một số bài toánPTMP 12/2011

Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12
PHẦN II
MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN
I.ĐIỂM VÀ VÉC TƠ:
1)Tọa độ của 1 điểm và của 1 véctơ:
( ; ; ) . .M x y z OM x i y j zk⇔ = + +
uuuur r r r
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) .a a a a a a i a j a k
⇔ = + +
r r r r r
2) Công thức :
*
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
, ( ngọn trừ gốc)
*AB=
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
uuur
*
2
3
2
2

2
1
aaaa
++=
*





=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba

*Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1










−
−
=
−
−
=
−
−
=
⇔=
k
kzz
z
k
kyy
y
k
kxx
x
MBkMA
BA
M
BA
M
BA
M

1
1
1
.
*M là trung điểm AB









+
=
+
=
+
=
⇔
2
2
2
BA
M
BA
M
BA
M

zz
z
yy
y
xx
x
TTP 1
Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12
*G là trọng tâm
∆
ABC









++
=
++
=
++
=
⇔
3
3
3

CBA
G
CBA
G
CBA
G
zzz
z
yyy
y
xxx
x
*K là trọng tâm tứ diện ABCD









+++
=
+++
=
+++
=
⇔
4

4
4
DCBA
K
DCBA
K
DCBA
K
zzzz
z
yyyy
y
xxxx
x
*
ba ,
cùng phương
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
bka

==⇔=⇔
( A, B, C thẳng hàng
ACAB ,⇔
cùng phương)
*
332211
cos bababaAbaba
++==
( tổng các tọa độ nhân với nhau)
*
332211
0. bababababa
++⇔=⇔⊥
= 0
*
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
.
.

.
),cos(
bbbaaa
bababa
ba
ba
ba
++++
++
==
*








==
21
21
13
13
32
32
;;],[
bb
aa
bb

aa
bb
aa
ban
*
ϕ
sin ],[ baba
=
( nâng cao)
*
ba,
cùng phương
⇔

0],[ =ba
*
ba,
,
c
đồng phẳng
⇔

0].,[ =cba
* Diện tích
∆
ABC S
ABC
=
],[ ACAB
*Thể tích tứ diện ABCD V =

6
1
ADACAB ].,[
*Thể tích hình hộp ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
V =
/
].,[ AAADAB
TTP 2
Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12
II -PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG-PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
* Mp (
α
) đi qua M
0
(x
0
;y
0
,z
0
) có véctơ pháp tuyến
n
=(A;B,C) có pt tổng quát là

(
α
):A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
Hay (
α
):Ax + By + Cz + D = 0 ( Thế tọa độ của M
0
vào để xác đònh D )
*Các trường hợp đặc biệt :
+(Oxy) : z = 0 có
n
=(0;0;1)
+(Oyz) : x = 0 có
n
=(1;0;0)
+(Oxz) : y = 0 có
n
=(0;1;0)
Chú ý:
+ Mất chữ nào ( x hoặc y hoặc z ) thì song song với trục đó (// Ox hoặc Oy hoặc Oz )
+Chỉ có 1 chữ ( x hoặc y hoặc z ) thì vuông góc với trục đo ù(
⊥
Ox hoặc Oy hoặc Oz )
*Pt mặt phẳng theo đoạn chắn :

α
cắt Ox tại A(a;0;0), cắt Oy tại B(0;b;0), Cắt Oz tại C(0;0;c) có pt:
(
α
):
1
=++
c
z
b
y
a
x
1)Vò trí tương đối của 2 mp:
(
α
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(
β
): A
2
x + B

2
y + C
2
z + D
2
= 0
+
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
≠≠
(Chỉ cần 1)
⇔

α
cắt
β
+
2
1
2

1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==
⇔

α
//
β
+
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D

C
C
B
B
A
A
===
⇔

α
≡
β
Ghi nhớ : Để viết được pt của 1 mp ta cần 1 pháp véc tơ và 1 điểm thuộc mp.
2. Tìm giao điểm của đt và mp
a/ (
∆
):
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +


và (
α
): Ax + By + Cz + D = 0 thì thế x, y, z từ ptts của đt vào
pttq của mp ta được một pt bậc nhất theo biến t,
+Nếu pt có 1 nghiệm thì
∆
cắt
α
. Tọa độ giao điểm là thế giá trò t vào ptts của đt
+Nếu pt có dạng 0t = m
≠
0 vô nghiệm
⇔

∆
//
α
+Nếu pt có dạng 0t = 0 có vô số nghiệm
⇔

∆

⊂

α
b/Đt có pt chính tắc thì chuyển về tham số ( như dạng a)
TTP 3
Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12
c/*Pt tổng quát : ( Dạng bài tập của nâng cao)

(
∆
) : A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
thì cóthể đưa về tham số ( như dạng a) hoặc giải hệ
Ax + By + Cz + D = 0
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0

A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm
3.Vò trí tương đối giữa 2 đt ( Nâng cao)
(
∆
1
):
1 1 1
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
đi qua M
1
(x
1
;y
1
;z
1
) có VTCP

a =
r
(a
1
;a
2
;a
3
)
(
∆
2
):
2 2 2
1 2 3
x x y y z z
b b b
− − −
= =
đi qua M
2
(x
2
;y
2
;z
2
) có VTCP
b =
r

(b
1
;b
2
;b
3
)
+
∆
1
và
∆
2
chéo nhau
⇔

a
r
,
b
r
,
21
MM
không đồng phẳng
⇔
[
a
r
,

b
r
].
21
MM

≠
0
+
∆
1
và
∆
2
đồng phẳng
⇔

a
r
,
b
r
,
21
MM
đồng phẳng
⇔
[
a
r

,
b
r
].
21
MM
= 0
+
∆
1
cắt
∆
2

⇔

1 2
1 2 3 1 2 3
[ , ] . 0
: : : :
a b M M
a a a b b b

=


≠


uuuuuur

r
r
+
∆
1
//
∆
2

⇔

1 2
1 2 3 1 2 3
1 2
, . 0
: : : :
a b M M
a a a b b b
M

 
=
 


=


∉∆



r r uuuuuur
+
∆
1

≡

∆
2

⇔

1 2
1 2 3 1 2 3
1 2
, . 0
: : : :
a b M M
a a a b b b
M

 
=
 


=



∈∆


r r uuuuuur
3.Vò trí tương đối giữa 2 đt ( Cơ bản)
(
∆
1
):
1 1
2 2
3 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= +


= +

đi qua M
1
(x
1
;y
1
;z

1
) có VTCP
a =
r
(a
1
;a
2
;a
3
)
(
∆
2
):
/
2 1
/
2 2
/
2 3
x x b t
y y b t
z z b t

= +

= +



= +

đi qua M
2
(x
2
;y
2
;z
2
) có VTCP
b =
r
(b
1
;b
2
;b
3
)
Khi đó:
TTP 4
Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12
+
∆
1
//
∆
2

⇔

1 2 3 1 2 3
1 2
: : : :a a a b b b
M
=


∉∆

+
∆
1

≡

∆
2

⇔

1 2 3 1 2 3
1 2
: : : :a a a b b b
M
=


∈∆


+
∆
1
cắt
∆
2
/
1 1 1 1
/
2 2 2 2
/
3 3 2 3
x a t y b t
y a t y b t
z a t z b t

+ = +

⇔ + = +


+ = +

có đúng một nghiệm
+
∆
1
chéo
∆

2
/
1 1 1 1
/
2 2 2 2
/
3 3 2 3
x a t y b t
y a t y b t
z a t z b t

+ = +

⇔ + = +


+ = +

vơ nghiệm
MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP
Bài toán 1 Lập phương trình mp
α
qua ba điểm A,B,C.
HD + Tính
[ , ]n AB AC
α
=
uur uuur uuur
+ Pt tổng quát Mp (
α

) có dạng:
(
α
):A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
Hay (
α
):Ax + By + Cz + D = 0 ( Thế tọa độ của A hoặc B hoặc C vào để xác đònh D )
Bài toán 2 : Viết pt mp
α
chứa đường thẳng d và song song với đt
∆
?
HD: +
[ , ]
d
n a a
α
∆
=
uur uur uur
và
α
đi qua A
∈

d ( làm tiếp tục bước 2 như bài tốn 1)
Bài toán 3: : Viết pt mp
α
chứa đường thẳng d và vng góc với mp ( P) cho trước?
HD: +
( )
[ , ]
d P
n a n
α
=
uur uur uuur
và
α
đi qua A
∈
d ( làm tiếp tục bước 2 như bài tốn 1)
(Bài tốn Viết pt mp
α
qua hai điểm A,B và vng góc với mp ( P) cho trước cũng làm
tương tự)
Bài toán 4: Tìm hình chiếu của M
0
lên đt
∆
?
TTP 5
Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12
HD: +Viết pt mp
α

đi qua M
0
và vuông góc với
∆
.( mp
α
nhận vtcp của
∆
làm vec
tơ pháp tuyến
n
α
uur
. và
α
đi qua M
0
( làm tiếp tục bước 2 như bài tốn 1)
+ Thế x, y, z từ ptts của đt
∆
vào pttq của mp
α
ta tìm được t, thay t vào ptts ta tìm được
giao điểm H .Hình chiếu H của M
0
chính là giao của
α
và
∆

Bài toán 5:Tìm điểm đối xứng của M
0
qua
∆
?
HD: + Tìm hình chiếu H của M
0
trên
∆
( bài tốn 4)
+ N là điểm đối xứng của M
0
qua
∆

⇔
H là trung điểm M
0
N , áp dụng công thức trung
điểm tìm N.
Bài toán 6: Tìm hình chiếu của đt
∆
lên mp
α
?
HD: + Viết pt mp
β
chứa
∆
và vuông góc với

α
.
[ ,n n a
β α
∆
=
uur uur uur
] và
β
đi qua điểm M
9

∈

∆

+ Hình chiếu
∆
/
của
∆
chính là giao của
α
và
β

Bài toán 7: Tìm hình chiếu của M
0
lên mp
α

?
HD: +Viết pt đt
∆
đi qua M
0
và vuông góc với
α
,( pt đt
∆
nhận vec tơ pháp
tuyến của
α
làm véc tơ chỉ phương ).Khi đó suy ra phương trình tham số của
∆
.
+ Thế x, y, z từ ptts của đt
∆
vào pttq của mp
α
ta tìm được t, thay t vào ptts ta tìm được
hình chiếu H của M
0
chính là giao của
α
và
∆
.
Bài toán 8: Tìm điểm đối xứng của M
0
qua

α
?
HD: + Tìm hình chiếu H của M
0
trên
α
( bài tốn 7)
+ N là điểm đối xứng của M
0
qua
α

⇔
H là trung điểm M
0
N , áp dụng công thức trung
điểm tìm N.
Bài toán 9: ( Dạng bài tốn NC)Viết pt đt
∆
đi qua M
0
vuông góc với đt d và cắt đt
/
d
?
HD: +Viết ptmp
α
qua M
0
và vuông góc với d

+ Tìm giao điểm N =
α

∩
d
+
∆
là đt qua 2 điểm M
0
và N
Bài toán 10: ( Dạng bài tốn NC ).Viết pt đt
∆
đi qua M
0
vuông góc và cắt đt d ?
HD: Tìm hình chiếu H của M
0
trên d,
∆
chính là đt qua 2 điểm M
0
,H.
Bài toán 11: ( Dạng bài tốn NC ).
Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt chéo nhau
∆
1
và
∆
2
?

HD:+Gọi
∆
là đường vuông góc chung thì vec tơ chỉ phương của
∆
là
1 2
[ , ]a u u
=
r ur uur
+ Gọi
α
là mp chứa
∆
và
∆
1
thì
1
[ , ]n a u
α
=
uur r r
, M
1
∈

α

+ Gọi
β

là mp chứa
∆
và
∆
2
thì
2
[ , ]n a u
β
=
uur r r
, M
2
∈
β

Khi đó
∆
=
α

∩

β

TTP 6
Trường THPT Long Hữu Ơn tập Hình khơng gian tọa độ 12
III.MẶT CẦU
1) ĐN: M
∈

S
(I,R)

⇔
IM = R
2) Pt mặt cầu:
* Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có pt :
(S): (x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
*Dạng khai triển :
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2ax – 2by –2cz + d = 0
với a
2
+b
2
+c
2
-d

≥
0
có bán kính R =
dcba −++
222
Ứng dụng :
Bài toán 1:Viết pt mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D
HD: Lần lượt thế các tọa độ của 4 điểm A,B,C,D vào pt mặt cầu ta được 1 hệ 4 pt
bậc nhất a,b, c, d
( giải bằng phương pháp cộng đại số hoặc bấm máy vinacal tìm a,b, c, d)
Bài toán 2:Viết pt mặt cầu biết tâm I và tiếp xúc với 1mp
HD: Khoảng cách từ tâm I đến mp chính là bán kính mặt cầu :
),(
α
Id
= R
Bài toán 3: Viết pt tiếp diện của mặt cầu tại M
0
∈
(S)
HD:
IM
0
là pháp véc tơ của mp tiếp diện và M
0
là điểm mp đi qua
Bài toán 4:Viết pt đường tròn qua 3 điểm A, B, C .
HD: + Viết pt măt phẳng qua 3 điểm A,B,C
+ Tìm 1 mặt cầu qua 3 điểm A,B,C ( Thường là mặt cầu đã có sẳn, chẳng hạn mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, …. )

3)Vò trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
*
),(
α
Id
> R
⇔
(
α
) và( S) không có điểm chung
*
),(
α
Id
= R
⇔
(
α
) tiếp xúc với ( S) , tiếp điểm T là hình chiếu của I lên (
α
)
*
),(
α
Id
< R
⇔
(
α
) cắt ( S) , giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu của I

lên (
α
) và bán kính
22
dRr −=
với d =
),(
α
Id
4) Vò trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu:
*
),( ∆Id
> R
⇔
(
∆
) và( S) không có điểm chung
*
),( ∆Id
= R
⇔
(
∆
) tiếp xúc với ( S) , tiếp điểm H là hình chiếu của I lên (
∆
)
*
),( ∆Id
< R
⇔

(
∆
) cắt ( S) tại điểm. Để tìm tọa độ giao điểm ta thế x,y,z từ pt tham số
của (
∆
) vào pt của (S), ta được một pt bậc 2 theo t, giải tìm t, thế t vào pt tham số của (
∆
) , được tọa độ giao điểm.
TTP 7
Trường THPT Long Hữu Ôn tập Hình không gian tọa độ 12
TTP 8