Các bài toán hình không gian giải bằng phương pháp Véc to

Luyện thi đại học Thầy giáo: Đồng Thái Lâm
CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ
Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD , E và F lần lượt là trung điểm của cạnh AC và BD, O là trung
điểm của EF.
1. Chứng minh :

OA OB OC OD 0+++ =
JJJG JJJG JJJG JJJG G
2. Gọi G
1
là trọng tâm tam giác BCD chứng minh AG
1
qua O, từ đó chứng minh bốn đoạn
thẳng nối từ đỉnh của tứ diện với trọng tâm của các mặt đối diện đồng quy tại O.
3. CM ba đoạn thẳng nối các cặp trung điểm của các cặp cạnh đối của tứ diện cũng đồng quy
tại O.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác . Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, CD, G
và G
1
lần lượt là trọng tâm c đáy và mủa ặt bên SCD.
1. Xác định điểm I sao cho
IA

IB IC ID IS 0+++ +=
JJG JJGJJGJJGJJGG
2. Chứng minh SG và MG
1
qua I, từ đó chứng minh rằng đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trọng
tâm của đáy cùng với bốn đoạn thẳng nối trung điểm của một cạnh đáy với trọng tâm mặt đối

diện thì đồng quy tại I.
3. E là trung điểm SA, đường thẳng EI cắt mặt phẳng đáy tại F, chứng minh F là trọng tâm
của tam giác BCD.

Bài 3: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, trung đoạn là 2a.
1. Chứng minh rằng với O là tâm u n tiếp nh BCD thì hình cầ ội hì chóp S.A
OA OB OC OD OS 0
+
+++=
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGG

2. Chứng minh rằng tám đoạn thẳng nối trung điểm của một cạnh với trọng tâm của tam giác
tạo bởi ba đỉnh còn lại thì đồng quy tại O (Trung điểm I của BC và trọng tâm ∆SAD…)
3. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
a
MA MB MC MD MS 15
2
+++ + =
JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG

4. Tìm tập hợp các điểm N sao cho
2
222 22
33a
NA +NB +NC +ND +NS
4
=

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', E và F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ∆BDA' và
∆CB'D'.

1. Chứng minh rằng bốn đường chéo của hình hộp đồng quy tại O và O là trung điểm của mỗi
đường.
2. Chứng minh E và F đối xứng qua O.
3. Chứng minh E, F là giao điểm của đường chéo AC' với các mặt phẳng (BDA'), (CB'D') và
AE = EF = FC'.
4. Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương cạnh a , M là điểm di động trong không gian sao
cho :
MA MB MC MD MA' MB' MC' MD' k+++ + + + + =
JJJJGJJJGJJJGJJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG

Hãy xác định k để tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm O tiếp xúc với các cạnh của hình lập
phương.
5. Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật đường chéo là 6d, tìm tập hợp các điểm N sao
cho : NB
2
+ NC
2
+ ND
2
+ NA'
2
+ NB'
2
+ NC'
2
+ ND'
2
- 7NA
2
= 72d

2

Bài 5: Cho hình chóp SABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F. Gọi
trung điểm các đoạn AD, BC, EF lần lượt là I, J, K . Gọi G, G
1
, là trọng tâm của ∆ABC và
∆DEF. Gọi N là trung điểm của IK, T là trung điểm của JK.
1. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng GG
, IT , JN đồng quy tại O
1
2. Chứng minh rằng :

SA SB SC SD SE SF 6SO+++ ++=
JJJGJJGJJGJJJGJJGJJG JJJG
3. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : MA 2MB 2MC MD 2ME 2MF k
+
++++ =
J
JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG