Đề Thi HSG Hải Dương

Vũ Chí Cơng T.H.P.T Chí linh
1
Sở GD&ĐT hải dơng


Đề Thi chọn học sinh giỏi lớp 12
năm học 2008 - 2009

Vòng 1
Môn Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Cõu 1: ( 2,5 im)
Cho hm s
2 1
1
x
y
x
+
=

cú th (C)
1) Tỡm trờn (C) 2 im i xng nhau qua ng thng (d):
23
3
3
y x= +
2) Gi M l 1 im di ng trờn (C) cú honh
1
M
x

>
. Tip tuyn ti M ct 2 tim cn ti
A v B. Tỡm M din tớch tam giỏc OAB nh nht.
Cõu 2: (3,0 im)
1) Tỡm m bt phng trỡnh sau ỳng vi mi x :
sinx 2 sinx sinx
( 1) 2 [ ( 1)sinx -1] m
e e e e e
+

2) Tớnh tng cỏc nghim ca phng trỡnh sau trờn [0;1004

]

2
8sin xcosx- 3 sinx-cosx
0
sin(x- )
6

=

Cõu 3: (1,5 im)
Cho
1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1

n n n n
n n n n
C C C C

+ + +
+ + + +
+ + + + =
2
20
.
Bit s hng th 3 trong khai trin A=
2
2
log
log 3
4
8
2
n
x
x
x
x




+


bng 45. Tỡm x.
Cõu 4: ( 1,0 im)
Cho hm s f(x) liờn tc v cú o hm trờn R tho món:
502 1005

(1 2 ) (1 )
[ ] 2008 [ ] 0
x x
f x f
+
+ + =
.
Tớnh f(1).
Cõu 5:( 2,0 im)
Cho 2 na ng thng Ax v By chộo nhau v nhn AB lm on vuụng gúc chung. Cỏc im
M, N ln lt chuyn ng trờn Ax v By sao cho AM+BN=MN .
Gi O l trung im AB , H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O xung MN.
1) Chng minh rng H nm trờn 1 ng trũn c nh.
2) Khi M khỏc A v N khỏc B . Chng minh rng th tớch t din ABMN khụng i.
Ht
Vò ChÝ C−¬ng T.H.P.T ChÝ linh
2
H−íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm
Câu

Nội dung Điểm
1 2,5
1-1 1,25

Gọi A,B
∈
(C) đối xứng với nhau qua (d)=> AB
⊥
(d)
Phương trình AB :

3
x
y m
= +

0,25

Hoành độ của A, B là nghiệm x
1
,x
2
của phương trình:
2
2 1
(7 3 ) 3 3 0
1 3
x x
m x x m m
x
+
= + ⇔ − − − − =
−
(1) =>x
1
+x
2
=7-3m
0,25

toạ độ trung điểm I của AB là

1 2
7 3
2 2
7 3 7 3
3 6 6
x x m
x
I
x m m
y m m
+ −

= =



− +

= + = + =



0,25

A,B đối xứng nhau qua (d)=>I
∈
(d)=>
7 3 7 3 23
3. 1
6 2 3

m m
m
+ −
= − + ⇔ =

0,25

với m=1 (1)<=>x
2
-4x-6=0
1
2
2 10
2 10
x
x

= −
⇔

= +



Vậy 2 điểm cần tìm thoả mãn đề bài là
5 10 5 10
(2 10; ), (2 10; )
3 3
A B
− +

− +
0,25
1-2

1,25

2 1 3
2
1 1
x
y
x x
+
= = +
− −

2
3
'
( 1)
y
x
−
=
−

M(x
M
; y
M

)
∈
(C) =>
3
2 ;( 1)
1
M M
M
y x
x
= + >
−

Phương trình tiệm cận đứng của (C) : (d
1
): x=1
Phương trình tiệm cận ngang của (C) : (d
2
): y=2
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là
(d):
2
3 3
'( )( ) ( ) 2
( 1) ( 1)
M M M M
M M
y y x x x y x x
x x
−

= − + = − + +
− −

0,25

A là giao của (d) và (d
1
) => toạ độ của A là
2
1
3 3 6
( ) 2 2
( 1) ( 1) ( 1)
M
M M M
x
A
y x x
x x x
=


−

= − + + = +

− − −


B là giao của (d) và (d

2
) => toạ độ của B là
2
2
2 1
3 3
( ) 2
2
( 1) ( 1)
M
M
M M
y
x x
B
y x x
y
x x
=

= −


⇔
−
 
= − + +
=



− −


4
2 2
2 2
2 ( 1) 9
36 9
(2 2) 2 ( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
M
M M
M M M
x
AB x x
x x x
− +
= − + = − + =
− − −

0,25
Vò ChÝ C−¬ng T.H.P.T ChÝ linh
3


khoảng cách từ O đến AB là
2
2
4
4

3 3
(0 ) 2
( 1) ( 1)
2 2 1
( ; )
9
( 1) 9
1
( 1)
M
M M
M M
M
M
x
x x
x x
d o AB
x
x
−
− + +
− −
+ −
= =
− +
+
−
( do x
M

>1)
Diện tích tam giác OAB là
4
2 2
4
2 ( 1) 9
2 2 1 2 2 1
1 1
. ( ; ) .
2 2 ( 1) ( 1)
( 1) 9
M
M M M M
OAB
M M
M
x
x x x x
S AB d O AB
x x
x
∆
− +
+ − + −
= = =
− −
− +


0,25

Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có
2 2
2 2 1 2( 1) 6( 1) 31 3
. ( ; ) 2( 1) 6
2 ( 1) 1 ( 1)
3
6 2. 2( 1). 6 2 6
( 1)
M M M M
OAB M
M M M
M
M
x x x x
S AB d O AB x
x x x
x
x
∆
+ − − + − +
= = = = − + +
− − −
≥ + − = +
−

dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
3 6
2( 1) 1
( 1) 2

M M
M
x x
x
− = ⇔ = +
−
( do x
M
>1)
Vậy điểm M thoả mãn đề bài là
6
(1 ;2 6)
2
M + +
0,5
2

3,0
2-1

1,5

1)Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
sinx 2 sinx sinx
( 1) 2 [ ( 1)sinx -1] m
e e e e e
− + − − − ≤
(1)
đặt t=sinx ( t
∈

[-1;1])
(1)=>
2
( 1) 2 [ ( 1) -1] m
t t t
e e e e e t
− + − − − ≤
(2)
0,25

đặt f(t)=e
t
-(e-1)t-1 f’(t)=e
t
-(e-1) f’(t)=0<=>t=ln(e-1)
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên => f(t)=0 <=>t=0;t=1

t -
∞
0 ln(e-1) 1 +
∞

f’(t)

- - 0 + +
f(t)
0 0

0,5
Đặt G(t)=
2 2
( 1) 2 [ ( 1) -1]=( 1) 2 . ( )
t t t t t
e e e e e t e e e f t
− + − − − − + − trên [-1;1]
G’(t)=2(e
t
-e-1).e
t
-2e
t
f(t)-2e
t
.f’(t)=-2e
t
.f(t)
0,25

G’(t)=0 <=>f(t)=0 <=>t=0;t=1
G(-1)=-e
-2
+4e
-1
+e
2
-2e-3 ; G(0)=(2-e)
2
; G(1)=1=>

[-1;1]
ax ( ) 1
m G t
=

(1) Đúng với mọi x khi và chỉ khi (2) đúng với mọi t
∈
[-1;1]
0,5
Vò ChÝ C−¬ng T.H.P.T ChÝ linh
4
<=>
[-1;1]
ax ( ) 1
m m G t m
≥ ⇔ ≥


2-2

1,5

điều kiện xác định :
sin( ) 0 ( )
6 6
x x k k
π π
π
− ≠ ⇔ ≠ + ∈
»

(1) 4sin 2 sinx- 3 sinx-cosx=0 2(cosx-cos3x)- 3
sinx-cosx=0
1 3
cos3x= osx- s inx cos3x=cos(x+ )
2 2 3
x
c
π
⇔ ⇔
⇔ ⇔

0,5

(2)
3 2
3
6
( )
3 ( ) 2
3
12 2
x x k
x k
k
x x k x k
π
π
π
π

π π π
π
 
= + +
= +


⇔ ⇔ ∈




= − + + = − +




»

Kết hợp với điều kiện xác định => (1) có nghiệm là
( )
12 2
x k k
π π
= − + ∈
»

0,25

Do
1 1
2008
[0;1004 ] 0 1004
6 6
12 2
1 2008
k
x k
k
k
k
π π
π π

≤ ≤ +

∈ ⇒ ≤ − + ≤ ⇔


∈

≤ ≤

=>

∈

»
»

0,25

=> các nghiệm của (1) trên [0;1004
π
] là
12 2
k
x k
π π
= − + với
1 2008
k
k
≤ ≤


∈

»
gồm
2008 nghiệm lập thành cấp số cộng có
1
5
12 2 6
x
π π π
= − + = công sai
2
d

π
=
nên
tổng các nghiệm là
1
2008 5 3027562
[2 ( 1) ] [2 (2008 1) ]
2 2 2 6 2 3
n
S x n
π π π π
= + − = + − =
0,5
3

1,5

điều kiện : x>0
Ta có
0 1 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2
n n n
n n n n
C C C C
+ +
+ + + +
+ + + + = do
2 1 0 2 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

; ;
k n k n n n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C
+ − + +
+ + + + + + + +
= => = = =
Nên
0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + + =
2(
1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
)
n n n n
n n n n
C C C C
+ + +
+ + + +
+ + + +
=>
2 1
1 2 2 2 1 2

2 1 2 1 2 1 2 1
2
2
2
n
n n n n n
n n n n
C C C C
+
+ + +
+ + + +
+ + + + = = => (1) <=>2
2n
=2
20
<=>n=10
0,5

với n=10 =>
2
2
10
log
log 3
4
8
2
x
x
x

A x
−
−
 
 
= +
 
 

số hạng thứ k+1 trong A là
2
2
log
log 3 10
4
8
1 10
( ) .( 2 )
x
x
x
k k k
k
T C x
−
− −
+
=
0,5
Vò ChÝ C−¬ng T.H.P.T ChÝ linh

5
do số hạng thứ 3 trong A bằng 45 nên
2
2
log
log 32 8 2
4
8
3 10
( ) .( 2 ) 45
x
x
x
T C x
−
−
= =

2 2
2 2
log log
2(log 3) 2(log 3)
8 8
2
2 2 2
2 2
2
2
2
45. .2 45 log ( .2 ) 0

2(log 3) log (log 3) 0
(log 3)(2log ) 0
log 3 0
8
2log 0(2)
2log 0
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x
x
x
x x
x x
− −
− −
⇔ = ⇔ =
⇔ − − − =
⇔ − − =
− =
=


⇔ ⇔


− =
− =





đặt f(x)=2log
2
x-x trên (0;+
∞
)
2 2
'( ) 1 0
ln 2 ln 2
f x x
x
= − = ⇔ =
bảng biến thiên
x
0 2
2
ln 2
4 +
∞

f’(x) - - 0 + +
f(x)
0 0


từ bảng biến thiên => (2) có đúng 2 nghiệm x=2 và x=4
vậy với x

∈
{2;4;8} thoả mãn đề bài
0,5
4

1,0


502 1005
(1 2 ) (1 )
[ ] 2008 [ ] 0
x x
f x f
+ −
+ + =
(1)
chọn x=0 thay vào (1) =>
502 1005
(1) (1)
(1) 0
0
(1) 1
f
f f
f
=

+ = ⇔

= −



0,25

Đạo hàm 2 vế của (1)
501 1004
(1 2 ) (1 2 ) (1 ) (1 )
502. . ' .2 2008 1005. . ' (-1) 0(2)
x x x x
f f f f
+ + − −
⇒ + + =


0,25

chọn x=0 thay vào
501 1004
(1) (1) (1) (1)
(2) 1004. . ' 2008 1005. . ' 0(3)
f f f f⇒ + − =

với f(1)=0 thay vào (3) không thoả mãn
với f(1)=-1 thay vào (3)=>
2008
'(1)
2009
f =

0,5

5

2,0
5-1

1,0


đặt AM=x BN=y

0,25
Vò ChÝ C−¬ng T.H.P.T ChÝ linh
6
Trên tia đối của tia Bx lấy điểm C sao cho BC=AM=>
∆
AOM=
∆
BOC(c.g.c)
=>CO=MO=>
∆
OCN=
∆
OMN(c.c.c)=> 2 đường cao tương ứng bằng nhau
=> OH=OB(1)( OB không đổi)
x
x
y
O
C
A

B
M
N
N'
H
K

AB
⊥
Ax và AB
⊥
By=>kẻ At

By => AB
⊥
(Ax,At)
gọi N’,K lần lượt là hình chiếu của N,H xuống (Ax,At)=>M,K,N’ thẳng hàng.
Ta có BC=AM=MH; BN=HN=AN’
HK

NN’=>
' '
MH MK x AM
HN KN y AN
= = = => AK là phân giác

xAt
=> đường thẳng AK cố
định =>(AKB) cố định (2).
0,5

Từ (1) và (2)=> H nằm trên đường tròn cố định tâm O bán kính OB vẽ trong mặt
phẳng (ABK).
0,25
5-2

1,0

đặt

(Ax,By)
α
= =>
α
không đổi và

sin sin '
MAN
α
= Do
∆
ABN=
∆
NN’A=>

' ' '
1 1 1
'. . . '.sin ' . . .sin
3 3 3
MABN MANN NN AM AMN

V V V NN S AB AM AN MAN AB x y
α
∆
= = = = =
0,5

Do AB
⊥
(Ax,At) =>NN’
⊥
(Ax,At) =>NN’
⊥
N’M
=>


 
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
( ) ' ' ' 2 . '. osMAN'
2 2 osMAN'
2(1 osMAN') MAN'
4 os
2
MN x y NN N M AB AM AN AM AN c
AB AB
xy AB xyc xy
c

c
= + = + = + + −
⇔ = − ⇔ = =
+

0,25

=>
 
2
3
2 2
1 1 sin
.sin .
3 12
MAN' MAN'
4 os os
2 2
ABMN
AB
V AB AB
c c
α
α
= =
nếu

3 3
2
1 sin 1

' tan
12 6 2
os
2
ABMN
MAN V AB AB
c
α α
α
α
= => = =
nếu

3
1
' cot
6 2
ABMN
MAN V AB
α
π α
= − => ==
Do AB ,
α
không đổi => thể tích tứ diện ABMN không đổi
0,25