Các dạng bài tập Ôn tập Hình học nâng cao lớp 10 cả 3 chương

HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
Chương 1: VÉC TƠ
§ 1. Các định nghĩa:
* Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng.
* Ký hiệu
AB
là véc tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
* Giá của véc tơ
AB
là đường thẳng đi qua A và B.
* Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ lớn (độ dài) của véc tơ
AB
.
* Chiều từ gốc A đến ngọn B gọi là hướng của véc tơ
AB
.
* Véc tơ không là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Ký hiệu:
0
.
* Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ có giá song song hoặc trùng nhau.
+

CD AB
CD // AB
CD // AB



≡
⇔
; + Tính chất:

a a // 0 ∀
;
c // a
b// c
0 b // a
⇒





≠
.
+

CD AB
CD AB
CD // AB




↑↓
↑↑
⇔
; + Tính chất:
a a 0 ∀↑↑
;
c a
b c

0 b a
↑↑⇒





↑↑
≠↑↑
•





=
↑↑
⇔=
CD AB
CD AB
CDAB
; + T.chất:
;AB CD CD AB =⇔=

EF AB
CD EF
CD AB
=⇒






=
=
• Cho điểm O cố định và véc tơ
a
không đổi ∃! điểm M sao cho
aOM =
.
§ 2. Tổng của hai véc tơ:
1. Định nghĩa:
Tổng của hai véc tơ
b vàa
là một véc tơ được xác định như sau:
Từ một điểm A bất kỳ xác định các điểm B và C sao cho
b BC ,a AB ==
. Khi
đó véc tơ
AC
được gọi là tổng của hai véc tơ
b vàa
.
Ký hiệu:
BC. AB AC b a AC +=⇒+=
2. Tính chất:

4. Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
AC. BC AB =+
5. Quy tắc hình bình hành: Tứ giác ABCD là hình bình hành thì:

6. M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔
. 0 MB MA =+
7. G là trọng tâm của ∆ABC ⇔
. 0 GC GB GA =+++
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 1
ACADAB =+
)()( 3.
2.
00 .1
cbacba
abba
aaa
++=++
+=+
=+=+
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
§ 3. Hiệu của hai véc tơ:
1. Véc tơ đối của một véc tơ:
* Nếu
0 b a =+
thì ta nói
a
là véc tơ đối của
b
, hoặc
b
là véc tơ đối của
a
.
* Ký hiệu véc tơ đối của véc tơ

a
là -
a
. Từ đó suy ra:
Véc tơ đối của véc tơ
a
là véc tơ ngược hướng với véc tơ
a
và có
cùng độ dài với véc tơ
a
.
* Véc tơ đối của véc tơ
0
là véc tơ
0
.
2. Hiệu của hai véc tơ:
*
a
-
b
=
a
+ (-
b
).
* Cho trước véc tơ
MN
thì ∀ điểm O ta luôn có:

.OM - ON MN =
§ 4. Phép nhân một số với một véc tơ:
1. Định nghĩa:
* Tích của véc tơ
a
với số thực k là một véc tơ, ký hiệu là k
a
và được xác
định như sau:
1) Về hướng: Nếu k ≥ 0 thì k
a

a
.
Nếu k ≤ 0 thì k
a

a
.
2) Về độ lớn:  k
a
 =  k.
a
.
* Nhận xét: . 1.
a
=
a
.
. (-1).

a
= -
a
.
2. Các tính chất của phép nhân véc tơ với một số:
Với hai véc tơ
a
,
b
bất kỳ và mọi số thực k, l, ta có:
1) k(l
a
) = (kl)
a
.
2) (k + l)
a
= k
a
+ l
a
; (k – l)
a
= k
a
- l
a
.
3) k(
a

+
b
) = k
a
+ k
b
; k(
a
-
b
) = k
a
- k
b
.
4) . k
a
=
0
khi và chỉ khi k = o hoặc
a
=
0
.
. 1.
a
=
a
.1 =
a

.
3) Quan hệ giữ hai véc tơ cùng phương:
Định lý:
1. Cho hai véc tơ
a
và
b
,
a
≠
0
thì
a
và
b
cùng phương khi và chỉ khi tồn
tại duy nhất số thực k sao cho
b
= k
a
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 2
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
2. Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có một số
k sao cho
.ACkAB =
4) Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương:
Định lý: Cho hai véc tơ
a
và
b

không cùng phương. Với mọi véc tơ
u
, tồn
tại duy nhất cặp số thực (m, n) sao cho:
u
= m
a
+ n
b
. Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm O bất kỳ,
ta có:
( )
OBOAOI +=
2
1
.
. Điểm G là trọng tâm của ∆ABC khi và chỉ khi với điểm O bất kỳ, ta có:
( )
.
3
1
OCOBOAOG ++=
§ 5. Tọa độ của véc tơ và của điểm:
1) Đối với hệ trục tọa độ
( )
jiO ,;
hay Oxy
1.
( )
jbiaubau +=⇔= ;

2.
( ) ( )
jyixOMyxOMyxM +=⇔=⇔= ;;
2) Nếu A = (x; y), B = (x’; y’) thì
( )
yyxxAB −−= ';'
3) Nếu
)';'();( yxvvàyxu ==
thì:
1.
( )
';' yyxxvu ±±=±
2.
( )
kykxuk ;=
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
1. Cho ∆ABC. Gọi A’ đối xứng với A qua B; B’ đối xứng với B qua C và C’
đối xứng với C qua A. CMR: ∆ABC và ∆A’B’C’ có cùng trọng tâm.
2. Cho 4 điểm A, B, C, D . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) CMR:
IJBCADBDAC 2=+=+
b) Gọi G là trung điểm của IJ, CMR:
0=+++ GDGCGBGA
c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD ; M, N lần lượt là trung
điểm của AD, BC. CMR: ba đường thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm.
3. Cho ∆ABC trọng tâm G. Gọi D, E là các điểm xác định bởi
.
5
2
,2 ACAEABAD ==

a) Tính
DE
và
DG
theo
AB
và
AC
.
b) CMR: ba điểm D, G, E thẳng hàng.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 3
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
4. Cho ∆ABC.
a) Xác định các điểm D, E thỏa mãn các đẳng thức:
.02;04 =+=− ECEADBDA
b) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức:
MCMAMBMA 24 +=−
.
5. Cho ∆ABC. Gọi D là điểm xác định bởi
ACAD
5
2
=
, M là trung điểm của
BD. a) Tính
AM
theo
AB
và
AC

.
b) AM cắt BC tại I. Tính
IC
IB
và
.
AI
AM
6. Cho ∆ABC. Gọi D và E là các điểm xác định bởi
.
5
2
;
3
2
ACAEABAD ==
Gọi K là trung điểm của DE và M là điểm xác định bởi
.BCxBM =
a) Tính
AMAK,
theo
ACAB,
và x.
b) Tìm x sao cho A, K, M thẳng hàng.
7. Cho hình thang ABCD và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các
cạnh bên AD và BC tại M và N. CMR:
ba
DCaABb
MN

+
+
=
Trong đó
CDbABa == ;
8. Cho tam giác ABC và trung tuyến CC
1
, đường thẳng nối A với trung điểm
M của CC
1
cắt cạnh BC tại P. Chứng minh rằng:
2:1: =PBCP
.
9. Đối với hệ trục Oxy cho ba điểm A = (a
1
;a
2
), B = (b
1
;b
2
), C = (c
1
;c
2
)
a) Tính toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AC
b) Xác định toạ độ của điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
10. Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB và CD lấy lần lượt các điểm M,N.
Gọi P, Q là giao điểm của các đường thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện

của hai tứ giác AMND và MBCN. Chứng minh rằng
PQ
không phụ thuộc vào
việc chọn các điểm M, N.
11. Gọi M và N là các điểm chia đoạn thẳng AB = a theo tỷ số m và n ( m và
n đều lớn hơn 1)
a) Tính theo a, m, n các đoạn thẳng MA, NA, NB và MN.
b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN, tính:
OB
OM
12. Gọi AM là phân giác của tam giác ABC với AC = b, AB = c
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 4
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
CMR:
0=+ MCcMBb
13. Cho tam giác ABC, Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:

14. Cho ∆ABC. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng
tâm, trực tâm của tam giác, A’ là điểm đối xứng với A qua O, D là trung điểm của
BC.
a) Xét quan hệ giữa các véc tơ:
BH
và
CA'
;
'BA
và
HC
b) CMR:
AHOD =.2

c) CMR:
OGOHOCOBOA .3==++
Từ đó suy ra O, G, H thẳng hàng. Tìm tỷ số mà điểm G chia đoạn thẳng OH
d) CMR:
HGHOHCHBHA .3.2 ==++
15. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H; trên BD lấy điểm K
sao cho
.
6
1
;
5
1
BDBKBCBH ==
CMR: A, K, H thẳng hàng.
16. Cho ∆ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm được xác định bởi
CACCBCBBABAA −=−=−= ';';'
. CMR:
a) ∆ABC và ∆A’B’C’ có cùng trọng tâm.
b)
''' MCMBMAMCMBMA ++=++
với M là điểm bất kỳ.
17. Cho ∆ABC và M là điểm bất kỳ:
a) CMR: véc tơ:
MCMBMA .2.5.3 +−=
ν
là không đổi, không phụ thuộc
vào vị trí của điểm M.
b) Tìm điểm I sao cho:
0.2.3 =+− ICIBIA

.
c) CMR: đường thẳng MN xác định bởi
MCMBMAMN +−= .2.3
đi
qua một điểm cố định.
d) Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
MCMBMCMBMA −=+− .2.3
e) CMR: với 4 điểm A, B, C, M thỏa mãn hệ thức sau đây thì A, B,
C thẳng hàng.
0.3.2 =−+ MCMBMA
18. Cho 6 điểm bất kỳ A, B, C, D, E, F. CMR:
CDBFAECFBEAD ++=++
19. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD,
BC, DB, AC. CMR:
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 5
MCMAMBMAb
MCMBMAa
+=+
=++
)
0)
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
( )
( )
DCABPQb
DCABMNa
−−=
+=
2
1

)
2
1
)
20. Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G . Gọi A
1
, B
1
, C
1
, D
1
lần lượt là trọng
tâm của ∆BCD, ∆CDA, ∆DAB, ∆ABC. CMR:
a) G là trọng tâm của tứ giác A
1
B
1
C
1
D
1
.
b) A, G, A
1
thẳng hàng và tính:
.
1
GA
GA

21. Cho ∆ABC có AB = 3, AC = 4, I ∈ AD là phân giác trong của tam giác
sao cho:
7
10
=
AI
AD
, M là trung điểm của AC.
a) Tính
IDtheoAIDCtheoBD ;
b) Tính
ABtheoAIAD,
và
AC
c) Tính
ABtheoBMBI,
và
AC
. Từ đó suy ra B, I, M thẳng hàng.
22. Cho ∆ABC và điểm M tùy ý.
a) CMR:
MCMBMAMu .2.5.3)( +−=
không phụ thuộc vị trí điểm M.
b) Xác định điểm I sao cho:
0.2.3 =+− ICIBIA
c) Đường thẳng FQ thay đổi thỏa mãn:
PCPBPAPQ +−= .2.3
. CMR:
PQ luôn đi qua một điểm cố định.
d) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

MBMAMCMBMA −=+− 2.3:1
0
MCMBMCMBMA +=++ .3 2:2
0
( )
RkMCMBkMCMBMA ∈−=+− ; 2:3
0
23. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng ∆. Tìm trên ∆ điểm M sao cho:
MCMBMAa .3) ++
có giá trị nhỏ nhất.
MDMCMBMAb +++)
có giá trị nhỏ nhất.
MDMCMBMAc .3) +++
có giá trị nhỏ nhất.
24. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 1), B(2; 4), C(1; 3).
a) CMR: A, B, C thẳng hàng.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 6
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
b) Xác định tọa độ điểm E sao cho ∆ABE nhận M(1; 2) là trọng tâm
và tính S
∆
ABE
. Xác định tọa độ điểm D sao cho 4 điểm A, B, C, D lập thành một
hàng điểm điều hòa.
25. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5).
a) CMR A, B, C không thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác
ABCD là hình bình hành.
b) Xác định tọa độ điểm I sao cho:
0.2.3.2 =+− ICIBIA
c) Tìm tập hợp điểm M sao cho:

MBMAMCMBMA −=+− .2.3.2
26. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 4), B(-4; 0), C(2; -2).
a) CMR: ∃ ∆ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
d) Tính chu vi và tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
e) Tính độ dài trung tuyến BI của ∆ABC.
f) Đường thẳng AC cắt Ox, Oy tại M, N. Các điểm M, N chia
đoạn thẳng AB theo tỷ số nào?
g) Phân giác trong của góc ABC cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
h) Tìm điểm P ∈ Ox sao cho (PA + PC) nhỏ nhất?
27. Cho O là tâm và M là điểm tùy ý thuộc miền trong của tam giác đều
ABC. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC tại C
1
, B
1
; kẻ đường
thẳng song song với AC, cắt AB, BC tại C
2
, A
2
; kẻ đường thẳng song song với AB,
cắt AC, BC tại B
2
, A
1
. Gọi D, E, F là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB.
CMR: a) Các tam giác: MA
1
A

2
, MB
1
B
2
, MC
1
C
2
đều.
b)
( )
MFMEMDMCMCMBMBMAMA ++=+++++ .2
212121
c)
MOMFMEMD
2
3
=++
28. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm
của ∆ABC có các cạnh a, b, c. CMR:
a)
OHOCOBOA =++
b) H, G, O thẳng hàng và HO = 3.GO.
c)
⇔=++ 0 ICcIBbIAa
I là tâmđường tròn nội tiếp ∆ABC.
d)
⇔=++ 0 GCcGBbGAa
∆ABC đều.

29. Cho
a
không cùng phương với
b
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 7
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
a) CMR:
bau +=
không cùng phương với
bav −=
b) Tìm x sao cho:
bxau )12( −+=
cùng phương với
baxv +=
c) Tìm x sao cho:
bxau 3 +=
cùng phương với
baxv
3
2
).1( −−=
30. Cho ∆ABC vuông tại A, M là điểmm thay đổi trong tam giác và D, E, F
lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Tìm tập hợp những điểm M sao
cho:
MAMFMEMD =++
31. Cho ∆ABC. Lấy điểm A
1
thuộc đoạn BC thỏa mãn
CABA
11

.3−=
; C
1
thuộc đoạn AC sao cho
0
111
=++ CCBBAA
. Tính tỷ số:
AB
CB
1
1
và
BC
AC
1
1
.
32. Cho ∆ABC vuông tại C, H là hình chiếu của C trên AB. Lấy các điểm
M ∈ AB, N ∈ AC sao cho BM = BC, CN = CH. CMR: MN ⊥ AC.
33.Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J, K là các điểm xác định bởi:
)0(.,.,. ≠===
αβγγβα
ADAKACAJABAI
. CMR: điều kiện cần và đủ để I, J, K
thẳng hàng là:
γαβ
111
+=
.

34. Sử dụng phương pháp tọa độ, chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpski
biến dạng: Cho hai bộ số thực (a
1
, a
2
, a
3
, . . ., a
n
) và (b
1
, b
2
, b
3
, . . ., b
n
). CMR:
( ) ( )
.ba . . . ba ba b . . . b ba . . . a a
2
n
2
n
2
2
2
2
2
1

2
1
2
n21
2
n21
++++++≤+++++++

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi có duy nhất số thực t thỏa a
i
= t.b
i
∀
.,1 ni =
35. Chứng minh định ;lý Mênêlauýt:
Cho ∆ABC và cá điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc BC, CA, AB. Chứng minh
rằng điều kiện cần và đủ để A’, B’, C’ thẳng hàng là:
.1
'
'

'
'
.
'
'
=
BC
AC
AB

CB
CA
BA
36. Chứng minh định lý Xêva:
Cho ∆ABC và cá điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc BC, CA, AB. Chứng minh
rằng điều kiện cần và đủ để các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy hay song
song là:
.1
'
'

'
'
.
'
'
−=
BC
AC
AB
CB
CA
BA
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 8
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG:
A. LÝ THUYẾT:
§1. Giá trị lượng giá của một góc
1. Tỷ số lượng giác của góc
α

bất kỳ: (0
0
≤ α ≤180
0
)
M(x; y) là điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị, α là góc giữa Ox
và OM thì:
2. Các công thức cần nhớ:
*. Hai góc phụ nhau: α và 90
0
- α
sinα = cos(90
0
- α); cosα = sin(90
0
- α); tanα = cot(90
0
- α); cotα = tan(90
0
- α)
*. Hai góc bù nhau: α và 180
0
- α
sinα = sin(180
0
- α); cosα = - cos(180
0
- α);
tanα = - tan(180
0

- α); cotα = - cot(180
0
- α)
3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
Góc 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
sin 0
2
1
2
2
2
3
1

2
3
2
2
2
1
0
cos 1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
−
2
2
−
2
3
−
-1
tan 0
3
3
1
3


3−
-1
3
3
−
0
cot

3
1
3
3
0
3
3
−
-1
3−

§2. Tích vô hướng của hai véc tơ:
1. Góc giữa hai véc tơ:
*. Định nghĩa: Cho hai véc tơ
a
và
b
. Từ điểm O bất kỳ ta dựng các véc tơ
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 9
)00(cot;)900(tan;cos;sin
00

≠≠=≠≠===
αααααα
hayy
y
x
hayx
x
y
xy
)0(sin
sin
1
cot1);)0(cos
cos
1
tan1)
1cossin));0(sin
sin
cos
cot);)0(cos
cos
sin
tan)
2
2
2
2
22
≠=+≠=+
∀=+≠=≠=

α
α
αα
α
α
αααα
α
α
αα
α
α
α
ed
cba
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
,aOA =

.bOB =
Khi đó số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai véc
tơ
a
và
b
.
*. Ký hiệu:
( )
ba,
.
*. Chú ý: + Nếu
a

hoặc
b
là véc tơ
0
thì góc giữa hai véc tơ
a
và
b
là tùy ý
(từ 0
0
đến 180
0
).
+ Nếu
( )
ba,
= 90
0
thì
a
⊥
b
.
+
( )
ba,
= 0
0
⇔

a

b
;
( )
ba,
= 180
0
⇔
a

b
.
2. Tích vô hướng của hai véc tơ:
*. Định nghĩa:
*. Công thức hình chiếu:
' baba =
với
'b
là hình chiếu của véc tơ
b
trên
đường thẳng chứa véc tơ
.a

*. Các tính chất của tích vô hướng và các hằng đẳng thức:
.0.2; 1
00
babaabba ⊥⇔==
( ) ( ) ( )

4; 3
2
2
00
aaaabakbkabak ====
( ) ( ) ( ) ( )
7;.26; 5
22
0
222
00
babababbaabacabacba −=−++±=±±=±
3. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:
*. Định nghĩa: P
M/(O)
=

2222
RdRMOMBMA −=−=
*. Chú ý:
+ M ∈ (O) ⇔ P
M/(O)
.
+ M nằm trong đường tròn (O) ⇔ P
M/(O)
< 0.
+ M nằm ngoài đường tròn (O) ⇔ P
M/(O)
> 0.
+ M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm)

thì P
M/(O)
=
.
2
2
MTMT =
4.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và ứng dụng:
Trong hệ tọa độ
( )
jiO ;;
cho hai véc tơ
)';'();;( yxbyxa ==
. Khi đó:
.0''0.2;''.1
00
=+⇔=+= yyxxbayyxxba
( ) ( )
.0,
''.
''
,cos4;3
2222
0220
≠
++
+
=+= ba
yxyx
yyxx

bayxa
§3. Hệ thức lượng trong tam giác:
1. Định lý côsin:
Trong ∆ABC với BC = a, CA = b, AB =c, ta có:
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bccosA
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 10
);cos( bababa =
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
b
2
= c
2
+ a
2
- 2cacosB
c
2
= a
2
+ b
2
- 2abcosC
Từ định lý côsin suy ra các công thức tính côsin của các góc của ∆ABC:
2. Định lý sin: Với mọi ∆ABC nội tiếp đường tròn (O; R), ta có:

3. Công thức trung tuyến và ứng dụng:
.
2
2;
2
2;
2
21
2
222
2
222
2
2220
c
mba
b
mac
a
mcb
cba
+=++=++=+
.
42
;
42
;
42
2
222

2
222
2
222
2
0
cab
m
bac
m
acb
m
cba
−
+
=−
+
=−
+
=
3
0
I là trung điểm của đoạn thẳng AB =a. tập hợp những điểm M thỏa mãn
hệ thức MA
2
+ MB
2
=k
2
, trong đó k là một số không đổi cho trước ⇒

.
42
22
2
ak
MI −=
Từ đó: + Nếu 2k
2
> a
2
thì {M} là đường tròn tâm I bán kính
.
2
2
22
ak
R
−
=
+ Nếu 2k
2
= a
2
thì {M}≡ O.
+ Nếu 2k
2
< AB
2
thì {M}= Ø.
4. Các công thức tính diện tích

∆
ABC:
.
2
1
2
1
2
1
1
0
cbaABC
chbhahS ===
.sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
2
0
BcaAbcCabS
ABC
===
.
4
3

0
R
abc
S
ABC
=
.))()((4
0
cpbpappS
ABC
−−−=
.
2
)(
5
0
rcba
prS
ABC
++
==
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
1. Chứng minh các hằng đẳng thức:
a) cos
2
α( cos
4
α + sin
2
α.cos

2
α + sin
2
α + tg
2
α) = 1
b) 1 - (sin
6
α + cos
6
α) = 3sin
2
α cos
2
α
2. a) Rút gọn biểu thức:
( )






−
+
+
=
x
x
x

x
A
2
2
sin
cos1
1
sin
cos1
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 11
R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
===
;
2
cos;
2
cos;
2
cos
222222222
ab
cba

C
ca
bac
B
bc
acb
A
−+
=
−+
=
−+
=
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
b) Tính giá trị của A biết
2
1
cos −=x
3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
xcxaxcxay
2222
sincoscossin +++=
(Các giá trị của a và c thỏa mãn để biểu thức có nghĩa).
4. Chứng minh các biểu thức sau:
α
ααα
ααα
α
α
αα

αα
4
422
422
sinsincos
coscossin
);
sin1
cos
1cossin
1cossin
) tgba =
+−
+−
+
=
+−
−+
α
αα
α
α
αα
αα
cos
cotsin
sin1
)
cotcos
sin

)
2
6
22
22
=
−
=
−
−
g
btg
g
tg
c
5. CMR các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x.
A = 3(sin
4
x + cos
4
x) – 2(sin
6
x + cos
6
x)
B = cos
6
x + 2sin
4
x.cos

2
x + 3sin
2
x.cos
4
x + sin
4
x
C = (tgx + cotgx)
2
- (cotgx - tgx)
2
D =
1cot
1cot
1
2
−
+
+
− gx
gx
tgx
; E =
xxxx
2424
sin4coscos4sin +++
6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-2; 2), B(6; 4), C(4; 2)
a) CMR: ∃ ∆ABC. Tính cosB, tính S
∆

ABC
?
b) Tìm điểm M ∈ Ox sao cho ∆MAB vuông.
c) Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC.
d) Tìm điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình thang vuông tại E và A.
7. CMR: a) ∆ABC là đều nếu:





−−
−−
=
=
cba
cba
a
Cba
333
2
cos.2
b) ∆ABC là cân nếu:
2
cossin
sin
=
CB
A
8. Cho ∆ABC:

a)
26;22;32 −=== cba
. Tính góc A, B, C và R, h
a
, m
a
.
b) A = 60
0
; b = 6; c = 12. Tính góc B, C và a, R, r.
c) B = 105
0
; C = 30
0
; BH ⊥ AC tại H; BH = 3. Tính góc A và a, b, c,
S
ABC
.
9. Cho đường tròn (C) tâm O và đường thẳng d. Đường thẳng đi qua O và
vuông góc với d tại H cắt đường tròn tại A, B. Đường thẳng d
1
đi qua H cắt đường
tròn (C) tại M, N. Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng d tại M’, N’. CMR:
a)
HBHAHNHMANANAMAMAHAB .'.';'.' ===
b) Đường tròn ngoại tiếp ∆AM’N’ đi qua một điểm cố định khác điểm
A khi d
1
di động.
10. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua A, C vẽ đường tròn

(O) bất kỳ. Từ B hạ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn tại M, M’.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 12
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
a) Tìm tập hợp trung điểm I của MM’khi đường tròn (O) thay đổi (vẫn
đi qua A, C).
b) Gọi K là điểm đối xứng của A qua O. CMR:
ACABAKAI =
và tìm
tập hợp các điểm M, M’.
11. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua A, B vẽ đường tròn
(O) bất kỳ. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM, CM’ với (O).
a) Tìm tập hợp M, M’ khi (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B.
b) Gọi H là trung điểm của MM’. CMR:
COCHCM .
2
=
và đường
thẳng MM’ đi qua một điểm cố định nằm trên đường thẳng AB.
c) Tìm tập hợp những điểm H.
12. Cho đường tròn (O; R) và dây CD có trung điểm H. Trên tia đối của tia
DC lấy điểm S, qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt
SO, OH tại E, F.
a) CMR:
2
. ROSOE =
.
b) CMR:
OSOEOFOH =
.
c) Khi S di động trên tia đối của tia DC, CMR: đường thẳng AB luôn

đi qua một điểm cố định.
13. Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M di
động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A vẽ các tiếp tuyến MP, MP’ với
đường tròn. Dây PP’ cắt OM tại M’ và cắt OA tại B.
a) CMR: OA.OB = OM.OM’ = R
2
.
b) Khi M di động trên đường thẳng d thì tâm I của đường tròn nội
tiếp ∆MPP’ di chuyển trên đường nào?
14. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = sin
4
x - sin
2
x + cos
2
x.
15. Cho ∆ABC. Tìm {M}
ACABAMAB =
.
16. Cho ∆ABC có góc A nhọn. ở miền ngoài ∆ABC vẽ các tam giác vuông
cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm BC. CMR: AI ⊥ DE.
17. Cho ∆ABC nội tiếp (O), trung tuyến CC’ cắt (O) tại điểm thứ hai D.
CMR: CA
2
+ CB
2
= 2CC’.CD.
18. Cho ∆ABC nội tiếp (O). Một đường tròn (O’) thay đổi, đi qua A và trung
điểm M của BC cắt BC tại điểm thứ hai E, và cắt (O) tại điểm thứ hai F. Gọi F
1

là giao điểm của AF và BC. CMR: a)

1111
CFBFEFMF =
b)

1
22
MFMEMCMB ==
19. Cho ∆ABC. CMR:
acbacbacbaa
hhhr
c
hhhr
b
rrrrh
a
1111
);
1111
);
11112
) −+=++=+=−=
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 13
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
20. CMR:
S
cba
gCgBgA
4

cotcotcot
222
++
=++
(ĐH Dược Hà nội -
1998)
21. Cho hình thang cân ABCD , đáy lớn AB, góc nhọn ở đáy bằng 60
0
. Biết
.;; babADaAB >==
Hãy biểu diễn véc tơ
BC
theo
a
và
b
. Tìm quan hệ giữa
a
và
b
để AC ⊥ BD. (ĐH Giao thông vận tải-
1998)
22. Gọi AD là đường phân giác của góc A của ∆ABC. Hãy biểu diễn
AD
qua
AB
và
AC
. (Học viện kỹ thuật mật mã - 1999).
23. Cho ∆ABC trọng tâm G. Ký hiệu các góc GAB, GBC, GCA lần lượt là

α, β, γ. CMR:
.
4
)(3
cotcotcot
222
S
cba ++
=++
γβα
(ĐH Ngoại thương -
2000).
24. CMR: Nếu ∆ABC thoả mãn điều kiện
Scba .272
4
=++
thì tam giác đó
là tam giác đều. (Cao đẳng Sư phạm Hà nội - 2001).
25. Cho ∆ABC, CMR:






++≥
−
+
−
+

− cbacpbpap
111
2
111
.
(Học viện Ngân hàng - 2001)
26. Cho hình thang cân ABCD có các đáy AD, BC.
0
30=
∧
BAD
. Biết
bADaAB == ,
. Hãy biểu diễn các véc tơ
BDACCDBC ,,,
theo các véc tơ
ba,
.
(ĐH Luật Hà nội - 1998).
27. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR:
a)
CDAB ⊥
⇔ AB
2
+ BD
2
= AD
2
+ BC
2

.
b)
CDAB ⊥
và
BCAD ⊥
thì
BDAC ⊥
(ĐH Luật Hà nội - 2000)
28. CMR: ∆ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:





−+=−+
−
+
=
+
3332
22
)(
4
2
sin
cos1
acbacba
ba
ba
C

C
(ĐH Y khoa Thái bình -
2000)
29. Cho ∆ABC, đường thẳng đi qua trọng tâm G và tâm I của đường tròn nội
tiếp vuông góc với phân giác trong của góc C. Gọi a, b, c là ba cạnh của tam giác
ABC. CMR:
ba
abcba
+
=
++ 2
3
(ĐH Cảnh sát nhân dân - 2000).
30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC có: A(-1; 2); B(2; 0); C(-3; 1).
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 14
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
a) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
b) Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho
ABCABM
SS
3
1
=
.
(ĐH Sư phạm kỹ thuật TP Hồ Chí Minh - 2001).
31. Cho bốn véc tơ
ODOCOBOA ,,,
có độ dài bằng nhau và
0=+++ ODOCOBOA
.

a) CMR: góc giữa hai véc tơ bất kỳ bằng góc giữa hai véc tơ còn lại.
b) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
32. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3a, AC = 4a, điểm I thuộc
cạnh AB sao cho IA = 2IB, CI cắt AH tại E. Tính CE.
33. Cho ∆ABC vuông tại A.
a) Giả sử hai trung tuyến AM = 2, BN = 3. Tính các cạnh BC, CA, AB.
b) Kéo dài BC một đoạn CD = AB, giả sử AB = 1 và góc CAD bằng 30
0
.
Tính BC.
34. Cho góc vuông xOy, A ∈ Ox, OA = a > 0. Đường tròn (γ) bán kính R
tiếp xúc với Ox tại A và cắt Oy tại B và C. CMR:
.2.;
111
;4
222
222
RaACAB
aACAB
RACAB ==+=+
35. Tính góc A của ∆ABC trong mỗi trường hợp sau:
a) b(b
2
– a
2
) = c(a
2
– c
2
). b) bc.cosA + ca.cosB + ab.cosC = a

2
.
36. Cho ∆ABC.
a) Biết AD là đường cao, AC = 2, AB = 3, BC = 4. Chứng minh
∆ABC có một góc tù và tính CD.
b) Biết A = 60
0
,
32=BC
, AC – AB = 2. Tính AB, AC.
37. Cho ∆ABC. CMR:
.
))((
2
sin;
)(
2
cos)
bc
cpbpA
bc
appA
a
−−
=
−
=
b) a = b.cosC + c.cosB.
.
2

cos.
2
cos.
2
cos.)
2222
p
C
ab
B
ca
A
bcc =++
.3
2
cos)(
2
cos)(
2
cos)()
222
p
C
ba
B
ac
A
cbd =+++++
38. Cho hai đường tròn (O
1

; R
1
), (O
2
; R
2
) cắt nhau tại A và B (O
1
, O
2
ở về
hai phía đối với đường thẳng AB). Đường thẳng (d) tiếp xúc với (O
1
) tại C và (O
2
)
tại D (C và A ở về hai phía đối với đường thẳng O
1
O
2
).
a) Đặt
βα
==
∧∧
DAOCOA
21
,
. Tính AC theo R
1

và α, AD theo R
2
và β.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 15
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ACD. CMR:
.
21
RRR =
39. Đường tròn nội tiếp ∆ABC tiếp xúc với cạnh BC tại D. Biết BC = 9,
cosC = 2/3, AD = DC. Đặt AD = x. Tính AC, AB theo x. Từ đó suy ra AB, AC.
40. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AC, BD.
CMR: a) AB
2
+ BC
2
+ CD
2
+ DA
2
= AC
2
+ BD
2
+ 4IK
2
.
b) Suy ra một điều kiện cần và đủ tứ giác ABCD là hình bình hành.
41. cho ∆ABC vuông ở B có AB = 2BC = 2a, l là một độ dài cho trước.
a) Tìm {M} thỏa mãn: MA

2
+ MB
2
+ 2MC
2
= l
2
.
b) Tìm điểm N trên đường tròn đường kính AB thỏa NB
2
– NC
2
= l
2
.
42. Cho ∆ABC. CMR:
.
4
)2)((
)
22222
2222
cbacb
mcmba
cb
−−−
=−
b) Nếu
1≠=
b

c
m
m
c
b
thì cotB + cotC = 2cotA.
c) Nếu
b
c
m
m
c
b
=
và A = 60
0
thì ∆ABC đều.
43. Cho ∆ABC. CMR:
.
2
tan
2
tan);
2
cot
2
cot)







+=






+=
CB
rab
CB
raa
a
.
2
cos.
2
cos.
2
sin.4);
2
sin.
2
sin.
2
sin.4)
CBA

Rrd
CBA
Rrc
a
==
.coscoscos1) CBA
R
r
e ++=+
44. Cho ∆ABC. CMR: a, b, c là ba nghiệm của phương trình:
x
3
– 2px
2
+ (4rR + p
2
+ r
2
)x – 4rRp = 0 thì suy ra:
ab + bc + + ca = 4rR + p
2

+ r
2
; abc = 4rRp.
45. Cho ∆ABC.
a) CMR:
.
4
cot

222
S
BCACAB
A
−+
=
b) AM là trung tuyến và góc AMB bằng α. CMR: cotα = cotB – cotC.
46. Cho ∆ABC. CMR:
( )
);2sin2sin
4
1
)
22
cba
rrrrSbBcCbSa =+=
4
)()(2
)
444222
cbacba
Sc
++−++
=
.
47. Cho ∆ABC, gọi l
a
là phân giác trong của góc A. CMR:
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 16
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III

).2(
6
13
);
)(2
2
cos.
2
acablb
cb
apbcp
A
cb
bc
l
aa
−+≤
+
−
=
+
=
48. Cho ∆ABC.
a) Gọi M là trung điểm của BC. Một đường thẳng không đi qua A cắt
các đoạn AB, AC, AM lần lượt tại B’, C’, M’. CMR:
.
'
2
'' AM
AM

AC
AC
AB
AB
=+
b) Hai điểm P, Q Lần lượt di động trên tia AB, AC sao cho
lAQAP
111
=+
(l là một độ dài cho trước). CMR: đường thẳng PQ luôn đi qua một
điểm cố định.
49. Cho ∆ABC.
a) I là điểm nằm trong ∆ABC và AI cắt BC tại A’, BI cắt CA tại B’,
CI cắt AB tại C’. CMR:
.
''
'
'
'
IA
IA
BC
AC
CB
AB
=+
Từ đó suy ra:
.
1
'

'
'
'
1
++
=
BC
AC
CB
AB
S
S
ABC
IBC
b) Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A
1
, B
1
, C
1
sao
cho AB = 2 AC
1
, BC = 3BA
1
, CA = 4CB
1
. BB
1
cắt CC

1
tại M, CC
1
cắt AA
1
tại N,
AA
1
cắt BB
1
diện tích P. Tính diện tích của các tam giác A
1
B
1
C
1
và MNP theo diện
tích S của tam giác ABC.
50. Cho ∆ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn (O; R), AB = R.
a) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Tính P
G/(O)
.
b) Kéo dài BG cắt (O) tại D. Tính GD.
51. Cho đường tròn (O; R) và điêm A cố định ở ngoài (O) và OA = 2R. BC
là một đường kính di động của (O). Gọi (I) là đường tròn ngọai tiếp ∆AC. Đường
thẳng AO cắt (I) tại D ≠ A.
a) Tính OD, từ đó suy ra D là điểm cố định.
b) Kéo dài AO cắt (O) tại K. Tính độ dài tuyếp tuyến KT kẻ từ K tới
đường tròn (I). Tiếp điểm T di động trên đường nào khi BC quay xung quanh O.
52. Cho ∆ABC có góc B tù, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu

của H trên AB, AC.
a) CMR: tứ giác BCFE nội tiếp.
b) EF cắt BC tại I, IA cắt đường tròn đường kính AH tại G. CMR:
A, B, C, G cùng thuộc một đường tròn.
53. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R, trung trự c của OA cắt OA tại
I và nửa đường tròn tại C. Một đường thẳng bất kỳ đi qua A cắt IC và đường tròn
lần lượt tại M và N.
a) CMR: AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆CMN.
b) Xác định vị trí của M để đường tròn (ACM) tiếp xúc với AB.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 17
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
54. Cho ∆ABC. Gọi và CN lần lượt là trung tuyến của ∆ABC. Gọi (O) và
(O’) là các đường tròn đường kính BM, CN.
a) CMR: A có cùng phương tích đối với (O) và (O’).
b) Gọi P, Q là giao điểm của (O) và (O’). CMR: A, P, Q thẳng hàng.
55. Cho 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự đó. (O) và (O’) lần lượt là
các đường tròn di động qua A, B và C, D và (O) ∩ (O’) ={M, N}.
a) CMR: đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Nếu (O) và
(O’) tiếp xúc nhau tại T thì kết quả trên thay đổi thế nào?
b) Cho trước (O), hãy dựng đường tròn (O’) tiếp xúc với (O).
56. Cho đường tròn (O; R) và điểm A ở ngoài (O). Qua A vẽ cát tuyến ABC
với (O) và BC = 2AB =
.3R
Gọi I là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính
AI cắt (O) tại P và Q. Tính khoảng cách từ A đến PQ.
57. Cho ∆ABC biết a = 17,4m; B = 44
0
30’; C = 64
0
. Tính A, b, c.

58. Cho ∆ABC có a = 49,4cm; b = 26,4cm; C = 47
0
20’. Tính c, A, B.
59. Cho ∆ABC có a = 24cm; b = 13cm; c = 15cm. Tính A, B, C.
60. Người ta muốn biết chiều cao h = CD của một cái tháp với chân C và
đỉnh D. Từ hai điểm A, B với AB = 24m sao cho ba điểm A, B, C thẳng
hàng, người ta còn đo dược góc ACD bằng 63
0
, góc CBD bằng 48
0
. Tính chiều cao
h của tháp.
61. Để tính khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến một gốc cây C trên
một cù lao ở giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ sông với A sao
cho từ A có thể nhìn thấy điểm C với góc CAB bằng 45
0
, góc CBA ằng 70
0
và
AB = 40m. Tính khoảng cách AC.
62. Cho ∆ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H CMR:
( )
.
2
1

222
ABCACCHCFHBEAHAD ++=++
63. (Công thức Ơle cho tam giác). Cho ∆ABC. Gọi (O; R) và (I; r) là hai
đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆ABC. CMR: IO

2
= R
2
– 2Rr.
64. (Công thức Ơle cho tứ giác). Cho tứ giác ABCD có K, L là trung điểm
của AC, BD. CMR:
( )
.
4
1
2222222
BDACDACDBCABKL −−+++=
65. ∆AC có các goác A, B, C thỏa mãn hệ thức sin
2
B + sin
2
C = 2sin
2
A.
Chứng minh rằng A ≤ 60
0
. (ĐH Sư phạm Hà nội 2001)
66. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:
27
2
sin
1
1
2
sin

1
1
2
sin
1
1 ≥












+













+












+
CBA
. Khi nào đẳng thức xảy ra?
(ĐH Sư phạm TP. HCM).
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 18
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
67. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của ∆ABC thỏa mãn hệ thức: c
4
= a
4
+ b
4
.
CMR: ∆ABC có ba góc nhọn và 2sin
2
C = tanAtanB.

(ĐH Thủy lợi 2001).
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 19
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG:
A.LÝ THUYẾT:
§1. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
1. Véc tơ pháp tuyến của một đường thẳng:
*. Định nghĩa: Véc tơ
0≠n
được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
∆ nếu giá của
n
vuông góc với ∆.
*. Chú ý:
+
n
là véc tơ pháp tuyến của ∆ ⇒
nk
cũng là véc tơ pháp tuyến của ∆.
+ Đường thẳng ∆ hoàn toàn được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà
nó đi qua và biết một véc tơ pháp tuyến của ∆.
2. Phương trình tổng quát củamột đường thẳng:
*. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) và có một véc tơ pháp tuyến
);( ban =

có phương trình tổng quát là: a(x – x
0
) + b(y – y
0
) = 0 hay ax + by +
c = 0 với c = - (x
0
+ y
0
) và a
2
+ b
2
≠ 0.
*. Các dang đặc biệt:
+ Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với trục Ox.
+ Đường thẳng ax + c + 0 song song hoặc trùng với trục Oy.
+ Đường thẳng ax + by =0 đi qua gốc tọa dộ.
+ Đường thẳng
1=+
b
y
a
x
đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) (a, b ≠ 0).
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn).
+ Khi ≠ 0 phương trình tổng quát đưa về dạng: y = kx + m với k là
hệ số góc, k = tanα, α = (Ox, Mt).
3.V ị trí tương đối của hai đường thẳng:
Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát:

(∆
1
): a
1
x + b
1
y = 0 và (∆
2
): a
2
x + b
2
y = 0.
a) (∆
1
) cắt (∆
2
) ⇔
.0
22
11
≠
ba
ba
b) (∆
1
) // (∆
2
) ⇔



















≠
≠
=
.0
.0
.0
22
11
22
11
22
11
ac

ac
cb
cb
ba
ba
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 20
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
c) (∆
1
) ≡ (∆
2
) ⇔
22
11
22
11
22
11
ac
ac
cb
cb
ba
ba
==
§2. Phương trình tham số của đường thẳng:
1. Véc tơ chỉ phương của một đường thẳng:
*. Định nghĩa: Véc tơ
0≠u
được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng

∆ nếu giá của
u
song song hoặc trùng với ∆.
*. Chú ý:
+
u
là véc tơ chỉ phương của ∆ ⇒
uk
cũng là véc tơ chỉ phương của ∆.
+ Đường thẳng ∆ hoàn toàn được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà
nó đi qua và biết một véc tơ chỉ phương của ∆.
+ Đường thẳng ∆ có véc tơ pháp tuyến
);( ban =
thì ∆ có một véc tơ chỉ
phương là
);( abu −=
.
2. Phương trình tham số của một đường thẳng:
*. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) và có một véc tơ chỉ phương
);( bau =
có phương trình tham số
).0(
22
0

0
≠+



+=
+=
ba
btyy
atxx
3. Phương trình chính tắc của một đường thẳng:
*. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) và có một véc tơ chỉ phương
);( bau =
có phương trình chính tắc
).0,0(
00
≠≠
=
=
−
ba
b
yy
a

xx
*. Nếu a = 0 (hoặc b = 0) thì đường thẳng không có phương trình chính tắc,
khi đó nó chỉ có phương trình tổng quát x – x
0
= 0 (hoặc y – y
0
= 0).
§3. Khoảng cách và góc:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
*. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
) đến đường thẳng (∆): ax + by + c = 0
được tính theo công thức:
.),(
22
00
0
ba
cbyax
Md
+
++
=∆
*. Hai điểm M
1
(x

1
; y
1
), M
2
(x
2
; y
2
) ∉ (∆): ax + y + c = 0 thì:
+ M
1
, M
2
nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ (ax
1
+ by
1
+ c)( ax
2
+ by
2
+ c) > 0.
+ M
1
, M
2
nằm khác phía đối với ∆ ⇔ (ax
1
+ by

1
+ c)( ax
2
+ by
2
+ c) < 0.
2. Góc giữa hai đường thẳng:
*. Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo
nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b.
*. Ký hiệu góc giữa hai đường thẳng a và b.là (a, b).
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 21
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
*. Chú ý:
+ 0
0
≤ (a, b) ≤ 90
0
.
+ (a, b) = 0
0
⇔ a // b hoặc a ≡ b.
+ (a, b) = 90
0
⇔ a ⊥ b.
+ Nếu
u
,
v
lần lượt là véc tơ chỉ phương của a, b thì:
. (a, b) = (

u
,
v
) ⇔ (
u
,
v
) ≤ 90
0
.
. (a, b) = 180
0
- (
u
,
v
) ⇔ (
u
,
v
) > 90
0
.
§4. Đường tròn:
1. Phương trình đường tròn:
*. Trên mặt phẳng tọa độ, đường tròn (C) tâm I(x
0
; y
0
) bán kính R có phương

trình: (x – x
0
)
2
+ (y – y
0
)
2
= R
2
.
2. Nhận dạng phương trình đường tròn:
Phương trình x
2
+ y
2
+ 2ax + 2by + c = 0 với điều kiện a
2
+ b
2
– c > 0 là
phương trình của đường tròn tâm I(-a; -b), bán kính
.
22
cbaR −+=
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
*. Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (I; R) ⇔ d(I, ∆) = R.
*. Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến tại M ∈ (I; R) của đường tròn ⇔ ∆ đi qua M
và nhận véc tơ
IM

làm véc tơ pháp tuyến.
§5. Đường Elíp:
1. Định nghĩa:
*. Cho hai điểm cố định F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c (c > 0).
(E) = {M  MF
1
+ MF
2
= 2a}, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.
*. Hai điểm F
1
, F
2
gọi là các tiêu điểm, 2c là tiêu cự của elíp
2. Phương trình chính tắc của Elíp:
*. Phương trình chính tắc của elíp:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho F
1
(-c; 0), F
2
(c; 0) thì elíp có phương trình:
(E):

( )
.,01
222
2
2
2
2
cabba
b
y
a
x
−=>>=+
*. Các bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) ∈ (E) là:
.;
11
a
cx
aMF
a
cx
aMF −=+=
3. Hình dạng của elíp:
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 22
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
a) Tính đối xứng của elíp:
Elíp (E):
)0(1
2
2

2
2
>>=+ ba
b
y
a
x
có nhận hai trục tọa độ làm trục đối xứng và
gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
b) Hình chữ nhật cơ sở:
*. Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt các trục tọa độ tại A
1
, A
2
,
B
1
, B
2
gọi là các đỉnh của elíp.
*. Trục Ox (hay đoạn A
1
A
2
) được gọi là trục lớn. Trục Oy (hay đoạn B
1
B
2
)
được gọi là trục bé.

*. Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt nhau tại các điểm P, Q,
R, S tạo thành hình chữ nhật cơ sở PQRS.
c) Tâm sai của elíp:
a
c
e =
⇒ 0 < e < 1 và
.1
2
22
e
a
ca
a
b
−=
−
=
d) Elíp và phép co đường tròn:
Đường tròn (T): x
2
+ y
2
= a
2
,
bằng phép thế x’ = x, y’ = ky có thể đưa về elíp
có phương trình (E):
).(1
2

2
2
2
kab
b
y
a
x
==+
§6. Đường Hypebol:
1. Định nghĩa:
*. Cho hai điểm cố định F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c (c > 0).
(H) = {M   MF
1
- MF
2
 = 2a}, trong đó a là số cho trước nhỏ hơn c.
*. Hai điểm F
1
, F
2
gọi là các tiêu điểm, 2c là tiêu cự của hypebol.

2. Phương trình chính tắc của Hypebol:
*. Phương trình chính tắc của hypebol:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho F
1
(-c; 0), F
2
(c; 0) thì hypebol có phương trình:
(H):
( )
.,0,01
222
2
2
2
2
acbba
b
y
a
x
−=>>=−
*. Các bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) ∈ (H) là:
.;
11
a
cx
aMF
a
cx
aMF −=+=

3. Hình dạng của Hypebol:
a) Tính đối xứng của hypebol:
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 23
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
*. Hypebol (H):
)0,0(1
2
2
2
2
>>=− ba
b
y
a
x
có nhận hai trục tọa độ làm trục đối
xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
*. Hai giao điểm của (H) với trục Ox được gọi là hai đỉnh của hypebol.
*. Trục Ox (chứa hai tiêu điểm) gọi là trục thực, 2a gọi là độ dài trục thực.
*. Trục Oy (không chứa hai tiêu điểm) gọi là trục ảo, 2b gọi là độ dài trục
ảo.
*. Hypebol gồm hai nhánh nằm về hai phía trục ảo.
*. Tâm sai của hypebol:
a
c
e =
, do đó e > 1.
b) Hình chữ nhật cơ sở:
*. Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt nhau tại A, B, C, D tạo
thành hình chữ nhậtcơ sở ABCD.

*. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo AC, BD của hình chữ nhật cơ sở
gọi là hai đường tiệm cận của hypebol, phương trình của hai đường tiệm cận đó là:
.x
a
b
y ±=
§7. Đường Parabol:
1. Định nghĩa:
Cho điểm F cố định và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F.
(H) ={M  MF = d(M, ∆)}.
Điểm F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng ∆ được gọi là đường
chuẩn của parabol (P). Khảng cách từ F đến ∆ được gọi là tham số tiêu của
parabol.
2. Phương trình chính tắc của Parabol:
*. Phương trình chính tắc của parabol:
Chọn hệ trục tọa độ sao cho O là trung điểm của FP = p (tham số tiêu), F ∈
Ox, P là hình chiếu của F trên ∆. Khi đó






−







0;
2
,0;
2
p
P
p
F
và parabol có phương
trình:
y
2
= 2px (p > 0), đường chuẩn ∆:
.
2
p
x −=
3. Các tính chất của parabol:
Từ phương trình chính tắc của parabol ta suy ra:
*. Parabol nằm về bên phải của trục tung.
*. Parabol có trục đối xứng là Ox.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 24
HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III
*. Parabol cắt Ox tại điểm O và đó cũng là điểm duy nhất của Oy thuộc
parabol
Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của parabol.
Chú ý:
*. Parabol y = ax
2
+ bx + c (a ≠ 0) có thể đưa về dạng Y = aX

2
bằng phép thế
biến:







−=
∆
−=
a
b
Xx
a
Yy
2
4
*. Paraol y = ax
2
+ bx + c có tiêu điểm






−

a
b
F
4
21
;0
, đường chuẩn ∆:
.
4
1
a
y
∆+
−=
§8. Ba đường cônic:
1. Đường chuẩn của Elíp:
Elíp
).0(1
2
2
2
2
>>=+ ba
b
y
a
x
Khi đó các đường thẳng:
0:,0:
21

=−∆=+∆
e
a
x
e
a
x
được gọi là các đường chuẩn của elíp ứng với các tiếu
điểm F
1
(-c; 0), F
2
(c; 0).
Tính chất: ∀M ∈ (E), ta luôn có:
).1(
);();(
2
2
1
1
<=
∆
=
∆
ee
Md
MF
Md
MF
1. Đường chuẩn của Hypebol:

(H):
).0,(1
2
2
2
2
>=− ba
b
y
a
x
Khi đó các đường thẳng:
0:,0:
21
=−∆=+∆
e
a
x
e
a
x
được gọi là các đường chuẩn của hypebol ứng với các tiếu điểm F
1
(-c; 0), F
2
(c; 0).
Tính chất: ∀M ∈ (H), ta luôn có:
).1(
);();(
2

2
1
1
>=
∆
=
∆
ee
Md
MF
Md
MF
3. Định nghĩa đường cônic:
Cho điểm F cố định và đường thẳng ∆ cố định không đi qua F. Tập hợp
những điểm M sao cho tỷ số
),( ∆Md
MF
ằng một số dương e không đổi cho trướ được
gọi là đường cônic.
Tính chất: Elíp là đường cônic có tâm sai e < 1.
Parabol là đường cônic có tâm sai e = 1.
Hypebol là đường cônic có tâm sai e > 1.
Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 25