bai tap hay ve so phuc

BÀI TẬP SỐ PHỨC
TÓM TẮC LÝ THUYẾT
1.Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d
Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì
z
= a – bi
2.Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| =
3.Các phép toán với số phức
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
2121
zzzz ±=±
(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ;
21
z.z
=
1
z
.
2
z
; z.
z
= |z|
2
= ; = z
1
.
2
1
2
1

z
z
z
z
=








4.Căn bậc hai của một số phức:
Cho số phức z = a + bi
*nếu b ≥ 0 thì = ±
*nếu b < 0 thì = ±
4.Dạng lượng giác của số phức
*Cho z = a + bi thì môđun r và argument ϕ được tính bởi công thức sau:
r = ; cosϕ = ; sinϕ =
* Cho z = a + bi thì có thể viết z = r(cosϕ + i.sinϕ)
5.Công thức MOAVRƠ
Cho hai số phức z
1
= r
1
(cosϕ
1
+ i.sinϕ
1

) và z
2
= r
2
(cosϕ
2
+ i.sinϕ
2
)
khi đó: z
1
.z
2
= r
1
.r
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i.sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)]
= [cos(– ϕ) + i.sin(– ϕ)]
= [cos(ϕ
1
– ϕ

2
) + i.sin(ϕ
1
– ϕ
2
)]
Công thức MOAVRƠ:
Cho z = r(cosϕ + i.sinϕ) thì z
n
= r
n
(cosnϕ + i.sinnϕ)
căn bậc n của z có n giá trị là n số phức được xác định như sau:
z
k
= (cos+ i.sin) với k = 0,1,….n – 1
BÀI TẬP
1.Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 – 5i) + (2 + 4i) b) (11 – 6i) – (2 – 4i) c) (2 – 4i)(3 + i)
d) – 2i(3 – 8i) e) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i)
f) g) h) g) +
h) g) + 4 – 3i
2.Tính các biểu thức sau:
a) i
15
,i
30
,i
37
,i

28
. Từ đó suy ra cách tính i
n
với n ∈ N
b) (1 + i)
2
,(1 + i)
3
,(1 + i)
4
,(1 + i)
5
, (1 + i)
2006
, (1 – i)
2006

c) ()
33
+ (1 – i)
10
+ (2 + 3i)(2 – 3i) +
e) (– 4i)
f)
4.Giải các phương trình sau:
a) (3 + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i) b) 2ix + 3 = 5x + 4
c) 3x(2 – i) + 1 = 2ix(1 + i) + 3i d) x =
e) [(2 – i) + 3 + i](iz + ) = 0 f) x + 2 = 2 – 4i
4.a)Chứng minh rằng số phức z là số thực ⇔ z =
b)không thực hiện các phép tính,hãy giải thích vì sao các số phức sau là số

thực: + và –
3.Giải các phương trình sau trong C:
a) z
2
+ |z| = 0 b) z
2
+ = 0 c) z
2
+
2
= 0
b) 2ix
2
– 3x + 4 + i = 0
c) x
2
– x + 3 = 0
d) x
6
– 9x
3
+ 8 = 0
e) x
2
+ 2(1 + i)x – (3 + 2i) = 0
f) 2x
2
+ 3x + 5 = 0
g) x
2

– (2 + i)x + (7i – 1) = 0
h) x
2
+ (3 – 2i)x + (5 – 5i) = 0
i) x
4
– 3x
2
+ 4 = 0
j) x
3
– 2(1 + i)x
2
+ 3ix + 1 – i = 0
k) z
2
+ ( – 1 – i)z – (1 + i) = 0
l) z
4
– 8(1 – i)z
2
+ 63 – 16i = 0
m) z
4
– 24(1 – i)z
2
+ 308 – 144i = 0
n)z
4
– z

3
+ + z + 1 = 0 o)z
3
+ + – = 0
p) 8z
4
+ 8z
3
– z – 1 = 0 p)
1
iz
iz
4
=






−
+
3.a) Cho z = Tính |z|
b) Tìm số phức z sao cho z
2
=
4.Tính z = và tìm căn bậc 5 của – i
5.Cho z
1
, z

2
là hai nghiệm của phương trình : x
2
+ (2 – i)x + 3 + 5i = 0
Không giải phương trình ,hãy tính:
a) z
1
2
+ z
2
2
b) z
1
4
+ z
2
4
c) d) z
1
4
z
2
+ z
2
4
z
1
6.Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a) 8 + 6i b) – 1 + 2i c) 16 – 30i d) i e) 1 – i
7.Tính các giá trị của các căn thức sau trong C

a) b) c) d)
7.Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) – 1 + i b) – 1 – i c) 1 – i d) 1 e) 8i f) 3+ 4i g) 1 + i
h) 4 – 4i i) – 125i
8.Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) (cos– i.sin) b)– (cos+ i.sin) c)3(– cos+ i.sin)
d) – cos+ i.sin e) 2(sin+ i.cos) f) – sin– i.cos)g) sinϕ + 2i.sin
2

h) cosϕ + i(1+ sinϕ) i) ( – i)
100
j) []
6
k) l) ()
20
m)
9.Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a) (1 – i)
6
.( + i)
8
b) (cos – i.sin).i
5
.(1 + i)
6

c) d) e) z
2006
+ biết z + = 1
10.Cho số phức z có mođun bằng 1,biết một acgumen của z là ϕ

Hãy tìm một acgumen của số phức sau:
a) 2z
2
b) – c) d) – z
2
.
e) z + f) z
2
+ z g) z
2
– z h) z
2
+
11. Tìm số nguyên n để cácsố phức sau là số thực hoặc số ảo:
a)
n
i33
i33








−
−
b)
n

i34
i7






−
+
12.Giải hệ phương trình sau:
a)





−=−
=−
1ziz
zi2z
b)



−=+
+=+
i25zz
i4zz
2

2
2
1
21
13.a)Tìm các số thực a, b sao cho:
z
4
– 4z
2
– 16z – 16 = (z
2
– 2z – 4)(z
2
+ az + b) , ∀ z ∈C
b) Giải phương trình : z
4
– 4z
2
– 16z – 16 = 0
14.Tìm số nguyên dương n sao cho
n
i33
i.33









−
−
a) là một số thực b) là một số ảo
15.Cho z = cosϕ + sinϕ
a) Hãy tìm z
n
+
n
; z
n
–
n
n ∈Z
+
b)Dùng các khai triển của (z + )
3
và

(z – )
3
để tìm sin3ϕ và cos3ϕ theo sinϕ
và cosϕ
c)Tìm các biểu diễn của sin4ϕ , cos4ϕ , sin5ϕ , cos5ϕ theo sinϕ và cosϕ
16.a) Cho z = cosϕ + sinϕ, chứng minh rằng ∀ n ∈Z
+
ta có:
z
n
+ = 2cosnϕ z

n
– = 2isinnϕ
b)Chứng minh rằng: cos
4
ϕ = (cos4ϕ + 4cos2ϕ + 3)
sin
5
ϕ = (sin5ϕ – 5sin3ϕ + 10sinϕ)
17.Tính các tổng sau:
a) f(x) = 1 + cosx + cos2x + … + cosnx n ∈ Z
b) f(x) = sinx + sin2x + sin3x + … + sinnx
c) f(x) = cosx + cos3x + cos5x + … + cos(2n – 1)x
d) f(x) = sinx + sin3x + sin5x + … + sin(2n – 1)x
e) f(x) = cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + … + cos
2
nx
f) f(x) = sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x + … + sin
2

nx