de thi chon doi tuyen toan 11 THPT duc tho

Bài 1. (4 điểm)
Cho phương trình
os
os
π π
+
   
= − +
 ÷  ÷
   
4 4
2011 2011
4
sin 2 2
tan tan
4 4 4
x c x
x x
c x
(1)
1. Giải phương trình (1).
2. Tính tổng các nghiệm của phương trình (1) trên đoạn [1;2010]
Bài 2. (4điểm)
1. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội
1
2
.
Chứng minh rằng
= +
1 1 1
AB BC CA

.
2. Cho tam giác nhọn ABC thoả mãn hệ thức:
3 3 3
tan tan tan
1
tan tan tan
A B C
B C A
+ + =
.
Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 3. (4 điểm)
1. Cho dãy
( )
n
u
với
*
n N∈
và
(1). (3) (2 1)
, 1;2;3;
(2). (4) (2 )
n
f f f n
u n
f f f n
−
= =

Trong đó : f(n) = (n
2
+ n + 1)
2
+ 1. Chứng minh rằng :
2
lim
2
n
n u =
2. Tính giới hạn sau :
2
2
1
2 1 5 4 2
lim
1
x
x x x
I
x
→
− + − −
=
−
Bài 4. ( 4 điểm)
1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tùy ý trên cạnh
AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q.
Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết
diện trong trường hợp đó.

2. Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian sao cho
2 2 2 2
MA MB MC MD+ + +
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 5. (2 điểm)
Giả sử
, 0x y >
, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3
2 2
7 ( )x y xy x y
A
xy x y
+ + +
=
+

Hết
SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 11
Thời gian làm bài: 180 phút
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
Câu Nội dung Điểm
I
4.0đ
1
3.0đ

Điều kiện:
8 4
4 2
x k
x k
π π
π π

≠ +




≠ +


(1)
os
os
4 4
4
sin 2 2
1
4
x c x
c x
+
=
os os
4 4 4

4 2
2
sin 2 2 4
2sin 4 3sin 4 0
sin 4 0
3
sin 4
2
sin 4 0
4
4
x c x c x
x x
x
x
x
x k
x k
π
π
⇔ + =
⇔ − =

=

⇔

=



⇔ =
⇔ =
⇔ =
Kết hợp với điều kiện ta được:
2
x k
π
=
, k
∈¢
.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
2
1.0đ
[1;2010] 1 2010 1 1279
2
x k k
π
∈ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
, vì k
∈¢
.
Suy ra, tổng các nghiệm của (1) trên [1; 2010] là
1279.1280
(1 2 1279) . 409280

2 2 2
π π
π
+ + + = =
0.5
0.5
II
4.0đ
1
2.0đ
có:
4
7
2
2 7
2 7
A
A B C
A
B B
B
C C
π
π
π
π


=



+ + =


 
= ⇔ =
 
 
 
= =
 


Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có:
π π
 
 ÷
+ = + = +
 ÷
 ÷
 
1 1 1 1 1 1 1
4 2
2 sin 2 sin 2
sin sin
7 7
BC CA R A R B R
π π
π π π π

   
+
 ÷  ÷
= + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
4 2
sin sin
1 1 1 1
7 7
4 2 4 2
2 2
sin sin sin sin
7 7 7 7
R R
os
os
π π
π π π π
= = =
3
sin .
1 1 1
7 7
4
2
sin .sin . 2 sin
7 7 7 7
c

R AB
c R
0.5
0.5
0.5
0.5
2
2.0đ
Do tam giác ABC nhọn nên tanA > 0 ,tanB > 0 , tanC > 0. Viết lại bất đẳng thức :
3 3 3
cot cot cot
1
cot cot cot
B C A
A B C
+ + ≥
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
3
2
cot
cot .cot 2cot
cot
B
A B B
A
+ ≥
3
2
cot
cot .cot 2cot

cot
C
B C C
B
+ ≥
3
2
cot
cot .cot 2cot
cot
A
C A A
C
+ ≥
Suy ra :
3 3 3
2 2 2
cot cot cot
2( cot cot cot ) 1
cot cot cot
B C A
A B C
A B C
+ + ≥ + + −
vì cotAcotB + cotBcotC+ cotCcotA = 1
Ta lại có
2 2 2
cot cot cot cotAcotB cotBcotC cotCcotA 1 A B C+ + ≥ + + ≥
Từ đó suy ra :
3 3 3

cot cot cot
1
cot cot cot
B C A
A B C
+ + ≥
0.5
0.5
0.5
0.5
III
5.0đ
1
2.0đ
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2
2 2 2 2 2
( ) ( 1) 1 ( 1) 1
1 2 1 1 1 2 2
f n n n n n
n n n n n n n
 
= + + + = + + +
 
= + + + + + = + + +
Khi đó :
( ) ( )
( ) ( )

( )
( )
2
2 2
2
2 2
4 4 2 4 1
2 1 1
(2 1)
(2 )
4 4 2 4 1
2 1 1
- + +
- +
-
= =
+ + +
+ +
i i i
i
f i
f i
i i i
i
(1). (3) (2 1)
(2). (4) (2 )
n
f f f n
u
f f f n

−
⇒ =
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
1 1 3 1 5 1 2 1 1
2
2 1 1
3 1 5 1 7 1 2 1 1
1
2 2 1
n
n
n
u
n
n
u
n n
 
+ + + − +
 

⇒ = =
 
+ +
+ + + + +
 
⇔ =
+ +
2
2 2
1 2
lim lim lim
2 2 1 2 2 1 2
n
n
n
n u n
n n n n
→∞
⇒ = = =
+ + + +
0.5
0.5
0.5
0.5
2
3.0đ
( )
( )
( )
( )

( )
2
2
2 2 2 2
1 1
2 2
1
2 1
2 1 5 4 2 2 1 1 5 4 1
lim lim
1 1 1 1
2 2 4 4
lim 2
1 2 1 1 1 5 4 1
x x
x
x
x x x x x
I
x x x x
x x
x x x x
→ →
→
 
−
− + − − − − − −
 ÷
= = + −
 ÷

− − − −
 
 
− −
 ÷
= + −
 ÷
− − + − − +
 
( )
( )
( )
( )
1
2 4 5
lim 2
2
1 2 1 1 1 5 4 1
x
x x x x
→
 
 ÷
= − − = −
 ÷
+ − + + − +
 
1.0
1.0
1.0

IV 1
3.0đ
Chứng minh được MNPQ là hình bình hành
MNPQ là hình vuông
MN NP
MP NQ
=

⇔

=


⇔
M là trung điểm của AB và a = c.
Lúc đó S
MNPQ
=
2
1
4
b
.
1.0
1.0
1.0
2
2.0đ
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ta có:
( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
4 2 ( )
4
MA MB MC MD M A MB MC MD
MG GA MG GB MG GC MG GD
MG MG GA GB GC GD GA GB GC GD
MG GA GB GC GD
GA GB
+ + + = + + +
= + + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + +
≥ +
uuur uuur uuuur uuuur
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuur uuur uuur
2 2 2
GC GD+ +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M
≡
G.
Vậy:
2 2 2 2
MA MB MC MD+ + +
đạt giá trị nhỏ nhất khi M là trọng tâm của tứ

diện.
0.5
0.5
0.5
0.5
V
2.0đ
Áp dụng bất thức côsi có
+ + ≥ +
3 2
( ) 4 4 ( )x y xy xy x y
+ + +
+ = + ≤ =
2 2 2
2 2 2 2
2 ( )
2 ( )
2 2 2 2
2 2
xy xy x y xy xy x y
xy x y xy x y
Suy ra
≥ 8 2A
. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi x = y
1.0
1.0