Các bài tập và đề luyện thi vào lớp 10 mới

x 2 x 2 x 1 1
P 1:
x x 1 x x 1 x 1

+
= +
ữ
+ + +











+
+

+
+
+

=
1
2
1
1
1
3
:
1
1
1
1
x
xxx
x
x
x
P

+









+
+
+
+
=
1
1:
1
1
1
22
x
x
xxxxx
x
P
P
1

+
+








+
+
+++
=
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x

P
729
53

=x
P
1
P = 2 x - 1
3819 =x
347 =x
1= xP
Nguyễn Trần Khánh
Phần I : Một số dạng toán cơ bản
A.Toán rút gọn
Bài 1: Cho biểu thức:
P


=
ữ
ữ


x+2 x-7 x-1 1 1
+ : -
x-9
3- x x+3 x-1
a/ Rút gọn P
b/ Tính giá trị của P biết
c/ Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên

d/ Tìm x để P < 1
Bài 2: Cho biểu thức:
a/ Rút gọn P
b/ Tính giá trị của P biết
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
d/ Tìm x để
Bài 3: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
Bài 4: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
d/ Tìm x để P > 1
Bài 5: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P.
b/ Tính giá trị của P biết
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 6 : Cho biểu thức








+

+

+
+
+








+
=
6
2
2
3
3
2
:
1
1
xx
x
x
x
x
x

x
x
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết
2
53
=x
c) Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên
d) Tìm x để P < 1
e) Tìm các giá trị của x để
3= xP
1
Nguyễn Trần Khánh
Bài 7 : Cho biểu thức
3
32
1
23
32
1115
+
+



+
+

=

x
x
x
x
xx
x
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x sao cho
2
1
=P
c) Chứng minh P
3
2
Bài 8 : Cho biểu thức
1- x x x 2 2 1- x
P - :
x - 2 1- x x -3 x 2 x - 2 x - 2 x

+
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết
526 =x
c) Tìm giá trị lớn nhất của

x
P
Bài 9 : Cho biểu thức
144
1
:
21
1
14
5
2
2
1
++













+
=
xx

x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu
x 1=
c) Tìm các giá trị của x để
2
1
=P
d) Tìm các giá tri x nguyên để P nhận giá trị nguyên
Bài 10 : Cho biểu thức










+

+

=
xxxxx
x
P
1
2
1
1
:
1
1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biết
347 =x
c) Tìm các giá trị của m để có các giá trị x thoả mãn
xmxP =.
Bài 11 : Cho biểu thức
2 x 1 2 x 6 x 5
P 1 : 2
1 9x
3 x 1 3 x 1

+

=
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để
xP =
c) Cho
13
52)1(2

+
=
x
mxm
P
(x là ẩn). Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu.
Xác định dấu của hai nghiệm đó.
Bài 12 : Cho biểu thức








+

+
+










+

=
22
2
:
1
3
1
3
x
x
xx
x
x
x
x

P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết
2
32
=x
c) Tìm các giá trị của m để có giá trị x thoả mãn :
4)1( +=++ xmxmxPx
Bài 13: Cho biểu thức
12
1
:
1
11
+
+









+

=
xx
x

xxx
P
a) Rút gọn P
2





















+

+
=
2

3
1:
3
1
32
4
x
x
x
x
xx
xx
P









+
+

+


+
+
= 1
1
2
:
4
3
43
73
x
x
x
x
xx
xx
P
3+= xP
Nguyễn Trần Khánh
b) Tìm các giá tri của x để
5
12
=
x
P

c) So sánh P với 1
Bài 14 : Cho biểu thức









+
+









+


++
=
1
1
1

1
:
1
)1)(2(
23
xx
x
xx
xx
xx
P
a) Rút gọn P
b) Tìm x để
1
8
11

+

x
P
Bài 15 : Cho biểu thức

+










+

=
x
x
xxx
x
P
1
3
2:
1
1
352
2
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 0

c) Tìm x để P =
P

Bài 16 : Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 0 c/ Tìm x để P < 1

Bài 17: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
Bài 18 : Cho biểu thức :








+
+
+

+

=
xx
xxxx
x
xx
xx
P
1
2
1
12
:
1
1
1
a)Rút gọn .
b) Tính P với x =
347
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a
Bài 19: Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh A > 0 với mọi x thuộc TXĐ
Bài 20 : Cho biểu thức:
a) Rút gọn A .
b) Tính

A
khi
x 5 2 6= +
Bài 21: Cho biểu thức:
3
2
1
:
1
1
11
2









+
++
+

+
=
x
xxx
x

xx
x
A








++
+











+
=
1
2
:
1

1
1
2
xx
x
xxx
xx
A
6
1
=A
Nguyễn Trần Khánh










+
+
+

+

=
3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
M
a) Rút gọn M .
b) Với giá trị nào của x thì M < 1 ?

Bài 22: Cho biểu thức:
( )
( )
baba
baa
babbaa
a
baba
a
M
222
1
:
133
++










+


++
=

a) Rút gọn M .
b) Tìm các giá trị nguyên của biến để M có giá trị nguyên .
Bài 23: Cho biểu thức:








+

+

+






+
+
+



=
1

1
1
1111
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
Q
a) Rút gọn Q .
b) Tìm giá trị của x để Q = 6 .
Bài 24: Cho biểu thức:









+


+

=
1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
A
a) Rút gọn A .
b) Tìm giá trị của a để
Bài 25:
Cho biểu thức:
aa
a
a

A


+


+
=
1
1
1
1
1
42
3
2
a) Rút gọn A .
b) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Bài 26 : Cho biểu thức :
( )

+
+








+


+

=
x
x
xx
x
x
xx
x

xx
P
1
1
.
1
1
:
1
1.
2
a) Rút gọn P.
b) Xác định các giá trị của x để ( x + 1 ).P = x 1
c) Biết
x
x
P
Q
31 +
=
Tìm x để Q có giá trị lớn nhất.
d) Tìm x để
32
>
P
Bài 27 : Cho biểu thức :

+


+
+
=
1
3
22
:
9
33
33
2

x
x
x
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
1
<P
c) Tìm x để :
( )
2223.
=+++
xxxP
d) Tìm m để có 1 giá trị của x thoả mãn :

( ) ( )
( )
mxxmxxxP
+=++
33.
Bài 28 : Cho biểu thức :
4
Nguyễn Trần Khánh

+
+
+








+
+
+=
xyy
xy
xyx
xy
yx
yxyxxy
P
22
:

22
1
a) Rút gọn P
b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x , y thoả mãn :

6=+ yx
Bài 29 : Cho biểu thức :
1212
1
.
1
1
2

+
+










+


+

=
x
x
xx
x
x
xx
xx
xxxx
P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của
xx
x
PA
+

=
35
.

c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có :

( )
( )
xxmxxP
+>++
131.
Bài 30 : Cho biểu thức :

+










+

=
2
2
.
2
45
2
1

x
x
x
x
xx
x
x
P

a) Rút gọn. b) Tính giá trị của P với x =
2
53
. d) Giải pt:
( )
7
4
9
2
=
+
+
P
x
x
c ) Tìm m để có x thoả mãn P =
12
+
mxxmx
e) Tìm m để có x thoả mãn:
f) Tìm nghiệm nguyên dơng của pt:

Pmx 2

( )
( )
141
2
2
+=
yyyPxx
B. Hàm số bậc nhất :
Bài 1 : Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau:
a) a = - 1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2
b) a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5)
c) Đồ thị của hàm số song song với đờng thẳng
2y x=
và đi qua điểm B(1;
2 3+
)
d) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3)
e) Đồ thị hàm số đi qua M(2;- 3) và vuông góc với đờng thẳng y = x 2
Bài 2: Với điều kiện nào của k và m thì hai đờng thẳng :
y = (k 2)x + m 1 và y = (6 2k)x + 5 2m.
a) Trùng nhau b) Song song c) Cắt nhau
Bài 3 : Cho hàm số y = (a 1)x + a
a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng - 3
b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm đợc ở các câu a và b trên cùng một
hệ trục toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng vừa vẽ đợc.
Bài 4 : Cho đờng thẳng y = (m 2)x + n (m 2) (d)

Tìm các giá trị của m và n trong các trờng hợp sau:
a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;4)
b) Đờng thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 2
+
và cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng
2 2
+
c) Đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng 2y + x 3 = 0
d) Đờng thẳng (d) trùng với đờng thẳng y 2x + 3 = 0
5
Nguyễn Trần Khánh
Bài 5 :
a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau :
y = x (d
1
) ; y = 2x (d
2
) ; y = - x + 3 (d
3
)
b) đờng thẳng (d
3
) cắt hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) theo thứ tự tại A , B. Tìm toạ độ
của các điểm A và B. Tính diện tích tam giác OAB.

Bài 6 : Cho hàm số y = (1 2m)x + m + 1 (1)
a) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến.
b) Tìm m để hàm số (1) song song với đờng thẳng y = 3x 1 + m
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đờng thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố
định duy nhất. Tìm điểm cố định đó.
Bài 7 : Cho hai đờng thẳng
y = - 4x + m 1 (d1) và y =
4
15 3
3
x m
+
(d
2
)
a) Tìm m để hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại điểm trên trục tung.
b) Với m ở trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) với trục
hoành.
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
d) Tính các góc của tam giác ABC.
Bài 8 : Tìm toạ độ của M(x
1

; y
1
) thuộc đờng thẳng 2x + 3y = 5 sao cho khoảng cách từ gốc
toạ độ O đến M nhỏ nhất.
C. Hàm số bậc hai- Phơng trình bậc hai một ẩn Hệ thức Vi-et.
Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
và đờng thẳng y = mx + n
I.Tóm tắt lý thuyết:
1/ Toạ độ giao điểm của Parabol y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiệm của hệ
phơng trình
2
mx n y
ax y
+ =


=


2/ Hoành độ giao điểm của Parabol y = ax
2
(a 0) và đờng thẳng y = mx + n là nghiệm của
phơng trình ax
2
= mx + n tức ax
2
- mx n = 0

(1)
a) Nếu phơng trình (1) có > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt, đờng thẳng cắt Parabol
tại hai điểm phân biệt.
b) Nếu phơng trình (1) có = 0 thì (1) có nghiệm kép, đờng thẳng tiếp xúc với
Parabol.
c) Nếu phơng trình (1) có < 0 thì (1) vô nghiệm, đờng thẳng và Parabol không giao
nhau
II.Bài tập
Bài 1 : Cho hai hàm số y = x
2
(P) và y = 2x + 3 (d)
a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (d).
b) Xác định toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d).
c) Gọi C và D thứ tự là hình chiếu vuông góc cảu A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ
giác ABCD.
Bài 2 : Cho Parabol y = x
2
(P) và đờng thẳng y = 2x m (d)
6
Nguyễn Trần Khánh
a) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau, không giao nhau.
b) Khi (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, hãy xác định toạ độ hai điểm A
và B với m = - 3 .
c) Tìm toạ độ trung điểm của AB.
Bài 3 : Cho Parabol y = x
2
(P) và đờng thẳng y = mx m (d)
a) Với giá trị nào cuả m thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm toạ độ trung điểm M của AB. Suy ra một hệ thức liên hệ giữa các toạ độ của m,
độc lập với m.

Bài 4: Cho Parabol (P): y =
2
4
x

và đờng thẳng y = mx + n. Xác định hệ số m và n để đờng
thẳng đi qua điểm A(1; 2) và tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ giao điểm và vẽ đồ thị của (P) và đ-
ờng thẳng.
Bài 5: Cho Parabol (P): y =
2
2
x
và đờng thẳng y =
1
2

x + n
a) Tìm giá trị của n để đờng thẳng tiếp xúc với (P).
b) Tìm giá trị của n để đờng thẳng cắt (P) tại hai điểm.
c) Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng với (P) nếu n = 1. Vẽ đồ thị của (P) với đ-
ờng thẳng trong trờng hợp ấy.
Bài 6: Cho Parabol (P): y = ax
2
và đờng thẳng y = mx + n. Xác định các hệ số a, m, n biết
rằng (P) đi qua điểm A(-2; 2), đờng thẳng đi qua điểm B(1; 0) và tiếp xúc với (P).
Bài 7: Cho hàm số y = 2x
2
(P).
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Tìm trên độ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ.

c) Tuỳ theo m hãy xét số giao điểm của đờng thẳng y = mx 1 với (P).
d) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0; 2) và tiếp xúc với (P).
e) Tìm tập hợp điểm M sao cho qua M có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau
và cùng tiếp xúc với (P).
f) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng
5
Bài 8: Cho hàm số y = (2m - 1) x
2
(P).
a) Tìm m để (P) đi qua điểm A(2; -2). Vẽ đồ thị hàm số (P) vừa tìm đợc.
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua B(-1; 1) và tiếp xúc với (P)
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm T thuộc (P)
Có tung độ
1
16

.
d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1.
Bài 9: Cho Parabol y = ax
2
và đờng thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 1)
a) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của k, đờng thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt A, B.
b) Gọi hoành độ của A,B lần lợt là x
1
, x
2
. CMR:
1 2
2x x

>

c) Chứng minh rằng: OAB vuông.
Bài 10: Cho Cho Parabol (P): y =
2
2
x
và đờng thẳng (d): mx + y = 2.
a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đờng thẳng d luôn đi qua 1 điểm cố định.
7
Nguyễn Trần Khánh
b) Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
c) Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích AOB ứng với giá trị tìm đợc
của m.
d) Chứng minh rằng: Trung điểm I của AB khi m thay đổi luôn nằm trên Parabol cố
định.
Bài 11: Cho Parabol (P): y = - x
2
đờng thẳng y = m cắt (P) tại hai điểm A và B. Tìm giá trị của
m để AOB đều. Tính diện tích tam giác đều đó.
Bài 12: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy từ điểm M nằm phía dới đờng thẳng y =
1
4

ngời ta kẻ
các đờng thẳng MN, MP tiếp xúc với Parabol y = x
2
tại điểm N, P. Chứng minh góc NMP
nhọn.
Bài 13: Cho Parabol (P): y =

2
2
x
và đờng thẳng y =
1
2
x + 3
a) Xác định toạ độ giao điểm A, B của Parabol và đờng thẳng.
b) Xác định toạ độ giao điểm C thuộc cung AB của Parabol sao cho ABC có diện tích
lớn nhất.
Phơng trình bậc hai một ẩn Hệ thức Vi-et
Bài 1 : Cho phơng trình (m 1)x
2
4mx + 4m 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 1.
Bài 2: Cho phơng trình x
2
2(k 1)x + k 4 (1) . (x là ẩn, k là tham số).
a) Giải phơng trình với k = 1.
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k.
c) Tìm k để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
d) Chứng minh rằng biểu thức A = x

1
(1 x
2
) + x
2
(1 x
1
) không phụ thuộc vào
giá trị của k (x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1))
Bài 3 : Cho phơng trình (m + 3)
2
+ 2mx + m 3 = 0 (1) với x là ẩn, m là tham số.
a) Với giá trị nào của m thì (1) là phơng trình bậc hai.
b) Giải phơng trình với m =
3
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2

= 4.
e) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là nghịch đảo của 2 nghiệm phơng trình (1).
Bài 4 : Cho phơng trình x
2
2(m 1)x + 2m 5 = 0.
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?
Bài 5 : Cho phơng trình (m 1)x
2
2mx + m + 1 = 0 với m là tham số.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 1.
b) Tìm m để tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phơng trình.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 6 : Cho phơng trình x
2
+ 2x 5 = 0 . Không giải phơng trình hãy tính :
a) Tổng và tích hai nghiệm của phơng trình.
b) Tổng các bình phơng hai nghiệm của phơng trình
c) Tổng các nghịch đảo hai nghiệm của phơng trình
d) Tổng các nghịch đảo bình phơng hai nghiệm của phơng trình
e) Tổng các lập phơng hai nghiệm của phơng trình.
8
Nguyễn Trần Khánh
D. Hệ phơng trình :
Bài 1 : Cho hệ phơng trình :
( 2)
1
m x y m
mx y

+ + =


=

a) Giải hệ với m = 1
b) Tìm m để hệ có nghiệm
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm thoả mãn x = y.
Bài 2 : Cho hệ phơng trình :
1
mx y n
x y
+ =


+ =

a) Giải hệ với m = -1, n = 1
b) Tìm n để hệ có nghiệm với mọi giá trị của m
E. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Bài 1: Một ngời đi xe đạp xuất phát từ A. Sau 4 giờ, một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đuổi
theo trên cùng một con đờng và gặp ngời đi xe đạp cách A là 60 km. Tính vận tốc của mỗi
ngời biết vận tốc của ngời đi xe máy lớn hơn vận tốc của ngời đi xe đạp là 20 km/h.
Bài 2: Hai bến tàu A và B cách nhau 48 km.Một tàu thuỷ đi từ bến A đến bến B rồi trở lại, cả
đi lẫn về hết 5 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu, biết vận tốc dòng nớc không đổi và vận tốc
riêng của tàu cả đi lẫn về là không đổi.
Bài 3: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20km trong một thời gian đã định. Sau khi đi
đợc một giờ với vận tốc dự định, ngời đó giảm vận tốc đi 2 km/h trên quãng đờng còn lại, nên
đã đến B chậm 15 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của ngời đi xe đạp.
Bài 4 : Một công nhân đợc giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định.

Sau khi làm đợc một nửa số lợng đợc giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi giờ ngời
đó làm thêm đợc 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó, mức khoán đợc giao đã đợc ngời công nhân hoàn
thành sớm 1 giờ. Tính năng suất và thời gian dự định của ngời công nhân đó.
Bài 5 : Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng
mức đề ra. Những ngày còn lại họ làm vợt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành kế
hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm.
Bài 6 : Một đoàn xe đợc giao chở 30 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì đợc nhận thêm hai xe
nữa nên mỗi xe chở ít hơn 0.5 tấn sao với dự định. Hỏi lúc đầu đoàn có bao nhiêu xe ?
Bài 7 : Một hình chữ nhật có chiều dài bằng
3
2
chiều rộng. Nếu bớt mỗi chiều đi 5cm thì
diện tích hình chữ nhật đó giảm đi 16 % . Tính chiều dài và chiều rộng của hình ch nhật ban
đầu.
Bài 8 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô
đi với vận tốc dự định, khi còn 40km nữa thì đợc nửa quãng đờng AB do trời ma nên ngời lái
xe giảm vận tốc 10km/h trên quãng đờng còn lại. Do đó ôtô đến tỉnh B muộn hơn một giờ so
với dự định. Tính quãng đờng AB.
Bài 9 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy.
Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy
một mình đầy bể trong bao lâu ?
9
Nguyễn Trần Khánh
Bài 10 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu mở
riêng vòi thứ nhất trong 2 giờ, vòi thứ hai trong 3 giờ thì đợc
2
5
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một
mình sau bao lâu thì đầy bể ?
Bài 11 : Một phòng họp 300 ghế ngồi nhng phải xếp cho 357 ngời đến dự họp, do đó ban tổ

chức đã kê thêm một hàng ghế và mỗi hàng ghế xếp nhiều hơn quy định 2 ghế mới đủ chỗ
ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy bao nhiêu ghế ?
Bài 12 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp
dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vợt mức 18% và tổ II vợt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy
định họ đã hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm đợc giao của mỗi tôt theo kế
hoạch ?
Bài 13: Tổng của hai chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ
số là 18. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì sẽ đợc số mới lớn hơn số
ban đầu 54 đơn vị. Tìm số ban đầu.
Bài 14: Một ô tô khách đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 200km. Sau đó 30 phút một ô tô
con khởi hành từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng con đờng ấy, đi đợc 2 giờ thì gặp ô tô khách.
Tính vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng vận tốc của ô tô con lớn hơn vận tốc của ô tô khách là
10km/h.
Bài 15: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h. Sau đó một thời gian, một ngời
khác đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30km/h và nếu không có gì thay đổi sẽ đuổi
kịp ngời đi xe đạp tại B. Nhng sau khi đi đợc một nửa quãng đờng AB, ngời đi xe đạp giảm
bớt vận tốc 3km/h nên hai ngời gặp nhau tại C cách B 10 km. Tính quãng đờng AB.
Bài 16: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm. Tổ I đã vợt mức 15% kế hoạch của tổ,
tổ II vợt mức 12% kế hoạch của tổ. Do đó cả hai tổ làm đợc 102 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch
mỗi tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm.
Bài 17: Một ca nô chạy trên khúc sông dài 95 km. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc
là 1giờ 12 phút. Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nớc là
3km/h.
Bài 18: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian qui định và với một vận tốc xác
định. Nếu ngời đó tăng vận tốc 3km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ, nếu ngời đó giảm vận tốc
2km/h thì sẽ đến B muộn 1 giờ. Tính khoảng cách AB, vận tốc và thời gian đi của ngời đó.
Bài 19: Sau khi nhận mức khoán, một công nhân dự kiến sẽ hoàn thành công việc trong 10
giờ. Lúc đầu mỗi giờ ngời đó làm đợc 12 sản phẩm. Sau khi làm đợc một nửa số lợng đợc
giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi giờ ngời đó làm thêm đợc 3 sản phẩm nữa. Tính
số lợng sản phẩm đợc giao.

Bài 20: Hai ngời cùng làm chung một công việc thì sẽ hoàn thành trong 4 ngày. Nếu ngời thứ
nhất làm một nửa công việc, sau đó ngời thứ hai làm nốt công việc còn lại thì sẽ hoàn thành
toàn bộ công việc trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi ngời làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong
mấy ngày.
Bài 21: Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40km/h. Sau đó 1giờ 30 phút, một
chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h. Hai xe gặp nhau khi
chúng đã đi đợc một nửa quãng đờng AB. Tính quãng đờng AB.
Bài 22: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhng số ngời đến họp là 144 ngời. Do đó, ngời ta
phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 ngời ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có bao
nhiêu dãy ghế.
Bài 23: Cho một số có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình
phơng các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó cộng
thêm 5.
Bài 24: Lớp 9A có 14 học sinh giỏi toán, 13 học sinh giỏi văn, số học sinh vừa giỏi toán vừa
giỏi văn bằng nửa số học sinh không giỏi toán mà cũng không giỏi văn. Hỏi có bao nhiêu học
sinh vừa giỏi toán vừa giỏi văn, biết rằng sĩ số của lớp 9A là 35.
10
Nguyễn Trần Khánh
Bài 25 : Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngợc dòng 18km. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận
tốc ngợc dòng là 6km/h và thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 1 giờ Tính
vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngợc dòng của ca nô.
Bài 26 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngợc dòng 105km.
Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km, ngợc
dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngợc dòng của ca nô, biết vận tốc
nớc và vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 27 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngợc dòng 105km.
Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km, ngợc
dòng 42km. Hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vân tốc của dòng nớc, biết vận tốc nớc là và
vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 28 : Hai ôtô dự định đi từ A đến B dài 120km. Lúc 5 giờ 30 phút ôtô thứ nhất bắt đầu

xuất phát, sau đó 15 phút ôtô thứ hai xuất phát và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc ôtô thứ nhất
10km/h. Trên đờng đi ôtô thứ hai nghỉ 45 phút. Tính vận tốc của mỗi ôtô và hai ôtô dến B lúc
mấy giờ, biết chúng đến B cùng một lúc.
Bài 29 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B dài 30 km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi
đuợc một nửa quãng đờng ngời đó nghỉ 15 phút. Để đến B đúng dự định ngời đó tăng vận tốc
trên quãng đờn còn lại 2 km/h. Tính vận tốc xe đạp lúc ban đầu và thời gian dự định đi từ A
đến B.
Bài 30 : Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng
suất thêm 10 sản phẩm mỗi ngày thì tổ hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản
phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến.
F. Hình học :
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, đờng tròn đờng
kính MC cắt tia AM tại điểm thứ hai N và cắt tia Bn tại điểm thứ hai D.
a) Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên một đờng tròn
b) Chứng minh CB là tia phân giác góc ACD
c) Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC. Chứng
minh tứ giác AHCK nội tiếp
d) Xác định vị trí của điểm M để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCK có đờng kính nhỏ
nhất có thể đợc.
Bài 2 : Cho (O;R) đờng kính AB, M là một điểm thuộc (O) và MA < MB. Từ M kẻ đờng
thẳng vuông góc với AB tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai N. Trên tia đối của tia MN lấy điểm
C. Nối C với B cắt đờng tròn tại điểm thứ hai I. Giao điểm của AI với MN là K.
a) Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp
b) Chứng minh : CI. CB = CK . CH
c) Chứng minh IC là tia phân giác góc ngoài của tam giác IMN
d) Cho MN =
3R
và AM // BC. Tính MC.
Bài 3 : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, điểm M bất nằm trên cung AB. Gọi H là
điểm chính giữa cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O)

tại K. Các tia AH, BM cắt nhau S.
a) Chứng minh tam giác BAS cân. Từ đó suy ra S nằm trên đờng tròn cố định.
b) Chứng minh KS là tiếp tuyến của đờng tròn tâm B, bán kính BA
c) Tia AI cắt đờng tròn tâm B, bán kính BA tại N. Chứng minh tứ giác BINS nội tiếp.
d) Xác định vị trí của M sao cho
ã
90
o
MKA =
11
Nguyễn Trần Khánh
Bài 4 : Cho nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm C trên nửa đờng tròn đó (AC <
BC), D là một điểm trên dây BC nhng không trùng với B và C. AD cắt nửa đờng tròn tại
điểm thứ hai là E, BE cắt đờng thẳng AC tại F.
a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
b) Chứng minh
ã
ã
CDF BAC=
c) Gọi giao điểm thứ hai của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BED với đờng tròn đờng kính
AB là G. Chứng minh FD đi qua G.
d) Biết dây AC = a, dây CB = b, tính tổng BE. BF + AC. AF theo a và b.
Bài 5 : Cho (O) và một điểm A cố định ở ngoài đờng tròn. Qua A kẻ một cát tuyến d cắt đờng
tròn tại điểm B và C (B nằm giữa A và C). Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với đờng tròn tại
M và M, gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh : AM
2
= AB. AC
b) Chứng minh các tứ giác OMAN và IMAN nội tiếp đợc.
c) Đờng thẳng qua B song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh IE // MC

d) Khi d quay quanh A thì trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên đờng nào ?
Bài 6 : Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn (O ; R) kẻ hai tiếp tuyến MB, MC với đờng tròn, gọi
I là trung điểm của MC tai BI cắt đờn tròn tại A, tia MA cắt đờng tròn tại D.
a) So sánh tam giác AIC và tam giác IBC
b) Chứng minh : IM
2
= IA. IB
c) Chứng minh BD // MC
d) Chứng minh IM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MAB.
e) Khi
ã
60
o
BMC =
thì tứ giác IBDC là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác đó theo R.
Bài 7 : Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M là
một điểm trên cung CB, kẻ đờng cao CH của tam giác ACM.
a) Chứng minh rằng tam giác HCM vuông cân và OH là phân giác của
ã
COM
b) Gọi giao điểm của tia OH với Cb là I và giao điểm thứ hai của đờng thẳng MI với nửa
đờng tròn (O) là D. Chứng minh MC // BD.
c) Xác định vị trí của M sao cho D, B, H thẳng hàng.
d) Gọi giao điểm của OH và BM là N. Tìm tập hợp điểm N.
Bài 8 : Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, A là một điểm thuộc cung BC sao cho
ằ
ằ
AB AC<
.
Tia phân giác của

ã
BAC
cắt (O) tại M, cắt BC tại I.
a) Chứng minh AB. IC = AI. MB
b) Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ Dx vuông góc với DA cắt tia AM tại E.
Tứ giác ADEC là hình gì ? Chứng minh.
c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia DE tại G. Chứng minh rằng tứ giác BDGC nội tiếp.
d) Chứng minh rằng B; M; G thẳng hàng.
Bài 9 : Từ một điểm S ở ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến
SBC tới đờng tròn sao cho
ã
90
o
BAC <
. Tia phân giác của
ã
BAC
cắt dây BC tại D và cắt đờng
tròn tại điểm thứ hai E. Các tiếp tuyến của (O) tại C và E cắt nhau tại N. Gọi P và Q theo
thứ tự là giao điểm của các cặp đờng thẳng AB và CE; AE và CN.
a) Chứng minh SA = SD
b) Chứng minhEN // SD
c) So sánh tam giác QCB và tam giác PCE
12
Nguyễn Trần Khánh
d) Chứng minh :
1 1 1
CN CD CP
= +
Bài 10 : Cho tam giác ADC (

à
90
o
A =
). Điểm B nằm giữa A và C (B A, B C). Đờng tròn
(O) đờng kính BC giao CD tại M. Tia MA giao với (O) tại N. kẻ NP vuông góc với AC (P
(O)).
a) Chứng minh CM. CD = CB. CA
b) Chứng minh D, B, P thẳng hàng
c) Chứng minh tứ giác ADCP nội tiếp .
d) Khi B di động trên doạn AC và tia MA giao đờng tròn đờng kính BC tại N. Chứng
minh rằng trực tâm của tam giác BCD luôn nằm trên đờng thẳng cố định.
Bài 11 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) sao cho AB < AC. Tiếp tuyến của đờng
tròn tại A cắt đờng thẳng BC tại S. Gọi M là trung điểm của BC và I là giao điểm của OM
với đờng tròn ( I thuộc cung BC).
a) Chứng minh SA
2
= SB. SC.
b) Chứng minh
ã
ã
ã
BIC ABC ACB= +
c) Hạ IN vuông góc với AC. Chứng minh: Tứ giác MNCI nội tiếp .
d) Hạ IP vuông góc với AB. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A( AB > AC) ; đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E; nửa đờng tròn đờng kính CH cắt AC tại
F.
a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc.

c) Chứng minh AE.AB = AF.AC
d*) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn.
Bài 13 :Cho đờng tròn (O) , AB là dây cung của (O) ; đờng kính PQ của đờng tròn vuông góc
với AB tại I ( P thuộc cung nhỏ AB) .Trên tia đối của tia BA lấy điểm M (góc AQM 90
o
),
MQ cắt (O) tại E, PE cắt AB tại D
a) Chứng minh tứ giác DIQE nội tiếp đợc đờng tròn
b) Chứng minh PE. PD = PI. PQ
c) Qua A kẻ đờng thẳng song song với PE cắt (O) tại F. Chứng minh BE vuông góc
với QF
d) Từ D kẻ DH vuông góc với PM. Chứng minh: IP, ME, DH đồng qui.
e*) Xác định vị trí của M để D là trung điểm của BI
Bài 14: Cho tam giác ABC ( góc A nhọn) nội tiếp đờng tròn (O). Hai đờng cao BE, CF thứ tự
cắt đờng tròn (O) tại E và F ; BE cắt CF tại H .
a) Chứng minh : Tứ giác AEHF ; tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong đờng tròn.
b) Chứng minh : EF // EF
c) Chứng minh : OA EF
d) Tia AO cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai D. Chứng minh tứ giác BHCD là hình
bình hành.
e) Gọi I là trung điểm của đoạn BC. Chứng minhrằng : H, I, D thẳng hàng và AH = 2.
IO
Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Giao điểm của ba đờng cao AH, BK, CI là S.
a) Chứng minh:Tứ giác CKSH, tứ giác AKHB nội tiếp đợc trong đờng tròn.
b) Chứng minh: CK. CA = CH. CB
c) Chứng minh: S là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác HIK.
d) Biết góc ACB = 60
o
. So sánh độ dài đoạn KH và đoạn AB
Bài 16: Cho đờng tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đờng tròn kẻ tiếp tuyến AB, AC với đờng

tròn ( B và C là tiếp điểm). M thuộc cung BC ( phần trong tam giác) , từ M kẻ MI, MK, MH
thứ tự vuông góc với BC, AB, AC. MB cắt IK tại E , MC cắt HI tại F.
13
Nguyễn Trần Khánh
a) Chứng minh: Tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc trong đờng tròn.
b) Chứng minh MI
2
= MH. MK
c) Chứng minh : EF vuông góc với MI
d) Gọi giao thứ hai của đờng tròn (MEK) và (MFH) là N. Chứng minh : MN luôn đi
qua điểm cố định.
Bài 17:Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB , M là một điểm bất kì trên cung AB ( M khác A
và B).Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại
I. Tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E, cắt tia BM tại F. Tia BE cắt Ax tại H,
cắt AM tại K.
a) Chứng minh : IA
2
= IM. IB
b) Chứng minh : FK // AI
c) Chứng minh : góc HAF = góc EBA.Tam giác BAF là tam giác gì ?Vì sao?
d) Chứng minh : Tứ giác AHFK là hình thoi.
e) Chứng minh : BK. BE + AK. AM không đổi khi M chạy trên nửa đờng tròn đờng
kính AB.
Bài 18: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). D và E theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung
AB, AC. Gọi giao điểm của DE với AB, AC theo thứ tự là H và K.
a) Chứng minh : Tam giác AHK cân
b) BE cắt CD tại I. Chứng minh AI vuông góc với DE.
c) Chứng minh tứ giác CEKI nội tiếp
d) Tam giác ABC cần điều kiện gì thì AI // EC.
Bài 19 :Cho đờng tròn (O ; R) và một điểm P nằm ngoài đờng tròn. Từ P kẻ hai tiếp tuyến PA

và PM với đờng tròn(A, M là hai tiếp điểm). Nối OA kéo dài cắt đờng tròn tại B.
a) Chứng minh : BM // OP
b) Đờng thẳng vuông góc với AB tại O cắt BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình
bình hành.
c) Đờng thẳng AN cắt PO tại K, PM cắt ON tại I, PN cắt OM tại J. Chứng minh I, J, K
thẳng hàng.
d) Hãy tính diện tam giác PJO, biết rằng tam giác này đều.
Bài 20: Cho tam giác ABC (AC > AB, góc BAC tù). Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của
AB, AC. Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn
(K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.
a) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.
b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
c) Chứng minh AD, BF, CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai với đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Hãy so sánh độ dài
các đoạn thẳng DH, DE.
Phần Ii : Một số đề tổng hợp
Đề số 1
Bài 1: Cho M =
6
3
a a
a
+
+
a) Rút gọn M.
b) Tìm a để / M / =

1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
14

Nguyễn Trần Khánh
Bài 2: Cho hệ phơng trình
4 3 6
5 8
x y
x ay
=


+ =

a) Giải phơng trình.
b) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất âm.
Bài 3: Giải toán bằng cách lập phơng trình
Một đoàn xe dự định chở 40 tấn hàng. Nhng thực tế phải chở 14 tấn nữa nên phải điều thêm
hai xe và mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn. Tính số xe ban đầu.
Bài 4: Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đờng tròn (O) thay đổi đi qua hai
điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT với đờng tròn (O)
a) Chứng minh: PT
2
= PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T
thuộc một đờng tròn cố định.
b) Gọi giao điểm của TT với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN.
Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp.
c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT luôn đi qua
điểm cố định.
d) Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc

TPT = 60
0

.
Bài 4: Giải phơng trình
3
4 2
1
3 7 4
x x
x x

=
+
Đề số 2
Bài 1: Cho biểu thức
C =
3 3 4 5 4 2
:
9
3 3 3 3
x x x x
x
x x x x x

+ +

ữ ữ
ữ ữ

+

a) Rút gọn C

b) Tìm giá trị của C để / C / > - C
c) Tìm giá trị của C để C
2
= 40C.
Bài 2: Giải toán bằng cách lập phơng trình
Hai ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km với cùng một vận tốc. Đi đợc 2/3 quãng đ-
ờng ngời thứ nhất bị hỏng xe nên dừng lại 20 phút đón ôtô quay về A. Ngời thứ hai vẫn tiếp
tục đi với vẫn tốc cũ và tới B chậm hơn ngời thứ nhất lúc về tới A là 40 phút. Hỏi vận tốc ngời
đi xe đạp biết ôtô đi nhanh hơn xe đạp là 30km/h.
Bài 3: Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng d vuông góc
với AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì. Tia CM cắt đờng
15
Nguyễn Trần Khánh
thẳng d tại D; Tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai
P.
a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc.
b) Chứng minh: Tích CM. CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên một đờng tròn cố định.
Bài 4:
a) Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
(P)
b) Tìm hệ số góc của đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 sao cho
đờng thẳng ấy :
Cắt (P) tại hai điểm
Tiếp xúc với (P)
Không cắt (P)
Đề số 3
Bài 1: Cho biểu thức

M =
25 25 5 2
1 :
25
3 10 2 5
a a a a a
a
a a a a

+

ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để M < 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 2: Giải toán bằng cách lập phơng trình
Diện tích hình thang bằng 140 cm
2
, chiều cao bằng 8cm. Xác định chiều dài các cạnh dáy
của nó, nếu các cạnh đáy hơn kém nhau 15cm
Bài 3: a) Giải phơng trình
3 2 1 4x x+ =
b)Cho x, y là hai số nguyên dơng sao cho
2 2
71
880

xy x y
x y xy
+ + =


+ =

Tìm x
2
+ y
2
Bài 4: Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ AC, Cx là
tia qua M.
a) Chứng minh: MA là tia phân giác của góc tia BMx.
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Trên tia đói của tia MB lấy MH = MC. Chứng
minh: MD // CH.
c) Gọi K và I theo thứ tự là trung điểm của CH và BC. Tìm điểm cách đều bốn điểm
A, I, C, K.
16
Nguyễn Trần Khánh
d) Khi M chuyển động trên cung nhỏ AC, tìm tập hợp các trung điểm E của BM.
Bài 5: Tìm các cặp(a, b) thoả mãn:
1. 1a b b a
=
Sao cho a đạt giá trị lớn nhất.
Đề số 4
Bài 1: Cho biểu thức
4 3 2 4
:
2 2 2

x x x x
P
x x x x x

+
= +
ữ ữ
ữ ữ


a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tính giá trị nhỏ nhất của
P
d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn:
( )
4123
=
xmpxm

Bài 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx -
2
m
- 1 và parabol (P) có phơng trình y
=
2
2
x
.
a) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P).

b) Tính toạ độ các tiếp điểm
Bài 3: Cho ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ hơn 60
0
; trên tia đối của tia AC lấy điểm D
sao cho AD = AC.
a) Tam giác BCD là tam giác gì ? tại sao?
b) Kéo dài đờng cao CH của ABC cắt BD tại E. Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với CD
tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến CG của đờng tròn này. Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G
thuộc một đờng tròn.
c) Các đờng thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác àGM là hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh: MBG cân.
Bài 4:
Giải phơng trình: (1 + x
2
)
2
= 4x (1 - x
2
)
17
Nguyễn Trần Khánh
Đề số 5
Bài 1: Cho biểu thức
P =
( )
( )
( )
2 2
2
1 3 2 1

2
1 1
3 1
a a
a a a
a a

+

+
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với biểu thức Q =
2 1
1
a
a


Bài 2: Giải hệ phơng trình
1 5 1
5 1
x y
y x

=


= +

Bài 3: Giải toán bằng cách lập phơng trình
Một rạp hát có 300 chỗ ngồi. Nếu mỗi dãy ghế thêm 2 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy ghế thì rạp
hát sẽ giảm đi 11 chỗ ngồi. Hãy tính xem trớc khi có dự kiến sắp xếp trong rạp hát có mấy
dãy ghế.
Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A nằm trên đờng tròn. Một góc xAy = 90
0
quay
quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đờng tròn (O). Gọi các giao điểm thứ hai của Ax, Ay
với (O) tơng ứng là B, C. Đờng tròn đờng kính AO cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tơng ứng
là M, N. Tia OM cắt đờng tròn tại P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. Chứng minh rằng
a) AMON là hình chữ nhật
b) MN // BC
c) Tứ giác PHOB nội tiếp đợc trong đờng tròn.
d) Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất.
Bài 5:
Cho a 0. Giả sử b, c là nghiệm của phơng trình:
2
2
1
0
2
x ax
a
=
CMR: b
4
+ c
4

2 2
+
Đề số 6
Bài 1:
1/ Cho biểu thức
A =
3 1 1 1 8
:
1 1
1 1 1
m m m m m
m m
m m m

+

ữ ữ
ữ ữ

+

18
Nguyễn Trần Khánh
a) Rút gọn A.
b) So sánh A với 1
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
y = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
Bài 2: Cho hệ phơng trình
2
3 5

mx y
x my
=


+ =

a) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1, y =
3 1
Bài 3: Giải toán bằng cách lập phơng trình
Một máy bơm theo kế hoạch bơm đầy nớc vào một bể chứa 50 m
3
trong một thời gian
nhất định. Do ngời công nhân đã cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm 5 m
3
/h,
cho nên đã bơm đầy bể sớm hơn dự kiến là 1h 40. Hãy tính công suất của máy bơm theo kế
hoạch ban đầu.
Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) và một đờng thẳng d ở ngoài đờng tròn. Kẻ OA d. Từ một
điểm M di động trên d ngời ta kẻ các tiếp tuyến MP
1
, MP
2
với đờng tròn, P
1
P
2
cắt OM, OA
lần lợt tại N và B
a) Chứng minh: OA. OB = OM. ON

b) Gọi I, J là giao điểm của đờng thẳng OM với cung nhỏ P
1
P
2
và cung lớn P
1
P
2
.
Chứng minh: I là tâm đờngtròn nội tiếp MP
1
P
2
và P
1
J là tia phân giác góc ngoài của
góc MP
1
P
2
.
c) Chứng minh rằng: Khi M di động trên d thì P
1
P
2
luôn đi qua một điểm cố định.
d) Tìm tập hợp điểm N khi M di động.
Bài 5:
So sánh hai số:
2005 2007

+
và 2
2006
Đề số 7
Bài 1: Cho biểu thức
A =
2 1 2
1
1
1 2 1
x x x x x x x x
x
x x x

+ +
+
ữ
ữ



a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A =
6 6
5

c) Chứng tỏ A
2
3

là bất đẳng thức sai
Bài 2: Giải toán bằng cách lập phơng trình
19
Nguyễn Trần Khánh
Có hai máy bơm bơm nớc vào bể. Nếu hai máy cùng bơm thì sau 22h55 phút đầy bể. Nếu
để mỗi máy bơm riêng thì thời gian máy một bơm đầy bể ít hơn thời gian máy hai bơm đầy
bể là 2 giờ. Hỏi mỗi máy bơm riêng thì trong bao lâu đầy bể?
Bài 4: Cho nửa đờng tròn đờng tròn đờng kính AB = 2R, góc vuông xOy cắt nửa đờng tròn
tại hai điểm C và D sao cho
ằ
ằ
AC AD
<
; E là điểm đối xứng của A qua Ox.
a) Chứng minh: Điểm E thuộc nửa đờng tròn (O) và E là điểm đối xứng với B qua Oy
b) Qua E vẽ tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O), tiếp tuyến này cắt các đờng thẳng OC, OD
thứ tự tại M và N.
Chứng minh : AM, BN là các tiếp tuyến của đờng tròn (O).
c)Tìm tập hợp điểm N khi M di động.
Bài 5:
Tìm GTLN, GTNN của:
y =
1 1x x
+ +
Đề số 8
Bài 1: Cho biểu thức
P =
3 1 2
:
2 2

2 2 1 1
x x x x
x
x x x x x

+ +
+ +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 1
c) Tính giá trị của P, biết
2 3x x+ =
d) Tìm các giá trị của x để :
( ) ( )( )
4222522
+=++
xxpx

Bài 2: Giải toán bằng cách lập phơng trình
Một đội công nhân xây dựng hoàn thành một công trình với mức 420 ngày công thợ.
Hãy tính số ngời của đội, biết rằng nếu đội vắng 5 ngời thì số ngày hoàn thành công việc sẽ
tăng thêm 7 ngày.
Bài 3: Cho parabol (P): y =
2
4
x

và đờng thẳng (d): y =
1
2

x + n
a) Tìm giá trị của n để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)
20
Nguyễn Trần Khánh
b) Tìm giá trị của n để đờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm.
c) Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) với (P) nếu n = 1
Bài 4: Xét ABC có các góc B, C nhọn. Các đờng tròn đờng kính AB và AC cát nhau tại
điểm thứ hai H. Một đờng thẳng d bất kì qua A lần lợt cắt hai đờng tròn nói trên tại M, N.
a) Chứng minh: H thuộc cạnh BC
b) Tứ giác BCNM là hình gì? Tại sao?
c) Gọi P, Q lần lợt là trung điểm của BC, MN. Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc
một đờng tròn.
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.
Đề số 9
Bài 1: Cho biểu thức
P =
( )
2
1
1 1
: .
1 1 1
x x
x x x x
x x

x x x



+
+

ữ ữ
ữ ữ
+ +



a) Rút gọn P
b) Xác định giá trị của x để (x + 1)P = x -1
c) Biết Q =
1 3x
P
x
+

Tìm x để Q max.
Bài 2: Giải toán bằng cách lập phơng trình
Một xe tải đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40 km/h. Sau đó 1 giờ 30 phút, một
chiếc xe con cũng khởi hành từ A để đến B với vận tốc 60 km/h. Hai xe gặp nhau khi
chúng đẫ đi đợc nửa quãng đờng. Tính quãng đờng AB
Bài 3: Xét đờng tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và C là một điểm
bất kì nằm giữa Avà B. Tia MC cắt đờng tròn (O) tại D
a) Chứng minh: MA
2

= MC. MD
b) Chứng minh: MB. BD = BC. MD
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B.
d) Chứng minh khi M di động trên AB thì các đờng tròn (O
1
), (O
2
) ngoại tiếp các tam
giác BCD và ACD có tổng bán kính không đổi.
Bài 4: Tìm giá trị của x để biểu thức:
M =
( )
2
2 1 3 2 1 2x x
+
đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó
21
Nguyễn Trần Khánh
Bài 5: vẽ đồ thị hàm số : y =
2 2
4 4 4 4 1x x x x + + + +
Đề số 10
Bài 1: Cho biểu thức
P =
2 2
2 2
1 :
xy x xy y
xy xy
x y x xy y xy

+
+ +
ữ ữ
ữ ữ
+ + +

a) Rút gọn P
b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x, y thoả mãn
6x y+ =
Bài 2: Giải toán bằng cách lập phơng trình
Một đội công nhân gồm 20 ngời dự đinh sẽ hoàn thành công việc đợc giao trong thời gian
nhất định. Do trớc khi tiến hành công việc 4 ngời trong đội đợc phân công đi làm việc khác,
vì vậy để hoàn thành công việc mỗi ngời phải làm thêm 3 ngày. Hỏi thời gian dự kiến ban
đầu để hoàn thành công việc là bao nhiêu biết rằng công suất làm việc của mỗi ngời là nh
nhau
Bài 3: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn sao cho
cung AC nhỏ hơn 90
0
và góc COD = 90
0
. Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho C là
điểm chính giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lợt tại E, F
a) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: D là điểm chính giữa cung MB.
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lợt tại I,
K. Chứng minh các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp đợc.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B,
K, S cùng thuộc một đờng tròn.
Bài 4: Cho Parabol y =

1
2
x
2
(P). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(-1; 1) và tiếp
xúc với (P)
Bài 5: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm x

0
(m + 1) x
2
- 2x + (m - 1) = 0
22

+

+
=
2
3
1:
3
1
32
4
x
x
x
x
xx
xx
P
Nguyễn Trần Khánh
Đề số 11
Bài 1: Cho biểu thức
P =
2 1
.
1
1 2 1 2 1

x x x x x x x x
x
x x x x x

+ +
+
ữ
ữ

+

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của A =
5 3
.
x
P
x x

+
c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có:
( )
( )
. 1 3 1P x x m x x+ + > +
Bài 2: Giải toán bằng cách lập phơng trình
Một ca nô đi xuôi từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một ngời đi bộ cũng đi từ bến A dọc theo
bờ sôngvề hớng bến B. Sau khi chạy đợc 24 km, ca nô quay chở lại gặp ngời đi bộ tại một địa
điểm D cách bến A một khoảng 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng, biết vận tốc
của ngời đi bộ và vận tốc của dòng nớc đều bằng nhau và bằng 4 km/h
Bài 3: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và K là điểm chính giữa cung Ab. Trên cung KB

lấy điểm M (khác K, B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP song song
với KM. Gọi Q là giao điểm của các đờng thẳng AP, BM.
a) So sánh hai tam giác AKN, BKM
b) Chứng minh: Tam giác KMN vuông cân.
c)
d) Gọi R, S lần lợt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đờng tròn ngoại tiếp tam giác
Omp. Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm
trên một đờng tròn cố định.
Bài 4: Giải phơng trình:
1 1 2
1 2
1
x
x x
x
+
+ =
+
+
Bài 5: Cho b, c là hai số thoả mãn hệ thức:
1 1 1
2b c
+ =
Chứng minh rằng trong hai phơng trình dới đây có ít nhất một phơng trình có nghiệm:
ax
2
+ bx + c = 0 và x
2
+ cx + b = 0
Đề số 12

Bài 1: Toán rút gọn.
Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 0 ; c/ Tìm x để P < 1
23

















+


+
=
1
2
1

1
:
1
22
1
1
x
xxxxx
x
x
P








+

+
+
=
1x
x
x1
4x
:x
1x
2x
P
Nguyễn Trần Khánh
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm theo đúng kế
hoạch đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vợt mức mỗi ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành
kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Bài 3: Hình học.( Đề thi tốt nghiệp năm học 1999 2000).
Cho đờng tròn (0) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm
của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đởng tròn.
a) C/m : Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đờng tròn.
b) C/m : góc AOC bằng góc BIC
c) C/m : BI // MN
d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Đề số 13
Bài 1: Toán rút gọn.
Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 1 ; c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.

Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 120 sản phẩm trong một thời gian dự định. Khi làm đợc một
nửa số sản phẩm nhóm thợ nghỉ giải lao 10 phút. Do đó, để hoàn thành số sản phẩm còn lại
theo đúng thời gian dự định nhóm thợ tăng năng suất mỗi giờ thêm 6 sản phẩm. Tính năng
suất dự kiến.
Bài 3: Hình học.
Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên nửa mặt phẳng bờ
AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB .Đờng thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax,
By tại P và Q .AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a/ Chứng minh : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp
b/ Chứng minh : EF//AB
c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình bình hành
Đề số 14
Bài 1: Toán rút gọn.
Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để P < 1 ; c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian dự định. Sau khi làm đợc 2 giờ
với năng suất dự kiến, ngời đó đã cải tiến các thao tác hợp lý hơn nên đã tăng năng suất đợc 3
sản phẩm mỗi giờ và vì vậy ngời đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1giờ 36 phút. Hãy
tính năng suất dự kiến.
Bài 3: Hình học.
Cho đờng tròn (0; R), một dây CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S
kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn. Đờng thẳng AB cắt các đờng thẳng SO ; OM tại P và
Q.
a) Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp.
b) Chứng minh SA
2
= SD. SC.
24

+










+


+

+
+
=
1
2:
3

2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
P









+
+

+
++
+
=

1xx
2x
x1
1
1xx
1x
:xP
Nguyễn Trần Khánh
c) Chứng minh OM. OQ không phụ thuộc vào vị trí điểm S.
d) Khi BC // SA. Chứng minh tam giác ABC cân tại A
e) Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O, B thẳng hàng và BC // SA.
Đề số 15
Bài 1: Toán rút gọn.
Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
2
5
1

P
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng suất 10 sản
phẩm một ngày thì tổ đó hoàn thành sản phẩm sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản
phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến
Bài 3: Hình học.
Cho đờng tròn (0) bán kính R, một dây AB cố định ( AB < 2R) và một điểm M bất kỳ trên
cung lớn AB. Gọi I là trung điểm của dây AB và (0) là đờng tròn qua M tiếp xúc với AB tại
A. Đờng thẳng MI cắt (0) và (0) thứ tự tại N, P.
a) Chứng minh : IA

2
= IP . IM
b) Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành.
c) Chứng minh IB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MBP.
d) Chứng minh rằng khi M di chuyển thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên một
cung tròn cố định.
Đề số 16
Bài 1: Toán rút gọn.
Cho biểu thức
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P = 7
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp
khởi hành đoàn xe đợc giao thêm 14 tấn hàng nữa do đó phải điều thêm 2 xe cùng loại trên và
mỗi xe chở thêm 0,5 tấn hàng. Tính số xe ban đầu biết số xe của đội không quá 12 xe.
Bài 3: Hình học.
Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M là một điểm chính giữa cung AB. K thuộc cung BM
( K khác M và B ). AK cắt MO tại I.
a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
b) Gọi H là hình chiếu của M lên AK. Chứng minh : Tứ giác AMHO nội tiếp .
c) Tam giác HMK là tam giác gì ?
d) Chứng minh : OH là phân giác của góc MOK.
e) Xác định vị trí của điểm K để chu vi tam giác OPK lớn nhất (P là hình chiếu của K lên
AB)
Đề số 17
Bài 1: Toán rút gọn.
Cho biểu thức:
1x
2x
2x
3x

2xx
3)x3(x
P



+
+
+
+
+
=
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để
4
15
P <
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
25