Bat Dang Thuc Trong Ky Thi HSG THPT-2008-VIF

This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 1




DIEN DAN BAT DANG THUC VIET NAM



The VietNam Inequality Mathematic F
The VietNam Inequality Mathematic FThe VietNam Inequality Mathematic F
The VietNam Inequality Mathematic Forum
orumorum
orum

-

-

VIMF
VIMF VIMF
VIMF -

-

www.ddbdt.co.cc



څڅڅڅڅ





Ebook Written by:

VIMF
VIMFVIMF
VIMF Community

Bai Viet Nay (cung voi file PDF di kem) duoc tao ra vi muc dich giao duc.
Khong duoc su dung ban EBOOK nay duoi bat ky muc dich thuong mai nao, tru
khi duoc su dong y cua tac gia. Moi chi tiet xin lien he: .

Contributors Of The Book
څ
Editor. Nguyen Dinh Thi (VIMF)
Admin, VIMF Forum, Student.
څ
Editor. Luong Quang Trung (trungdeptrai)

Moderator, VIMF Forum, Student.
څ
Editor. Ta Minh Hoang (minhhoang)
Moderator, VIMF Forum, Student.
څ
Editor. Nguyen Duc Toan (Toanlc_gift)
Moderator, VIMF Forum, Student.
څ
Editor. Vu Thanh Tung(vuthanhtung)
Moderator, VIMF Forum, Student.

And thanks all members of VIMF.
Các ñề thi
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 2

C
CC
CÁC
C C
C ðỀ

THI
THITHI
THI

H
HH

HỌC SINH GI
C SINH GIC SINH GI
C SINH GIỎI VI
I VII VI
I VIỆT NAM 2008
T NAM 2008T NAM 2008
T NAM 2008





BÀI TOÁN 1. Cho các số không âm phân biệt ܽ,ܾ,ܿ. Chứng minh
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 11 5 5
2
a b c
a b b c c a
 
+
 
+ + + + ≥
 
− − −
 

BÀ RỊA VŨNG TÀU

BÀI TOÁN 2. Cho hình hộp chữ nhật với kích thước 3 cạnh là ܽ,ܾ,ܿ và ñộ dài ñường chéo là
√
3. Chứng minh
෍
ܽ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൒
3
2

HÀ NỘI
BÀI TOÁN 3. Cho các số không âm ݔ,ݕ,ݖ sao cho ݔ
ଶ
൅ ݕ
ଶ
൅ ݖ
ଶ
ൌ1. Tìm min và max của
ܲൌ
ݔ
1 ൅ ݕݖ
൅
ݕ
1 ൅ ݖݔ
൅
ݖ
1 ൅ ݔݕ

HÀ NỘI
BÀI TOÁN 4. Cho các số thực dương ݔ,ݕ,ݖ. Tìm giá trị nhỏ nhất của
ݔ
଻
ݖ
ݔ
ହ
ݕ
ଶ
ݖ ൅2ݕ
଺
൅
ݕ
଻
ݖ
଺
ݕ
ହ
ݖ
ସ
൅ 2ݔ
൅
1
ݖ
ଶ
ݔ
ଶ
൅ 2ݔ
଺

ݕݖ
଻

HÀ NỘI
BÀI TOÁN 5. Cho các số thực a,b,c. chứng minh
(
)
(
)
(
)
( )
2
2 2 2
1 1 1 1
a b c ab bc ca
+ + + ≥ + + −

TP. HỒ CHÍ MINH
BÀI TOÁN 6. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ thỏa mãn
1 1 1
a b c
a b c
+ + ≥ + +
. Chứng minh
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ൒
3
ܽ൅ܾ ൅ ܿ
൅
2

ܾܽܿ

TP. HỒ CHÍ MINH
BÀI TOÁN 7. Cho các số dương ܽ,ܾ,ܿ. Chứng minh
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܾܽ൅ܾܿ ൅ ܿܽ
൅
8ܾܽܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൒2
TP. HỒ CHÍ MINH

BÀI TOÁN 8. Cho các số thực dương ݔ,ݕ,ݖ thõa ݔ൅ ݕ ൅ ݖ൅ 1ൌ4ݔݕݖ. Chứng minh
xy yz zx x y z
+ + ≥ + +

NGHỆ AN
BÀI TOÁN 9. Cho các số dương ܽ,ܾ,ܿ. chứng minh bất ñẳng thức
( )

( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
2
2 2 2
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
− − − − − −
+ + ≥
+ + + + + +

THANH HÓA
BÀI TOÁN 10.
Cho các s
ố
d
ươ
ng
ܽ
ଵ
,ܽ
ଶ
,…,ܽ
௡

th
ỏ
a mãn
ܽ
ଵ
ܽ
ଶ
…ܽ
௡
ൌ1
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 2( )
n n
a a a a a a
+ + + +…+ + ≤ + +…+

BÌNH PHƯỚC
BÀI TOÁN 11.
Cho các s
ố
th
ự
c d
ươ

ng
ܽ,ܾ,ܿ
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ܽ
ଷ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅
ܾ
ଷ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅
ܿ
ଷ
ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
൒
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
2

BÌNH PHƯỚC
BÀI TOÁN 12.
Cho
ܽ,ܾ,ܿ൐0
. Ch
ứ
ng minh
ቀ1 ൅
ܽ
ܾ
ቁ൬1൅
ܾ
ܿ
൰ቀ1 ൅
ܿ
ܽ
ቁ൒2൬1 ൅
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
√
ܾܽܿ
య
൰

BÌNH PHƯỚC
Các ñề thi
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 3

BÀI TOÁN 13. Chứng minh
x
∀ ∈
ℝ
thì
2 3
1
2! 3!
x
x x
e x
≥ + + +

HẢI DƯƠNG
BÀI TOÁN 14. Cho ݔ,ݕ,ݖ là các số dương sao cho
9
5, 8
x y z
x x y
+ + =


≥ + ≥

. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

15
xyz
≤

HẢI DƯƠNG
BÀI TOÁN 15.
Cho các s
ố
d
ươ
ng
ܽ,ܾ,ܿ
. tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
3 3 3
bc ca ab
P
a bc b ca c ca
= + +
+ + +

HUẾ
BÀI TOÁN 16.

Cho các s
ố
không âm
ݔ,ݕ,ݖ
sao cho
ݔ൅ ݕ ൅ ݖൌ1
. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
1 1 1
1 1 1
x y z
P
x y z
− − −
= + +
+ + +

HÀ TĨNH
BÀI TOÁN 17.
Cho các s
ố
th
ự

c d
ươ
ng
ܽ,ܾ,ܿ
th
ỏ
a mãn
ܽ൅ ܾ ൅ ܿൌ1
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ඨ
ܾܽ
ܿ൅ ܾܽ
൅
ඨ
ܾܿ
ܽ ൅ܾܿ
൅
ට
ܿܽ
ܾ ൅ܿܽ
൑
3
2

NAM ðỊNH
BÀI TOÁN 18.

Cho t
ứ
giác l
ồ
i ABCD có
ܣܤൌܽ;ܤܥൌܾ;ܥܦൌܿ;ܦܣൌ݀
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2 2
13 6 2 4 2
a b c d S
+ − + ≥

NAM ðỊNH
BÀI TOÁN 19.
Cho các s
ố
d
ươ
ng
ܽ,ܾ,ܿ
sao cho
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 3
. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ

nh
ấ
t c
ủ
a
2 2 2
3 3 3
2 2 2
a b c
P
a b b c c a
= + +
+ + +

ðỒNG THÁP
BÀI TOÁN 20.
Cho các s
ố
th
ự
c
ݔ,ݕ,ݖ
th
ỏ
a
1
2 3 6
11 27 54
x y z
y z

x z
≥ ≥ ≥


+ ≥


+ ≥

. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
2 2 2
1 2008 2009
( , , )P x y z
x y z
= + +

ðỒNG THÁP
BÀI TOÁN 21.
Cho
ܣ,ܤ,ܥ
là 3 góc c
ủ

a m
ộ
t tam giác. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
൬1 ൅ cos
ଶ
ܣ
2
൰൬1 ൅ cos
ଶ
ܤ
2
൰൬1 ൅ cos
ଶ
ܥ
2
൰൏ቆ1 ൅
√
3
4
ቇ
ଷ
√
ଷ

BÌNH ðỊNH
BÀI TOÁN 22.

Cho
0
a b c d
bc ad
< ≤ ≤ ≤


≤

.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ܽ
௕
ܾ
௖
ܿ
ௗ
݀
௔
൒ܽ
ௗ
݀
௖
ܿ
௕
ܾ

௔

THÀI BÌNH
BÀI TOÁN 23.
Cho 3 s
ố
thay
ñổ
i
ݔ,ݕ,ݖ
th
ỏ
a mãn
2
3
3
x y z
x y
x y z
≥ ≥ ≥


+ ≤


+ + ≤

.
Tìm giá tr
ị

l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a t
ổ
ng
ܵൌ2
௫
൅ 2
௬
൅ 2
௭

BẮC NINH
BÀI TOÁN 24.
Cho
ܽ ,ܾ,ܿ
là các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng sao cho
ܾܽܿൌ1
. Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng
Các ñề thi
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 4

ܾܽ
ܽ
ହ
൅ ܾ
ହ
൅ ܾܽ
൅
ܾܿ
ܾ
ହ
൅ ܿ
ହ
൅ ܾܿ
൅
ܿܽ
ܿ
ହ
൅ ܽ
ହ
൅ ܿܽ
൑1

PHÚ YÊN
BÀI TOÁN 25. Cho các số thực thay ñổi thỏa mãn
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻ
ܿെ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ݖൌ
√
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của
ܨൌܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ ݔ
ଶ
൅ ݕ
ଶ
൅ ݖ
ଶ
൅ ܽݔ൅ ܾݕ ൅ ܿݖ
NGHỆ AN

Các lời giải
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 5

C
CC
CÁC L
C LC L

C LỜI GI
I GII GI
I GIẢI
II
I



BÀI TOÁN 1. Cho các số không âm phân biệt ܽ,ܾ,ܿ. chứng minh
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 11 5 5
2
a b c
a b b c c a
 
+
 
+ + + + ≥
 
− − −
 

BÀ RỊA VŨNG TÀU
LỜI GIẢI (VIMF).
Không mất tính tổng quát, giả sử ܿൌ݉݅݊ ሼܽ,ܾ,ܿሽ. Khi ñó ܽ൒ܽെ ܿ൒0,ܾ൒ܾെ ܿ൒0. Do ñó
ሺ
ܽ

ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ሻ
൬
1
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
ܾെ ܿ
ሻ
ଶ
൅
1
ሺ
ܿെ ܽ
ሻ
ଶ
൰൒
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ

ሻ
൬
1
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ
൅
1
ܽ
ଶ
൅
1
ܾ
ଶ
൰

Bây giờ ta có
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሻ
൬
1
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ

൅
1
ܽ
ଶ
൅
1
ܾ
ଶ
൰ൌ
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሻ
ଶ
ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ
ൌ

ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ସ
൅ 4ܾܽ
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ
൅ 4ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
൅
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ
൅ 2ܾܽ
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ
ൌ5 ൅ ቆ
ሺ
ܽെ ܾ

ሻ
ଶ
ܾܽ
ቇ
ଶ
൅
4
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ
ܾܽ
൅
2ܾܽ
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ

ðặt
ሺ
௔ି௕
ሻ
మ
௔௕
ൌݐ൐0. Xét
݂
ሺ
ݐ
ሻ

൅ 5 ൅ ݐ
ଶ
൅ 4ݐ൅
2
ݐ
,݂
ᇱ
ሺ
ݐ
ሻ
൅ 2ݐ൅ 4 െ
2
ݐ
ଶ
ൌ
2
ሺ
ݐ൅ 1
ሻሺ
ݐ
ଶ
൅ ݐെ 1
ሻ
ݐ
ଶ
ൌ0,
݂
ᇱ
ሺ
ݐ

ሻ
ൌ0,
ሺ
ݐ൐0
ሻ
֞ݐൌ
√
5 െ 1
2

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số ݕൌ݂ሺݐሻ ñổi dấu từ െ sang ൅ khi ñí qua ݐ
଴
ൌ
√
ହିଵ
ଶ
, nên ݂ሺݐሻ ñạt giá trị nhỏ
nhất tại ݐ
଴
. Vậy ݂݉݅݊
ሺ
ݐ
ሻ
ൌ݂
ሺ
ݐ
଴
ሻ
ൌ݂ ቀ
√

ହିଵ
ଶ
ቁൌ
ଵଵାହ
√
ହ
ଶ
, ñạt ñược tại
ሺ
௔ି௕
ሻ
మ
௔௕
ൌ
√
ହିଵ
ଶ
.


BÀI TOÁN 2. Cho hình hộp chữ nhật với kích thước 3 cạnh là ܽ,ܾ,ܿ và ñộ dài ñường chéo là
√
3. Chứng minh
෍
ܽ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൒

3
2

HÀ NỘI
LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng). Do ñộ dài ñường chéo là
3
nên
2 2 2
3
a b c
+ + =

ðưa bất ñẳng thức về dạng
2
3
2
3
a
a
≥
−
∑
.
Ta chứng minh
2
2 4 4 2
2
2 3 3
23
a a

a a a a a a a
a
≥ ⇔ ≥ − ⇔ + + ≥
−

Bất ñẳng thức trên ñúng theo bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ, tương tự cho 2 bất ñẳng thức còn lại rồi cộng vế theo vế
ta có
2 2 2
2 2
( ) 3
2 2
a a b c
b c
+ +
≥ =
+
∑

Phép chứng minh hoàn tất.


BÀI TOÁN 3. Cho các số không âm ݔ,ݕ,ݖ sao cho ݔ
ଶ
൅ ݕ
ଶ
൅ ݖ
ଶ
ൌ1. Tìm min và max của
ܲൌ
ݔ

1 ൅ ݕݖ
൅
ݕ
1 ൅ ݖݔ
൅
ݖ
1 ൅ ݔݕ

HÀ NỘI
LỜI GIẢI 1.
• Giá trị nhỏ nhất. Ta có
ݔ൅ ݔݕݖ൑ݔ൅
ݔ
ሺ
ݕ
ଶ
൅ ݖ
ଶ
ሻ
2
ൌݔ൅
ݔ
ሺ
1 െ ݔ
ଶ
ሻ
2
ൌെ
ሺ
ݔ൅ 2

ሻሺ
ݔെ 1
ሻ
ଶ
൅ 1൑1
Tương tự ta cũng có ݕ൅ ݔݕݖ൑1,ݖ ൅ ݔݕݖ൑1. Do ñó
Các lời giải
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 6

ܲൌ
ݔ
ଶ
ݔ൅ ݔݕݖ
൅
ݕ
ଶ
ݕ ൅ݔݕݖ
൅
ݖ
ଶ
ݖ ൅ݔݕݖ
൒ݔ
ଶ
൅ ݕ
ଶ
൅ ݖ
ଶ

ൌ1
Vậy, giá trị nhỏ nhất của ܲ là 1, ñạt ñược khi và chỉ khi
ሺ
ݔ,ݕ,ݖ
ሻ
ൌሺ0;0;1ሻ và các hoán vị
• Giá trị lớn nhất. Trước tiên ta chứng minh
1 ൅ ݕݖ൒
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
√
2
֞2
ሺ
1 ൅ ݕݖ
ሻ
ଶ
൒
ሺ
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
ሻ
ଶ
֞1 ൅ 4ݕݖ൅ 2ݕ
ଶ
ݖ
ଶ
൒2
ሺ
ݔݕ൅ ݕݖ൅ ݖݔ
ሻ
֞ݔ

ଶ
൅
ሺ
ݕ൅ ݖ
ሻ
ଶ
൅ 2ݕ
ଶ
ݖ
ଶ
൒2ݔ
ሺ
ݕ൅ݖ
ሻ
֞
ሺ
ݔെ ݕ െ ݖ
ሻ
ଶ
൅ 2ݕ
ଶ
ݖ
ଶ
൒0
Bất ñẳng thức trên là ñúng, và tương tự ta cũng có
1 ൅ ݕݖ൑
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
√
2
, 1 ൅ ݖݔ൑

ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
√
2

Cộng các bất ñẳng thức trên vế theo vế ta ñược ܲ൑
√
2
Vậy, giá trị lớn nhất của ܲ là
√
2, ñạt ñược khi và chỉ khi
ሺ
ݔ,ݕ,ݖ
ሻ
ൌሺ1;1;0ሻ và các hoán vị.

NHẬN XÉT. Bạn Võ Quốc Bá Cẩn ñưa ra thêm lời giải phần max và bạn Tạ Minh Hoằng ñưa ra thêm lời giải
phần min như sau:
LỜI GIẢI (Võ Quốc Bá Cẩn - Tạ Minh Hoằng).
• Giá trị nhỏ nhất (Tạ Minh Hoằng). bất ñẳng thức tương ñương với
( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)
x xy xz xy yz zx
⇔ + + ≥ + + +
∑
2 2 2 2 2 2 2
( ) 1 ( )
sym
xyz x y z x y x y z x y z xy yz zx xyz x y z
⇔ + + + + + + ≥ + + + + + + +
∑
2 2 2

( )( ) 2 1
x y z xy yz zx x y z x y z xyz xy yz zx
⇔ + + + + + + + ≥ + + + + +
2 2 2
( 1)( 1) 2
x y z xy yz zx x y z xyz
⇔ + + − + + + ≥ +
2 2 2
2( )( 1)
2
1
xy yz zx xy yz zx
x y z xyz
x y z
+ + + + +
⇔ ≥ +
+ + +

Theo b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܣܯെ ܩܯ
ta có
2 2 2
3
6

2( )( 1)
1 1
x y z
xy yz zx xy yz zx
x y z x y z
+ + + + +
≥
+ + + + + +

Chú ý
1
3 3
abc ≤

, nên b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c s
ẽ

ñượ
c ch
ứ
ng minh n
ế
u
6 ( 1)( 2)

x y z xyz
≥ + + + +

B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c này
ñ
úng do
1
3 3
abc ≤
và
3
a b c+ + ≤

•

Giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t
(Võ Quốc Bá Cẩn)
.

Chú ý r
ằ
ng t
ừ
gi
ả
thi
ế
t, ta suy ra
1
, , .
2
xy yz zx
≤
D
ẫ
n
ñế
n
2
.
1 1 3
x xyz
x x xyz
yz yz
= − ≤ −
+ +

T
ươ

ng t
ự

ñố
i v
ớ
i hai b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c còn l
ạ
i r
ồ
i c
ộ
ng v
ế
theo v
ế
ta có
2 .
1
x
x y z xyz
yz
≤ + + −
+

∑

M
ặ
t khác, theo b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܥܽݑ݄ܿݕെ݄ܵܿݓܽݎݖ
thì
2 2 2 2 2 2 2
[ (1 2 ) ( )] [ ( ) ][(1 2 ) 1] 2(1 2 )(1 2 2 ) 2[1 2 (1 2 )] 2.
x yz y z x y z yz yz yz y z y z yz
− + + ≤ + + − + = + − + = − − ≤

D
ẫ
n
ñế
n
2 2.
x y z xyz+ + − ≤

K
ế
t h
ợ

p b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c này và b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trên, ta thu
ñượ
c
2.
1
x
yz
≤
+
∑

ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi
1

, 0
2
x y z
= = =
và các hoán v
ị
t
ươ
ng
ứ
ng.


BÀI TOÁN 4.
Cho các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng
ݔ,ݕ,ݖ
. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ

a
ݔ
଻
ݖ
ݔ
ହ
ݕ
ଶ
ݖ ൅2ݕ
଺
൅
ݕ
଻
ݖ
଺
ݕ
ହ
ݖ
ସ
൅ 2ݔ
൅
1
ݖ
ଶ
ݔ
ଶ
൅ 2ݔ
଺
ݕݖ
଻

HÀ NỘI
LỜI GIẢI (Vũ Thanh Tùng).
Ta
ñặ
t
1
, ,a x b y c
z
= = =
ta
ñượ
c
Các lời giải
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 7

7 14 7 7 7 2
5 2 6 12 2 7 6 12 2 12 2 12 2 7 6 7 6 7 6
( )
2 2 2 2 2
a a a b c
P
a b b c a b a b c a b b c c a a b c b c a c a b
+ +
= = ≥
+ + + + + + +
∑ ∑

Áp dụng bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ ta có
14 7 7 12 2
5 2 7
a a b a b
+ ≥
,
7 7 7 7 7 6
2( 6 ) 2.7
a c a b a b c
+ ≥
Tương tự ta có
7 7 7 2 14 14 14 7 7 7 7 7 7 12 2 12 2 12 2 7 6 7 6 7 6
7( ) 5( ) 16( ) 7( 2 2 2 )
a b c a b c a b b c c a a b b c c a a b c b c a c a b
+ + ≥ + + + + + ≥ + + + + +
1
P
⇒ ≥

Vậy
1
Pmin
=
khi
1
a b c x y
z
= = ⇔ = =
. Phép chứng minh hoàn tất.



BÀI TOÁN 5. Cho các số thực a,b,c. chứng minh
(
)
(
)
(
)
( )
2
2 2 2
1 1 1 1
a b c ab bc ca
+ + + ≥ + + −

TP. HỒ CHÍ MINH
LỜI GIẢI. Khai triển bất ñẳng thức này ta ñược
ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ

൒2ܾܽܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
െ 2ሺܾܽ൅ ܾܿ൅ܿܽሻ
Hay
ሺ
ܾܽܿെ ܽെ ܾ െ ܿ
ሻ
ଶ
൒0
Phép chứng minh hoàn tất.


BÀI TOÁN 6. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ thỏa mãn
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ൒
1
ܽ
൅
1
ܾ
൅
1
ܿ

Chứng minh
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ൒
3
ܽ൅ܾ ൅ ܿ
൅

2
ܾܽܿ

TP. HỒ CHÍ MINH
LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng). Từ giả thiết, ta có
9
a b c
a b c
+ + ≥
+ +
, và
ab bc ca
a b c
abc
+ +
+ + ≥

Nên
2 2
3
( ( )) ( ) 3 ( ) ( ) 3abc a b c ab bc ca abc a b c abc a b c a b c
abc
+ + ≥ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥

Do ñó
2( ) 3 2
3 3
a b c a b c
a b c
a b c abc

+ + + +
+ + = + ≥ +
+ +

Phép chứng minh hoàn tất. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1.


BÀI TOÁN 7. Cho các số dương ܽ,ܾ,ܿ. Chứng minh
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
ܾܽ൅ܾܿ ൅ ܿܽ
൅
8ܾܽܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܾ൅ ܿ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൒2
TP. HỒ CHÍ MINH
LỜI GIẢI 1 (Tạ Minh Hoằng).
Bất ñẳng thức tương ñương với
2 2 2
8

1 1 0
( )( )( )

a b c abc
ab bc ca a b b c c a
+ +
− + − ≥
+ + + + +

2 2
( ) ( )
0
2( ) ( )( )( )
a b a b c
ab bc ca a b c b c a
− −
⇔ − ≥
+ + + + +
∑ ∑
2
( ) (( )( )( ) 2 ( )) 0
a b a b c b c a c ab bc ca
⇔ − + + + − + + ≥
∑

B
ấ
t
ñẳ
ng th

ứ
c
ñượ
c
ñư
a v
ề
d
ạ
ng SOS, trong
ñ
ó
ܵ
௔
ൌሺܽ൅ ܾሻሺܿ൅ ܾሻሺܿ൅ ܽሻെ 2ܽሺܾܽ൅ ܾܿ ൅ ܿܽሻ
ܵ
௕
ൌሺܽ൅ ܾሻሺܿ൅ ܾሻሺܿ൅ ܽሻെ2ܾሺܾܽ൅ ܾܿ ൅ܿܽሻ
ܵ
௖
ൌሺܽ൅ ܾሻሺܿ൅ ܾሻሺܿ൅ ܽሻെ2ܿሺܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽሻ
Không m
ấ
t tính t
ổ
ng quát, gi
ả
s
ử

a b c
≥ ≥
, khi
ñ
ó
, 0
b c
S S
≥
và
2
2 ( ) 0
a b
S S c a b
+ = + ≥

Phép ch
ứ
ng minh hoàn t
ấ
t.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
ܽൌܾൌܿ

.

Các lời giải
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 8

LỜI GIẢI 2 (Tạ Minh Hoằng). Ta sử dụng ñẳng thức sau
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 ,
a b c a b a c b c b a c a c b
ab bc ca ab bc ca
+ + − − + − − + − −
− =
+ + + +

8 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
1
( )( )( ) ( )( )( )
abc b c a b a c a c b c b a a b c a c b
a b c c c a a b c c c a
+ − − + + − − + + − −
− = −
+ + + + + +

Bất ñẳng thức tương ñương với
1 1
( )( ) 0

) ( )( )
a b a c
ab bc ca a b a c
 
− − − ≥
 
+ + + +
 
∑

Không m
ấ
t tính t
ổ
ng quát, gi
ả
s
ử

a b c
≥ ≥
. Khi
ñ
ó
1 1 1 1 1 1
0
( )( ) ( )( ) ( )( )ab bc ca a b a c ab bc ca b c b a ab bc ca c a c b
− ≥ − ≥ − ≥
+ + + + + + + + + + + +

Theo b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܸ݋ݎ݊݅ܿݑെ ݄ܵܿݑݎ
, ta có
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.


BÀI TOÁN 8.
Cho các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng
ݔ,ݕ,ݖ
thõa
ݔ൅ ݕ ൅ ݖ൅ 1ൌ4ݔݕݖ

. Ch
ứ
ng minh
xy yz zx x y z
+ + ≥ + +

NGHỆ AN
LỜI GIẢI 1 (VIMF).
Theo nguyên lí
ܦ݅ݎ݄݈݅ܿ݁ݐ
thì 2 trong 3 s
ố

ሺ
ݔെ 1
ሻ
,
ሺ
ݕെ 1
ሻ
,ሺݖെ 1ሻ
cùng d
ấ
u. Không m
ấ
t tính t
ổ
ng quát, gi
ả
s

ử

ሺ
ݔെ 1
ሻሺ
ݕെ 1
ሻ
൒0
. Khi
ñ
ó
ݔݕ൅1൒ݔ ൅ ݕ
,và ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh
ݕݖ൅ ݖݔ൒ݖ൅ 1

T
ừ

ñ
i
ề
u ki
ệ
n

ñề
bài ta có
ݖൌ
௫ା௬ାଵ
ସ௫௬ିଵ
, nên thay vào b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trên ta
ñượ
c b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c t
ươ
ng
ñươ
ng là
ݖ
ሺ
ݔ൅ ݕ െ1
ሻ
൒1֞
ሺ

ݔ൅ ݕ െ 1
ሻ
ݔ൅ ݕ ൅ 1
4ݔݕെ 1
൒1֞
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻ
ଶ
െ 1൒4ݔݕെ 1֞
ሺ
ݔെ ݕ
ሻ
ଶ
൒0

B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trên hi
ể
n nhiên
ñ
úng. Phép ch
ứ
ng minh hoàn t
ấ

t.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
ݔൌݕൌݖൌ1
.
LỜI GIẢI 2 (Tạ Minh Hoằng).

Gi
ả
thi
ế
t bài toán t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
1 1 1
1
2 1 2 1 2 1a b c
+ + =
+ + +

ðặ
t
1 1 1
, ,
2 1 2 1 2 1
x y z
a b c
= = =
+ + +
, suy ra
x y z 1
+ + =
và
1 1 1 1
1, 1,
2 2 2 2
a b c
x y z
= − = − = −

B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c c
ầ
n ch
ứ

ng minh t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y y z z x x y z
   
      
− − + − − + − − ≥ − + − + −
   
      
      
   

3
1 1 1 9 1 1 1
( ) 9 4( )( )
4 4 4 4
x y z xyz x y z x y z
xy yz zx x y z
⇔ + + + ≥ + + ⇔ + + + ≥ + + + +

ð
ây là b
ấ
t

ñẳ
ng th
ứ
c
݄ܵܿݑݎ
quen thu
ộ
c. Phép ch
ứ
ng minh hoàn t
ấ
t.


BÀI TOÁN 9.
Cho các s
ố
d
ươ
ng
ܽ,ܾ,ܿ
. ch
ứ
ng minh b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
2
2 2 2
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
− − − − − −
+ + ≥
+ + + + + +

THANH HÓA
LỜI GIẢI (Lương Quang Trung).
Chu
ẩ
n hóa
ܽ൅ ܾ ൅ ܿൌ1
. Khi
ñ
ó b
ấ
t
ñẳ

ng th
ứ
c tr
ở
thành
( )
( )
2
2
2 2 2
2
2 1
4 4 1 4 4 1
3
3 2 1 9 6 3
2 1
a
a a a
a a a a
a a
−
− + +
 
= = −
 
− + − +
 
+ −
∑ ∑ ∑

Ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh
2
4 1 7
2
9 6 3
a
a a
+
≤
− +
∑

Mà
( )
2
2
2
4 1 1
2 9 6 3 2 3 1 0
29 6 3
a
a a a a
a a
+

≤ + ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
− +

Các lời giải
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 9

Tương tự cho hai bất ñẳng thức còn lại và cộng các bất ñẳng thức vế theo vế ta có
2
4 1 3 7
2( )
2 2
9 6 3
a
a b c
a a
+
≤ + + + =
− +
∑

Phép chứng minh hoàn tất. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿ.

NHẬN XÉT. Ta cũng có một cách chuẩn hóa khác nhưng với cách chuẩn hóa này thì lời giải sẽ ñơn giản hơn bởi
không cần ñến kĩ thuật cân bằng hệ số: chuẩn hóa cho ܽ൅ ܾ൅ ܿൌ3. Khi ñó
( )
( )
2

2 2
2 2 2 2 2
2
(3 2 ) 9 12 4 4 4 3 4 4 3
3 3 6
2 (3 ) 3 6 9 3( 1) 6
2
a b c
a a a a a
a a a a a
a b c
− −
− − + + +
= = = − ≥ −
+ − − + − +
+ +

T
ươ
ng t
ự
ta c
ũ
ng có
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2

2 2
4 4 3 4 4 3
,
3 6 3 6
2 2
b c a c a b
b c
b c a c a b
− − − −
+ +
≥ − ≥ −
+ + + +

C
ộ
ng các b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c v
ế
theo v
ế
ta có
( )
( )
( )
( )

( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
4( ) 9 1
4
6 2
2 2 2
a b c b c a c a b
a b c
a b c b c a c a b
− − − − − −
+ + +
+ + ≥ − =
+ + + + + +

Phép ch
ứ
ng minh hoàn t
ấ
t.

BÀI TOÁN 10.
Cho các s
ố
d
ươ
ng
ܽ

ଵ
,ܽ
ଶ
,…,ܽ
௡
th
ỏ
a mãn
ܽ
ଵ
ܽ
ଶ
…ܽ
௡
ൌ1
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 2( )
n n
a a a a a a
+ + + +…+ + ≤ + +…+

BÌNH PHƯỚC
LỜI GIẢI.
Tr

ướ
c tiên ta ch
ứ
ng minh
√
ݔ
ଶ
൅ 1൑
√
2൫ݔെ
√
ݔ൅ 1൯
. Bình ph
ươ
ng 2 v
ế
b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c này và sau khi rút g
ọ
n
ta
ñượ
c b
ấ
t

ñẳ
ng th
ứ
c t
ươ
ng
ñươ
ng là
൫
√
ݔെ 1൯
ସ
൒0
(luôn
ñ
úng). L
ầ
n l
ượ
t thay
ݔ
b
ở
i
ܽ
ଵ
,ܽ
ଶ
,…ܽ
௡

và c
ộ
ng l
ạ
i
v
ế
theo v
ế
ta
ñượ
c
ට
ܽ
ଵ
ଶ
൅ 1 ൅
ට
ܽ
ଶ
ଶ
൅ 1 ൅ ڮ൅
ඥ
ܽ
௡
ଶ
൅ 1൑
√
2൫ܽ
ଵ

൅ ܽ
ଶ
൅ ڮ൅ܽ
௡
െ
ඥ
ܽ
ଵ
െ
ඥ
ܽ
ଶ
െ ڮെ
ඥ
ܽ
௡
൅ ݊൯

Mà theo b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܣܯെ ܩܯ
thì
√
ܽ
ଵ

൅
√
ܽ
ଶ
൅ ڮ൅
ඥ
ܽ
௡
൒݊
ට
ඥ
ܽ
ଵ
ܽ
ଶ
…ܽ
௡
೙
ൌ݊

Do
ñ
ó
ට
ܽ
ଵ
ଶ
൅ 1 ൅
ට
ܽ

ଶ
ଶ
൅ 1 ൅ ڮ൅
ඥ
ܽ
௡
ଶ
൅ 1൑
√
2൫ܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ڮ൅ܽ
௡
െ
ඥ
ܽ
ଵ
െ
ඥ
ܽ
ଶ
െ ڮെ
ඥ
ܽ
௡
൅ ݊൯
൑
√

2
ሺ
ܽ
ଵ
൅ ܽ
ଶ
൅ ڮ൅ܽ
௡
ሻ


BÀI TOÁN 11.
Cho các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng
ܽ,ܾ,ܿ
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ܽ
ଷ
ܽ
ଶ
൅ ܾ

ଶ
൅
ܾ
ଷ
ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅
ܿ
ଷ
ܿ
ଶ
൅ ܽ
ଶ
൒
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
2


BÌNH PHƯỚC
LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng).
Ta có
3 2 2
2 2 2 2
2 2
a ab ab b
a a a
aba b a b
= − ≥ − = −

+ +

T
ươ
ng t
ự

ñố
i v
ớ
i hai b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c còn l
ạ
i và c
ộ
ng các b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c v
ế
theo v
ế

ta suy ra
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Phép ch
ứ
ng minh hoàn t
ấ
t.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
ܽൌܾൌܿ
.

BÀI TOÁN 12.
Cho
ܽ,ܾ,ܿ൐0
. Ch
ứ

ng minh
ቀ1 ൅
ܽ
ܾ
ቁ൬1൅
ܾ
ܿ
൰ቀ1 ൅
ܿ
ܽ
ቁ൒2൬1 ൅
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
√
ܾܽܿ
య
൰

BÌNH PHƯỚC
LỜI GIẢI.
B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c t
ươ
ng
ñươ
ng v

ớ
i
Các lời giải
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 10

ܽ
ܾ
൅
ܾ
ܿ
൅
ܿ
ܽ
൅
ܾ
ܽ
൅
ܿ
ܾ
൅
ܽ
ܿ
൒2
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
√
ܾܽܿ
య

Theo bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ, ta có
ܽ
ܾ
൅
ܽ
ܾ
൅
ܾ
ܿ
൒3
ඨ
ܽ
ଶ
ܾܿ
య
ൌ
3ܽ
√
ܾܽܿ
య
,
Tương tự ta cũng có
ܾ
ܿ
൅
ܾ
ܿ
൅
ܿ

ܽ
൒
3ܾ
√
ܾܽܿ
య
,
ܿ
ܽ
൅
ܿ
ܽ
൅
ܽ
ܾ
൒
3ܿ
√
ܾܽܿ
య
,
ܾ
ܽ
൅
ܾ
ܽ
൅
ܽ
ܿ
൒

3ܾ
√
ܾܽܿ
య
,
ܿ
ܾ
൅
ܿ
ܾ
൅
ܾ
ܽ
൒
3ܿ
√
ܾܽܿ
య
,
ܽ
ܿ
൅
ܽ
ܿ
൅
ܿ
ܾ
൒
3ܽ
√

ܾܽܿ
య

Cộng các bất ñẳng thức trên vế theo vế ta suy ra ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌ
ܿ.


BÀI TOÁN 13.Chứng minh
x
∀ ∈
ℝ
thì
2 3
1
2! 3!
x
x x
e x
≥ + + +

HẢI DƯƠNG
LỜI GIẢI (Nguyễn ðức Toàn). ðặt
3 2
( ) 1
3! 2!
x
x x
f x e x
= − − − −

Xét hai trường hợp
Trường hợp 1. Nếu
0
x
≥

2
( ) 1
2!
x
x
f x e x
′
= − − −
,
( ) 1
x
f x e x
′′
= − −
,
( ) 1 0
x
f x e
′′′
= − >

Suy ra ݂
ᇱ
Ԣሺݔሻ ñồng biến,

( ) (0) 0
f x f
′′ ′′
≥ =

Suy ra ݂
ᇱ
ሺݔሻ ñồng biến,

( ) (0) 0
f x f
′ ′
≥ =

Suy ra ݂ሺݔሻ ñồng biến,
( ) (0) 0
f x f
≥ =

Trường hợp 2. Nếu
0
x
≤

ðặt
( 0)
x t t
= − ≥

3 2
1
( ) 1
3! 2!
t
t t
f t t
e
= + − + −
,
2
1
( ) 1
2
t
t
f t t
e
′
= + − +
,
1
( ) 1
t
f t t
e
′′
= + −

1

( ) 1 0
t
f t
e
′′′
= + >

Suy ra ݂ԢԢሺݐሻ ñồng biến,
( ) (0) 0
f t f
′′ ′′
≥ =

Suy ra ݂Ԣሺݐሻ ñồng biến,
( ) (0) 0
f t f
′ ′
≥ =

Suy ra ݂ሺݐሻ ñồng biến,

( ) (0) 0
f t f
≥ =

Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ݔൌ0
NHẬN XÉT. Ta cũng có thể tổng quát cho bài toán thành :
0
!
i

n
x
i
x
e
i
=
≥
∑
với mọi
*
n N
∈
và n lẻ


BÀI TOÁN 14. Cho ݔ,ݕ,ݖ là các số dương sao cho
9
5, 8
x y z
x x y
+ + =


≥ + ≥

. Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng
15
xyz
≤

HẢI DƯƠNG
LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng).
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t suy ra
4
y z
+ ≤
và
1
z
≤
.
Nên
3 3 3
(3 5 15 ) (3 3 3 2 2 10 ) 45
3 5 15 15
27 27 27
x y z x y z y z z
x y z xyz
+ + + + + + +

≤ = ≤ ⇒ ≤

V
ậ
y GTLN c
ủ
a
ݔݕݖ
là 15 khi
ሺݔ,ݕ,ݖሻൌሺ5,3,1ሻ



BÀI TOÁN 15.
Cho các s
ố
d
ươ
ng
ܽ,ܾ,ܿ
. tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
Các lời giải

This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 11

3 3 3
bc ca ab
P
a bc b ca c ca
= + +
+ + +

HUẾ
LỜI GIẢI (Nguyễn ðức Toàn). Ta có
2
1 1 1 ( )
1
3 3 3
3 3 3( )
bc a a b c
P
a bc a bc a b c ab bc ca
 
+ +
− = − = ≥
 
 
+ + + + + + +
 
∑ ∑

2 2
2 2
2
1 ( ) ( ) 1 3
3 4 4
( ) ( )
( )
3
a b c a b c
P
a b c ab bc ca a b c
a b c
+ + + +
= ≥ = ⇒ ≤
+ + + + + + +
+ + +

V
ậ
y, giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
ܲ

là
ଷ
ସ
,
ñạ
t
ñượ
c khi và ch
ỉ
khi
ܽൌܾൌܿ
.


BÀI TOÁN 16.

Cho các số không âm ݔ,ݕ,ݖ sao cho ݔ൅ ݕ ൅ ݖൌ1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 1
1 1 1
x y z
P
x y z
− − −
= + +
+ + +

HÀ TĨNH
L
Ờ
I GI

Ả
I.
ðồ
ng b
ậ
c hóa b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c này ta
ñượ
c
ܲൌ
ඨ
ݕ൅ݖ
2ݔ൅ ݕ ൅ ݖ
൅
ඨ
ݔ൅ ݖ
2ݕ൅ ݔ ൅ ݖ
൅
ඨ
ݔ൅ ݕ
2ݖ ൅ݔ ൅ ݕ

ðặ
t
ݔ൅ ݕൌܽ,ݕ൅ ݖൌܾ,ݖ ൅ ݔൌܿ

. Khi
ñ
ó
ܲൌ
ට
ܽ
ܾ൅ ܿ
൅
ඨ
ܾ
ܿ൅ ܽ
൅
ට
ܿ
ܽ൅ ܾ
ൌ
ܽ
ඥܽ
ሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
൅
ܾ
ඥܾ
ሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൅
ܿ
ඥܿ

ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
൒
2ܽ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
൅
2ܾ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
൅
2ܿ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ൌ2

V
ậ
y, giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
ܲ
là
2
,
ñạ

t
ñượ
c khi và ch
ỉ
khi
ሺ
ݔ,ݕ,ݖ
ሻ
ൌሺ1;0;0ሻ
và cá hoán v
ị
t
ươ
ng
ứ
ng.


BÀI TOÁN 17.
Cho các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng
ܽ,ܾ,ܿ
th
ỏ
a mãn

ܽ൅ ܾ ൅ ܿൌ1
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ඨ
ܾܽ
ܿ൅ ܾܽ
൅
ඨ
ܾܿ
ܽ ൅ܾܿ
൅
ට
ܿܽ
ܾ ൅ܿܽ
൑
3
2

NAM ðỊNH
LỜI GIẢI.
B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c c

ầ
n ch
ứ
ng minh t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
ඨ
ܾܽ
ܿ
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
൅ ܾܽ
൅
ඨ
ܾܿ
ܽ
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
൅ ܾܿ
൅
ඨ
ܿܽ
ܾ
ሺ

ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
൅ ܿܽ
൑
3
2
֞
ඨ
ܾܽ
ሺ
ܽ൅ ܿ
ሻሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
൅
ඨ
ܾܿ
ሺ
ܾ൅ ܽ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൅
ඨ
ܿܽ
ሺ
ܿ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ

൑
3
2

Theo b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܣܯെ ܩܯ
ta có
ඨ
ܾܽ
ሺ
ܽ൅ ܿ
ሻሺ
ܾ൅ ܿ
ሻ
൅
ඨ
ܾܿ
ሺ
ܾ൅ ܽ
ሻሺ
ܿ൅ ܽ
ሻ
൅
ඨ

ܿܽ
ሺ
ܿ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
൑
1
2
൬
ܽ
ܽ൅ ܿ
൅
ܾ
ܾ ൅ܿ
൅
ܾ
ܾ൅ ܽ
൅
ܿ
ܿ൅ ܽ
൅
ܿ
ܿ൅ ܾ
൅
ܽ
ܽ൅ ܾ
൰ൌ
3
2

Phép ch
ứ
ng minh hoàn t
ấ
t.


BÀI TOÁN 18.
Cho t
ứ
giác l
ồ
i ABCD có
ܣܤൌܽ;ܤܥൌܾ;ܥܦൌܿ;ܦܣൌ݀
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2 2
13 6 2 4 2
a b c d S
+ − + ≥

NAM ðỊNH
Các lời giải
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page

Page 12

LỜI GIẢI (Vũ Thanh Tùng). Trước hết chứng minh bổ ñề:
Cho tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt là ܽ,ܾ,ܿ diện tích ܵ với mọi bộ số ݉,݊,݌ thỏa mãn
0
0
0
0
m n
n p
m n
mn np pm
+ ≥


+ ≥


+ ≥


+ + ≥


Ta luôn có
2 2 2
4
ma nb pc mn np pmS
+ + ≥ + +

Tr
ở
l
ạ
i bài toán
ðặ
t
ܣܥൌݔ
. Áp d
ụ
ng b
ổ

ñề
ta có
2 2 2
13 6 4 4 2
ABC
a b x S
+ − ≥
,
2 2 2
2 4 4 2
ADC
c d x S
− + + ≥

C
ộ

ng 2 b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trên v
ế
theo v
ế
ta có
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.


BÀI TOÁN 19.

Cho các số dương ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 2
3 3 3
2 2 2
a b c
P

a b b c c a
= + +
+ + +

ðỒNG THÁP
LỜI GIẢI (Lương Quang Trung).


Theo b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܣܯെ ܩܯ
ta có
2 3 3
3
2
3 3
3
6
2 2 2
3
2 2
3
a ab ab
a a a a b
a b a b

ab
 
 
 
= − ≥ − = −
 
 
 
+ +
 
 
 
∑ ∑ ∑ ∑

Áp d
ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c AM-GM,ta có
(
)
2 2
3 3
2 1
2 1
3 3

a b
a
a a b
+
+
≤ ⇒ ≤

T
ươ
ng t
ự
cho các b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c còn l
ạ
i r
ồ
i c
ộ
ng v
ế
theo v
ế
ta có
2
3

2 2
3
2 2 7 4
( 2( )) ( ) 1
3 3 272 9
a
a a b a b c a b c ab bc ca a b c
a b
 
≥ − ≥ + + − + + + + + ≥ − + + =
 
+
 
∑ ∑

V
ậ
y GTNN c
ủ
a P = 1 khi
ܽൌܾൌܿൌ1
.


BÀI TOÁN 20.
Cho các s
ố
th
ự
c

ݔ,ݕ,ݖ
th
ỏ
a
1
2 3 6
11 27 54
x y z
y z
x z
≥ ≥ ≥


+ ≥


+ ≥

. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
2 2 2
1 2008 2009
( , , )P x y z

x y z
= + +
ðỒNG THÁP
LỜI GIẢI 1 (Lương Quang Trung).
Tacó
2 2 2 2 2 2 2
1 2008 2009 1 1 1 1
2008
x y z x z y z
 
 
+ + = + + +
 
 
 
 

Áp d
ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܥܽݑ݄ܿݕ ݄ܵܿݓܽݎݖ
ta có
( )
( )

2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
729 1458 121 2
2916 54 11 27 2 121 729 121 729 1458 1
121 729121
z z
x z x z x z
x x x x
= ≤ + ≤ + ⇒ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥

Suy ra
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 1 121 1 121 850
1 1
729 729 729
z z z z
x z x z x x z x x x
 
+ = + − ≤ + + − ≤ + + − =
 
 
(vì
1
z
≥
)
Áp d

ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܥܽݑ݄ܿݕ ݄ܵܿݓܽݎݖ
ta có
( )
( )
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
9 18 4 2
36 2 3 2 4 9 4 9 18 1
94 4
z z
y z y z y z
y y y y
≤ + ≤ + ⇒ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥
Suy ra
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 1 4 1 4 13
1 1
9 9 9
z z z z

y z y z y y z y y y
 
+ = + − ≤ + + − ≤ + + − =
 
 
(vì
1
z
≥
)

Các lời giải
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 13

Vậy GTLN của ܲ là
2115274
729
. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( )
27 3
, , , ,1
11 2
x y z
 
=
 
 

LỜI GIẢI 2 (Vũ Thanh Tùng).
Ta có
2 2 2 2 2 2 2
1 2008 2009 1 1 1 1
2008
x y z x z y z
 
 
+ + = + + +
 
 
 
 

2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
11 1 1 11 1 1 1 11
1
27 27 27
x x
z z z
z x z x x
 
       
+ = + = − + +
 
       
 

       
 
2
2 2 2 2 2 2 2 2
11
1 1 1 1 1 2 1 1
27
2
x
z
z x x z x x x z
 
+
 
 
≥ − + ≥ − + = +

T
ươ
ng t
ự

2 2 2
2 2 2
2 2
2 1 1 11 2
1 1 2008 1
3 27 3
P
y z

 
     
+ ≥ + ⇒ ≤ + + +
 
     
 
     
 

Phép ch
ứ
ng minh hoàn t
ấ
t.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
( )
27 3
, , , ,1
11 2
x y z
 
=
 

 



BÀI TOÁN 21.

Cho ܣ,ܤ,ܥ là 3 góc của một tam giác. Chứng minh rằng

൬1 ൅ cos
ଶ
ܣ
2
൰൬1 ൅ cos
ଶ
ܤ
2
൰൬1 ൅ cos
ଶ
ܥ
2
൰൏ቆ1 ൅
√
3
4
ቇ
ଷ
√
ଷ

BÌNH ðỊNH

LỜI GIẢI (Lương Quang Trung).

B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
1
3 3
3
2
3
1 cos 1
2 4
A
 
 
+ < +
 
 
 
 

 
∏
.
Áp d
ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
ܤ݁ݎ݊݋ݑ݈݈݅
và
ܣܯെ ܩܯ
, ta có
3
2
1
3
2 2
11
3 3 1 2 sin3 cos
1
2
2
33
1 cos 1 cos
2 2 3 3
3

A
A
A A
 
 
 
+ − ++
 
 
 
 
 
 
 
 
+ < + ≤
  
 
 
 
 
 


=


 
∑
∏

∏
∏

(vì
2
sin 1 2 sin
2 2
A A
= −
∑
∏
)
3
3
1 1
3 2
3
4
3
1
3 4
 
 
+ +
 
 
 
 
 
≤ = +

 
 
 
 
 
 
(vì
1
sin
2 8
A
≤
∏
)
V
ậ
y, ta có
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.

BÀI TOÁN 22.

Cho
0

a b c d
bc ad
< ≤ ≤ ≤


≤

. Chứng minh rằng
ܽ
௕
ܾ
௖
ܿ
ௗ
݀
௔
൒ܽ
ௗ
݀
௖
ܿ
௕
ܾ
௔
ሺ1ሻ

THÀI BÌNH
LỜI GIẢI (Lương Quang Trung).
ðặ
t

ܾൌܽݔ,ܿൌܽݕ,݀ൌܽݖ
thì
1
z y x
≥ ≥ ≥
. Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(1) (2)
ay az a ay ax a
ax az y z x y
a ax ay az a az ay ax x y z xy z⇔ ≥ ⇔ ≥

ðặ
t ti
ế
p
ݕൌݑݔ,ݖൌݒݔ
thì
1
v u
≥ ≥

Các lời giải
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 14

( ) ( )

1 1
(2) . (3)
y y
vy
y
y v u y
u
u
y vy y yv
y y y v
u u u u
 
 
− −
 
   
⇔ ≥ ⇔ ≥
   
   

Dễ thấy khi ݕൌ1 hay ݒൌ1 thì (3) ñúng
Xét
, 1
y u
>
.
Ta có
1
1
(3) (*)

y
u
y
v
y v
−
−
⇔ ≥

Như vậy ta chỉ cần chứng minh bất ñẳng thức ሺכሻ ñúng bằng công cụ ñạo hàm.Có hai trường hợp cần xem xét:
Trường hợp 1.
v y
>

Khi ñó ta xét hàm số
1
1
( ) , 1
t
f t t t
−
= >
1
ln ( ) ln
1
f t t
t
⇒ =
−

( )
( )
2
( ) 1 1
ln
( ) 1
1
f x
t
f x t t
t
′
⇒ = − +
−
−
(lấy ñạo hàm hai
vế)
( )
( )
2
( )
( ) 1 ln
1
f t
f t t t t
t t
′
⇒ = − −
−

Mà ta có bất ñẳng thức quen thuộc
1
ln 1 , 1
t t
t
> − >
.
Suy ra
( ) 0
f t
′
<

với mọi
1
t
>


( )
f t
′
⇒

nghịch biến trên khoảng ñang xét. Suy ra
1
1
1 1
1 1 1
( ) ( )

y
y u
y y
v v v
f y f v y v y v v
− −
− − −
>
⇒ ≥>> ⇒
(vì
y u
≥
)
Tương tự ta xét trường hợp 2.
v y
≤

Khi ñó ta xét hàm số
1
( ) , 1
t
t
f t t t
−
= >
ln ( ) ln
1
t
f t t
t

⇒ =
−
( )
2
( ) 1 1
ln
( ) 1
1
f t
t
f t t
t
′
⇒ = − +
−
−
(lấy ñạo hàm hai vế)
( )
( )
2
( )
( ) 1 ln
1
f t
f t t t
t
′
⇒ = − −
−

Mà ta có bất ñẳng thức quen thuộc
ln 1, 1
t t t
< − >
.
Suy ra
( ) 0
f t
′
>
với mọi
1
t
>

( ) ( )
f y f v
⇒ >

1
1 1
y
t u
y
v v
y v v
−
− −
≥>
⇒

(vì
v u
≥
)

Phép chứng minh hoàn tất.


BÀI TOÁN 23. Cho 3 số thay ñổi ݔ,ݕ,ݖ thỏa mãn
2
3
3
x y z
x y
x y z
≥ ≥ ≥


+ ≤


+ + ≤

.
Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ

t c
ủ
a t
ổ
ng
ܵൌ2
௫
൅ 2
௬
൅ 2
௭

BẮC NINH
LỜI GIẢI.
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t suy ra
2
௫
൑4,2
௫ା௬
൑8,2
௫ା௬ା௭
൑8֜
4
2

௫
൒1,
4
2
௫
൅
2
2
௬
൒2,
4
2
௫
൅
2
2
௬
൅
1
2
௭
൒3

Ta có
4 ൅ 2 ൅1ൌ
4
2
௫
ሺ
2

௫
െ 2
௬
ሻ
൅ ൬
4
2
௫
൅
2
2
௬
൰
ሺ
2
௬
െ 2
௭
ሻ
൅ ൬
4
2
௫
൅
2
2
௬
൅
1
2

௭
൰2
௭
൒1
ሺ
2
௫
െ 2
௬
ሻ
൅ 2
ሺ
2
௬
െ 2
௭
ሻ
൅ 3.2
௭

Suy ra
ܵ൑7
. V
ậ
y GTLN c
ủ
a
ܵ
là
7

.
ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi
ݔൌ2,ݕൌ1,ݖൌ0
.


BÀI TOÁN 24.
Cho
ܽ ,ܾ,ܿ
là các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng sao cho
ܾܽܿൌ1
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ܾܽ

ܽ
ହ
൅ ܾ
ହ
൅ ܾܽ
൅
ܾܿ
ܾ
ହ
൅ ܿ
ହ
൅ ܾܿ
൅
ܿܽ
ܿ
ହ
൅ ܽ
ହ
൅ ܿܽ
൑1

PHÚ YÊN
LỜI GIẢI.
Ta có
ܽ
ହ
൅ ܾ
ହ
ൌ
ሺ

ܽ൅ ܾ
ሻሺ
ܽ
ସ
െ ܽ
ଷ
ܾ൅ ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
െ ܾܽ
ଷ
൅ ܾ
ସ
ሻ
ൌ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ሾ
ሺ
ܽെ ܾ
ሻ
ଶ
ሺ
ܽ
ଶ
൅ ܾܽ൅ ܾ
ଶ
ሻ

൅ ܽ
ଶ
ܾ
ଶ
ሿ
൒
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ܽ
ଶ
ܾ
ଶ

Suy ra
Các lời giải
This file was downloaded from
VietNam Inequality Mathematic
Olympiad Resource Page
Page 15

ܾܽ
ܽ
ହ
൅ ܾ
ହ
൅ ܾܽ
൑
ܾܽ
ܽ

ଶ
ܾ
ଶ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
൅ ܾܽ
ൌ
1
ܾܽ
ሺ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ሻ
ൌ
ܿ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ

Tương tự cho hai bất ñẳng thức còn lại và cộng các bất ñẳng thức vế theo vế ta suy ra
ܾܽ
ܽ
ହ
൅ ܾ
ହ
൅ ܾܽ
൅
ܾܿ
ܾ
ହ
൅ ܿ
ହ

൅ ܾܿ
൅
ܿܽ
ܿ
ହ
൅ ܽ
ହ
൅ ܿܽ
൑
ܽ
ܽ൅ܾ ൅ ܿ
൅
ܾ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
൅
ܿ
ܽ൅ ܾ ൅ ܿ
ൌ1
Phép chứng minh hoàn tất. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1.


BÀI TOÁN 25. Cho các số thực thay ñổi thỏa mãn
ሺ
ݔ൅ ݕ
ሻ
ܿെ
ሺ
ܽ൅ ܾ
ሻ
ݖൌ

√
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của
ܨൌܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
൅ ܿ
ଶ
൅ ݔ
ଶ
൅ ݕ
ଶ
൅ ݖ
ଶ
൅ ܽݔ൅ ܾݕ ൅ ܿݖ
NGHỆ AN
LỜI GIẢI (Vũ Thanh Tùng).
Ta có
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
a b x y x y a b
F a b c x y z x a b y c z c z c z
+ + + + +
= + + + + + + + + + + + ≥ + + + + + +

ðặt
2; 2

a b d x y t
+ = + =
. Khi
ñ
ó
( ) ( ) 3 3
x y c a b z tc dz+ − + = ⇔ − =

Lúc này
2 2 2 2 2 2
2 ( ) ( )
F d t c z d t c z
≥ + + + + + + +
2 2
2 2
( ) ( ) 3
2 2 4
d c c d
F T t z
+
⇔ ≥ = + + + +

Xét h
ệ
t
ọ
a
ñộ

ܱݖݐ

ñ
i
ể
m
, ,
2 2
c d
M
− −
 
 
 

ñườ
ng th
ẳ
ng
: 3 0
dz tc
∆ − + =

V
ớ
i m
ọ
i
ñ
i
ể

m
( ; )A z t
∈∆
thì
2 2
( / )
2 2
3
2 2
M
c d
MA d z t
c d
∆
   
≥ ⇔ + + + ≥
   
+
   

Suy ra
2 2
2 2
3 3( )
3 3
4
c d
F T F
c d
+

≥ ≥ + ≥ ⇒ ≥
+
.
V
ậ
y
minF 3.
=

ðẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra ch
ẳ
ng h
ạ
n nh
ư

1 6
1; 0; ;
2 2
a b c x y z= = = = = − =