Tiểu luận môn xác suất thống kê Giải tích tổ hợp Lý thuyết xác suất

Chương I: Giải tích tổ hợp-Lý
thuyết xác suất
I/ Biến cố ngẫu nhiên – quan hệ giữa các biến cố:
1. Giải tích kết hợp
-Chỉnh hợp:
n
N
A
. Số chỉnh hợp chập n của N phần tử
n
N
A
=
!
( )!
N
N n−
-Hoán vị: Cho n phần tử khác nhau P
n
. Số hoán vị của n phần tử đó P
n
= n!
-Tổ hợp
n
N
C
- số tổ hợp chập n của N phần tử
n

N
C
=
!
!( )!
N
n N n−
2. Biến cố ngẫu nhiên và quan hệ giữa các biến cố:
a. Biến cố ngẫu nhiên: ký hiệu bởi các chữ như A,B,C…
Ký hiệu: U : biến cố chắc chắn.
V: biến cố ko thể có.
b. Quan hệ giữa các biến cố:
Biến cố kéo theo: biến cố A xuất hiện thì nhất thiết biến cố B xuất hiện.
Ta nói A kéo theo B.
Ký hiệu: A
⊂
B
Biến cố tương đương: nếu biến cố A kéo theo biến cố B và biến cố B kéo
theo biến cố A thì ta nói A và B tương đương.
Ký hiệu: A = B
Tổng 2 biến cố A và B là biến cố C xảy ra khi và chỉ khi ít nhất 1 trong 2
biến cố A và B xảy ra
Ký hiệu: C = A+B
Tích 2 biến cố A và B là biến cố C xảy ra khi và chỉ khi đồng thời 2 biến
cố A và B xảy ra
Ký hiệu: C =AB
Biến cố xung khắc: 2 biến cố A và B gọi là biến cố xung khắc nhau nếu
chúng ko đồng thời xảy ra sau phép thử (tức AB =V)
Biến cố đối lập: 2 biến cố A và
A

gọi là đối lập nhau nếu có 1 và chỉ 1
biến cố xảy ra sau phép thử tức là :
A+
A
= U
A.
A
= V
Hệ đầy đủ của biến cố:
Các biến cố A
1
,A
2
,…,A
n
được gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu có 1 và
chỉ 1 trong các biến cố đó xảy ra sau phép thử. Tức là:
A
i
A
j
= V (i
≠
j)
A
1
+A
2
+…+A
n

= U
II/ Tính xác suất theo quan niệm đồng khả năng
1. Định nghĩa
Nếu phép thử có tất cả n kết cục đồng khả năng và chúng xung khắc
nhau từng đối trong đó có m
A
kết cục thuận lợi cho biến cố A thì xác
suất của biến cố A được ký hiệu và xác định như sau:
P(A) =
A
m
n
III/ Xác suất có điều kiện định lý cộng và nhân xác suất
1. Xác suất có điều kiện
a. Định nghĩa: xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện của
biến cố B đã xảy ra được ký hiệu và xác định như sau:
P(A/B) =
( )
( )
P AB
P B
với P(B) > 0
b. Biến cố độc lập
Biến cố A độc lập với biến cố B nếu:
P(A/B) = P(A)
Các biến cố A
1
,A
2
,…,A

n
gọi là độc lập từng đôi nếu
P(A
i
/A
j
) = P(A
i
) (ij =
1,n
; i
≠
j)
Các biến cố A
1
,A
2
,…,A
n
gọi là độc lập trong toàn bộ nếu mỗi biến
cố của hệ các biến cố ấy độc lập với giao của mọi tổ hợp có thể có
của các biến cố còn lại tức là: P(A
i
/A
k1
A
k2
…A
km
) là giao diện của m

biến cố bất kỳ trong n-1 biến cố còn lại của hệ n biến cố trên.
c. Biến cố phụ thuộc
Nếu P(A/B)
≠
P(A) thì ta có A phụ thuộc B
2. Định lý nhân
a. Định lý: với A,B là 2 biến cố bất kỳ ta có:
P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B)
Tổng quát:
P (A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
/A
1
) P(A
3
/A
1
A
2
)… P(
1 1

n
n
A
A A
−
)
b. Hệ quả
1. Biến cố A độc lập với biến cố B thì suy ra biến cố B cũng độc
lập với biến cố A (với P(A)
≠
0, P(B)
≠
0)
2. Nếu A,b là biến cố độc lập nhau thì ta có: P(AB) = P(A) P(B)
Tổng quát: A
1
,A
2
,…,A
n
độc lập nhau trong toàn bộ thì:
P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A

2
)…P(A
n
)
3. Định lý cộng
Định lý: với A,B là 2 biến cố bất kỳ thì ta có:
P (A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Tổng quát:
P(
1
n
k
k
A
=
∑
) =
1
n
k
=
∑
P(A
k
) -
1
1
n
k
−

=
∑
1
n
j k= +
∑
P(A
k
A
j
) +
2
1
n
k
−
=
∑
1
1
n
j k
−
= +
∑
1
n
i j= +
∑
P(A

k
A
j
A
i
) +…+(-1)
n-1
P(
1
k
n
k
A
=
∑
)
IV/Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bay-ét
1. Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử các biến cố A
1
,A
2
,…,A
n
lập thành 1 hệ đầy đủ và B là 1 biến cố
nào đó trong cùng 1 phép thử với các biến cố trên
Cho biết P(A
j
), P(B/A
j

)
Khi đó ta có: P(B) =
1
n
i
=
∑
P(A
j
) P(B/A
j
)
gọi là công thức xác suất đầy đủ
2. Công thức Bay-ét
Giả thiết như công thức xác suất đầy đủ và thêm giả thiết biến cố B đã
xảy ra. Tính P(A
k
/B) (
1,n
). Xác suất có điều kiện của biến cố A
k
với
điều kiện biến cố B đã xảy ra.
P(A
k
/B) =
( ) ( / )
( )
k k
P A P B A

P B
=
1
( ) ( / )
( ) ( / )
k k
n
i i
i
P A P B A
P A P B A
=
∑

Gọi là công thức Bay-ét
Chương II: Đại lượng ngẫu nhiên
I. Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất
1. Đại lượng ngẫu nhiên
a. Định nghĩa
Là đại lượng nhận giá trị thực tuỳ thuộc kết quả nhẫu nhiên của
phép thử
b. Phân loại đại lượng ngẫu nhiên
- Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: tập hợp các giá trị mà có nó có
thể lấy hoặc hữa hạn hoặc vô hạn đếm được.
- Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: tập hợp mọi giá trị mà có thể lấy
đầy trong 1 khoảng nào đó trên trục số.
2. Dãy phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
- Là 1 bảng gồm 2 dòng: dòng thứ nhất ghi các giá trị của biến
ngẫu nhiên, dòng thứ 2 ghi xác suất tương ứng
X x

1
x
2
……x
i
………x
k
(1)
P
i
P
1
P
2
……P
i
……….P
k
Trong đó:
1
1
i
k
i
P
=
=
∑
(k hữu hạn hoặc k=+
∞

)
3. Hàm phân phối xác suất
a. Định nghĩa
- F(x) = P(X<x) x: số thực bất kỳ
- Nếu X rời rạc có bảng phân phối xác suất (1) với k hữu hạn thì
0 với x
≤
x
1
P
1
với x
1
<x
≤
x
2
P
1
+P
2
với x
2
<x
≤
x
3
F(x)= ………
1
1

1
k
i
i
P
−
=
=
∑
với x
k-1
<x
≤
x
k
1 với x>x
k

b. Tính chất
- 0
≤
F(x)
≤
1
- F(x) là hàm không gian tức là
Nếu x
1
< x
2
thì F(x

1
)
≤
F(x
2
)
- F(+
∞
) = 1; F(-
∞
) = 0
c. P (
α

≤
X
≤

β
) = F(
β
) – F(
α
)
4. Hàm mật độ xác suất
a. Định nghĩa:
Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục được ký
hiệu và xác định như sau: F(x) = F (x)
b. Tính chất
- f(x)

≥
0
∀
x
-
( ) 1f x dx
+∞
−∞
=
∫
- P (
α

≤
X
≤

β
) =
( )f x dx
β
α
∫
- F(x) =
( )
x
f x dx
−∞
∫
- Chương III:CÁC ĐẶC TRƯNG

CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN-CÔNG THỨC CƠ BẢN.
- I.Vọng toán(kỳ vọng): Ký hiệu E(x) hay M(x)
- a. Định nghĩa
- 1.X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị
i
x
với xác suất
i
P
(i=
1,k
) thì:
- E(x)=
1
.
x
i i
i
x k
=
∑
.(1)
- X là rời rạc tập hợp các giá trị có thể là vô hạn đếm được.
- E(x)=
1
.
i i
i
x k

+∞
=
∑
.
- 2.X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục,hàm mật độ xác suất thì:
- E(x)=
. ( ).x f x dx
+∞
−∞
∫
- Nếu X liên tục với miền giá tri [a,b) thì
- E(x)=
. ( ).
b
a
x f x dx
∫
.
- b.Tính chất
- -E(c)=c.
- -E(cX)=cE(X). (c:hằng số)
- -E(X+Y)=E(X)+E(Y).
- -E(XY)=E(X).E(Y). (X,Y độc lập)
- Ý nghĩa vọng toán : Đặc trưng cho giá trị trung bình của đại
lượng ngẫu nhiên.
-
- II.Phương sai : Kí hiệu là D(X).
- a.Định nghĩa.
- D(X)=E
2

( )X a
−
=E(
2
X
)-
2
a
=E(
2
X
)-
2
( )EX
. Với (EX=a)
- 1.X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị
i
x
với xác suất
i
P
(i=
1,k
).
- D(X)=
2
1
( )
k
i i

i
x a P
=
−
∑
.
- X là rời rạc tập hợp các giá trị có thể là vô hạn đếm được.
- D(X)=
2
1
( )
i i
i
x a P
+∞
=
−
∑
.
- 2.X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất
f(x) thì
- D(X)=
2
( ) . ( ).x a f x dx
+∞
−∞
−
∫
.
- Nếu X là liên tục với miến giá trị [

i
a
,
i
b
] thì
- D(X)=
2
( ) . ( ).
i
i
b
a
x a f x dx−
∫
.
- b.Tính chất.
- D(c)=0 c:hằng số
- D(cX)=c
2
D(X) c:hằng số
- D(X+Y)=D(X) +D(Y) (X,Y độc lập nhau)
- Ý nghĩa phương sai :Đặc trưng cho độ phân tán hay tập trung
giữa các giá trị có thể của X so với vọng trán của nó.
- III.Mốt(Mod)
- a.Định nghĩa :
- Mốt là đại lượng ngẫu nhiên liên tục X(ký hiệu là Modx) là giá
trị của X mà tại đó hàm mật độ xác suất đạt giá trị cực đại
- Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì Modx là giá trị của X
tại đó có xác suất lớn nhất.

- IV Trung Vị(Median)
- Trung bị của đại lượng ngẫu nhiên X là một số ký hiệu là Medx
và được xác định như sau :
- P(X<MedX)=F(MedX)
≤
0,5
- Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, thì giá trị
i
x
sẽ là MedX
nếu:
- F(
i
x
)
≤
0,5
≤
F(
1i
x
+
) hay F(MedX)
≤
0,5
≤
(MedX+1)
- Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì MedX có giá trị thoả
mãn phương trình:
- F(MedX)

( ). 0,5
MedX
f x dx
−∞
= =
∫
.
- V.Đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều
- 1.Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên 2 chiếu
- a.Đinh nghĩa
- Cho X và Y là 2 đại lượng ngẫu nhiên thì cặp(X,Y) được gọi là đại
lượng ngẫu nhiên 2 chiếu. Trong đó, X va Y được gọi là các
thành phần của đại lượng ngẫu nhiên(X,Y)
- Như vậy đại lượng ngẫu nhiên 2 chiếu thực chất là 1 hệ 2 đại
lượng ngẫu nhiên X và Y đuọc xét 1 cách đồng thời.
- b.Phân loại đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều
- Được chia thành 2 loại:rời rac và liên tục
- +Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc(X,Y) có thể nhận m x l giá trị có
thể {(
i
x
,
i
y
} (với i=
1,n
;j=
1,l
).
- X:

1
x
,
2
x
,…,
n
x
.
- Y:
1
y
,
2
y
,…,
l
y
.
- Đại lượng ngẫu nhiên 2 chiếu liên tục X và Y tương ứng trên
đoạn [a,b] và [c,d] thì đại lượng ngẫu nhiên 2 chiếu liên tục
(X,Y) sẽ xác định trên tập
2
D R
=
thường là 1 hình chữ nhật
:D={(x,y)
∈
2
R

/a
≤
x
≤
b,c
≤
y
≤
d}hoặc toàn bộ mặt phẳng:{(x,y)/
−∞
<x<
+∞
;
−∞
<y<
+∞
}
Chương 4
CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI
4.1 PHÂN PHỚI RỜI RẠC
1- Phân phối nhị thức
Định lý 4.1: Nếu x là số lần thành công trong dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công p thì X ~
B(n,p).
Định lý 4.2: Nếu X ~ B(n,p) thì E(X) = np và D (X) = npq
2- Phân phối siêu bội
Định lý 4.3 Nếu X ~ H (N,M,n) thì
E(X) = np, D(X) = npq
Trong đó p=, q = 1 – p.
3- Phân phối Poisson
Định lý 4.4 : Nếu X ~ P(a) thì E(X) = D(X) = a

4.2 CÁC PHÂN PHỐI LIÊN TỤC
4.2.1 Phân phối đều:
Định lý 4.5: Nếu X ~ U (a,b) thì
E(X) =
4.2.2 Phân phối mũ
Định lý 4.6 Nếu X ~ E () thì E(X) =
4.2.3 Phân phối chuẩn
1- Phân phối chuẩn
Định lý 4.7 Nếu X ~ N () thì E(X) = a, D(X) =
2- Phân phối chuẩn tắc
Định lý 4.8 Nếu X ~ N () thì Y=
3- Tích phân Laplace
Định lý 4.9 Nếu X ~ N(0,1) thì:
(i) P() =
Φ
(β) -
Φ
(α)
(ii) P(|X|< ) = 2
Φ
(α),
Nếu X ~ N ()
Thì (iii) P() =
Φ
-
Φ
P () = 2
Φ
Định lý 4.10 Nếu X ~ N () thì P() = 2
Φ

(k)
4.2.4 Phân phối “khi bình phương”
Định lý 4.11 Cho X ~
χ
2
(n) Khi đó:
(i) Hàm mật độ của
χ
2
là
(ii) E(
χ
2
) = n; D(
χ
2
) = 2N
4.2.5 Phân phối Student
Định lý 4.12 Cho T ~ T(n). khi đó
(i) Hàm mật độ của T là
(ii) E(T) = 0 ; D(T) =
4.3 Các định lý giới hạn
1- Định lý Chebyshev
Định lý 4.13 Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên. Khi đó với mọi ε > 0, ta có
P(|X-E(X)|)
Định lý 4.14 Cho X
1
, X
2,….
X

n,….
Là dãy đại lượng ngẫu nhiên đôi một độc lập, có phương sai bị chặn đều
(tồn tại C>0 để D(X
k
)). Khi đó, với mọi
CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT MẪU
I/Một Số Khái Niệm Về Mẫu
1. Tổng thể và mẫu
Tập hợp có phần tử là tất cả các đối tượng mà chúng ta nghiên cứu gọi là tổng
thể.
Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể.
Ta gọi một bộ phận n phần tử, có thể phân biệt hoặc không, các phần tử của một
tổng thể là một mẫu kích thước n.
Thống kê toán học cung cấp cở sở toán học để, từ số liệu quan sát được trên một
mẫu, cho ta phương pháp đánh giá theo xác suất về toàn bộ tổng thể.
2.Các loại mẫu
Mẫu mà chúng ta nghiên cứu được chọn theo một cách thức nào đó mang tính
ngẫu nhiên, khách quan, gọi là mẫu ngẫu nhiên.
a.Phân loại mẫu theo phương pháp chọn mẫu
Mẫu không hoàn lại là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát thì
loại khỏi tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo.
Mẫu không hoàn lại còn gọi là mẫu không lặp. Một mẫu không lặp kích thước n có
các phần tử là một tập hợp con gồm n phần tử của tổng thể.
Mẫu hoàn lại là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát được bỏ trở
lại tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo.
Mẫu hoàn lại còn gọi là mẫu lặp. Trong mẫu lặp. một phần tử của tổng thể có thể
được chọn nhiều lần.
Trong trường hợp kích thước tổng thể lờn hơn thì mẫu không hoàn lại và mẫu hoàn
lại có thể coi là như nhau. Trong lý thuyết tổng quát, chúng ta luôn giả thiết mẫu là
mẫu hoàn lại.

b.Phân loại mẫu theo mục đích nghiên cứu
Mẫu định tính: là mẫu mà ta chỉ quan tâm đến các phần tử của nó có một tính chất
A nào đó hay không.
Trường hợp này mẫu được cho dưới dạng:
+ Kích thước mẫu: n
+ Số phần tử có tính chất A: m.
Mẫu định lượng: là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về lượng của phần tử như
khối lượng, chiều dài, nhiệt độ… Trường hợp này, một mẫu kích thước n được cho
dưới dạng tổng quát
X = (X
1
, X
2
,…,X
n
)
Trong đó phần tử thứ I của mẫu nhận giá trị X
i
(i =)
Trong mẫu tổng quát X
1
, X
2
,…,X
n
là các đại lượng ngẫu nhiên. Nếu X
i
nhận giá trị
cụ thể x
i

thì ta được mẫu cụ thể.
x = (x
1
, x
2
,…,x
n
)
hay dưới dạng thu gọn
X x
1
x
2
… x
k
Tần số n
1
n
2
… n
k
Trong đó x
1
< x
2
< … < x
k
là các giá trị khác nhau mà các phần tử trong mẫu nhận n
i

là số phần tử trong mẫu nhận giá trị x
i
( i = ),
n
1
+ n
2
+ … + n
k
= n
Nếu n
i
là số phần tử trong mẫu nhận giá trị thuộc khoảng ( a
i
,b
i
) thì ta đưa mẫu này
về dạng mẫu đang xét bằng cách đặt
x
i
= , i =
II/ CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU
1. Tỷ lệ mẫu
Cho mẫu định tính kích thước n, trong đó có m phần tử có tính chất A. Khi đó ta gọi
f = f
n
=
là tỷ lệ mẫu.
2. Trung bình mẫu và phương sai mẫu
Xét mẫu định lượng thu gọn

Ta gọi bảng
X x
1
x
2
… x
k
P p
1
p
2
… p
k
trong đó p
i
= ; i =
là bảng phân phối xác suất mẫu.
x = { x
1
, x
2
, …, x
k
} với P (x = x
i
) = p
i
=
là tần suất xuất hiện của x

i
trong mẫu.
Ta gọi kỳ vọng, phương sai của đại lượng ngẫu nhiên này là trung bình mẫu và
phương sai mẫu. Cụ thể ta có
-Trung bình mẫu là
= x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ … +x
k
p
k
=
-Phương sai mẫu là
2

= (x
1
- )
2
p
1
+ (x
2
- )

2
p
2
+ … +(x
k
- )
2
p
k

=
Đặt: = + + … + =

Theo tính chất phương sai ta có
2
= -
-Phương sai mẫu hiệu chỉnh là
s
2
= =

-Tương tự với đại lượng ngẫu nhiên, ta cũng gọi
= - độ lệch mẫu
s = - độ lệch mẫu hiệu chỉnh.
X x
1
x
2
… x
k

Tần số n
1
n
2
… n
k
Để tính các đặc trưng này ta thường lập bảng sau
x
i
n
i
x
i
n
i
n
i
x
1
x
2
.
.
.

x
k
n
1
n

2
.
.
.

n
k
x
1
n
1
x
2
n
2 .
.
.
.
x
k
n
k
n
1
n
2
.
.
.

n
k
∑ n n n
Từ bảng này ta có
= , =

2
= – , s
2
=
3.Phép đổi biến số
Với x
0
tùy ý va h # 0, đặt u
i
= , i =
Vì x
i
= hu
i
+ x
0
, nên theo tính chất của kỳ vọng và phương sai ta có:
= = h +
= h
2
= h
2
( - )
Nếu chọn được x

0
và h để tính và một cách đơn giản thì ta sẽ có một cách đơn
giản để tính và .
Trường hợp các giá trị x
i
cách đều nhau thì ta chọn h bằng khoảng cách đó chọn
x
0
= x
i
với n
i
= max (n
1
,n
2
, …, n
k
).
III./ Tính chất của đặc trưng mẫu
1. Kỳ vọng và phương sai của đặc trưng mẫu
a.Kỳ vọng và phương sai của tỷ lệ mẫu
Xét mẫu định tính kích thước n. Giả sử F là tỷ lệ mẫu tổng quát, đặt
X
i
=
Khi đó: X
1
, X
2

, …, X
n
là đại lượng ngẫu nhiên và F =
Định lý I Nếu tổng thể có tỷ lệ p thì E (F) = p và D(F) =
Chứng minh Phân phối của X
i
là
X
i
0 1
p q p

Do đó E (X
i
) = p; D (X
i
) = pq
Vì các X
i
độc lập nên theo tính chất của kỳ vọng và phương sai
E(F) = E() = = = p
D(F) = D() = = =
b.Kỳ vọng và phương sai của trung bình mẫu
Xét mẫu định lượng tổng quát kích thước n
X = (X
1,
X
2, …,
X
n

)
Khi đó X
1
, X
2
, …, X
n
là các đại lượng ngẫu nhiên và trung bình mẫu tổng quát là
=
Nếu tổng thể có kỳ vọng a, phương sai , thì mọi mẫu kích thước n đều có
E() = a, D() =
Kỳ vọng của phương sai mẫu
Tiếp tục xét mẫu tổng quát X = (X
1,
X
2, …,
X
n
)
Ta có phương sai mẫu tổng quát là
2
=
– )
2
=
=
-
2
và phương sai mẫu hiệu
chỉnh tổng quát là S

2
=
Định lý III Nếu tổng thể có kỳ vọng , phương sai
2
thì
E () =
2
, E(S
2
) =
2
2.Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu
a/ Phân phối xác suất của tỷ lệ mẫu
Vì E(F) = p và D(F) =
nên theo định lý 4.5 chương 4,
với n >= 30 ta có thể coi F ~
N(p,)
Với một mẫu cụ thể kích thước n, tỷ lệ mẫu f, ta có p ≈ f, nên:
F ~ N(p,) hay ~ N(0,1)
b/ Phân phối xác suất của trung bình mẫu
Vì D() = a, D() = nên nếu tổng thể có phân phối chuẩn thì
~ N(a,) hay ~ N(0,1)
Nếu n >= 30 thì với một mẫu cụ thể kích thước n ta có ≈ s
2
Do đó ~ N(a,) hay ~ N(0,1)
Trong đó s
2

là phương sai mẫu hiệu chỉnh của một mẫu kích thước n bất
kỳ.

Trường hợp n < 30, tổng thể có phân phối chuẩn, ta có
~ T(n – 1)
c/phân phối xác suất của phương trình sai mẫu
Nếu tổng thể có phân phối chuẩn thì ta có
= =
I
– )
2

~ X
2
(n -1)
3.Đa giác đồ. Tổ chức đồ
Cho mẫu
x
1
< x
2
< … < x
k
a/ Hàm phân phối mẫu

Đặt n
x
= ta được hàm F(x) =
x
i
x
1
x

2
…. x
k
n
i
n
1
n
2
…. n
k
Xác định trên toàn trục số, gọi là hàm phân phối mẫu hay phân phối thực nghiệm.
Hàm phân phối mẫu là xấp xỉ của hàm phân phối của tổng thể.
Ví dụ: Một mẫu về X có số liệu
x
i
1 2 3 4
n
i
10 15 20 5
Tìm hàm phân phối mẫu của X
Giải: Ta có n = 50
n
x
=
F(x) =
b. Đa giác đồ
Biểu diễn các điểm (x
i
, n

i
), i = , lên mặt phẳng tọa độ và nối các điểm (x
i
, n
i
) và
(x
i+1
, n
i+1
), i = bằng một đoạn thẳng, ta được một dường gấp khúc gọi là đa giác tần số
hay đa giác đồ.
c. Tổ chức đồ
Chia đoạn [x
1
, x
k
] thành các khoảng bằng nhau có độ dài bằng h. Trên mỗi
khoảng J
x
ta tính tổng:
x
=
Dựng các hình chữ nhật đáy J
x
, chiều cao . Hình vẽ nhận được gọi là biểu đồ
tần số, hay tổ chức của mẫu đã cho. Tổng diện tích của hình chữ nhật bằng kích thước
của mẫu.
Chương 6
LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG

6.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM:
Cho X = (X
1
, X
2
,….,X
n
) là một mẫu kích thước n từ tổng thế có kỳ vọng
a, phương sai ơ
2
.
Số (X
1
, X
2
,….,X
n
) gọi là một ước lượng điểm của đặc trưng
θ
của tổng
thể, nếu ta coi là một giá trị gần đúng của
θ
.
1. Ước lượng không chệch:
Ước lượng của
θ
gọi là không chệch nếu E () = 0.
Định lý sau đây là hệ quả trực tiếp của định lý 5.1; 5.2; 5.3 chương
5.
Định lý 6.1 Với mọi mẫu ta có:

- F là ước lượng không chệch của p
-
X
là ước lượng không chệch của a
- S
2
là ước lượng không chệch của ơ
2
.
2. Ước lượng hợp lý cực đại:
Giả sử tổng thể đã biết phân phối nhưng chưa biết các tham số của
nó. Khi đó hàm mật độ xác suất hoặc công thức tính xác suất của
nó có dạng f(x, ).
Từ mẫu X = (X
1
, X
2
,….,X
n
) ta có hàm:
L(
θ
) = L(X
1
, X
2
,….,X
n
,
θ

) = f(X
1,

θ
).f(X
2,

θ
) … f(X
n
,
θ
)
Gọi là hàm hợp lý của các số
θ
.
Số (X
1
, X
2
,….,X
n
) gọi là ước lượng hợp lý cực đại của
θ
, nếu ứng
với giá trị này của
θ
hàm hợp lý đạt cực đại.
Do L > 0, nên nếu chỉ gồm một tham số thì L(
θ

) và ln L(
θ
) có
cùng điểm cực đại. Để thuận tiện cho tính toán, kể cả trường hợp
có nhiều tham số, chẳng hạn
θ
= (
θ
1
,
θ
2
), ta cũng coi ước lượng
hợp lý cực đại của
θ
là
θ
)
= (
θ
)
1
,
θ
)
2
), trong đó là điểm cực đại của
hàm hai biến ln L(
θ
1

,
θ
2
).
Định lý 6.2 Cho tổng thể có phân phối Poisson và mẫu:
(X
1
, X
2
,….,X
n
)
Khi đó
X
là ước lượng hợp lý cực đại của tham số a của tổng thể.
Định lý 6.3 cho tổng thể có phân phối chuẩn và mẫu:
(X
1
, X
2
,….,X
n
)
Khi đó
X
là ước lượng hợp lý của kỳ vọng a và là ước lượng hợp lý
cực đại của phương sai ơ
2
của tổng thể.
6.2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

6.2.1 Khái niệm chung
Khoảng (c,d) gọi là khoảng ước lượng của
θ
nếu ta coi
θ

∈
(c,d). Xác
suất:
P[
θ

∈
(c,d)] = 1 – α
Gọi là độ tin cậy của ước lượng.
Nếu
θ
)
là một ước lượng không chệch của
θ
thì khoảng ước lượng của
θ
có dạng (
θ
)
- ε,
θ
)
+ε) gọi là khoảng ước lượng đối xứng, số ε > 0
gọi là độ chính xác của ước lượng.

Giả sử (
θ
)
- ε,
θ
)
+ε) là khoảng ước lượng đối xứng của
θ
với độ tin cậy 1
– α thì:
P[
θ

∈
(
θ
)
- ε,
θ
)
+ε)] = P (|
θ
-
θ
)
|<) = 1 – α
6.2.2 Ước lượng khoảng của tỷ lệ
Bài toán: Cho mẫu có kích thước n, tỷ lệ mẫu f. Tìm khoảng ước lượng
(đối xứng) của tỷ lệ tổng thể p với độ tin cậy 1 – α.
Phương pháp giải khi n 30. Ta có:

P(|F-p| < ε) = P
Đặt Z
α
=
Theo mục 5.3.2 chương 5:
~ N(0,1)
Nên theo định lý 4.9 chương 4, ta có:
2
Φ
(Z
α
) =
Tra bảng tích phân Laplace ta tìm được Z
α
. Từ đó ta có:
ε =
và khoảng ước lượng của p là .
6.2.3 Ước lượng của trung bình
Bài toán: Cho mẫu có kích thước n, trung bình mẫu , phương sai mẫu
hiệu chỉnh s
2
. Tìm khoảng ước lượng của trung bình (kỳ vọng)
tổng thể α với độ tin cậy 1 – α.
1- Trường hợp n 30
Ta có: P() = P = 1 – α
Đặt Z
α
= . Theo mục 5.3.2 chương 5:
nên: 2
Φ

(Z
α
) = 1 – α
Tra bảng ta tìm được Z
α
.
Từ đó ε = và khoảng ước lượng của α là .
2- Trường hợp tổng thể có phân phối chuẩn, đã biết phương sai
Vì ~ N (0,1), nên tìm khoảng ước lượng như trong trường hợp 1 với .
Chú ý rằng trường hợp này không phân biệt n.
3- Trường hợp n < 30, tổng thể có phân phối chuẩn, chưa biết phương
sai
Ta có: P() = P = 1 – α
Đặt T
α
= . Theo mục 5.3.2 chương 5: ~ T(n-1)
Tra bảng phân phối Student (tức là bảng P) cột α, dòng n – 1, ta tìm
được . Từ đó và khoảng ước lượng của α là ().
6.2.4 Bảng phân phối và bảng phân vị
1- Giới thiệu các bảng
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên. Bảng để tìm số M
α
sao cho:
P, gọi là bảng phân phối
Bảng để tìm số sao cho:
P(X < ) = α, gọi là bảng phân vị của X.
Nếu X ~ N(0,1) thì ta ký hiệu là
Nếu X ~ T() thì ta ký hiệu là
Nếu X ~
2

() thì ta ký hiệu = là
Định lý 6.4 Với ta có
P
Chứng minh Với điều kiện của định lý ta có từ đó:
P = P() - P() = (1 – α
2
) – α
1
= 1 – α
6.2.5 Ước lượng khoảng của phương sai:
Bài toán: Cho mẫu có kích thước n, phương sai mẫu hiệu chỉnh s
2
. Tìm
khoảng ước lượng của phương sai tổng thể với độ tin cậy 1 – α.
Phương pháp giải trong trườgn hợp tổng thể có phân phối chuẩn:
Theo 5.3.2 chương 5:
Với theo định lý 6.4 ta có:
P
Từ đó, với một mẫu cụ thể ta có khoảng ước lượng của
Để thuận tiện cho tra bảng, trong các bài toán tìm khoảng ước lượng
của ta luôn xét với . Khi đó khoản ước lượng của là:
Nói chung khoảng ước lượng này không đối xứng.
6.2.6 Xác định độ tin cậy và kích thước mẫu:
1- Trường hợp ước lượng tỷ lệ
Từ và 2
Φ
(Z
α
) = 1 – α
Ta có: 1 – α = 2

Φ
; n =
Khi công thức tính n không là số nguyên thì ta chọn:
n =
2- Trường hợp ước lượng trung bình
Từ 2
Φ
() = 1 – α, ta có: