bài giảng điện tử toán kinh tế hệ phương trình tuyến tính

07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
1
C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
ξ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính:
1. Định nghĩa: Đó là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm
m phương trình n ẩn có dạng:







=++
=++
=++
mnmn2
2m
1
1m
2n
n2
2
22
1
21
1n
n1
2

12
1
11
bxa xaxa

bxa xaxa
bxa xaxa
x
j
là biến,
a
ij
được gọi là hệ số (của
ẩn)
b
i
: được gọi là hệ số tự
do
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
2
ξ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2. Ma trận các hệ số của phương trình:













=
mn2m1m
n22221
n11211
a aa

a aa
a aa
A
3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:
[ ]
T
n21
n
2
1
x xx
x

x
x
X
=













=
[ ]
T
m21
m
2
1
b bb
b

b
b
B
=













=
Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
3
ξ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4. Ma trận bổ sung:












=
m
2
1
mn2m1m

n22221
n11211
b

b
b
a aa

a aa
a aa
A
1.2. Nghiệm:
•
Một nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số thực (c
1
,c
2
,…c
n
) thoả
hệ phương trình (1).
•
Hệ phương trình (1) được gọi là tương thích nếu có ít nhất một nghiệm, và
được gọi là không tương thích (hệ vô nghiệm) nếu nó không có nghiệm.
•
Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương, nếu các tập hợp
nghiệm của chúng là trùng nhau.
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
4

ξ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.3. Điều kiện tồn tại nghiệm:
•
Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình
tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A
bằng hạng của ma trận bổ sung .
1.4. Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm:





=++
=++
=++
1axxx
1xaxx
1xxax
321
321
321
)2a()1a(2a3a
a11
1a1
11a
A
23
+−=+−==
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h

5
ξ2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương
trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận
hệ số khác không.
2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy
nhất tính bằng công thức X = A
-1
B, tức là:
)Adet(
)Adet(
x
j
j
=
Trong đó A
j
là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j
bằng cột các phần tử tự do.
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
6
ξ2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
2.3. Ví dụ: Giải hệ phương trình:





=+−−

=++−
=+
8x3x2x
30x6x4x3
6x2x
321
321
31
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
7
ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.1. Định nghĩa:
Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn
khác nhau hoặc ma trận các hệ số bằng không.
Ta thực hiện các phép toán trên hàng đối với ma trận bổ
sung của hệ phương trình (1) và đưa ma trận này về dạng ma
trận bậc thang.













=
m
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
b
b
a aa

a aa
a aa
A
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
8
ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.2.Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:





=++
−=−+
=++
7x7x11x4
2x2xx3

4x3x4x2
321
321
321
3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
3.3.1. Định nghĩa:







=++
=++
=++
0xa xaxa

0xa xaxa
0xa xaxa
nmn2
2m
1
1m
n
n2
2
22
1
21

n
n1
2
12
1
11
[ ]
T
0 00
0

0
0
X =












=
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
9

ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
3.3.1. Định nghĩa:







=++
=++
=++
0xa xaxa

0xa xaxa
0xa xaxa
nmn2
2m
1
1m
n
n2
2
22
1
21
n
n1
2

12
1
11
[ ]
T
0 00
0

0
0
X =












=
Hệ luôn có nghiệm tầm thường
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
10
ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.3.2. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính thuần

nhất:
Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có nghiệm
tầm thường.
Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k tham số.
3.3.3. Ví dụ:







=−++
=+−+
=−++
=−++
0x19x24x8x3
0x3x2x5x4
0x4x6x5x3
0x3x4x2x
4321
3321
4321
4321
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
11
ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS













−
−−
−−
−
 →












−
−

−
−
+−
+−
+−
101220
151830
5610
3421
192483
3254
4653
3421
41
31
21
HH3
HH4
HH3













−
−
 →
+
+−
+
−
0000
0000
5610
7801
42
32
12
2
HH2
HH3
HH2
H
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
12
ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS



−++
=+−
=

0x5x6x
0x7x8x
432
431



+−=
−=
432
431
x5x6x
x7x8x
RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm
phụ thuộc vào 2 tham số X
1
, X
2
.
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
13
ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.3.4. Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất: Giả sử rankA = k < n. Ta có hệ có vô số nghiệm
phụ thuộc n-k tham số. Giả sử n-k tham số đó là x
k+1
, … x
n.
x

1
x
2
x
k
x
k+1
x
k+2
… x
n
c
11
c
12
… c
1k
1 0 0
c
11
c
12
… c
1k
0 1 0

c
n-k,1
c
n-k,2

… c
n-k,k
0 0 1
Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất.
07/25/14 Hệ phương trình tuyến tín
h
14
ξ3 PHƯƠNG PHÁP GAUSS
Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm cơ bản
như sau:
x
1
= 8x
3
– 7x
4
x
2
= -6x
3
+ 5x
4
x
3
x
4
8 -6 1 0
-7 5 0 1