
7. Trong trường hợp AB = 12, BC = 18, CA = 24. G là trọng tâm tam giác
ABC.
Chứng minh rằng: IG // BC.
8. Các ñường thẳng BI, CI lần lượt cắt EF tại M và N. M không trùng với E,
N không trùng với F. Chứng minh rằng tứ giác BCMN nội tiếp một ñường
tròn.
Câu V. (2 ñiểm)
Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh
rằng:
3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 2abc ≥ 52.
Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang

Trịnh Hữu Lý – Email:

12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

ĐỀ DỰ BỊ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM 2008-2009
Môn thi: Toán, lớp 9
Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I. (4 ñiểm)
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x
4
- 2x
3
+ 2x
2
- 2x - 3.
2. Cho p là số nguyên tố khác 3. Chứng minh răng với mọi số tự nhiên n thì số
3n + 2 + 2053p
2
luôn là hợp số.
Câu II. (4 ñiểm)
1. Giải phương trình

.15)2(2
32
+=+ xx

2. Giải hệ phương trình





−=−
−=−
.232
232
22
22
xyy
yxx

Câu III. (4 ñiểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x
2
+ 2y
2
- 2xy + x + y - 10 = 0.
2. Chứng minh rằng không tồn tại một số chính phương có bốn chữ số mà cả
bốn chữ số của nó ñều lẻ.
Câu IV. (6 ñiểm) Cho ñường tròn (O), tâm O ñường kính AB. Dây cung CD cố
ñịnh vuông góc với AB tại H. M là ñiểm di ñộng trên cung nhỏ BC. AM cắt CD
tại I.

1. Trong trường hợp DM là ñường kính của (O), H là trung ñiểm OA. Tính
.
ID
IC

2. Chứng minh rằng IA.IM = OI
2
- OA
2
.
3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AID cắt MD tại E. CE cắt AM tại F. Tìm
quỹ tích ñiểm F khi M di ñộng.
Câu V. (2 ñiểm)
Cho a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng:
.256)
9
1)(1)(1(
2
≥+++
b
a
b
a

Hết




Các ñề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bắc Giang

Trịnh Hữu Lý – Email:

13

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2009-2010
Môn thi: Toán, lớp 9
Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I : ( 4,0 ñiểm )
Cho biểu thức A = 1+
2x x 1 2x x x x x x
.
1 x
1 x x 2 x 1
 
+ − − + −
−
 
 
−
− −

 
.
1.Tìm các giá trị của x ñể A =
6 6
5
−

2. Chứng minh rằng A>
2
3
với mọi x thoả mãn x
1
0,x 1,x
4
≥ ≠ ≠

Câu II ( 4,0 ñiểm )
1. Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thoả mãn : a
2
+ c
2
= b
2
+ d
2

Chứng minh rằng a+b+c+d là hợp số
2. Tìm x,y nguyên dương thoả mãn :
(x
2

-3) chia hết cho (xy+3)
Câu III ( 4,0 ñiểm)
1. Giải phương trình :
2x 1 3x
+ −
= x-1
2. Cho phương trình x
4
+ 2
6
mx
2
+ 24 = 0 ( m là tham số )
Tìm giá trị của tham số m ñể phương trình có 4 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, x
4
phân biệt
thoả mãn :
4
1
x
+
4 4 4
2 3 4
x x x

+ +
= 144.
Câu IV ( 6 ñiểm )
Cho nửa ñường tròn (O;R) ñường kính AB . Gọi C là trung ñiểm của ñoạn
thẳngAO. Một ñường thẳng a vuông góc với AB tại C cắt nửa ñường tròn (O) tại
I .Trên ñoạn CI lấy ñiểm K bất kì ( K không trùng với C và I ) . Tia AK cắt nửa
ñường tròn (O) tại M , tiếp tuyến của nửa ñường tròn (O) tại M cắt ñường thẳng
a tại N , tia BM cắt ñường thẳng a tại D.
1. Chứng minh rằng tam giác MNK là tam giác cân .
2. Tính diện tích tam giác ABD theo R , khi K là trung ñiểmcủa ñoạn thẳng
CI.
3. Chứng minh rằng khi K chuyển ñộng trên ñoạn thẳng CI thì tâm ñường
tròn ngoại tiếp tam giác AKD luôn nằm trên một ñường thẳng cố ñịnh .
Câu V ( 2 ñiểm )
Cho a,b ,c là các số thực dương thoả mãn a + b +c =1 . Chứng minh rằng :
ab bc ca 1
c 1 a 1 b 1 4
+ + ≤
+ + +