Tiểu luận phương pháp tính ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

MỤC LỤC
1.SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
1 Sai số
2 Biểu diễn số thập phân
3 Biễu diễn số thập phân trong máy tính
2.PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
2.1 Đặt bài toán
2.2 Phương Pháp chia đôi
2.3 Phương Pháp Lặp Đơn
2.4 Gia3i hệ phương trình phi tuyến
3 HỆ PHƯƠNG TIR2NH ĐẠI SỐ
TUYẾN TÍNH
3.1 Phương pháp Gauss
3.2 Phương pháp nhân tử LU
3.3 Phương pháp Choleski
3.4 Chuẩn vecto và chuẩn ma trận
3.5 Phương pháp lặp
4 NỘI SUY CÀ XẤP XỈ HÀM
4.1 Đặt bài toán
4.2 Đa thức nội suy Lagrange
4.3 Đa thức nội suy New ton
5 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
5.1 Tính gần đúng của đạo hàm
5.2 Công thức Newton – Cote
5.3 Công thức cầu phương Gauss
6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
6.1 Bài toán Cauchy
6.2 Bài toán biên tuyến tính cấp hai
6.3 Phương trình elliptic
6.4 Phương pháp parabolic
CHƯƠNG 1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

1.1 SAI SỐ:
Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai số.
Số được gọi là số gần đúng của số chính xác , kí hiệu là ( được gọi là xấp xỉ ), nếu khác
không đáng kể và được dùng thay cho trong tính toán. Đại lượng được gọi là sai số thật
sự của số gần đúng . Trong thực tế, do không biết A, ta ước lượng một đại lượng dương
càng bé càng tốt thỏa điều kiện.
Được gọi là sai số tuyệt dối của số gần đúng a.
Sai số tương đối của số gần đúng a so với A là dại lượng được tính theo công thức:
Nếu không biết A, ta có thể thay bằng:
Sai số tuyệt đối:
Công thức tính sai số tương đối:
1.2 BIỂU DIỄN SỐ THẬP PHÂN
Bất kì một số thập phân a nào cũng có thể viết dưới dạng:
Làm tròn một số thập phân là bỏ một số các chữ số bên phải sau dấu chấm thập phân để
được một số ngắn gọn hơn và gần đúng nhất so với . Giả sử ta muốn làm tròn dến chữ số
thứ sau dấu chấm thập phân của số a.
Ta thấy : và chọn số làm tròn là hoặc theo điều kiện:
Để làm tròn đến chữ số thứ sau dấu thập phân, ta xét chữ số thứ là . Nếu ta tăng lên một
đơn vị; còn nếu , giữ nguyên chữ số . Sau đó bỏ phần đuôi từ chữ số trở đi. Sai số thực
của so với được gọi là sai số làm tròn:
Khi đó sai số tuyệt đối của so với A được đánh giá như sau:
Cho với sai số tuyệt đối . Trong cách viết thập phân của số , chữ số được gọi là đáng tin
nếu:
Trong trường hợp ngược lại, chữ số được gọi là không đáng tin.
CHƯƠNG 2 : PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
2.1) Đặt bài toán
Mục đích của chương này là tìm nghiệm gần đúng của phương trình
F(x) = 0
Với f(x) là là hàm liên tục trên một khoảng đóng hay mở nào đó
Nghiệm của phương trình (2.1) là giá trị sao cho f() =0

Về mặt hình học.nghiệm của phương trình (2.1) là hoành độ giao điểm của đường công y
= f(x) với trục hoành
Khoảng cách li nghiệm: la khỏang đóng (đôi khi ta cũng xét khoảng mở (a;b)) mà trên
đó tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (2.1)
Do chỉ xét nghiệm đơn của phương trình:
Nếu f(x) liên tục trên khoảng cách li nghiệm thì f(a).f(b) < 0
Để tìm nghiệm của phương trình 2.1 ta tiến hành theo hai bước:
Bước1: tìm tất cả các khoảng cách li nghiệm của phương trình (2.1).
Bước2: trong tương khoảng cách li nghiệm, tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng
một phương pháp nào đó với sai số cho trước.
Định lí 2.1. Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn và giá trị của hàm trái dấu tại hai điểm nút
thì phương trình (2.1) có nghiệm trên đoạn . Thêm vào đó, nếu hàm f(x) đơn điệu thì
nghiệm duy nhất.
Định lí 2.2. giả sử f(x) lien tục trên , khả vi trong (a,b). Nếu là nghiệm gần đúng của
nghiệm chính xác trong vàx, m 0. Thế thì ta có công thức đánh giá sai số tổng quát sao
đây
2.2 phương pháp chia đôi.
Xét phương trình f(x) = 0 (1) có nghiệm chính xác là trong khoảng cách li nghiệm .
Đặt
Tính f()
Nếu f() = 0 thì chính là nghiệm cần tìm
Nếu f().f() 0 đặt
a
Nếu f().f() 0.Đặt
Như vậy ta thu được và độ dài . Tiếp tục quá trình chia đôi như vậy đến n lần, ta được
kết quả sau:
CHƯƠNG 3
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.1) phương pháp Gauss
Xét hệ phương trình đại số tuyến tính ở dạng ma trận

; X= ;
A gọi là ma trận hệ số của hệ
X gọi là ma trận ẩn số
B gọi là ma trận cột vế phải
• Các phép biến đổi sơ cấp
+ Nhân một hàng cho một số khác 0
+ Đổi chỗ 2 hàng cho nhau
+ Cộng hàng với một hàng khác sau khi đã nhân một số khác 0
Ma trận bậc thang là 1 ma trận thỏa
Các hàng khác 0 bao giờ cũng nằm trên hàng 0.
Trên hai hàng khác 0 phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng bên dưới bao giờ cũng nằm bên phải
cột chứa phần tử khác 0 đầu trên ở hàng bên trên.
Để giải hệ ta thực hiện.
Trong đó là ma trận bậc thang.
3.2) phương pháp nhân tử LU
Xét hệ , trong đó
Nội dung của phương pháp
• Phân tích A thành tích LU
L là ma trận tam giác dưới
U là ma trận tam giác trên
a) Phương pháp Doolittle
Trong đó:
L là ma trận tam giác dưới nhưng các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1.
U là ma trận tam giác trên.
Các phần tử L,U được tính theo công thức:
b) Phương pháp Gout
Các phần tử L,U được tính theo công thức:
c) Phương pháp Choleski.
Phương pháp Choleski là trường hợp riêng của phương pháp nhân tử , nó áp dụng cho A
là ma trận xác định dương và đối xứng.

Định nghĩa ma trận đối xứng. ma trận được gọi là ma trận đối xứng nếu
Ma trận được gọi là xác định dương nếu với mọi vectơ khác không ta luôn có , trong đó.
Định lí kiểm tra A xác định dương.
Định lí : Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả định thức con chính của A đều
dương
Định lí: A là ma trận đối xứng và xác định dương khi và chỉ khi tồn tại ma trận B tam
giác dưới khả đảo sao cho
Ma trận tam giác dưới B có thể tìm được theo cong thức sau:
2
b
ii
= 1
b
ij
= 1<j<i
Phương pháp choleski:
Xét hệ phương trình đại số tuyến tính AX=B
 B.B
T
.X = b 
Lưu ý: Phương pháp choleski thực tế chỉ đòi hỏi A là đối xứng chứ không cần xác
định dương.
3.4 Chuẩn vectơ và chuẩn ma trận:
X = R
n
= d(0;x) = =
= =
=
Chuẩn ma trận tương ứng với chuẩn vectơ xác định theo công thức:
= =

Định lý: Ta có chuẩn của ma trận A tương ứng với chuẩn của vectơ được xác định như
sau:
1
=
∞
=
F
=
I
: gọi là chuẩn Frobenuy
Số k(A) = cond(A) = được gọi là số điều kiện của của ma trận A. k(A) đặc trưng cho tính
ổn định của hệ thống phương trình đại số tuyến tính
Ta có: 1∞
Định nghĩa:
Xét dãy vectơ trong R
n
Viết gọn là
Ta có dãy hội tụ về vectơ x khi m ∞
Nếu và chỉ nếu 0 khi m
Khi đó ta viết =
Định lý:
_Dãy các vectơ hội tụ với khi m theo chuẩn thì điều kiện cần và đủ la dãy {} hội tụ về ,
CHƯƠNG 4 ĐA THỨC NỘI SUY
Xét hàm số y=f(x) cho duới dạng bảng
Trong đó n
∈
N;
0;
k
x k n= =

được gọi là các mối nội suy hay các gốc nội suy
( )
k k
y f x
=
là giá trị của hàm cho trước tại
k
x
.
Hãy xây dựng một đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n
1
1 1 0
( )
n n
n n n
P x a x a x a x a
−
−
= + + +
Thỏa điều kiện
( )
n k k
P x y
=
0,k n=
( )
n
P x
được gọi là đa thức nội suy của hàm f(x)
4.1.Đa thức nội suy Larange

Xét hàm số
Y=f(x) được cho dưới dạng bảng (4.1)
Hãy xây dựng một đa thức Larange
( )n xℑ
thỏa mãn các điều kiện sau:
Bậc của
( )n xℑ
≤
n
( )n xℑ
=
k
y
0,k n=
Để xác định
( )n xℑ
trước tiên ta xác định các đa thức phụ
( )
( )
k
n
P xf
=
Ta có
( )
( )
k
n
P x
=

1
0 1
0 1
( )( ) ( )( 1) ( )
( )( ) ( 1)( 1) ( )
k k n
k k k k k k k n
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
− − − − + −
− − − − − + −
Đặt
( )n xℑ
=
0 1
0 1
( ) ( ) ( )
n
n n n n
P x y P x y P x y
+ + +
=
0
( )
n
k
n k
n
P x y
=

∑
CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
5.1 Tính gần đúng của đạo hàm
Trong phần này ta đưa các công thức xấp xỉ các đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm y=
f(x) dựa vào các giá trị rời rạc y
k
cả hàm tại các điểm nút x
k
. ý tưởng là xây dựng đa thức
nội suy Lagrange (x) xấp xỉ hàm f(x) trong đoạn nào đó và khi đó f’(x)£’(x) va f” (x)
£”(x)
5.2 Công thức newton-cotes
Mục đích của phầ này la tính gần đúng tích phân xác định
I=
Với f(x) là hàm xác định và khả tích trên [a;b] . ý tưởng xuất phát từ việc xấp xỉ hàm f(x)
trên đoạn [a;b] bởi đa thức nội suy Lagrange £
n
(x)
I=
5.1 sai số của công thức newton-cotes cho bởi
|I-I*|
|I-I*|
Với
5.2.1 trong công thức hình thang
Trong cong thức cho n=1 ts được x
0
=a, x
1
=b, h=b-a,
Y

0
=f(a), y
1
=f(b) từ các tính chất của hệ số cotes : H
0
+H
1
=1 và H
0
=H
1
ta thu được
H
0
=H
1
=1/2 khi có công thức có dạng
I I*=h
5.2.2 Công Thức Simpson
X
0
=a, x
1
= x
2
=b, h= y
0
=f(a), y
1
=f(, y

2
=f(b)
Khi đó công thức có dạng
II*=y
0
+4
yn
+y
2
)
Và công thức sai số
|I-I*|
Với M
4
=
5.3 Công thức cầu phương Gauss
Ý tưởng cảu công thức cầu phương Gauss là xấp xỉ tích phân bởi 1 tổng hữu hạn
I=
CHƯƠNG 6
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
6.1 BÀI TOÁN CAUCHY
Trong phần này chúng ta sẽ xét 1 số pp tìm nghiệm gần đúng của dạng bài toán của
phương trình vi phân, được gọi là bài toán Cauchy hay còn gọi là bài toán với đk ban
đầu:
'
0
( ) ( , ( ))
( )
y x f x y x
y a y


=

=

a x b≤ ≤
(6.1)
Với y = y(x) là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn [a,b],
0
y
là giá trị ban đầu cho trước của
hàm tại điểm x = a
6.1.1 Công thức Euler
Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (6.1), ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng
nhau với bước h =
b a
n
−
. Khi đó các điểm chia là
0
x
= a;
k
x
=
0
x
+ kh, k=0,1,2….,n;
n
x

=b.
giá trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm
k
x
được kí hiệu là
k
y
≈
y(
k
x
). Chúng ta sử
dụng khai triển Taylor để đưa ra CT Euler.Giả sử y(x) là nghiệm duy nhất của bài toán,
có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn [a, b]. khi đó với mỗi k = 0,1,2,…,n-1, ta có:
2
' ''
1
1
( )
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
2
k k
k k k k k k
x x
y x y x x x y x y
ε
+
+
−
+ = + − +

Với
k
ε
nằm trong (
k
x
,
1k
x
+
). Vì y(x) thõa mãn pt vi phân trong (6.1) và h =
1k k
x x
+
−
nên
ta có:
2
''
( 1) ( ) ( , ( )) ( )
2
k k k k k
h
y x y x hf x y x y
ε
+ = + +
(6.2)
Thay các giá trị gần đúng của hàm tại các điểm nút, ta được CT Euler sau:
1
( 1) ( , ), 0,1,2, , 1

k k k k k
y x y y hf x y k n
+
+ ≈ = + = −
(6.3)
6.1.2 Công thức Eluer cải tiến
1 1
1
( ) ( , )
2
k k k k
k k
f x y f x y
y y h
+ +
+
+ +
= +
k=0,1,2,…,n-1 (6.4)
Ct trên đc gọi là Ct Euler cải tiến. Việc tính toán theo ct (6.4) rất phức tạp, vì cả vế phải
lẫn vế trái đều chứa
1k
y
+
là ẩn cần tìm. Để đơn giản người ta thay giá trị đc xác định
Theo CT ta thu đc:
1
1
( , ) ( , ( , ))
( 1)

2
0,1, , 1
k k k k k k
k k k
f x y f x y hf x y
y x y y h
k n
+
+
+ +

+ ≈ = +



= −

(6.5)
6.1.3 Công thức Runge-kutta
Trong phần này chúng ta sẽ xét một phương pháp khác để đưa ra công thức giải gần đúng
bài toán Cauchy có tên gọi là phư ơ n g pháp Runge-kutta.Công thức sắp xỉ như sau
a)Trường hợp n=m=1
Công thức trên có dạng với và A
1
là hệ số duy nhất cần xác định.Khi đó:
Như vậy ta có và trong trường hợp này công thức trỡ thành công thức Euler.
b)Trường hợp n=m=2
Khi đó công thức (6.6) có dạng:
Chương 1
Bài 1: cho a=1,85 với sai số tương đối là

0,12%a
δ
=
Tính sai số tuyệt đối của a
| |
a
a
a
δ
∆
=
0,12%=
|1.85 |
a∆
=>
a∆
=2,22.10
-3
Chương 2
Bài 8:
a)
2 2cos 6 0
x x
e x
−
+ + − =
trong đoạn [1;2]
f(x)=
2
2 2cos 6

x
x x
−
+ + −
f’(x)=
2
2
2( sinx)
x
e
x
− + −
=
2
2
2sinx
x
e
x
− −
f”(x)=
2
2 2sinx
x x
e
−
− +
=>f”=
2
2 ln 2( 2 ) 2cos

x x
e x x
−
− − −
F”(-e
x
+2
X
ln2(2x)-2cosx
Do
[1;2]x
ε
∀
f’(x)
≥
0,688=m
chọn
0
x
=2 xây dựng dãy {
n
x
} theo công thức
3
3
0
1
2 2
0
2 1

2.2 1 15
3 3 3.2 3 9
x
x
x
−
−
= = =
− −
3
3
1
2
2
2
1
15
2. 1
2 1 223
9
3 3 144
15
3. 3
9
x
x
x
 
−
 ÷

−
 
= = =
−
 
−
 ÷
 
3
2
2
2
2
2
2
223
2. 1
2 1 6,42
144
1,82
3 3 4,19
223
3. 3
144
x
x
x
 
−
 ÷

−
 
= = = =
−
 
−
 ÷
 
3
3
3 3
3
| 3 1|
0,68.10
0,688
x x
x
−
− +
∆ = =
b)ln(x-1)+cos(x-1)=0 trong đoạn [1,3;2]
f(x)=ln(x-1)+cos(x-1)
f’(x)=
1
( 1)x −
-sin(x-1)>0
f”(x)=
2
1
( 1)x

−
−
-cos(x-1)<0
=>m=0,158
Chọn
0
1,3x
=
Xây dựng dãy
0
{ }
n n
x
∞
=
theo công thức
3
3
0
1
2 2
0
2 1
2.2 1 15
3 3 3.2 3 9
x
x
x
−
−

= = =
− −
3
3
1
2
2
2
1
15
223
2. 1
2 1
9
27
1,5486
16
3 3
15
3. 3
3
9
x
x
x
 
−
 ÷
−
 

= = = =
−
 
−
 ÷
 
( )
( )
3
3
2
3
2
2
2
2. 1,5486 1
2 1 6,42
2,37
3 3 4,19
3. 1,5486 3
x
x
x
−
−
= = = =
−
−
6
3

0,38.10x
−
∆ =
Chương 3
Bài 5
Tìm các giá trị của
α
để các ma trận sau đây là xác định dưong
a)
1 1
1 2 1
1 1 4
α
−
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
b)
1 2
4 1
2 1 8
α
α
 
 ÷
−
 ÷

 ÷
−
 
Giải
a)
1
| |
α
∆ =
=
α
>0
2
1
1 2
α
 
∆ =
 ÷
 
=2
α
-1 > 0 
α
>
1
2
3
1 1
1 2 1

1 1 4
α
−
 
 ÷
∆ =
 ÷
 ÷
−
 
=
1 2 1
4 1 1 2
2 1 8 1 1
α α
α
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
− −
 
=(2+
α
+4)-(8
α
-1-1)=6+
α
-8

α
+2
=8-7
α
>0
=>
1
2
8
7
α
α

>




<


=>
α
>
8
7
b)
1 2
4 1
2 1 8

α
α
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
−
 
1
|1| 1 0
∆ = = >
2
2
1 2
4 0
4 2
α α
α
α α
< −

∆ = = − > <=>

>

3
1 2 1
4 1 4
2 1 8 2 1

α α
α α
∆ = −
− −
=(16+1+8
2
α
)-(32-2
α
-2
α
)
=8
2
α
+4
α
-15>0
∆
=2
2
-(8(-15))=4+120=124
1
2 124 1 31
8 4
x
− + − +
= =
2
2 124 1 31

8 4
x
− − − −
= =
```````
1 31 1 31
4 4
α
− − − +
< <
Chương 4
Bài 12.d
Tìm hàm f(x) xấp xỉ các bảng số sau:
X 10 20 30 40 50
Y 1,45 1,12 0,83 1,26 1,14
f(x)=
Giải
Cho f(x)=
Hệ phương trình xác định A,B có dạng:

A=-0,1633
B=0,0551
Vậy f(x)=-0,1633
Chương 5
Bài 1
.Sử dụng các công thức sai phân hướng tâm, tính gần đúng đạo hàm cấp 1 và 2 của các
đạo hàm sau đây tại điểm x
0
đã cho với bước h lần lượt là 0,1 0,01 và 0,001.
a)f(x)=x

2
.cos5x, x
0
=1,2
Công thức sai phân hướng tâm f’(x
0
)
 f’’(x
0
)=
H F’(x) F’’(x)
0,1 3,9467 -25,7357
0,01 4,3128 -25,9378
0,001 4,3162 -25,9398
b)f(x)=sin(x
2
)+cos(x
2
),x
0
=0
Công thức sai phân hướng tâm f’(x
0
)
 f’’(x
0
)=
H F’(x) F’’(x)
0,1 0 1,99
0,01 0 1,99

0,001 0 2
c)f(x)=x
2
-,x
0
=1
Công thức sai phân hướng tâm f’(x
0
)
 f’’(x
0
)=
H F’(x) F’’(x)
0,1 3,7433 5,27404
0,01 3,7358 5,2643
0,001 3,7358 5,2642
d)f(x)=lnx-,x
0
=3
Công thức sai phân hướng tâm f’(x
0
)
 f’’(x
0
)=
H F’(x) F’’(x)
0,1 0,4078 -0,2102
0,01 0,4074 -0,2099
0,001 0,4074 -0,2099