Bài tập có lời giải chính xác môn tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (358.83 KB, 49 trang )
LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 2
Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một số
sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản
hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt
BÀI TẬP VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN
Bài 1:
Tính hạng của ma trận:
1)
A
h1(
2)
A
1
2)
A
h2(-2)
3)
A
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4)
A
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5)
2
A
6)
A
h3(
3
h5
7)
A
8)
A
9)
A
10)
4
A
Bài 2:
Biện luận theo tham số
hạng của các ma trận:
1)
A
h1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Vậy :
- Nếu
= 0 thì r(A) = 3
- Nếu
0 thì r(A) = 4
2)
A
5
c1
Vậy:
- Nếu
= 0 thì r(A) = 2
- Nếu
0 thì r(A) = 3
3)
A
h1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Vậy:
- Khi
thì r(A) = 2
- Khi
thì r(A) = 3
4)
A
h1 3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
6
h2
⏐ →⏐ ⏐ ⏐
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
↔
⏐ →⏐ ⏐
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
Vậy :
- Nếu
= 0 thì r(A) = 2
- Nếu
0 thì r(A) = 3
7
BÀI TẬP VỀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
VÀ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN
Bài 1:
Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trân sau:
1)
A
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Ta có:
A I
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2)
A
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Ta có:
A
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− −−
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3)
A
Ta có:
A I
⏐ →⏐ ⏐ ⏐
− −
−
− −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⏐ →⏐ ⏐ ⏐
− −
− − −
− − −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⏐ →⏐ ⏐ ⏐
− −
− − −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⏐ →⏐ ⏐
− −
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⏐ →⏐ ⏐ ⏐
− − −
− −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⏐ →⏐ ⏐
− −
− −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
8
Vậy ma trận A là ma trận khả nghịch và A
-1
=
131
7185
11298
4)
A
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Ta có:
A I
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⏐ →⏐ ⏐
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⏐ →⏐ ⏐ ⏐
− − −
− − −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⏐ →⏐ ⏐
− − −
− − −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
h2(-2)
⏐ →⏐ ⏐ ⏐
− − −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⏐ →⏐ ⏐
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
h3
⏐ →⏐ ⏐ ⏐
− −
− −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⏐ →⏐ ⏐ ⏐
−
−
− −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⇒
−
−
− −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
5)
A
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Ta có:
9
1 2 2
1 2 3
1
2
3
1
3
2 2 3
9
1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0
2 1 2 0 1 0 0 3 6 2 1 0
2 2 1 0 0 1 0 6 3 2 0 1
1 2 2 1 0 0
1 2 2 1 0 0
2 1
0 3 6 2 1 0 0 1 2 0
3 3
0 0 9 2 2 1
2 2 1
0 0 1
9 9 9
h h
h h
h
h
h h
A
3 2 2
3 2 1 2 2 1
5 4 2 1 2 2
1 2 0 1 0 0
9 9 9 9 9 9
2 1 2 2 1 2
0 1 0 0 1 0
9 9 9 9 9 9
2 2 1 2 2 1
0 0 1 0 0 1
9 9 9 9 9 9
h h
h h h h
1
1 2 2
9 9 9
2 1 2
9 9 9
2 2 1
9 9 9
A
Bài 2
Giải các phương trình ma trận sau
1)
1 2 3 5
3 4 5 9
X
Đặt
1 2 3 5
;
3 4 5 9
A B
Ta có:
1
AX B X A B
1
1
2 1
1 2 4 2
1 1
3 1
3 4 3 1
1.4 2.3
2 2
2 1
3 5 1 1
3 1
5 9 2 3
2 2
d b
A
c a
ad bc
X
2)
3 2 1 2
5 4 5 6
X
10
Đặt
3 2 1 2
;
5 4 5 6
A B
Ta có:
1
XA B X BA
1
1
2 1
3 2 4 2
1 1
5 3
5 4 5 3
3.( 4) 5.( 2)
2 2
2 1
1 2 3 2
5 3
5 6 5 4
2 2
d b
A
c a
ad bc
X
3)
1 2 3 1 3 0
3 2 4 10 2 7
2 1 0 10 7 8
X
Giải:
Đặt
1 2 3 1 3 0
3 2 4 ; 10 2 7
2 1 0 10 7 8
A B
Ta có:
1
AX B X A B
Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có:
1
4 3 2
8 6 5
7 5 4
A
Suy ra:
4 3 2 1 3 0 6 4 5
8 6 5 10 2 7 2 1 2
7 5 4 10 7 8 3 3 3
X
4)
5 3 1 8 3 0
1 3 2 5 9 0
5 2 1 2 15 0
X
Đặt
5 3 1 8 3 0
1 3 2 ; 5 9 0
5 2 1 2 15 0
A B
Ta có:
1
XA B X BA
Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có:
11
1
1 1 3
19 19 19
9 10 11
19 19 19
13 25 18
19 19 19
A
Suy ra:
1
1 1 3
19 19 19
8 3 0 1 2 3
9 10 11
5 9 0 4 5 6
19 19 19
2 15 0 7 8 9
13 25 18
19 19 19
X BA A
5)
3 1 5 6 14 16
5 2 7 8 9 10
X
Đặt
3 1 5 6 14 16
; ;
5 2 7 8 9 10
A B C
Ta có:
1 1
AXB C X A CB
1
1
1
1
3 1 2 1
5 2 5 3
4 3
5 6
7 5
7 8
2 2
A
B
Suy ra:
4 3 4 3
2 1 14 16 19 22 1 2
7 5 7 5
5 3 9 10 43 50 3 4
2 2 2 2
X
12
BÀI TẬP VỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1:
Giải các hệ phương trình sau:
1)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7 2 3 15
5 3 2 15
10 11 5 36
x x x
x x x
x x x
Giải:
Ta có:
2( 1) 1 1( 2) 2
2( 2) 3
1 2 1( 2) 2 3
7 2 3 15 2 5 1 0 2 5 1 0
5 3 2 15 5 3 2 15 1 13 0 15
10 11 5 36 0 5 1 6 0 5 1 6
1 13 0 15 1 13 0 15
2 5 1 0 0 31 1 30
0 5 1 6 0 5 1 6
h h h h
h h
h h h h h
A B
(6) 2
2(5) 3
1 13 0 15
0 1 7 6
0 5 1 6
1 13 0 15
0 1 7 6
0 0 36 36
h
h h
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1 2 1
2 3 2
3
3
13 15 2
7 6 1
1
36 36
x x x
x x x
x
x
2)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 10
3 2 2 1
5 4 3 4
x x x
x x x
x x x
Giải:
Ta có:
1( 1) 2
1( 2) 3 1 2
1( 2) 2
1( 1) 2 2 3
2 1 2 10 2 1 2 10 1 1 4 9
3 2 2 1 1 1 4 9 2 1 2 10
5 4 3 4 1 2 7 16 1 2 7 16
1 1 4 9 1 1 4 9
0 1 10 28 0 1 10 28
0 1 3 7 0 0 7 21
h h
h h h h
h h
h h h h
A B
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
13
1 2 3
1
2 3 2
3
3
4 9
1
10 28 2
3
7 21
x x x
x
x x x
x
x
3)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
2 5 4 5
3 4 2 12
x x x
x x x
x x x
Giải:
Ta có:
1( 2) 2 2(2) 3
1( 3) 3
1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3
2 5 4 5 0 1 2 1 0 1 2 1
3 4 2 12 0 2 5 3 0 0 1 1
h h h h
h h
A B
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1 2 3
1
2 3 2
3
3
2 3
2
2 1 1
1
1
x x x
x
x x x
x
x
4)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
5 2 6 5
3 4 7
x x x
x x x
x x x
Giải:
Ta có:
3( 1) 1 1( 1) 2
3( 2) 2 1(3) 3
2( 2) 3 2 3
2 1 3 1 1 2 1 6 1 2 1 6
5 2 6 5 1 4 2 9 0 2 1 3
3 1 4 7 3 1 4 7 0 5 1 11
1 2 1 6 1 2 1 6
0 2 1 3 0 1 3 5
0 1 3 5 0 2 1 3
h h h h
h h h h
h h h h
A B
2( 2) 3
1 2 1 6
0 1 3 5
0 0 7 7
h h
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1 2 3
1
2 3 2
3
3
2 6
3
3 5 2
1
7 7
x x x
x
x x x
x
x
5)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 8
3 2 4 15
5 4 1
x x x
x x x
x x x
14
Giải:
Ta có:
2( 1) 1 1(3) 2
2( 2) 3 1( 1) 3
2 3
2 1 2 8 1 1 2 7 1 1 2 7
3 2 4 15 3 2 4 15 0 1 2 6
5 4 1 1 1 0 7 29 0 1 5 22
1 1 2 7
0 1 2 6
0 0 7 28
h h h h
h h h h
h h
A B
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1 2 3
1
2 3 2
3
3
2 7
1
2 6 2
4
7 28
x x x
x
x x x
x
x
6)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
2 5 8 4
3 8 13 7
x x x
x x x
x x x
Giải:
Ta có:
1( 2) 2 2( 2) 3
1( 3) 3
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1
2 5 8 4 0 1 2 2 0 1 2 2
3 8 13 7 0 2 4 4 0 0 0 0
h h h h
h h
A B
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1 3
1
1 2 3
2 3 2
2 3
3
3
3
3
2 3 1
2 2 2 2
2 2
ý
x x
x t
x x x
x x x t t R
x x
x t
x
tuøy
Bài 2:
Giải các hệ phương trình sau:
1)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 4
4 3 2 6
8 5 3 4 12
3 3 2 2 6
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Giải:
Ta có:
15
h1 2 h2
h1 4 h3
3
h1 h4
2
h2( 3) h3 h3( 1/4) h4
2 2 1 1 4 2 2 1 1 4
4 3 1 2 6 0 1 1 0 2
8 5 3 4 12 0 3 1 0 4
3 3 2 2 6 0 0 1/ 2 1/ 2 0
2 2 1 1 4 2 2 1 1 4
0 1 1 0 2 0 1 1 0 2
0 0 2 0 2 0
0 0 1/ 2 1/ 2 0
A B
0 2 0 2
0 0 0 1/ 2 1/ 2
Khi đó (1)
1 2 3 4
2 3
3
4
2 2 4 1
2 2
2 2 3
1 1
4
2 2
x x x x
x x
x
x
Từ (4)
4
1x
Thế
4
1x
vào (3)
3
1x
Thế x
3
vào (2) ta được:
2
1x
Thế x
3,
x
2,
x
4
vào (1) ta được:
1
1x
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
1
2
3
4
1
1
1
1
x
x
x
x
hay (1, 1, -1, -1)
2)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 11 5 2
5 2 1
2 3 2 3
3 4 3
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Giải:
Ta có:
h1 h2
2 3 11 5 2 1 1 5 2 1
1 1 5 2 1 2 3 11 5 2
/
2 1 3 2 3 2 1 3 2 3
1 1 3 4 3 1 1 3 4 3
A B
16
h1 2 h2
h1 2 h3
h1 1 h4
h2 h3 h3 h4
h3(-3) h4
1 1 5 2 1 1 1 5 2 1 1 1 5 2 1
0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
0 1 7 2 5 0 0 6 1 5 0 0 2 2 4
0 0 2 2 4 0 0 2 2 4 0 0 6 1 5
1 1 5 2 1
0 1 1 1 0
0 0 2 2 4
0 0 0 7 7
Suy ra: (2)
1 2 3 4
2 3 4
3 4
4
5 2 1 (1)
0 (2)
2 2 4 (3)
7 7 (4)
x x x x
x x x
x x
x
Từ (4)
4
1x
Thế
4
1x
vào (3)
3
1x
Thế x
3
, x
4
vào (2) ta được:
2
0x
Thế x
3,
x
2,
x
4
vào (1) ta được:
1
2x
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
1x
1x
0x
2x
4
3
2
1
hay (-2, 0, 1, -1)
3)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 7 3 6
3 5 2 2 4
9 4 7 2
x x x x
x x x x
x x x x
h2(-1) h1
2 7 3 1 6 1 2 1 1 2
/ 3 5 2 2 4 3 5 2 2 4
9 4 1 7 2 9 4 1 7 2
A B
h1(3)+h2
h1(3)+h3
h2(-2) h3
1 2 1 1 2 1 2 1 1 2
0 11 5 1 10 0 11 5 1 10
0 22 10 2 20 0 0 0 0 0
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình:
17
1 2 3 4
2 3 4
4 2 3
1 2 3 2 3 1 2 3
2 2 (1)
11 5 10 (2)
(2) : 11 5 10
(1) 2 11 5 10 2 9 4 8
x x x x
x x x
x x x
x x x x x x x x
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
1 2 3
2
2
4 2 3
9 4 8
11 5 10
x x x
x
x
x x x
tuøy yù
tuøy yù
hay
1
2
3
4
-9 - 4 8
,
11 5 10
x t s
x t
t s R
x s
x t s
4)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 5 2 4 2
7 4 3 5
5 7 4 6 3
x x x x
x x x x
x x x x
Ta có:
h1(-2) h2
1 3 2
1 5 3
1 2
2 1 3
3 5 2 4 2 3 5 2 4 2
/ 7 4 1 3 5 1 6 3 5 1
5 7 4 6 3 5 7 4 6 3
1 6 3 5 1 1 6 3 5 1
3 5 2 4 2 0 23 11 19 1
5 7 4 6 3 0 23 11 19 2
1 6 3 5 1
0 23 11 19 1
h h
h h
h h
h h
A B
0 0 0 0 1
Suy ra: (4)
1 2 3 4
2 3 4
6 3 5 0
23 11 19 1
0 1
x x x x
x x x
hệ vô nghiệm
5)
1 2 3 4
1 2 4
1 3 4
1 2 3 4
2 1
2 3 2
3 3
3 2 2 5 6
x x x x
x x x
x x x
x x x x
18
2( 1) 3
2( 1) 4
2( 1) 1
1 3 1( 2) 2
2 1 1 1 1 0 0 1 2 1
2 1 0 3 2 2 1 0 3 2
3 0 1 1 3 1 1 1 4 5
3 2 2 5 6 0 3 2 8 8
1 1 1 4 5 1 1 1 4
2 1 0 3 2 0 3 2 11
0 0 1 2 1 0 0 1 2
0 3 2 8 8 0 3
h h
h h
h h
h h h h
A B
2 4
5
12
1
2 8 8
1 1 1 4 5
0 3 2 11 12
0 0 1 2 1
0 0 0 3 4
h h
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
1
1 2 3 4
2
2 3 4
3
3 4
4
4
0
4 5
2
3 2 11 12
5 4
5
0,2, ,
2 1
3 3
3
4
3 4
3
x
x x x x
x
x x x
hay
x
x x
x
x
6)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 11
2 3 4 12
3 4 2 13
4 2 3 14
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Giaỷi
1( 2) 2
1( 3) 3
1( 4) 4
2( 2) 3 3 4
2( 7) 4
1 2 3 4 11 1 2 3 4 11
2 3 4 1 12 0 1 2 7 10
3 4 1 2 13 0 2 8 10 20
4 1 2 3 14 0 7 10 13 30
1 2 3 4 11
0 1 2 7 10
0 0 4 4 0
0 0 4 36 40
h h
h h
h h
h h h h
h h
A B
1 2 3 4 11
0 1 2 7 10
0 0 4 4 0
0 0 0 40 40
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
19
1 2 3 4
1
2 3 4 2
3
3 4
4
4
2 3 4 11
2
2 7 10 1
2,1,1,1
1
4 4 0
1
40 40
x x x x
x
x x x x
hay
x
x x
x
x
7)
1 2 3 4
2 3 4
1 2 4
2 3 4
2 3 4 4
+ 3
3 3 1
7 3 3
x x x x
x x x
x x x
x x x
Giải
1( 1) 3
2( 5) 3 3(2) 4
2(7) 4
1 2 3 4 4 1 2 3 4 4
0 1 1 1 3 0 1 1 1 3
1 3 0 3 1 0 5 3 1 3
0 7 3 1 3 0 7 3 1 3
1 2 3 4 4 1 2 3 4 4
0 1 1 1 3 0 1 1 1
0 0 2 4 12 0 0 2 4
0 0 4 8 24 0 0 0 0
h h
h h h h
h h
A B
3
12
0
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1 1
1 2 3 4
2 4 2
2 3 4
3 4 3
3 4
4 4
8 8
2 3 4 4
3 3
3
2 6 2 6
2 4 12
x x
x x x x
x x x t
x x x t R
x x x t
x x
x x t
tùy ý
8)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4 2 3
6 8 2 5 7
9 12 3 10 13
x x x x
x x x x
x x x x
Giải
1( 2) 2 2( 4) 3
1( 3) 3
3 4 1 2 3 3 4 1 2 3 3 4 1 2 3
6 8 2 5 7 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
9 12 3 10 13 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0
h h h h
h h
A B
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
20
1
3 1 2
1 2 3 4 2
4
3
4
1 2
4
1 3 4
1 3 4
3 4 2 3
1 ,
1
1
x t s
x x x
x x x x x t
x t s R
x s
x
x
x
,x tùy ý
9)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
9 3 5 6 4
6 2 3 4 5
3 3 14 8
x x x x
x x x x
x x x x
Giải
3 1 1( 2) 2
1( 3) 3
1
2
3 4
3
1
3
4
9 3 5 6 4 3 1 3 14 8 3 1 3 14 8
6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 0 0 3 24 21
3 1 3 14 8 9 3 5 6 4 0 0 4 36 28
3 1 3 14 8 3 1 3
0 0 1 8 7
0 0 1 9 7
h h h h
h h
h
h h
h
A B
14 8
0 0 1 8 7
0 0 0 1 0
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
1 2 1
1 2 3 4
2 2
3 4
3 3
4
4 4
1 13 1 13
3 3 14 8
3 3 3 3
8 7
7 7
0
0 0
x x x t
x x x x
x t
x x t R
x x
x
x x
x tùy ý
10)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
3 2 5 3
2 3 5 3
2 4 3
4 9 22
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
Giải
1 3
1( 2) 2
1( 3) 3 3( 1) 2
1( 1) 4 3( 1) 4
3 2 5 1 3 1 2 0 4 3
2 3 1 5 3 2 3 1 5 3
1 2 0 4 3 3 2 5 1 3
1 1 4 9 22 1 1 4 9 22
1 2 0 4 3 1
0 7 1 13 3
0 8 5 13 12
0 3 4 13 25
h h
h h
h h h h
h h h h
A B
2 0 4 3
0 1 6 0 9
0 8 5 13 12
0 5 1 0 13
21
1
4 3
2(8) 3
29
2( 5) 4
1 2 0 4 3 1 2 0 4 3
0 1 6 0 9 0 1 6 0 9
0 0 43 13 60 0 0 1 0 2
0 0 29 0 58 0 0 43 13 60
h h
h h
h h
3(43) 4
1 2 0 4 3
0 1 6 0 9
0 0 1 0 2
0 0 0 13 26
h h
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
1 2 4 1
2 3
2
33
44
2 4 3 1
6 9
3
22
213 26
x x x x
x x
x
xx
xx
11)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
6 4 6
3 6 4 2
2 3 9 2 6
3 2 3 7
x x x x
x x x x
x x x x
x x x mx
Giaỷi
1( 3) 2
1( 2) 3
1( 3) 4
1
2
2 3
4
2( 1) 4
1 1 6 4 6 1 1 6 4 6
3 1 6 4 2 0 4 12 8 16
2 3 9 2 6 0 1 21 10 6
3 2 3 8 7 0 1 21 20 25
1 1 6 4 6
0 1 3 2 4
0 1 21 10 6
0 1 21 20 25
h h
h h
h h
h
h h
h h
A B
1 1
4 3
3( 2) 4
3 2
1 1 6 4 6
0 1 3 2 4
0 0 24 12 10
0 0 18 18 21
1 1 6 4 6 1 1 6 4 6
0 1 3 2 4 0 1 3 2 4
0 0 6 6 7 0 0 6 6 7
0 0 12 6 5 0 0 0 6 9
h h
h h
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
22
1
1 2 3 4
2
2 3 4
3
3 4
4
4
0
6 4 3
2
3 2 4
1
6 6 7
3
3
6 9
2
x
x x x x
x
x x x
x
x x
x
x
12)
1 2 3 4
1 2 4
1 3 4
1 2 3 4
2 1
2 3 2
3 3
2 2 2 5 6
x x x x
x x x
x x x
x x x x
Giaỷi
1
1( 1) 2
1( 1) 3
1( 1) 4
2 2
1 3
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
2 1 0 3 2 0 0 1 2 1
3 0 1 1 3 1 1 2 2 4
2 2 2 5 6 0 3 3 6 7
1 1 2 2 4 1 1 2 2
0 0 1 2 1 0 0 1 2
2 1 1 1 1 0 3 5 5
0 3 3 6 7 0
h h
h h
h h
h h
h h
A B
3 4 2 3
3 2 4
4
1
9
3 3 6 7
1 1 2 2 4 1 1 2 2 4
0 0 1 2 1 0 3 5 5 9
0 3 5 5 9 0 0 1 2 1
0 0 2 1 2 0 0 2 1 2
1 1 2 2 4
0 3 5 5 9
0 0 1 2 1
0 0 0 3 4
h h h h
h h
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
1
1 2 3 4
2
2 3 4
3
3 4
4
4
0
2 2 4
2
3 5 5 9
5
2 1
3
4
3 4
3
x
x x x x
x
x x x
x
x x
x
x
23
13)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 5 3 2 12
4 2 5 3 27
7 8 5 40
6 4 5 3 41
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Giaỷi
1( 1) 2
1( 2) 3
1( 2) 4
1 3 1( 1) 2
1( 3) 3
3 5 3 2 12 3 5 3 2 12
4 2 5 3 27 1 7 8 1 15
7 8 1 5 40 1 2 5 1 16
6 4 5 3 41 0 6 11 117
1 2 5 1 16 1 2 5
1 7 8 1 15
3 5 3 2 12
0 6 11 117
h h
h h
h h
h h h h
h h
A B
2(2) 3 2 4
2( 1) 4
2 3
2( 5) 4
1 16
0 5 3 0 1
0 11 18 1 36
0 6 11 1 17
1 2 5 1 16 1 2 5 1 16
0 5 3 0 1 0 1 8 1 18
0 1 12 1 38 0 1 12 1 38
0 1 8 1 18 0 5 3 0 1
1 2 5 1
0 1 8 1
0 0
h h h h
h h
h h
h h
1
3
2
3 18 4
3 4
16 1 2 5 1 16
18 0 1 8 1 18
4 2 20 0 0 2 1 10
0 0 37 5 91 0 0 37 5 91
1 2 5 1 16 1 2 5 1 16
0 1 8 1 18 0 1 8 1 18
0 0 2 1 10 0 0 1 23 89
0 0 1 23 89 0 0 2 1 10
h
h h
h h
h
3(2) 4
1 2 5 1 16
0 1 8 1 18
0 0 1 23 89
0 0 0 47 188
h
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
1 2 3 4
1
2 3 4 2
3
3 4
4
4
2 5 16
1
8 18 2
3
23 89
4
47 188
x x x x
x
x x x x
x
x x
x
x
24
14)
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3
2 3
4 4 5 5 0
2 3 10
5 10
3 2 1
x x x x
x x x
x x x
x x
Giaỷi
Ta coự:
1 3
1( 2) 2 4 2
1( 4) 3
4 4 5 5 0 1 1 5 0 10
2 0 3 1 10 2 0 3 1 10
1 1 5 0 10 4 4 5 5 0
0 3 2 0 1 0 3 2 0 1
1 1 5 0 10 1 1 5 0 10
0 2 13 1 30 0 1 15 1 31
0 0 25 5 40 0 0 25 5 40
0 3 2 0 1 0 3 2 0 1
h h
h h h h
h h
A B
1
3
2( 3) 4
5
1
4 3
3(9) 4
2
1 1 5 0 10 1 1 5 0 10
0 1 15 1 31 0 1 15 1 31
0 0 25 5 40 0 0 5 1 8
0 0 43 3 92 0 0 43 3 92
1 1 5 0 10 1
0 1 15 1 31
0 0 5 1 8
0 0 2 12 20
h
h h
h h
h h
3( 5) 4
1 5 0 10
0 1 15 1 31
0 0 1 6 10
0 0 5 1 8
1 1 5 0 10
0 1 15 1 31
0 0 1 6 10
0 0 0 29 58
h h
Heọ phửụng trỡnh ủaừ cho tửụng ủửụng vụựi heọ phửụng trỡnh:
1 2 3
1
2 3 4 2
3
3 4
4
4
5 10
1
15 31 1
2
6 10
2
29 58
x x x
x
x x x x
x
x x
x
x
25
