Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 1

Chương 3:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT)
Ta đã biết một phương pháp sơ cấp để giải hệ pttt (pp Gauss).
Chương này sẽ đưa thêm một phương pháp khác để khảo sát hệ
pttt một cách tổng quát hơn nhờ vào công cụ ma trận và định thức.
Các vấn đề định tính và định lượng, chẳng hạn: Khi nào hệ có
nghiệm? Có bao nhiêu nghiệm? Mô tả tập hợp nghiệm? Tìm
nghiệm? Sẽ được giải đáp trong chương quan trọng này.
Tât nhiên trong thực hành ta có thể kết hợp nhiều phương pháp để
cho kết quả nhanh chóng và gọn gàng nhất!!
Trước tiên ta xét hai phương pháp là phương pháp ma trận và
phương pháp định thức để giải một loại hệ đặc biệt là: Hệ Cramer
§ 1: Phương pháp ma trận và định thức
1. Hệ Cramer:
Định nghĩa: Hệ Cramer là hệ pttt thỏa mãn 2 điều kiện:

Số phương trình bằng số ẩn.

Ma trận hệ số không suy biến ()
Ví dụ: Hãy cho biết hệ sau có là hệ Cramer?

Giải:

Hiển nhiên: số PT = số ẩn ()
Vậy hệ đã cho là hệ Cramer.

2. Phương pháp ma trận.
Một hệ pttt luôn viết được dưới dạng ma trận: AX = B (1)
Nếu hệ (1) là hệ Cramer thì . Từ đó,


Như vậy, Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất:
Phương pháp giải hệ nhờ công thức trên được gọi là phương pháp
ma trận
Ví dụ: Giải hệ sau bằng phương pháp ma trận (phương pháp ma trận
nghịch đảo):

Giải:

Hệ trên là hệ Cramer nên nó có nghiệm duy nhất:


Vậy nghiệm duy nhất là:
3. Phương pháp định thức
(Quy tắc Cramer)

GABRIEL CRAMER
( 1704 – 1752)
Gabriel Cramer sinh ngày 31/7/1704 tại Geneva, Thụy Sĩ mất 4/1/1752
ở Bangnols-sur-ceze Pháp, Gabriel có rất nhiều cố gắng trong việc
học tập.
Năm 1722, khi mới 18 tuổi ông đã đạt được học vị tiến sĩ cho luận án
dựa trên lý thuyết của âm thanh. Cramer nổi tiếng là một người biên
soạn thiên tài. Cuốn sách nổi tiếng nhất của ông là “ Introduction à
l’analyse des lignes courbes algébraique”, trong đó có qui tắc
Cramer nổi tiếng.
Định lý sau đây còn gọi là Quy tắc Cramer:
Định lý: Hệ Cramer n ẩn số luôn có nghiệm duy nhất xác định bởi
công thức:

Trong đó, , A - ma trận hệ số


Chứng minh:
Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất:

Các cột còn lại
giống hệt của d
Cột thứ j


Chính là

Ví dụ: Giải hệ sau bằng quy tắc Cramer
Giải:


Hệ trên là hệ Cramer nên nó có nghiệm duy nhất:

Cột số hạng
tự do
Vậy nghiệm duy nhất là:





Ví dụ: Tìm m để hệ sau đây là hệ Cramer, khi đó hãy giải hệ bằng
quy tắc Cramer.
Giải:



Hệ đã cho là hệ Cramer

Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất:

Vậy nghiệm duy nhất là:
………….21 ………….
