Các bài toán về phương trình bậc hai
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (363.68 KB, 9 trang )
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
40
CHUYÊN ĐỀ 6
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI AX
2
+ BX + C = 0
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1. Giải phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0
Cách 1: Giải theo trường hợp đặc biệt:
+ Nếu a + b + c = 0
x
1
= 1; x
2
=
c
a
+ Nếu a - b + c = 0
x
1
= -1; x
2
=
c
a
Cách 2: Áp dụng công thức nghiệm để giải:
bước 1: Lập
= b
2
- 4ac
Bước 2: + Nếu
> 0 thì phương trình có hai nghiệm x
1
=
2
b
a
và x
2
=
2
b
a
+ Nếu
= 0 thì phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=
2
b
a
+ Nếu
< 0 thì phương trình vô nghiệm.
Lưu ý: Có thể giải theo công thức nghiệm thu gọn nếu b
2
2. Tìm điều kiện để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có:
a. Hai nghiệm phân biệt: + Lập
= b
2
- 4ac ( hoặc
' = b'
2
- ac )
+ Giải bất phương trình
(hoặc
') > 0
b. Nghiệm kép: Giải phương trình
(hoặc
') = 0
c. Vô nghiệm: Giải bất phương trình
(hoặc
') < 0
d. Có nghiệm: Giải bất phương trình
0
hoặc a.c < 0
e. Hai nghiệm dương: giải hệ phương trình:
0
0
0
S
P
Với
= b
2
- 4ac; S = x
1
+ x
2
=
b
a
và P = x
1
.x
2
=
c
a
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
41
f. Hai nghiệm âm: giải hệ phương trình:
0
0
0
S
P
g. Hai nghiệm trái dấu: Giải phương trình: P < 0
h. Hai nghiệm cùng dấu: Giải hệ phương trình:
0
0
P
k. Hai nghiệm đối nhau: giải hệ phương trình:
0
0
S
l. Hai nghiệm nghịch đảo: Giải hệ phương trình:
0
1
P
3. Tính biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai:
Cách 1:
Bước 1: Chứng minh
( hoặc
' )
0
Bước 2: Tính S = x
1
+ x
2
và P = x
1
.x
2
Bước 3: Biến đổi biểu thức chứa nghiệm thành biểu thức chỉ chứa tổng x
1
+ x
2
và tích x
1
.x
2
Bước 4: Thay S, P vào biểu thức vừa biến đổi.
Cách 2: + Giải phương trình được nghiệm x
1,
x
2
+ Thay giá trị x
1
và x
2
vào biểu thức cần tính
Ví dụ: Cho phương trình x
2
- 4x
3
+ 8 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
. Tính giá trị
của biểu thức: Q =
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
5 5
x x x x
x x x x
Giải: phương trình x
2
- 4x
3
+ 8 = 0 có
' =
2
2 3
- 8 = 12 - 8 = 4 > 0
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
Theo hệ thức vi-ét ta có: S = x
1
+ x
2
=
4 3
b
a
P = x
1
.x
2
=
c
a
= 8
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
42
Q =
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
5 5
x x x x
x x x x
=
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 2 1
6 10
5
x x x x
x x x x
=
2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
6 2 10
5 2
x x x x x x
x x x x x x
=
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
6 2
5 2
x x x x
x x x x x x
Thay S và P vào Q ta có: Q =
2
2
6 4 3 2.8
16 18 1
17
40.16 3 1 80
5.8 4 3 2.8
5. Tìm hai số biết tổng bằng S và tích bằng P:
Thay giá trị của S, P vào phương trình bậc hai X
2
- SX + P = 0 và giải ta được
hai nghiệm là hai số cần tìm.
6.Tìm điều kiện m để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (6) có một nghiệm x =
(
là
hằng số). Tìm nghiệm còn lại:
Cách 1:
Bước 1: Giải phương trình (6) với điều kiện
0 (hoặc
'
0) được hai
nghiệm x
1
, x
2
Bước 2: Cho x
1
=
hoặc x
2
=
ta tìm được m
Bước 3: Thay m vừa tìm được vào nghiệm còn lại hoặc thay m vào phương
trình (6) và giải ta được 1 nghiệm bằng
và một nghiệm còn lại.
Cách 2: Vận dụng hệ thức vi-ét ta có: S = x
1
+ x
2
x
2
= S - x
1
= S -
hoặc P = x
1
.x
2
x
2
= P : x
1
= P :
Từ đó tìm được m và nghiệm còn lại.
Ví dụ: Cho phương trình x
2
- 2(m + 1)x + 3m = 0 . Tìm m để phương trình có một
nghiệm bằng 3 và tính nghiệm kia.
Giải:
' = (m + 1)
2
- 3m = m
2
- m + 1 = (m -
1
2
)
2
+
3
4
> 0 ( vì
2
1
0
2
m
)
2
1
1 1
x m m m
2
2
1 1
x m m m
Với x
1
= 3
2
1 1 3
m m m
2
1 2
m m m
m
2
- m + 1 = 4 - 4m + m
2
m = 1
Thay m = 1 vào phương trình x
2
- 2(m + 1)x + 3m = 0 được: x
2
- 4x + 3 = 0
Theo hệ thức vi-ét ta có: S = x
1
+ x
2
= 4
x
2
= 4 - x
1
= 4 - 3 = 1
Với x
2
= 3
2
1 1 3
m m m
2
2 1
m m m
m
2
- 4m + 4 = m
2
- m + 1
3m = 3
m = 1
Thay m = 1 vào phương trình x
2
- 2(m + 1)x + 3m = 0 ta được: x
2
- 4x + 3 = 0
Vì a + b + c = 0
x
1
= 1, x
2
= 3
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
43
Vậy với m = 1 thì phương trình x
2
- 2(m + 1)x + 3m = 0 có một nghiệm bằng 1 và
nghiệm còn lại bằng 3
7. Tìm m để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (7) ( trong các hệ số a, b hoặc c có
chứa m ) có hai nghiệm thỏa điều kiện (*) chứa nghiệm x
1
, x
2
của phương trình
(7)
Cách giải:
Bước 1: Khẳng định phương trình (7) có
0 (hoặc
'
0) cúng có thể tìm
điều kiện theo m để
0 (hoặc
'
0)
Bước 2: Tính S = x
1
+ x
2
và P = x
1
.x
2
Bước 3: Biến đổi điều kiện (*) thành biểu thức chỉ chứa S , P và thay S, P ở
bước hai vào điều kiện (*) ta được điều kiện (**) theo m.
Bước 3: Giải điều kiện (**) ta tìm được m.
Ví dụ: Cho phương trình x
2
- 4x + m + 1 = 0. Tìm m sao cho phương trình có 2
nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Giải:
Phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi và chỉ khi
'
0
4 1 0
m
3
m
Với
3
m
. Theo hệ thức vi-ét ta có:
S = x
1
+ x
2
=
b
a
= 4 P = x
1
.x
2
=
1
c
m
a
x
1
2
+ x
2
2
= 10
(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 10
4
2
- 2(m + 1) = 10
16 - 2m -2 = 10
2m = 4
m = 2 ( thỏa
3
m
)
Vậy với m = 2 thì phương trình x
2
- 4x + m + 1 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa
x
1
2
+ x
2
2
= 10
8. Tìm điều kiện để biểu thức chứa nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 đạt
cực trị (GTLN hoặc GTNN) với hệ số a, b, c có chứa m.
Cách giải:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để
0 (hoặc
'
0)
Bước 2: Tính S = x
1
+ x
2
và P = x
1
.x
2
Bước 4: Biến đổi biểu thức chứa nghiệm thành biểu thức chỉ chứa tổng và tích
của hai nghiệm và thay S và P vào biểu thức
Bước 4: Áp dụng phương pháp tìm cực trị của biểu thức. Từ đó tìm được giá trị
m tương ứng
Bước 5: Đối chiếu với điều kiện và kết luận
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
44
Ví dụ: Cho phương trình x
2
- ax + a - 1 = 0. Tìm a để phương trình có hai nghiệm x
1
,
x
2
thỏa mãn x
1
2
+ x
2
2
(*) đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Phương trình luôn có nghiệm x
1
, x
2
vì
= a
2
- 4(a - 1)
= a
2
- 4a + 4
= (a - 2)
2
0
Theo hệ thức vi-ét ta có: S = x
1
+ x
2
=
b
a
= a và P = x
1
.x
2
=
c
a
= a - 1
Ta có: x
1
2
+ x
2
2
- x
1
x
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
(*)
Thay S, P vào biểu thức (*) ta được:
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= a
2
- 2(a - 1) = a
2
- 2a + 2 = (a - 1)
2
+ 1
Vì (a - 1)
2
0 nên x
1
2
+ x
2
2
= (a - 1)
2
+ 1
1
x
1
2
+ x
2
2
đạt GTNN là 1
a - 1 = 0 hay a = 1
Lưu ý: + Ta có thể bỏ qua bước tìm điều kiện
'
0 nhưng khi giải ra a = 1 thì phải
thay giá trị a vào phương trình x
2
- ax + a - 1 = 0 và kiểm tra
'
0
+ Nếu việc giải phương trình theo tham số a là đơn giản hoặc biểu thức (*)
không thể biến đổi thành tổng và tích thì ta giải ra nghiệm x
1
, x
2
rồi thay vào biểu
thức để tìm cực trị.
9. Tìm hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm x
1
, x
2
không phụ thuộc vào tham
số m:
Cách giải:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để
0 (hoặc
'
0)
Bước 2: Tính S = x
1
+ x
2
và P = x
1
.x
2
Bước 3: Từ S = x
1
+ x
2
ta rút m theo x
1
, x
2
. Giả sử m = A(x
1
; x
2
)
Từ P = x
1
.x
2
ta rút m theo x
1
, x
2
. Giả sử m = B(x
1
; x
2
)
Bước 4: Lập A(x
1
; x
2
) = B(x
1
; x
2
) là hệ thức cần lập.
Ví dụ: Cho phương trình x
2
- 2(m - 1)x + 2m - 3 = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ độc lập
giữa hai nghiệm x
1
, x
2
không phụ thuộc vào tham số m.
Giải:
'
= (m - 1)
2
- 2m + 3 = m
2
- 2m + 1 - 2m + 3 = m
2
- 4m + 4 = (m - 2)
2
0
phương trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
theo hệ thức vi-ét ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m - 1) = 2m -2
2m = x
1
+ x
2
+ 2 hay m =
1 2
2
2
x x
(1)
P = x
1
.x
2
= 2m - 3
2m = x
1
.x
2
+ 3 hay m =
1 2
. 3
2
x x
(2)
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
45
Từ (1) và (2) suy ra
1 2
2
2
x x
=
1 2
. 3
2
x x
là hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm x
1
,
x
2
.
10. Một số biểu thức chứa nghiệm thường gặp đưa được về tổng và tích hai
nghiệm:
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
- 3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
)
x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
- 2x
1
2
x
2
2
= [(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
]
2
- 2(x
1
x
2
)
2
x
1
6
+ x
2
6
= (x
1
2
)
3
+ (x
2
2
)
3
= (x
1
2
+ x
2
2
)
3
- 3x
1
2
x
2
2
(x
1
2
+ x
2
2
)
= [(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
]
3
- 3(x
1
x
2
)
2
[(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
]
1 2
1 2 1 2
1 1
x x
x x x x
2
1 2 1 2
2
2 2
1 2
1 2
2
1 1
x x x x
x x
x x
3
1 2 1 2 1 2
3
3 3
1 2
1 2
3
1 1
x x x x x x
x x
x x
11. Với giá trị nào của tham số m thì hai phương trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
a'x
2
+ b'x
+ c' = 0 (2)
có hai nghiệm chung
Cách giải: Điều kiện cần
Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x
0
Bước 2: Thay nghiệm x = x
0
vào phương trình (1) và (2) ta có:
ax
0
2
+ bx
0
+ c = 0 (3)
a'x
0
2
+ b'x
0
+ c' = 0 (4)
Rút tham số m theo x
0
từ (3) và (4). Từ đó tìm được x
0
Bước 4: Thay x
0
vào (3) hoặc (4) tìm được m
Điều kiện đủ : Thay m vào phương trình (1) và (2) giải từng phương trình có
được nghiệm chung x
0
và kết luận.
Ví dụ: Với giá trị nào của tham số m, hai phương trình sau có nghiệm chung:
2x
2
+ (3m + 1)x - 9 = 0 (1)
6x
2
+ (7m - 1)x - 19 = 0 (2)
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử phương trình (1) và (2) có nghiệm chung là x
0
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
46
2x
0
2
+ (3m + 1)x
0
- 9 = 0 (3)
6x
0
2
+ (7m - 1)x
0
- 19 = 0 (4)
Vì x
0
= 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) và (2) nên x
0
0
Từ (3) suy ra 3mx
0
= -2x
0
2
- x
0
+ 9
m =
2
0 0
0
9 - 2x - x
3x
Từ (4) suy ra 7mx
0
= 19 - 6x
0
2
+ x
0
m =
2
0 0
0
19 6
7
x x
x
Suy ra
2
0 0
0
9 - 2x - x
3x
=
2
0 0
0
19 6
7
x x
x
63 - 14x
0
2
- 7x
0
= 57 - 18x
0
2
+ 3x
0
4x
0
2
- 10x
0
+ 6 = 0
0
0
3
2
1
x
x
Với x
0
=
3
2
thay vào (3) ta được: 2(
3
2
)
2
+ (3m + 1)
3
2
- 9 = 0
3 3 1
9
9 0
2 2
m
2
9 6
3
m m
Với x
0
= 1 thay vào (3) ta được:
2.1
2
+ (3m + 1).1 - 9 = 0
3m = 6
m = 2
Điều kiện đủ:
Thay m =
2
3
vào phương trình (2) ta được:
2x
2
+ (3.
2
3
+ 1)x - 9 = 0
2x
2
+ 3x - 9 = 0 (5)
6x
2
+ (7.
2
3
- 1)x - 19 = 0
18x
2
+ 11x - 57 = 0 (6)
Giải phương trình (5) và (6) ta được nghiệm chung x =
3
2
Thay m = 1 vào phương trình (1) và (2) ta được:
2x
2
+ 4x - 9 = 0 (7)
6x
2
+ 6x - 19 = 0 (8)
Giải phương trình (7) và (8) không có nghiệm chung
Vậy với m =
2
3
thì phương trình (1) và (2) có nghiệm chung là
3
2
Lưu ý: Trong trường hợp tìm giá trị của tham số để 2 phương trình:
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
47
ax
2
+ bx + c = 0 (9)
a'x
2
+ b'x
+ c' = 0 (10)
có hai nghiệm chung
Ta tiến hành theo hai bước sau:
Bước 1:
Điều kiện cần: Các hệ số của phương trình (9) và (10) khác 0 và tương ứng tỷ
lệ, tức là:
' ' '
, , , ', ', ' 0
a b c
a b c
a b c a b c
từ đó tìm được tham số
Bước 2:
Điều kiện đủ: Thay tham số vừa tìm được vào phương trình (9) và (10). Giải
từng phương trình ta được hai nghiệm chung.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1. Cho phương trình x
2
- 2(m + 1)x + 3m = 0
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi
giá trị của m
b. Tính giá trị của biểu thức A = x
1
3
+ x
2
3
và B = x
1
- x
2
theo m
c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa:
1 2
2 1
5
x x
x x
d. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
e. Tìm GTNN của biểu thức x
1
2
+ x
2
2
- 6x
1
x
2
f. Lập phương trình bậc hai nhận
1
x
+
2
1
x
và
2
1
1
x
x
làm nghiệm
g. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều dương ? Hai nghiệm trái dấu ?
Hai nghiệm đối nhau ?
h. Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm kia.
i. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa 2x
1
- 3x
2
= 1
2. Cho phương trình bậc hai: (m + 1)x
2
- 2(m + 1)x + m - 3 = 0 (m
-1)
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai nghiệm
đó có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
3. Chứng minh rằng nếu phương trình x
2
+ 2mx + n = 0 có nghiệm thì phương trình:
x
2
+ 2(k +
1
k
)mx + n(k +
1
k
)
2
= 0 cũng có nghiệm ( với m, n, k là các tham số; k
0)
4. Choa phương trình bậc hai: (2m - 1)x
2
- 2mx + 1 = 0
a. Tìm m để phương trình có một nghiệm thuộc (-1;0)
Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận
Tổ: Toán - Lý-Tin-CN
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9
48
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa
2 2
1 2
1
x x
5. Tìm m để phương trình: x
2
-
x
+ m = 0 có nghiệm
6. Cho phương trình x
2
- 2mx + m + 2 = 0
a. Xác định m để phương trình có hai nghiệm không âm
b. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức E =
1 2
x x
theo m
7. Cho phương trình x
2
- 2(m + 4)x + m
2
- 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
a. A = x
1
+ x
2
- 3x
1
x
2
đạt GTLN
b. B = x
1
2
+ x
2
2
- x
1
x
2
đạt GTNN
c. Tìm hệ thức độc lập giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
8. Với giá trị nào của các tham số a và b, các phương trình bậc hai:
(2a + 1)x
2
- (3a - 1)x + 2 = 0 (1)
(b + 2)x
2
- (2b + 1)x - 1 = 0 (2)
có hai nghiệm chung
9. Tìm các giá trị của k để hai phương trình:
2x
2
+ kx - 1 = 0 và kx
2
- x + 2 = 0 có nghiệm chung
10. Cho ba phương trình:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
Với a, b và c khác 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên
phải có nghiệm.
11. Cho phương trình x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn:
x
1
- x
2
= 5, x
1
3
- x
2
3
= 35. tính các nghiệm đó
12. Cho a là số thực khác -1. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn các hệ thức:
4x
1
x
2
+ 4 = 5(x
1
+ x
2
) (1)
(x
1
- 1)(x
2
- 1) =
1
1
a
(2)
13. tìm m để phương trình x
2
- 2(m + 1)x + m
2
+ 2m - 5 = 0 có hai nghiệm sao cho:
(x
1
2
- 1)(x
2
2
- 1) - x
1
2
x
2
2
đạt GTLN
14. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
- 3x + a = 0. Gọi t
1
, t
2
là hai nghiệm
của phương trình t
2
- 12t + b = 0. Cho biết
1 2 1
2 1 2
x x t
x t t
. Tính a và b.
