TA`I LIE-U LUYE-N THI CHUYEN_HI`NH HO-C 9

LUYỆNTHICHUYÊN:PHÂNHÌNHHỌC
ĐỖTRUNGTHÀNH −GIÁOVIÊNTHCS Trang1

Bài1:
ChotứgiácABCDnội tiếptrongđườngtròn (O).ĐườngthẳngBDvàcáctiếptuyếnvới (O)
tại A,Cđồngquitại S.Gọi Ilàgiaođiểm củaACvàBD.Chứngminhrằng:
a)AB.DC=AD.BC b)
SB IB AB.CB
SD ID AD.CD
= =
HD:a)ΔSAB ΔSDAnên:
SA AB SB
SD DA SA
= = (1)
ΔSCB ΔSDCnên:
SC CB SB
SD DC SC
= = (2)
DoSA=SBvàtừ (1)và(2):
AB BC
DA DC
= ÞAB.DC=AD.BC
b)Từ(1)và(2):
SB SB.SC AB.CB
SD SD.SA AD.CD
= = .
Tươngtựphần a)TừΔIAB ΔIDCvàΔICB ΔIDA Þ
IB AB.CB
ID AD.CD
= Þđpcm


Bài2:
ChoΔABCvuôngcânởA.ADlàtrungtuyếnthuộccạnhhuyền,Mlàmộtđiểmthayđổi
trênđoạnAD.GọiN,PtheothứtựlàhìnhchiếuvuônggóccủaMxuốngABvàAC.Hlàhình
chiếuvuônggóccủaNxuốngđườngthẳngPD.
a)Xácđịnhvị trí củaNđểΔAHBcódiện tíchlớnnhất.
b)CmR:KhiMthay đổi,HNluôn điquamộtđiểm cốđịnh.
HD:a)KẻBE//ACcắtPDtại E ÞBE=PC=BN Þ
·
·
0
NEB NHB 45 = =
.
Mặtkhác:
·
·
0
AHN APN 45 = =
Þ
·
0
AHB 90 =
,HNlàphângiáccủa
·
AHB .
Þ
2
2 2 4
2 2 2
AHB
1 1 AH BH AB

S AH .BH
4 4 2 16
æ ö
+
= £ =
ç ÷
è ø
.Dấu“=”xảyra ÛAH=BH ÛH≡D≡M.
b)HNluôn điquađiểm chínhgiữacủanửađườngtròn đườngkínhAB(HNlàphângiác
·
AHB ).

Bài3:
ChohìnhvuôngABCDcạnha.Mộtgóc
·
0
xBy 45 = quayxungquanhBsaochoBxcắtcạnh
ADtạiM,BycắtcạnhCDởN(M,NkhôngtrùngvớiD).GọiE,Ftươngứnglàgiaođiểmcủa
BM,CNvớiAC.
a)CmR:cáctứgiácABFM,BCNE,MEFNnội tiếp.
b)CmR:MNluôntiếpxúcvới mộtđườngtròn cố định vàchuviΔMNDkhôngđổi.
c)Tìm vị trí củaM,Nvànêucáchdựngcácđiểm đóđểΔMNDcódiện tíchlớn nhất.
HD:a)
·
·
0
FBM FAM 45 = =
ÞABFMnội tiếp.Tươngtự:BCNEnội tiếp.
Þ
·

·
·
0 0
BEN BCN 180 BEN 90 + = Þ =
.Tươngtự:
·
0
MFN 90 =
Þđpcm
b)Lấy điểmKtrêntiađối củatiaADsaochoAK=CN:
ÞBK=CNvà
·
·
·
·
·
KBM KBA ABM NBC ABM = + = +
· ·
0 0
90 NBM 45 NBM = - = =
ÞΔKMB=ΔNBM(c.g.c)ÞBA=BL ÞMNtiếpxúcvới (B,a)
Lại có:ΔKBM=ΔNMB ÞKM=MN.Từđó,suyra:
P
ΔMND
=MN+ND+MD=KA+AM+MD+DN=CD+ND+MD+MA=2a.
c)Có:MD+ND+MN=2a ÞMD+ND+
2 2
MD ND + =2a
Þ4a
2

=
( )
( )
2 2
2
2
2 2
MD ND 1
MD ND MD ND MD ND 1 MD ND
2 2
+ æ ö æ ö
+ + + ³ + + = + +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
I
C
A
O
D
B
S
H
E
D
A
B
C
M
N
P

45
0
K
L
H
F
E
N
C
B
A
DM
LUYNTHICHUYấN:PHNHèNHHC
TRUNGTHNH GIOVIấNTHCS Trang2
2
1
4 1 .MD.ND
2
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
M:MD.ND=2S
MND
ịS
MND
( )
2
2
a

2 2 1
Ê
+
.
Du=xy ra MD=ND
ã
ã
0
MBA NBC 22,5 = =

Bi4:
ChonangtrũntõmOngkớnhAB=2R,Mlmtimbtkỡtrờnnangtrũn
(MkhỏcAvB).HMH ^ABtiH.GiP,Q,Ilnltltõm ngtrũnnitipcỏctamgiỏc
MAH,MBH,AMB.
a)ChngminhimIltrctõmca DMPQ
b)Tỡmqutớch imIkhi imMdi ngtrờnnangtrũn
c)XỏcnhvtrớcaimMtrờnnangtrũn chuvi DPHQlnnht
HD:a)Dthy:A,P,IthnghngvB,Q,Ithnghng.
GiKMP ầAB:
ã
ã
ã
KMB KMH BMH = + ,
ã
ã
ã
MKB KMA MAB = +
Mtkhỏc:
ã ã
KMH KMA = v

ã
ã
BMH MAB =
Suyra:BMKcõntiBcúBIlphõngiỏc ịBI ^ MK
Tngt:LAB ầMQ ịAMLcõn ịAI ^ ML ịpcm
b)Thun:
ã
ã
ã
0 0 0 0
MAB MBA
AIB 180 180 45 135
2
+
= - = - =
Vy imIthuccungchagúc135
0
vtrờn onAB(thuccựngmtnamtphngchaM)
oli:GisIlimbtkỡ thuccungchagúc ịKIN ^AB,v(I,IN)khaitiptuyn
AA vBB vi(I, IN) gi M l giao ca AA v BB. Ta cn chng minh M ẻ (O) hay
ã
0
AM'B 90 =
.Tacú:
ã
ã
ã
ã
ã
ã

0 0 0 0
AIB 135 IBA IAB 45 M'AB M'BA 90 AM'B 90 = ị + = ị + = ị =
.
c)Tacú:
ã
ã
PMH QBH = (Gúccúcnht/vuụnggúc).
ã
ã
0
PHM QHB 45 = =
ịMPH BQH(g.g)nờn:
ã
PH MH MA PH MA
tgMBA
QH HB MB QH MB
= = = ị =
.
Licú:
ã
ã
0
AMB PHQ 90 = = ịHPQ MAB(c.g.c).Tacú:
ã
ã ã
ã
0
HQP MBA MBA HQF 180 = ị + =
ịBHQFnitip.Túsuyra:
ã ã

0
MFE QHB 45 = =
MEFcõntiMnờn:ME=MF.MQF=MQH(c.g.c)nờn:MF=MHvQF=QH.
Tngt:PH=PE ịC
PQH
=PH+QH+QP=EP+PQ+QF=EF=
2MF 2MH =
Vy:C
PQH
lnnht MHlnnht HO.Khiú:Mlimchớnhgianangtrũn(O)

Bi5:
Chongtrũn (OR)vPlmtimnm bờntrongngtrũn.QuaPvhaidõyABv
CDvuụnggúcvi nhau.a)ChngminhrngPA
2
+PB
2
+PC
2
+PD
2
khụngi
b)Gi Iltrungim caBC.Tỡm qu tớch im I
HD:a)Kngkớnh BE.TacúAE//CD ịAC=DE.pdngL
Pitagocho Dv.BED:BD
2
+DE
2
=BD
2

+AC
2
=BE
2
=4R
2
Suyra:PA
2
+PB
2
+PC
2
+PD
2
=AC
2
+BD
2
=4R
2
=Const
c)Thun:Gi Kltrungim caOPtacú:
2 2 2 2
1
2IK IO IP PO
2
= + -
Dv.PBCcúPIltrungtuyn ịIP=IB ịOI
2
+IB

2
=OI
2
+IP
2
=OB
2
=R
2
ịIK=
2 2
2R OP
2
-
ịIthuc ngtrũn
2 2
2R OP
K
2
ổ ử
-
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
oli:LyimIthucngtrũn(K).QuaIdngmtngthngvuụnggúcviOIgi
giaocangthngnyvi (O)lB,C.Gi giaoim caBPvCPvi (O)lA,D.Tacn
chngminhAB ^ CD.
L
K
F

E
I
Q
P
H O
A
B
M
K
I
E
D
C
O
A
B
P
LUYNTHICHUYấN:PHNHèNHHC
TRUNGTHNH GIOVIấNTHCS Trang3
IKltrungtuyn ca DOPInờn:
2 2 2 2
1
2IK IO IP PO
2
= + - m:2.IK
2
=
2 2
2R OP
2

-
Suyra:
2 2
2 2 2 2 2 2
2R OP 1
IO IP OP OI IP R
2 2
-
= + - + = =OB
2
.Mtkhỏc:OI
2
+IB
2
=OB
2
Suyra:IP=IB.Hay:IP=
1
2
BC. ị DPCBvuụngti P.Vy:AB ^ CD

Bi6:
ChobaimA,B,Ctheothtnm trờnmtngthngdsaochoAB=2,BC=4.Mt
ngtrũn di ng(O)cútõmOviquaB,C.Gi AT,ATlhaitiptuyn ktA n (O),vi
T,Tlhaitipim.
a)Tỡm qu tớch cỏcim TvT
b)VngkớnhMBca(O).Gi PAM(O).Chngminh:AM.AP=AO
2
OC
2

c)Tỡm qu tớch cỏcim MvP
HD:a)Thun:Tachngminh TA
2
=AT
2
=AB.AC=
2
(2 3)
Suyra:TvTthuc ngtrũn (A 2 3 )
o:Ly mtim T
1
btkỡ thuc (A 2 3 ).QuaT
1
vmtng
thngvuụnggúcvi AT
1
ct trungtrc caBCti O.Tacn chng
minhAT
1
ltiptuyn ca(OOB):KtiptuynAT
2
Tacú:
AT
2
2
=AB.AC=AT
1
2
ịOT
1

=OT
2
ịOT
1
lbỏn kớnh (O).Suyra:
AT
1
ltiptuyn ca(O).
b)Tacú:AT
2
=AM.AP.MAT
2
=OA
2
OT
2
hay:AT
2
=OA
2
OC
2
ịAM.AP=OA
2
OB
2
c)Qu tớch M:
Thun: DBCMvuụngti C ịCM ^ d ịMthuc ngthngcvuụnggúcvi dti C
o:GisMthucngthngcquatrungim IcaBCkmtngthngvuụnggúcvi d
giaovi MBti O

1
Vngtrũn (O
1
O
1
B).Tacn chngminhMthuc(O
1
O
1
B).
Tacú:OI//BC ịOIlngtrungbỡnhca DBMC ịOB=OM ịM ẻ (O
1
O
1
B).
*Qu tớch P:
Thun:Tacú:
ã
0
APB 90 =
ịPthucngtrũn ngkớnhAB
o:LymtimPbtkỡtrờnngtrũnngkớnhAB.QuaCvmtngthngvuụng
gúcvi dgiaoviAPti M.Gi O
2
lgiaocangtrungtrcBCviBM,v(O
2
O
2
B)tacn
chngminh:PvMthuc(O

2
O
2
B):OIlngtrungbỡnhca DBMCnờnOM=OB ịM
thucng trũn.Tacú:
ã
BPM =90
0
nờnPthucng trũn ngkớnh BMhay:OP=OB.

Bi7:
Chohai ngtrũn(O,R)v
R
O',
2
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
tipxỳcngoi tiA.Trờnngtrũn(O)lyimB
saochoAB=RvimMtrờncunglnAB.TiaMActngtrũn(O)tiimthhailN.
QuaNkngthngsongsongvi ABctng thngMNti Qvctngtrũn (O)ti P.
a)ChngminhOAM OAN.
b)Chngminh di on NQkhụngphthucvov trớ im M.
c)T giỏcABQPlhỡnhgỡ?ti sao?
d)Xỏcnh v trớ im Mdin tớch tgiỏcABQNtgiỏtr lnnht.Tớnhgiỏtr útheoR.
HD:a)Ddngchngminh cOAM OAN.
b)Ta)suyra:
MA OA
NA O 'A
= .

MA MA OA 2
MA NA MN OA O 'A 3
ị = = =
+ +
Mtkhỏc:AB//NQ ị
AB MA
.
NQ MN
=
H
Q
P
N
B
O'
A
O
M
d
P
M
T'
T
A B C
O
LUYỆNTHICHUYÊN:PHÂNHÌNHHỌC
ĐỖTRUNGTHÀNH −GIÁOVIÊNTHCS Trang4
R 2 3R
Hay: NQ const.
NQ 3 2

= Û = =
c)Dễ thấy:ABQPlàhình thangvì AB//NQ.
Tacó:
·
1
ABQ
2
= sđ
¼
»
( )
1
MB AB
2
+ = sđ
¼
·
·
·
1 1
AM AOM AO'M APN
2 2
= = =
Mà:
·
·
APN PAB(soletrong) = Þ
·
·
ABQ BAP = ÞABQPlàhìnhthangcân.

d)KẻAH ^ QN.Tacó:S=S
ABQN
=
1
2
(AB+QN).AH=(1,5R+R).AH=2,5R.AH.Dođó:
Smax ÛAHmax.MàAH≤AN ÛH ºN ÛAN ^NQ ÛAN ^ABtại A Û
·
0
MAB 90 =
ÛMlàđiểm đối xứngcủađiểmBquađiểm O.
Khi đó,ΔAMBvuôngtại A,tacó:AM
2
=MB
2
– AB
2
=4R
2
–R
2
=3R
2
ÞAM= R 3 .
Mặtkhác:Do
AM 3 1 R 3
AN AM
MN 2 2 2
= Þ = = .Vậy:Max S
ANQB

=
2
5R R 3 5 3R
.
4 2 8
=

Bài8:
Chođườngtròn(I;R)nộitiếp DABCtiếpxúcvớicáccạnhBC,CA,ABlầnlượttạicác
điểmA’,B’,C’.
a)Gọicácgiaođiểmcủa(I)vớicácđoạnIA,IB,IClầnlượtlàM,N,P.Chứngminhrằngcác
đườngthẳngA’M,B’N,C’Pđồngqui.
b)AIkéodàicắtđườngtrònngoạitiếp DABCtạiD(khácA).chứngminhrằng:
IB.IC
2R
ID
= .
HD:a)Chứngminh:A’M,B’N,C’Plàbaphângiáccủa DA’B’C’.
b)GọiHlàtrungđiểmcủaBI.Tacó:
·
·
µ
1
DBC CAD A
2
= =
·
µ
µ
1

DIB (A B)
2
= + .Mặtkhác:
·
µ
·
µ
µ
1 1
DBI B DBC (B A)
2 2
= + = +
Suyra:
·
·
DBI DIB = Þ DDBIcântạiD ÞDHlàphângiác
µ
D
Þ
·
µ
µ
·
1 1
HDI D C ACI
2 2
= = = Þ DHDI DA’CI.Suyra:
ID IH 2IH IB
IC IA' 2IA' 2IA'
= = = ÞIB.IC=ID.2IA’=ID.2R Þ

IB.IC
2R
ID
=

Bài9:
Cho DABCvuôngởA(AC>AB)hạAH ^BCtạiH.Đườngtròn(H,HA)cắtcácđường
thẳngAB,AClầnlượttạiPvàQ(P,Q≠A).
a)ChứngminhP,H,QthẳnghàngvàtứgiácBPCQnộitiếp
b)GọiMlàtrungđiểmcủacạnhBC.Chứngminh:AM ^ PQ
HD:a)
·
0
PAQ 90 = ,PQlàđườngkính(A,HA)
ÞBađiểmP,H,Qthẳnghàng.
∆AHQcântạiH:
µ
µ
1
A Q = mà
µ
µ
1
C A =
(Cùngphụvới
·
CAH
)
Nên:
µ

µ
C Q = ÞBPCQnộitiếp.
b) DMABcân Þ
µ
·
2
B BAM =
=
µ
µ
1
Q H + ,
$
µ
µ
1 2
P C H = +
.
Mà
µ
µ
µ µ
1 2
C Q,H H = = Þ
µ
$
·
2 1
B P BAM = =
Dođó:

$
µ
·
µ
0
1 3 3
P A MAB A 90 + = + =
Þ
·
0
AEP 90 =
Vậy:PQ ^AMtạiE.
2
1
1
3
2
2
1
E
M
P
Q
H
A
B
C
M
H
N

P
A'
C'
B'
I
D
A
B
C
LUYỆNTHICHUYÊN:PHÂNHÌNHHỌC
ĐỖTRUNGTHÀNH −GIÁOVIÊNTHCS Trang5

Bài10:
ChonửađườngtròntâmO,đườngkínhBCvàmộtđiểmAtrênnửađườngtròn(AkhácB
vàC).HạAHvuônggócvớiBC(HthuộcBC).TrênnửamặtphẳngcóbờBCchứađiểmAdựng
haiđườngtròn đườngkínhHBvàHC,chúnglầnlượtcắtABvàACtạiEvàF.
a)ChứngminhAE.AB=AF.AC.
b)Chứngminh EFlàtiếptuyếnchungcủahai đườngtròn đườngkínhHBvàHC
c)GọiIvàKlầnlượtlàhaiđiểmđốixứngvớiHquaABvàAC.ChứngminhbađiểmI,A,K
thẳnghàng.
d)ĐườngthẳngIKcắttiếptuyếnkẻtừBcủanửađườngtròn(O)tạiM.ChứngminhMC,AH,
EFđồngqui.
HD:a) DBEHcótrungtuyến O’Eứngvới cạnh BHbằng
1
BH
2
nên DBEHvuôngtại E.Suyra: HE ^ AB.
Tươngtự:HF ^ AC.
ÁpdụnghệthứclượngvớihaitamgiácvuôngAHBvàAHC,
tacó:

AH
2
=AE.AB,AH
2
=AF.AC.Suyra:AE.AB=AF.AC.
b)TứgiácAFEHlàhìnhchữnhậtvìcóbagócvuông.
GọiDlàgiaođiểmcủaAEvàEF,tacó:DA=DH=DE=DF.
DO
1
ED= DO
1
HD(c.c.c). Suyra:
·
·
0
1 1
O ED O HD 90 = = .
Dođó:EF ^ O’EtạiEnên:EFlàtiếptuyếncủađườngtròn(O
1
).
Tươngtự:EFlàtiếptuyến(O
2
) ÞEFlàtiếptuyếnchung
c)Theotínhchấtđốixứngtacó:
µ µ µ µ
1 2 3 4
A A ,A A = =
Þ
·
·

µ µ
·
0
1 2
IAH HAK 2(A A ) 2.BAC 180 + = + = = ÞBađiểmI,A,Kthẳnghàng.
d)SB//AH Þ
·
µ
2
SBA A =
(Sole)=
µ
1
A
Þ DMBAcântạiA ÞMA=MB
Mặtkhác:
·
0
MBA S 90 + =
$
mà
µ µ
1 5
A A =
và
·
µ
1
MBA A =
Þ

µ
5
S A =
$
Þ DMABcântạiA ÞMA=MS
Suyra:MA=MS.GiảsửMCcắtAHtạiD’.TheoĐLTalét:
AD ' CD ' HD '
MS CM MB
= = màMS=MB
nên:AD’=D’H ÞD’H=D’Amặtkhác:DH=DA ÞD≡D’.
Vậy:AH,EF,MCđồngquitạitạiD.

Bài11:
Cho DABCvuôngởA(AC> AB)đườngcaoAH.Đườngtròn(H;HA)cắt cácđường
thẳngAB,AClầnlượttạiPvàQ(P,QkhácA).
a)Chứngminh:P,H,Qthẳnghàng.TứgiácBPCQnộitiếp
b)GọiMlàtrungđiểmcủacạnhBC.Chứngminh:AM ^ PQ.
HD:a)PQlàđườngkính đườngtròntâmAbánkínhHA.
ÞBađiểmP,H,Qthẳnghàng.
Tacó:
·
·
HQA HAQ = (DAHQcân)
Lạicó:
·
·
·
0
ACB HAQ( 90 CAH) = = -
Þ

·
·
ACB AQB = ÞBPCQnộitiếp.
b)
· ·
APQ AHP = (DAHPcân),
·
·
CAM ACM =
mà
·
·
ACM AQP =
Suyra:
·
·
· ·
0
APQ CAM APQ AQP 90 + = + = Þ
·
0
AEH 90 =
.Vậy:AM ^ PQ.

Bài12:
ChoAlàmộtđiểmbấtkìtrênnửađườngtròn đườngkínhBC(A≠B,C).HạAH ^ BCtại
H.GọiI,Klầnlượtlàtâmcủađườngtrònnộitiếp DAHBvà DAHC.ĐườngthẳngIKcắtcáccạnh
AB,AClầnlượttạiM,N.Chứngminh:
5
4

3
2
1
O
2
O
1
S
D
F
M
K
E
I
H
B
C
A
E
M
P
Q
H
A
B
C
LUYNTHICHUYấN:PHNHèNHHC
TRUNGTHNH GIOVIấNTHCS Trang6
a) DAIH DCKHv DHIK DABC
b) DMANltamgiỏccõn

c)XỏcnhvtrớcaimA chuvicangtrũnngoitip DMHNtgiỏtrlnnht.
HD:a)Dthy:
à à
1 2
H H =
(=45
0
)v
à
à à
ã
1
1
1 1
A C C BAH
2 2
ổ ử
= = =
ỗ ữ
ố ứ
ị DAIH DCKH(g.g)
Suyra:
à
HI CH AH AB
, tgC
HK AH CH AC
= = = ị
HI AB
HK AC
= Licú:

ã
ã
0
IHK BAC 90 = =
Suyra: DHIK DABC(c.g.c)
b) DHIK DABC ị
à
ã
ã
ã
0
C HKI NCH NKH 180 = ị + =
ịNCHKnitip.Doú:
ã
ã
0
ANM KHC 45 = =
.
Vy: DAMNvuụngcõntiA.
c) DAKH= DAKN(g.c.g) ịAN=AH=AM ịAltõmngtrũnngoitip DHMN.
Doú:C
HMN
=2 pAH ịC
HMN
lnnht AHlnnhtm:AHOA
Du=xyra AN=OA HO.Khi úAlimchớnhgiacana(O)vC
HMN
=2 pR.
2
1

1
1
1
N
M
K
I
H
B
C
A