Chuyen de Bat dang thuc - Cuc tri

BTNGTHC
A.KINTHCCBN
1.Khỏi nim:

A>B A B>0 A<B A B<0
A B A B0 A B A B0

2.Tớnhcht:

1)A>BvB>C ịA>C
2)A>B A+C>B+C.
3)A>B AC>BCnuC>0vAC<BCnuC<0.
4)A>B,C>D A+C>B+D.
5)A>B>0vC>D>0 ịA.C>B.D
6)A>B>0vn ẻ N
*
ịA
n
>B
n
.
7)A>B>0vn ẻ N ị
n n
A B >
.
8)A>B ị
1 1
A B
< nuAB>0.Hoc:
1 1
A B

> nuAB<0.

3.Chng minhbtngthc

Xộthiuhaiv:a>b ab>0
Biti tngngbtngthcphi chngminh nmtbtngthcóbitlỳng
Dựngcỏctớnhchtcabtngthcsuytbtngthcóbitlỳngnbtngthc
phi chngminh

B. BITP
Bi1:
Chngminh:a+b ab (1) "a,b>0.(Bt ngthcCụsi)
HD:(1) a+b ab =
( )
2
a b 0 - (ỳng).

Bi2:
Chngminh:(a+b)
2
4ab.
HD:Bin i av(ab)
2
0.

Bi3:
Chngminh:a
2
+b
2

2ab.
HD:Xộthiu,av(ab)
2
0.

Bi4:
Chngminh:(ac+bd)
2
(a
2
+b
2
)(c
2
+d
2
).(Bt ng thcBunhiaxcopky).
HD:Bin i hiu(ac+bd)
2
(a
2
+b
2
)(c
2
+d
2
)thnh (ay bx)
2
.

Bi5:
Chngminh:a
2
+b
2
+c
2
ab+bc+ca
HD:Bin i hiua
2
+b
2
+c
2
(ab+bc+ca)thnh(ab)
2
+(b c)
2
+(c a)
2

Bi6:
Chngminh:a
2
+b
2
+c
2
+d

2
+1 a+b+c+d.
HD:Bin i a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+1 a+b+c+dthnh:
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d
2 2 2 2
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
- + - + - + -
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ

Bi7:
Chngminh:a
2
+b
2
+c
2
+d
2
a(b+c+d+e)

HD:Bin di vdng:
2 2 2 2
b c d e
a a a a 0
2 2 2 2
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
- + - + - + -
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ

Bi8:
Chngminh:(ax +by+cz)
2
(a
2
+b
2
+c
2
)(x
2
+y
2
+z
2

)
HD:Bin i vdng:(ay bx)
2
+(az cx)
2
+(bzcy)
2
0

Bi9:
Chngminh a
4
+b
4
ab
3
+a
3
b. "a,b 0.
HD:Bin i,phõntớch thnh:(a b)
2
(a
2
+ab+b
2
)=
2
2
2
b 3b

(a b) a 0, a, b
2 4
ộ ự
ổ ử
ờ ỳ
ữ
ỗ
- + + "
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
.

Bi10:
Chngminh:
3
3 3
a b a b
2 2
ổ ử
+ +
ữ
ỗ

ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
HD:Xộthiu,phõntớch thnh nhõnt ịpcm.

Bi11:
Chngminh:
2
2 2
a b a b
2 2
+ +
ổ ử

ỗ ữ
ố ứ
.
HD:Quy ngmu,xộthiuavdng:(ab)
2
0.
Bài12:
Chứngminh:
2
2 2 2
a b c a b c
3 3
+ + + +
æ ö
³

ç ÷
è ø
HD:Xéthiệu,đưavềdạng:(a–b)
2
+(b –c)
2
+(c –a)
2
≥0.

Bài13:
Chứngminh:
x y 4
xy x y
+
³
+
. "x,y>0.
HD:Biến đổivề(x+y)
2
≥4xy Þtươngtựbài2.

Bài14:
Tronghaisốsausốnàolớnhơn? Vì sao?A= 2005 2007 + vàB= 2 2006 .
HD:ChứngminhA
2
≥B
2
Þđpcm.


Bài15:
Chứngminh:a
2
+b
2
≥a+b
1
2
-
HD:Biến đổi đưavề
2 2
1 1
a b 0
2 2
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
- + - ³
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

Bài16:
Chứngminh:
2
2
a a 1 3
2

a 1
+ +
£
+
HD:Quy đồng:2a
2
+2a+2 ≤3a
2
+3 Û (a– 1)
2
.

Bài17:
Chứngminh: a)
1
a 2, a 0
a
+ ³ " > . b)
1
a 2, a 0
a
+ £ - " < .
HD: a)Vì a>0nên:a
2
–2a+ 1≥0 Û(a –1)
2
≥0.b)Vì a<0:a
2
+2a+1 ≥0 Û (a+1)
2

≥0.

Bài18:
Chứngminh: a)Nếuab>0thì:
a b
2
b a
+ ³ . b)Nếuab<0thì:
a b
2
b a
+ £ - .
HD: a)Từ (a– b)
2
≥0 Û a
2
+b
2
≥2ab.Chiacảhaivếcủaa
2
+b
2
≥2abchoab>0 Þđpcm.
b)Chiacảhaivếcủaa
2
+b
2
≥–2abchoab<0 Þ đpcm

Bài19:

Chox ≥y,a≥b.Chứngminh:
ax by a b x y
.
2 2 2
+ + +
³
HD:Biến đổi,đưavề:(a–b)(x –y)≥0(đúng).

Bài20:
Choa>0,b>0,c>0.Chứngminh:
a b c 1 1 1
2
bc ca ab a b c
æ ö
÷
ç
+ + ³ + +
÷
ç
÷
ç
è ø
.
HD:Doa,b,c>0.Thựchiện quy đồng,biến đổi về:(a+b+c)
2
≥0(đúng).

Bài21:
Choab ≥1.Chứngminh:
2 2

1 1 2
1 ab
1 a 1 b
+ ³
+
+ +
(*).
HD:(*) Û
2 2
2 2 2 2
2 a b 2
1 ab
1 a b a b
+ +
³
+
+ + +
Û(a– b)
2
(1– ab)≤0(đúng).

Bài22:
Chox,y ≠0.Chứngminh:
2 2
2 2
x y x y
4 3
y x
y x
æ ö

÷
ç
+ + ³ + ÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
HD:Đặt
x y
t
y x
+ =
(|t| ≥2).Bấtđẳngthứcviếtlại:t
2
– 3t+2≥0 Û (t–1)(t–2) ≥0, "|t| ≥2.

Bài23:
Chứngminh:(a–1)(a– 3)(a –5)(a– 7)+15≥0, "a.
HD: BĐT Û t(t+6)+15 ≥0 Û (t+3)
2
+6>0, "a

Bài24:
Chứngminh:(x –1)(x –3)(x –4)(x –6)+10>0, "x.
HD:Làmtươngtựbài23.

Bài25:

Choa,b ≥0.Chứngminh:a
3
+b
3
≥ab(a+b).
HD:Xéthiệuđưavềbấtđẳngthức:(x+y)(x –y)
2
≥0.
CỰCTRỊĐẠISỐ
Bài1:
Tìm giátrị nhỏnhấtcủacácbiểuthức:
a)2x
2
+3x+1. b)x
2
–2x+5. c)4x
2
–4x –3. d)x
2
–5x+1. e)5x
2
+7x+9.
HD:Sửdụngphươngphápđềxuấtbình phươngđủ

Bài2:
Tìm giátrị lớnnhấtcủacácbiểuthức:
a)6– x
2
–6x. b)1–x
2

–6x
2
. c)4– x
2
+2x. d)4x –x
2
. e)7– 3x –x
2
.
HD:Sửdụngphươngphápđềxuấtbình phươngđủ.

Bài3:
Tìm giátrị lớnnhấtcủabiểuthức:y=
2
1
x 2x 6 + +
.
C1:Vìx
2
+2x+6=(x+1)
2
+5 ≥5.Nên:y≤
1
5
.Dấu“=”xảyra Ûx=–1.
C2:y=
2
1
x 2x 6 + +
Ûyx

2
+2yx+6y –1=0cónghiệm ÛΔ’=y –5y
2
≥0 Û0<y ≤
1
5
.
Dấu“=”xảyra Ûx
2
+2x+1=0 Ûx=–1(Thựcchấtlàthayy=
1
5
vàophươngtrìnhtheox).

Bài4:
Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức:y=
2
2
2x 5
2x 1
+
+
HD:Làmtươngtựbài3. y=
2
2 2
2x 1 4 4 4
1 1 5
1
2x 1 2x 1
+ +

= + £ + =
+ +
.Dấu“=”xảyra Ûx=0.

Bài5:
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
2
2
x 2x 1
y
x 4x 5
- +
=
+ +
.
HD:
2
2
(x 1)
y 0
(x 2) 5
-
= ³
+ +
.Dấu“=”xảyra Ûx= -1.

Bài6:
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
2
1

A
6x 5 9x
=
- -
.
HD: Biến đổibiểuthứctrởthành:
2
2 1
A
2
4 (3x 1)
= ³
- -

Bài7:
Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức:
2
1
P
4x 4x 3
=
- +
.(ĐềthichuyênNguyễnTấtThành)
HD:Làmtươngtựbài6.

Bài8:
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:B=
2
2
x 2

x 2
-
+
.
HD:Biến đổibiểuthứctrởthành:
2
4
B 1 1
x 2
= - ³
+

Bài9:
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
4
2
x 1
C
x
+
=
HD:Tacó:
2
2
1
C x 2
x
= + ³

Bài10:

Tìmgiátrịlớnnhấtvànhỏnhấtcủabiểuthức:y=
2
2
x 2x 2
x x 1
- -
+ +
.
C1:
2 2 2
2 2
3x 2(x x 1) 3x
y 2
x x 1 x x 1
- + +
= = -
+ + + +
Þ
2
3 3
2 2 4
3
1 3
x
4
2 4
- £ - £ =
æ ö
÷
ç

+ +
÷
ç
÷
ç
è ø
C2:Sửdụngphươngtrìnhbậchai.Bạn đọctựgiải.

Bài11:
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
2
2
x x 1
A
x 2x 1
+ +
=
+ +
(x ≠ -1).
HD:Đặty=x+1 Þ x=y –1 Þ A =
2
2 2
y y 1 1 1
1
y
y y
- +
= - +
.
Đặtz=

1
y
ÞA=z
2
– z+1=
2
1 3 3
z
2 4 4
æ ö
÷
ç
- + ³
÷
ç
÷
ç
è ø
.Dấu“=”xảyra:
1
z y 2 x 1
2
= Û = Û = .

Bài12:
Vớix>0.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
(x 2)(x 8)
A
x
+ +

=
HD:
2
x 10x 16 16
A x 10
x x
æ ö
+ +
÷
ç
= = + +
÷
ç
÷
ç
è ø
.Vì:x.
16
x
=16=const Þ
16
x
x
æ ö
÷
ç
+
÷
ç
÷

ç
è ø
nhỏnhất Ûx
2
=16.
Tứclàx=4(vìx>0).Vậy:minA=18.

Bài13:
Vớix>0.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
2
(x 100)
A
x
+
=
HD:minB=400khix=100.

Bài14:
Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức:
2
x
B
(x 100)
=
+
C1:Đặtx+100=y Þx=100 -y.
2 2
y 100 1 100
B
y

y y
-
= = - . Đặt
1
z
y
=
.
ÞB=z–100z
2
=
2
1 1 1
100 z
400 200 400
æ ö
÷
ç
- - £
÷
ç
÷
ç
è ø
.Dấu“=”xảyra Ûz=
1
200
Ûy=200Ûx=100.
C2:Ápdụngbấtđẳngthức:(a+b)
2

≥4ab:
2
x x 1
B
400x 400
(x 100)
= £ =
+
Ûx=100.

Bài15:
Tìm giátrị lớnnhấtvàgiátrị nhỏnhấtcủabiểuthức:
2
2 2
(x y)
A
x y
+
=
+
HD:
2
2 2
(x y)
A 0
x y
+
= ³
+
.Dấu“=”xảyra Ûx= -y ≠0.

A=
2 2
2xy 2xy
1 1 1 1 2
2xy
x y
+ £ + = + =
+
(vìx
2
+y
2
≥2xy).Dấu“=”xảyra Ûx=y ≠0.

Bài16:
Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
2
2
2x 4x 1
B
x 1
+ -
=
+
.
HD:
2 2 2
2 2
3x 3 (x 4x 4) (x 2)
B 3 3

x 1 x 1
+ - - + -
= = - £
+ +
.Dấu“=”xảyra Ûx=2.
2 2 2
2 2
4x 4x 1 2x 2 (2x 1)
B 2 2
x 1 x 1
+ + - - +
= = - ³ -
+ +
.Dấu“=”xảyra Ûx=
1
2
- .

Bài17:
Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
2 2
2 2
4x 2xy 4y
C
x y
- +
=
+
HD:
2

2 2
(x y)
C 3 3
x y
-
= + ³
+
.Dấu“=”xảyra Ûx=y ≠0.
2
2 2
(x y)
C 5 5
x y
+
= - £
+
.Dấu“=”xảyra Ûx= -y ≠0.

Bài18:
Tìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
2
x 1
D
x x 1
+
=
+ +
HD:
2 2 2
2 2 2

3x 3 x 4x 4 x x 1 (x 2) 1 1
D
3 3
3(x x 1) 3(x x 1) 3(x 1 1)
+ + + - - - +
= = = - ³-
+ + + + + +
Ûx= -2.
2 2 2
2 2
x x 1 x x
D 1 1
x x 1 x x 1
+ + -
= = - £
+ + + +
Ûx=0.