BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
GVHD : Nguyễn Văn Phú
Lớp : BK10HTD Nhóm : 2
Trưởng nhóm : Phạm Hoàng Thái
TP. Hồ Chí Minh,ngày 05 tháng 12 năm 2011
Phương Pháp Tính
LỜI NÓI ĐẦU
Đầu tiên nhóm xin trân trọng gởi lời cảm ơn chân thành đến
giảng viên Nguyễn Văn Phú. Người đã tạo điều kiện để nhóm có
cơ hội rèn luyện bản thân và nắm vững kiến thức hơn thông qua
bài tập lớn.
Theo đà phát triển của máy tính điện tử, xu hướng mô hình hóa
và mô phỏng bằng máy tính đã trở thành một trong những kỹ thuật
chủ đạo của các ngành khoa học kỹ thuật và kinh tế. Điều này đòi
hỏi việc xây dựng những thuật toán đơn giản, hiệu quả, giải đến
kết quả bằng số các bài toán thực tế khác nhau. Đó cũng là mục
tiêu của môn học phương pháp tính giảng, dạy ở các trường đại
học kỹ thuật.
Bài tập lớn này dựa trên giáo trình môn phương pháp tính
được giảng dạy tại đại học bách khoa tp.HCM. Nó bao gồm cơ sở
lý thuyết, một số bài tập và bài giải được chúng tôi tổng hợp và
trình bày một cách ngắn gọn, súc tích nhưng đầy đủ các khái niệm
cốt lõi. Nó giúp sinh viên rèn luyện các kỹ năng tổng hợp các kiến
thức đã học, kỹ năng làm việc nhóm qua đó có thể trao đổi cũng
cố kiến thức của bản thân, rèn luyện tính tự chủ và tinh thần trách
nhiệm trong công việc.
Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên thiếu sót là điều không thể tránh
khỏi. Mong nhận được ý kiến đóng góp để nhóm có thể hoàn thiện

hơn.
TP.HCM, ngày 05/12/2011
Phương Pháp Tính
GVHD : Nguyễn Văn Phú
Nhóm SV thực hiện : nhóm 2
1 410BK273 Phạm Hoàng Thái
2 410BK177 Trương Lê Minh
3 410BK046 Nguyễn Tấn Đạt
4 410BK146 Nguyễn Việt Linh
5 410BK019 Đổ Quốc Công
6 410BK107 Võ Doãn Quốc Huy
7 410BK184 Trần Sơn Nam
8 410BK233 Phạm Thảo Quyên
9 410BK354 Nguyễn Minh Tuyền
10 410BK301 Huỳnh Diễm Thúy
11 410BK Huỳnh Hoàng Thanh Phong
Lớp BK10HTD TP.HCM, ngày 05 tháng 12 năm 2011
Phương Pháp Tính
CHƯƠNG I
SAI SỐ VÀ SỐ GẦN ĐÚNG
 Sai số
Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai
số.
Số a được gọi là số gần đúng của số chính xác A,ký hiệu a≈A,nếu a
khác A không đáng kể ,được thay thế cho A.Khi đó ∆= được gọi là sai
số thật sự của số gần đúng a.Vì không biết giá trị của A ta ước lượng 1
đại lượng ∆
a
thoả điều kiện:
(1.1)

Được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
− Từ (1.1) => a-∆
a
≤A≤A+ ∆
a
(1.2)
Hay : A= a±∆
a
• Sai số tương đối của số gần đúng a so với A là đại lượng δ
a
.Được tính
theo công thức:
δ = =
• Công thức tổng quát:
Ta có:y = f(x
1
,x
2
,…,x
n
)
Gọi , và x
i
,y
i
i= 1,2…n là các giá trị chính xác và giá trị gần đúng
của đối số và hàm số.Nếu f khả vi liên tục thì :
Vì liên tục và ∆
x
bé ,ta có :

Phương Pháp Tính
Là công thức tính sai số tuyệt.
− Từ 1.3 và 1.4 ta có 2 trường hợp:
∗Trường hợp 1:
y=f(x
1
,x
2
,…x
n
)= x
1
±x
2
±…x
n
*Trường hợp 2:
y=f(x
1
,x
2
,…x
n
)=x
1
x
2
…x
n
 .Cách viết số gần đúng

− Bất kì một số thập phân a nào cũng có thể viết dưới dạng:
− Để làm tròn đến chữ số k sau dấu chấm thập phân , ta xét chữ số thứ
k+1 là α
k+1
, α
k+1
≥5,ta tăng α
k
lên một đơn vị.
α
k+1
< 5 giữ nguyên chữ số α
k
− Sau đó bỏ phần đuôi từ chữ số α
k+1
trở đi .Sai số thực của so với a
được gọi là sai số làm tròn.
Sai số tuyệt đối của so với A:
Phương Pháp Tính
Cho aA với sai số tuyệt đối ∆a được gọi là đáng tin nếu:
∆a≤
Ngược lại α
k
dược gọi là không đáng tin.

Bài Tập chương I
Bài tập 1: Cho a = 1.85 với sai số tương đối
a
=0.12%. Tính sai số tuyệt
đối của a.

Giải:
Ta có:
a
=
=>
Bài tập 6:Cho hàm 3
5
2x
2
và x = 1.2340.00015.
Tính
f
.
Phương Pháp Tính
Giải
Ta có:
=15x
4
-4x
=1
=
=0.00596
CHƯƠNG II
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
I. Bài toán
Mục đích của chương này là tìm nghiệm gần đúng của pt:
f(x)=0 (2.1) liên tục
trong khoảng duy nhất nghiệm của phương trình (2.1) được gọi là
khoản cách ly nghiệm .Ta được f(a).f(b) ≤ 0.Để tìm nghiệm của
phương trình (2.1) ta tiến hành theo 2 bước:

− B
1
.Tìm tất cả các khoản cách ly nghiệm .
− B
2
.Trong từng khoản cách ly nghiệm tìm nghiệm gần đúng của phương
trình bằng một phương pháp nào đó với sai số cho trước.
Phương Pháp Tính
 Định lý 2.1
Nếu hàm f(x)liên tục trên đoạn và giá trị của hàm trái dấu tại 2 đầu
mút thì phương trình f(x)=0 có nghiệm trên nếu f(x) đơn điệu thì
nghiệm là duy nhất.
Có 2 cách tìm khoảng cách ly nghiệm:
+ phương pháp giải tích.
+Phương pháp đồ thị.
 Định lý 2.2
Giả sử hàm f(x) liên tục trên khả vi trong . Nếu x* là nghiệm gần
đúng của nghiệm chính xác trong và ,. Thế thì ta có công thức đánh
giá sai số tổng quát sau đây:
II. Phương pháp chia đôi
Xét phương trình f(x)=0 có nghiệm chính xác trong khoản cách ly
nghiệm và f(a).f(b)<0.Ta đặt;
Tính giá trị f()
Nếu f(x
o
)= 0.Thì x
0
chính là nghiệm cần tìm:
− Nếu f(x
o

).f(a
o
) < 0.Ta đặt
− Nếu f(x
o
).f(b
o
)<0 .Ta đặt:
Tính f(x
1
) ta lặp lại bước 2.
Phương Pháp Tính
III. Phương pháp lặp đơn
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)= 0 (2.2) trong đoạn
cách ly nghiệm [a,b].
Chuyển phương trình f(x)= 0 về phương trình dạng tương đương trong
[a,b] g(x) = (x) (2.3)
− Chọn một giá trị x
0
[a.b] tuỳ ý,xây dựng dãy lặp theo công thức
lặp
− Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) điểm bất động của hàm
g(x).
 Định nghĩa 2.1
Hàm f(x) được gọi là hàm co trong đoạn [a,b] nếu tồn tại một số q :
, q gọi là hệ số co,sao cho:
 Định lý 2.3
Nếu f(x) là hàm co trên [a.b] thì nó liên tục trên đó.
 Định lý 2.4
Nếu hàm g(x):

• Liên tục trên [a,b]
• Khả vi trong (a,b)
•
Thì g(x) là hàm co trên [a,b]với hệ số co là q.
 Định lý 2.5 (Nguyên lý ánh xạ co)
Phương Pháp Tính
Giả sử g(x)là hàm co trên đoạn [a,b] với hệ số co là q. Đồng thời ,
g (x) [a,b].Khi đó với mọi giá trị ban đầu trong [a,b) dãy lặp .Xác
định theo công thức : sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất của phương trình
g(x)=x .Ta có công thức đánh giá sai số :
Hay:
IV. Phương pháp Newton (Phương pháp trực tiếp)
 Định lý 2.6
Giả sử hàm f(x) có đạo hàm cấp (II) liên tục và các đạo hàm (x)
không thay đổi dấu trên [a,b].Nếu các đạo hàm cấp một và cấp hai
cùng dấu thì chọn x
o
= b ngược lại chọn x
o
= a.Khi đó nghiệm của
phương trình f(x) =0 được viết theo công thức :
Ta có công thức đánh giá sai số :
Với
V. Phương pháp dây cung
Cho phương trình f(x)= 0 .Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
f(x)= 0,giả sử f(x) liên tục trên khoảng cách ly nghiệm [a,b].
Đạo hàm cấp 2 liên tục f’(x),f’’(x) không đổi dấu và f’’(x) > 0 trên
[a,b].Khi đó nghiệm gần đúng được tính:
Phương Pháp Tính
Nếu f(a) > 0,ta xay dựng dãy lặp theo công thức:

Nếu f(a) < 0,ta xây dựng dãy lặp theo công thức:
Công thức đánh giá sai số:


 !"# 
#$%&'()
'
*+%,-./0%,1203456%&
Phương Pháp Tính
7%89%3:7+;<1<=7:
%&7+
>
?@%
*@%
*@%
*@%
*@%
A@%
BC
Phương Pháp Tính
)D%43E'

Bi tp 3 !<=
7F
+%,-
>
Câu a
?@%

* @%


*@%
A@%
Phương Pháp Tính

*@%
*đt : 
*đt :
G*/0%,11H203'43'5
?@%
I
J(
?@%

I
J(
Phương Pháp Tính
?@%

I
J(
?@%

I
J(
?@%

I
J(
Phương Pháp Tính

?@%

I
J(
?@%

I

Phương Pháp Tính
CHƯƠNG III
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
I. Phương Trình Gausse.
Xét hệ phương trình ở dạng A.X = B
A = . =
• A: Gọi là ma trận hệ số của hệ.
• X : Gọi là ma trận ẩn số
• B: Gọi là ma trận cột
 Các phép biến đổi sơ cấp:
− Nhân 1 hàng cho 1 số khác 0
− Đổi chỗ n hàng cho nhau
− Cộng hàng với 1 hàng khác sau khi đã nhân với 1 số khác 0.
II. Phương pháp nhân tử LU
Xét hệ A.X = B trong đó khác 0
 Định lý 3.1:
Nếu A là ma trận không suy biến thì sao giờ cũng tồn tại 1 ma
trận PA phân tích được thành tích của ma trận tam giác dưới L và ma
trận trên U,tức PA = LU.
• Nội dung của phương pháp:
Phân tích A thành LU , L là ma trận tam giác dưới.
L =

U=
A.X = B => LU.X = B
Phương Pháp Tính

a) Phương Pháp Doolittle.
Là ma trận L có đường chéo chính bằng 1.
Khi đó :
A = L.U với
L = và U =
Các phần tử của 2 ma trận L và U được xác định theo công thức
sau:
• U
1j
= a
1j
1
• L
i1
= 2
• U
ij
= a
ij
– (
• l
ij
= (a
ij
-
b) Phương Pháp Crout.

Là trường hợp ma trân U có đường chéo chính bằng 1.
U =
Các phần tử của 2 ma trận L và U được xác định theo công thức
sau:
• l
i1
= a
i1

• u
1j
=
• l
ij
= a
ij
-
• U
ij
= ( a
ij
– (
III. Phương Pháp Choleski:
Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp nhân tử LU và
được dùng cho trường hợp ma trận hệ số A là đối xứng và xác định
dương.
Ma trận A được gọi là xác định dương nếu với mọi vecto x ≠ 0 ta
luôn luôn có x
T
Ax > 0 trong đó:

X
T
= [x
1
,x
2
,…….x
n
]
Phương Pháp Tính
X =
 Định lý 3.2
Một ma trận gọi là xác định dương tương đương tất cả các định
thức con chính của nó đều dương
 Định lý 3.3
Ma trận A là đối xứng và xác định dương khi và chỉ khi tồn tại 1
ma trận B tam giác dưới,khả đảo sao cho A = B.B
T
.
• b
11
=
• b
i1
=
• b
ii
=
• b
ij

=
IV: Chuẩn Vecto Và Chuẩn Ma Trận
Cho:
X = R
n
Trong R
n
có rất nhiều chuẩn ,ta xét 3 chuẩn cơ bản sau:
• ||A||
1
= max
o ||x|| = 1
• ||A||
∞
= max
o
• ||A||
F
=
Số k(A) = cond (A) = ||A||.||A
-1
||.Được gọi là số điều kiện theo chuẩn
||.|| của ma trận A.
Ta có: .
Số điều kiện của ma trận đặc trưng cho tính ổn định của hệ trong
phương trình hệ số tuyến tính.
IV. Các Phương Pháp Lặp:
Kỹ thuật lập dùng để giải phương trình đại số tuyến tính Ax = b.Ta
chuyển phương trình Ax = b về dạng tương đương x = Tx +C.T là ma
trận vuông cấp n,C là 1 vecto đã biết .

Phương Pháp Tính
Ta xây dựng dãy các vecto {x
(m)

theo công thức :
X
(m)
= T x
(m-1)
+C
 Định lý 3.4
Dãy các vecto {x
(m)
hội tụ tới khi m ∞ theo chuẩn thì điều kiện
cần và đủ là dãy {} hội tụ về , = 1,2,… n.
Bài Tập chương III
Câu 10: lặp lại bài tập 9 sử dụng phương pháp Gauss – Seidel
a)
b)
c)
d)

BÀI LÀM
a)
Phương pháp Gauss – Seidel



m || ||
∞

0 0 0 0
1 0,25 -0,09375 0,35313 0,35313
2 0,13828 -0,01402 O,40056 0,04743
3 0,14636 -0,15502 0,40259 0,17678
4 0,11058 -0,14212 0,40946 0,03578
5 0,11210 -0.14440 0,40999 0,00052
Phương Pháp Tính
Nên :0,11273, -0,14427, 0,40979)
21x10
-4

Phương pháp Gauss – seidel
Chọn ]
T
M || ||
∞
0 0 0 0
1 0,9 0,79 0,758 0,9
2 0,979 0,9495 O,7899 0,1595
3 0,99495 0,95727 0,79145 0,01595
4 0,99572 0,95786 0,79157 0,00077
Vậy :
x
Chọn
T
m ||
0 0 0 0 0
1 0,6 2,2 -0,275 -2,255 0,6
2 -0,5 2,64 -0,33688 -2,26738 0,44
3 -0,72 2,72525 -0,2958 -2,25916 0,22

4 -0,76263 2,763 -0,2759 -2,25518 0,05765
Phương Pháp Tính
5 -0,7815 2,78039 -0,2667 -2,25334 0,01887
6 -0,7902 2,78842 -0,26246 -2,2525 0.00119
7 -0,79421 2,79212 -0,2605 -2,2521 0,00196
8 -0,79606 2,79383 -0,2596 -2,25192 0,00185
9 -0,797 2.79469 -0,25916 -2,25183 0,00076
Vậy :
69x
Phương pháp Gauss - seidel

Chọn
T
m ||
0 0 0 0 0
1 0,5 0,375 0,125 -0,125 0,5
2 0,625 0,375 0,125 -0,125 0,125
3 0,625 0,375 0.125 -0,125 0
Vậy:
= 0
Phương Pháp Tính
CHƯƠNG IV
ĐA THỨC NỘI SUY
Xét hàm số cho dưới dạng bảng
(4.1)
Trong đó n N
0
, x
k
,k = được gọi là các móc

nội suy hay các nút nội suy.
y
k
= f
(x)
là giá trị của hàm cho trước tại x
k
.
Hãy xác định 1 đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n.
P
n
(x) = a
n
.x
n
+ a
n-1
.x
n-1
+ …….a
1
.x + a
0
thỏa điều kiện:
P
n
(x
k
) = y
k

, k= .
 Đa thức nội suy lagrange.
Xét hàm số y = f
(x)
được cho dưới dạng bảng (4.1) ,n 1.Xác định
đa thức lagrange L
n
(x) thỏa các điều kiện sau:
Bậc của L
n
(x) n
L
n
(x) = y
k
k = .
Để xác định đa thức nội suy lagrange , ta xác định các đa thức
phụ. (x) có bậc bằng n thỏa :
(xj) =
Khi đó ta có:
(x) =
Đa thức lagrange có dạng :
L
n
(x) = =
Đặt = (x –x
0
)(x –x
1
)… (x –x

n
)
X x
0
x
1
x
2
……
x
n
Y y
o
y
1
y
2
……
y
(n)
Phương Pháp Tính
 = (x
0
– x
1
)(x
0
– x
2
) + (x

0
–x
0
)(x
0
–x
2
) + (x
0
– x
0
)(x – x
1
)
Suy ra đa thức phụ có dạng =
Đa thức lagrenge có thể viết:
L
n
(x) = . =
Để tính giá trị của hàm số ta lập bảng sau:
X x
0
x
1
x
n
x
0
x
0

– x
1
x
0
– x
n
x
0
– x
n
D
0
=
x
1
x – x
1
x
1
– x
n
X
1
– x
n
D
1
=
…. … … …. …
x

n
x
n
– x
1
x – x
n
x – x
n
D
n
=
Khi đó giá trị của đa thức lagrange:
L
n
(x) =
Với D
k
= : tích các phần tử nằm trên cùng 1 hàng
: tích các phần tử nằm trên đường chéo:
 Đa thức nội suy Newton
Giả sử hàm số y = f
(x)
được cho bởi số
x X
0
x
1
… x
k

….x
n
y Y
0
y
1
….y
k
…y
n
Người ta gọi đại lượng: f[x
k
, x
k+1
] = là tỉ sai phân cấp 1 của hàm
f
(x)
trên đoạn [x
k
,x
k+1
]
Phương Pháp Tính
Người ta gọi đại lượng sau đây là tỉ sai phân của hàm số f
(x)
trên
đoạn [x
k
,x
k+p

]
f[x
k
,x
k+1
,….x
k+p
] =
 Xây dựng đa thức nội suy Newton
− Công thức Newton tiến xuất phát từ điểm nút x
0
= y
0
+ f[x
0
,x
1
](x – x
0
) + f[x
0
,x
1
,x
2
](x – x
0
)(x –x
1
) + f[x

0
,x
1
x
n
](x –
x
0
)(x – x
1
– (x – x
n-1
)]
− Công thức Newton lùi xuất phát từ điểm nút x
n
= y
n
+ f[x
n-1
,x
n
].(x – x
n
)+f[x
n
-2,x
n-1
,x
n
](x – x

n-1
,xn)(x – x
n-1
)(x –
x
n
) + f[x
0
,x
1
,….x
n
](x –x
1
)….(x – x
n
).
Xét hàm số y = f
(x)
trong đoạn [a,b] Khi đó các nút nội suy thỏa
mãn
A = x
0
< x
1
<……<x
n
= b
Phép chua như thế gọi là 1 phân hoạch đoạn [a,b],nếu độ dài của
mỗi đoạn [x

k
,x
k+1
] bằng nhau thì ta gọi phân hoạch đó là phân hoạch
trong đều.Ta có:
Xét hàm số y = f
(x)
cho bởi bảng phân hoạch đều
x x
0
x
1
……x
n
y y
0
y
1
…….y
n
 Công thức nội suy spline bậc ba
Việc xây dựng một đa thức đi qua các điểm nội suy cho trước trong
trường hợp n lớn nhất là rất khó khăn và khó ứng dụng. Một trong
những cách khắc phục là trên từng đoạn lien tiếp của các đặc điểm
nút nội suy ta nối chúng lại bởi các đường cong đơn giản nhất la