Tiểu luận môn học toán ứng dụng

Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
GIẢNG VIÊN: NGUYỄN VĂN PHÚ
NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: NHÓM 7:
STT HỌ VÀ TÊN MSSV
1 Nguyễn Duy Cường 410BK023
2 Mai Phạm Hoàn Hảo 410BK076
3 Nguyễn Phước Huy 410BK101
4 Nguyễn Xuân Huy 410BK103
5 Trần Thiên Hương 410BK114
6 Đoàn Nhựt Nam 410BK180
7 Nguyễn Bảo Ngọc 410BK189
8 Nguyễn Quang Thái 410BK272
9 Nguyễn Hoàng Thút 410BK300
10 Trần Tấn Toàn 410BK324
11 Phạm Nguyễn Ái Vi 410BK372
Bộ môn: Toán ứng dụng
Lớp: BK10HTĐ
Xác suất và thống kê Trang 1
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Mục lục
Lời nói đầu……………………………….3
Lý thuyết………………………………… 4
Đề các bài tập………………………… 35
Bài giải các bài tập
• Chương 1 41
• Chương 2 46
• Chương 3 51
• Chương 4 56
• Chương 5 57
• Chương 6 58
• Chương 7 61

Xác suất và thống kê Trang 2
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
LỜI NÓI ĐẦU
Xác suất – Thống kê là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa
học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế và cả một số ngành khoa học xã hội.
Bài tập lớn môn xác suất – thống kê này được biên soạn theo SGK bởi nhóm 7.
Mục tiêu của bài tập lớn là giúp chúng em nắm thật chắc về lý thuyết, rèn luyện kỹ năng
vận dụng lý thuyết giải các bài toán và ôn tập khi thi kết thúc môn học.
Gồm 7 chương: Đại lượng về xác suất; Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên;
Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên; Các quy luật phân phối; Lý thuyết mẫu; Lý
thuyết ước lượng; Kiểm định giả thuyết thống kê.Nhóm chúng em đã thống kê được tất
cả 7 chương lý thuyết và một số bài tập mà thầy đã giao. Số bài tập tuy không nhiều
nhưng được chọn đầy đủ các dạng.
Nhóm chúng em chân thành cám ơn thầy Nguyễn Văn Phú đã tận tình giảng dạy và
đóng góp nhiều ý kiến quý báu về bài tập lớn cho nhóm chúng em.
Khi làm bài tập lớn này, nhóm chúng em đã chỉnh sữa nhiều lần nhưng chúng em
biết rằng khó tránh hết được các thiếu sót. Vì vậy, chúng em rất mong và biết ơn các ý
kiến nhận xét, đóng góp của thầy.Chân thành cảm ơn.
Nhóm 7
• Nhận xét của GVHD:
Xác suất và thống kê Trang 3
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Lý thuyết:
Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
1.1Giải tích tổ hợp
1/ Quy tắc cộng
Nếu 1 công việc được chia ra k trường hợp, trường hợp 1 có n
1
cách thực hiện xong công
việc , trường hợp 2 có n

2
cách thực hiện xong công việc , , trường hợp k có n
k
cách thực
hiện xong công việc và không có bất kỳ cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng
với cách thực hiện ơ trường hợp khác, thì có n
1
+n
2
+ +n
k
cách thực hiện

xong công việc .
2/ Quy tắc nhân
Nếu 1 công việc được chia ra k giai đoạn giai đoạn 1 có n
1
cách thực hiện , giai đoạn 2 có
n
2
cách thực hiện , , giai đoạn k có n
k
cách thực hiện thì có n
1
.n
2
n
k
cách thực hiện
xong công việc .

3/ Chỉnh hợp
Một chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ
n phần tử đã cho. KH:
Công thức: = n(n-1) (n-k+1)=
4/ Chỉnh hợp lặp
Một chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử không cần
khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. KH
Công thức: = n
k
5/ Hoán vị
Một hoán vị từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm n phần tử khác nhau đã cho. KH: P
n
Công thức: P
n
= n!
6/ Tổ hợp
Xác suất và thống kê Trang 4
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Một tổ hợp chập k từ n phần tử là một tập con gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho.
KH:
Công thức: = =
7/ Nhị thức Niu-tơn
1.2/ Biến cố và quan hệ giữa các biến cố
1/ Phép thử ngẫu nhiên. Biến cố
Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện những điều kiện đã đặt ra để nghiên cứu một hiện
tượng ngẫu nhiên nào đó. Mỗi kết quả của phép thử gọi là một biến cố.
2/ Các loại biến cố
• Biến cố trống ( biến cố không thể có ) : là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép
thử thực hiện. KH:
• Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn luôn xảy ra khi phép thử thực hiện. KH:

• Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra tùy thuộc từng
phép thử.
3/ Biến cố bằng nhau
Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì xảy ra, KH: AB
Nếu đồng thời có AB và B thì các biến cố A và B gọi là bằng nhau, KH: A=B.
4/ Các phép thử trên biến cố
Cho 2 b/c A và B. Khi đó ta gọi:
Tổng của A và B (A cộng B) là biến cố xảy ra khi A xảy ra hoặc B xảy ra. KH: A+B
Hiệu của A và B( A trừ B) là biến cố xảy ra nếu A xảy ra nhưng B không xảy ra. KH: A-
B
Tích của A và B(A nhân B) là biến cố xảy ra nếu A và B đồng thởi xảy ra. KH: A.B
Cho 1 b/c A. Khi đó ta gọi đối lập của A là b/c xảy ra nếu A không xảy ra và không xảy
ra nếu A xảy ra. KH:
Xác suất và thống kê Trang 5
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Với A,B,C là các b/c tùy ý ta có 1 b/c sau:
• A+B = B+A, A.B = B.A
• (A+B)+C=A+(B+C), (A.B).C = A(B.C)
• A(B+C)=A.B+A.C, A+(B.C)=(A+B).(A+C)
• A-(B+C)=(A-B).(A-C), A-(B.C)=(A-B)+(A-C)
• AB thì A+B=B, A.B=A
•
• A+=, A.=
•
5/Nhóm đầy đủ các biến cố:
2 b/c A và B được gọi là xung khắc nếu A.B =
Các b/c A
1,
A
2

, , A
n
gọi là đôi một xung khắc nếu 2 b/c khác nhau bất kỳ trong đó đều
xung khắc: A
i
.A
j
=
Các biến cố A
1,
A
2
, , A
n
gọi là 1 nhóm đầy đủ các biến cố nếu chúng đôi một xung khắc,
và ít nhất một trong chúng chắc chắn xảy ra:
1.3/ Định nghĩa xác suất
1/ Các định nghĩa xác suất
a/ Định nghĩa cổ điển
Ta gọi các trường hợp đồng khả năng là các trường hợp mà khả năng của chúng ngang
bằng nhau.
Ta gọi 1 trường hợp là thuận lợi cho b/c A nếu trường hợp này xảy ra thì A xảy ra.
Giả sử phép thử có n trường hợp đồng khả năng, trong số đó có m trường hợp thuận lợi
cho biến cố A. Khi đó ta gọi xác suất của b/c A là:
P (A) =
Xác suất và thống kê Trang 6
A
i
.A
j

=
A1+A2+ +A
n
=
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Như vậy, xác suất của biến cố A là tỷ số về khả năng biến cố xuất hiện.
b/ Định nghĩa hình học.
Ta gọi độ đo của 1 tập trên 1 đường là độ dài, trong một mặt là diện tích, trong không
gian là thể tích của tập đó.
Trong mặt phẳng các tập nằm trên một đường có độ đo bằng 0, trong không gian các tập
nằm trên một mặt có độ đo bằng 0.
Giả sử các trường hợp đồng khả năng đặt tương ứng với các điểm tạo thành một tập có độ
đo M, các trường hợp thuận lợi cho b/c A tương ứng với các điểm tạo thành một tập có
độ đo m. Khi đó ta gọi xác suất của b/c A là:
P(A) =
c/ Định nghĩa thống kê.
Giả sử trong n phép thử với điều kiện như nhau b/c A xuất hiện k lần. Khi đó ta gọi
f
n
(A) =
là tần suất xuất hiện biến cố A trong phép thử.
Theo định lý Bernoulli, giới hạn này luôn tồn tại. Trong thực tế người ta thường lấy:
P(A) (A)
Với n khá lớn.
d/ Định nghĩa xác suất theo tiên đề
ký hiệu là tập hợp các b/c trong một phép thử. Ta gọi xác suất là một quy tắc đặt mỗi A
với một số P (A) thỏa mãn các tiên đề:
(a) A
(b) P() =1 , P()= 0
(c) Với mọi dãy b/c đôi một xung khắc (A

n
)
Xác suất và thống kê Trang 7
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
=
2/Xác suất của biến cố đối lập
Định lý : Với mọi biến cố A ta có :
P(=1-P(A)
3/Định lý cộng xác suất
Định lý 1 : Nếu A
1
,A
2
, ,A
n
là các biến cố đôi một xung khắc thì
P(A
1
+A
2
+ +A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+ +P(A
n
)
Định lý 2 : Với các biến cố tùy ý A và B ta có :

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B)
2.4/Xác suất có điều kiện
1/Định nghĩa về công thức tính
Cho hai biến cố A và B . Ta gọi xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra là xác suất
của A với điều kiện B , ký hiệu là P(A/B).
Định lý : P(A/B)=
2/Định lý nhân xác suất. Tính độc lập của các biến cố
Định lý 1 : Với các biến cố tùy ý A và B , ta có :
P(AB)=P (A)P (B/A)=P (B)P (A/B)
Định lý 2 : Nếu A và B độc lập thì
P (AB)=P (A)P (B)
3/Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayes
Cho A
1
, A
2
A
n
là nhóm đầy đủ các biến cố
Định lý:
a/ Với mọi biến cố F ta có:
Xác suất và thống kê Trang 8
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
P(F) = P(A
1
).P(F/ A
1
) + P(A
2
).P(F/A

2
) + + P(A
n
).P(F/A
n
)
b/ Với mỗi k ( k= ), ta có
P(A
k
/F) = =
4/Dãy phép thử Bernoulli.Công thức Bernoulli
a/Công thức Bernoulli
Một dãy n phép thử gọi là một dãy n phép thử Bernoulli nếu:
-Các phép thử độc lập với nhau
-Trong mỗi phép thử, xác suất của b/c A mà ta quan tâm có xác suất P(A) = p
không đổi
Xác suất p được gọi là xác suất thành công, số lần A xuất hiện trong n phép
thử gọi là số lần thành công trong dãy phép thử Bernoulli.
Ký hiệu: P
n
(k) = P
n
(k,p) là xác suất k lần thành công, q = 1-p
Định lý:
P
n
(k) =,k=
b/ Số có khả năng nhất
Trong dãy n phép thử Bernoulli, số m có xác suất P
n

(m) lớn nhất gọi là số có
khả năng nhất
Định lý: Số có khả năng nhất bằng (np-q) hoặc (np-q)+1
Xác suất và thống kê Trang 9
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Chương 2: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. VECTO NGẪU
NHIÊN
2.1/ Đại lượng ngẫu nhiên
1/ Định nghĩa
ĐN: Giả sử A
1
, A
2
A
n
là 1 nhóm đầy đủ các biến cố. Khi đó có 1 quy tắc X đặt mỗi
biến cố với A
i
với một số x
i
( i = gọi là 1 đại lượng ngẫu nhiên. ĐLNN còn gọi là biến
ngẫu nhiên.
2/ Bản phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
Cho X={x
1
,x
2
, x
n
} là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Đặt p

i
=P(X=x
i
). Khi đó ta có
bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất.
Định lý: Bảng phân phối xác suất có các tình chất sau:
0p
i
1
= 1
II/ Hàm phân phối xác suất. Hàm mật độ xác suất.
1/ Hàm phân phối xác suất
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên. Ta gọi hàm:
F(x)=P(X<x)
Là hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.
Xác suất và thống kê Trang 10
X
P
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Định lý: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X có các tính
chất sau:
F(x) không giảm
F(- = = 0
F(+ = = 1
P(a = F(b) - F(a)
Định lý: Nếu X là ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất:
X
P
F(x) =
Định lý: Nếu hàm phân phối F(x) của đại lượng ngẫu nhiên X liên tục tại x= a thì:

P(X = a) = 0
2/ Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Cho X là 1 đại lượng ngẫu nhiên liên tục, có hàm phân phối F(x) là 1 hàm có đạo hàm.
Khi đó gọi hàm:
f(x)= F’(x)
là hàm mật độ xác suất của X
Định lý: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X có các tính chất sau:
f(x)
=1
Xác suất và thống kê Trang 11
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
P(a<x<b)=
F(x) =
2.3/Vecto ngẫu nhiên
1/Khái niệm vecto ngẫu nhiên
Cho các đại lượng ngẫu nhiên xác định trên các kết quả của 1 phép thử. Khi đó ta gọi:
Z=() là 1 vt ngẫu nhiên n-chiều
2/Vt ngẫu nhiên rời rạc 2- chiều
a/Bảng phân phối XS đồng thời
Cho X={ , Y ={
Đặt =P(X=x
i
, Y=y
j
); i=, j=, ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xs đồng thời cùa
Z(X,Y):
Y
X
y
1

y
2
y
n
x
1
P
11
P
12
P
1n
x
2

x
m
P
m1
P
m2
p
mn
Ta có : 0p
ij
1 và =1
b/Phân phối lề của X,Y
Đặt :
P
i

= = P(X=x
i
), i=
X x
1
x
2
x
m
Xác suất và thống kê Trang 12
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
p
x
p
1
p
2
p
m
Đặt : q
j
==P(Y=y
j
),i=
Ta được bảng phân phối xác suất của Y:
X y
1
y
2
y

n
P
Y
q
1
q
2
q
n
Các phân phối này thực chất là cộng dòng hay cộng cột của bảng phân phối xác suất đồng
thời ra lề nên gọi là các phân phối lề của (X,Y).
c/ Phân phối có điều kiện
Bảng xác suất của X với điều kiện Y=y
j
(j=) là :
Bản phân phối xác suất của Y đối với điều kiện X=x
j
(i=) là :
Y y
1
y
2
y
n

d/ Điều kiện độc lập của X và Y
X và Y độc lập P(X=x
i
,Y=y
j

)=P(X=x
i
).P(Y=y
j
)i,j
P
ij
=p
i
p
j
i,j.
e/ Hàm phân phối của (X,Y)
F(x,y)=P(X<x,Y<y)=
3/ vecto ngẫu nhiên liên tục 2-chieu
Xác suất và thống kê Trang 13
x x
1
x
2
x
m

Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
a/ Hàm mật độ đồng thời
Hàm mật độ đồng thời của vecto ngẫu nhiên(X,Y) là hàm f(x,y) xác định trên toan mặt
phẳng có các tính chất:
f(x,y)0
dxdy=1
P[(X,Y)D]=(x,y)dxdy

b/ Mật độ lề của X và Y
cho vecto ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đồng thời là f(x,y) .
Khi đó:f
x
(x)=(x,y)dy là hàm mật độ của X;
f
y
(y)=dx là hàm mật độ của Y.
Các hàm mật độ này cũng gọi là các mật độ lề cua (X,Y).
c/Mật độ có điều kiện
Hàm mật độ của X với điều kiện Y=y là
=
Hàm mật độ của Y với điều kiện X=x là:
d/Điều kiện độc lập của X và Y
Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu:
f(x,y)=f
x
(x).f
y
(y)
Trong trường hợp này với mọi khoảng A,BR, ta có:
P(XA,YB)=x,y)dxdy=(x)dx.(y)dy=P(XA).P(Y tức là xác suất của tích bằng tích các
xác suất.
e/Hàm phân phối của (X,Y)
Xác suất và thống kê Trang 14
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
F(x,y)=P(X<x,Y<y)=u,v)dudv
2.4/ Hàm các đại lượng ngẫu nhiên. Phép toan trên các đại lượng ngẫu nhiên
1/Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên
a/Trường hợp rời rạc

Giả sử Y=(X,Y) , X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc . Bằng cách tính các giá trị (x
i
), ta tìm
được các giá trị mà Y nhận . Xác suất tương ứng để Y nhận y
j
là :
P(Z=z
k
)=
Từ đó ta có bảng phân phối xác suất của Y .
b/Trường hợp liên tục
Giả sử Y=(X),X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f
x
(x).
_Từ miền giá trị của X ta tìm được miền giá trị của X ta tìm được miền giá trị cùa Y
_Tìm hàm phân phối của Y
F
Y
(x)=P(Y<x)=P((X)<x)=(u)du
Với : A=(u:(u)<x)
_Lấy đạo hàm của Fy(x) ta có fy(x)
2/Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên
a/Trường hợp rời rạc
Giả sử Z=(X,Y) , đã biết bảng phân phối xác suất đồng thời của (X,Y) . Ta cần tìm phân
phối xác suất của Z.
Bằng cách tính (x
i
,y
j
) ta tìm được các giá trị có thể nhận của Z . Xác suất tương ứng để Z

nhận z
k
là :
P(Z=z
k
)=
b/Trường hợp liên tục
Giả sử f(x,y) là hàm mật độ đồng thời của (X,Y). Ta cần tìm hàm mật độ của Z=(X,Y).
Xác suất và thống kê Trang 15
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Theo định nghĩa , ta có hàm phân phối của Z:
F
z
(z)=P(Z<z)=P[((X,Y)<z)]=
Lấy đạo hàm F
z
(z) ta tìm được hàm mật độ f
z
(z) của Z.
3/Phép toán các đại lượng ngẫu nhiên
Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y . Khi đó phân phối của X + Y chính là phân phối
của (X,Y)=X+Y;phân phối của X.Y chính là phân phối của (X,Y)=X.Y.
Trường hợp X và Y rời rạc thì X+Y rời rạc thì X.Y có bảng phân phối xác suất lần lượt là
:
x+y z
1
z
2
z
s

p p
1
Z
2
p
s
Trong đó :z
k
- các giá trị khác nhau của x
i
+y
j
=z
k
,p
k
=
Đặt biệt , nếu X và Y độc lập thì =.
Chương 3: CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG
NGẪU NHIÊN
3.1 Kỳ vọng:
1. Định nghĩa:
2. Tính chất của kỳ vọng:
Với mọi đại lượng ngẫu nhiên X, Y và hằng số C ta có:
i) E(C) = C
ii) E(X+Y) =E(X) + E(Y)
iii) E(CX) = CE(Y)
iv) E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập.
3.2 Phương sai:
Xác suất và thống kê Trang 16

Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
1. Định nghĩa phương sai: D(X) = E[(X-E(X))2]
Ký hiệu: = E(X), thì: D(X) = E[()2] = E()2
2. Tính chất của phương sai:
i) D(X) 0, D(C) = 0
ii) D(CX) = C2D(X)
iii) D(X) = E(X)2 - (E(X))2
iv) D(X+Y) = D(X) + D(Y) nếu X và Y độc lập.
D(X+C) = D(X).
3.3 Một số đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên:
1. Mode của đại lượng ngẫu nhiên: mod(X) =
2. Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên: P(X<m) và P(X>m)
3. Moment trung tâm:
4. Hệ số bất đối xứng. Hệ số nhọn.
* Hệ số đối xứng của X là số
Khi: thì phân phối đối xứng
thì phân phối lệch về bên phải
thì phân phối lệch về bên trái
* Hệ số nhọn của X là:
Khi: có độ nhọn cao hơn phân phối chuẩn
có độ nhọn thấp hơn phân chuẩn.
3.4 Đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên hai chiều và nhiều chiều:
3.4.1 Kỳ vọng: E(Z) = (E(X), E(Y)) R2
3.4.2 Kỳ vọng của hàm một vectơ ngẫu nhiên:
Xác suất và thống kê Trang 17
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
1. Trường hợp rời rạc: E(Z) =
2. Trường hợp liên tục: E(Z) =
4.3.3 Kỳ vọng có điều kiện:
1. Trường hợp rời rạc:

E(X/Y = yi) =
E(Y/X = xi) =
2. Trường hợp liên tục:
E(X/y) = E(X/Y = y) =
E(Y/x) = E(Y/X = x) =
3.4.4 Covarian. Ma trận tương quan.
Ta có covarian cua Z là: cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
Biến đổi đơn giản: cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
Trường hợp rời rạc: E(XY) =
Trường hợp liên tục: E(XY) =
Từ định nghĩa ta có: D(X) = cov(X,X)
Ta gọi ma trận tương quan là:
D(X,Y) =
3.4.5 Hệ số tương quan:
Ta gọi số: Rxy = là hệ số tương quan giữa X và Y.
Định lý 3.4: Với mọi (X,Y), ta có:
i) |Rxy| 1
ii) Rxy = 1 nếu và chỉ nếu X và Y tương quang tuyến tính, tức là tồn tại các số
A,B,C sao cho AX + BY = C.
Xác suất và thống kê Trang 18
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
3.4.6 Vài đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên nhiều chiều:
Cho vectơ ngẫu nhiên n chiều: Z = (X1, X2, , Xn)
1. Kỳ vọng:
Ta gọi kỳ vọng của Z là vectơ n chiều: E(Z) = (E(X1), E(X2), E(Xn))
2. Momen bậc k:
Ta gọi momen hỗn hợp bậc k của (X1, X2, , Xn) đối với (a1, a2, an) là số
E[(X1 - a1)k1 ((X2 - a2)k2 (Xn - an)kn]
Trong đó: k1 + k2+ + kn = k
nếu: (a1, a2, an) = (0,0, ,0) thì momen gọi là momen gốc.

nếu: (a1, a2, an) = (E(X1), E(X2), , E(Xn)) thì momen gọi là momen trung tâm.
3. Ma trận tương quan:
Ta gọi ma trận tương quan hay ma trận hiệp phương sai của Z là:
D(X1, X2, ,Xn) = Ma trận tương quan là ma trận đối xứng.
Chương 4: CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI
4.1 Các phân phối rời rạc:
1. Phân phối nhị thức:
Trường hợp này ta ký hiệu XB(n,p).
Định lý 4.1: Nếu X là số lần thành công trong dãy n phép thử Bernoulli với xác suất
thành công p thì XB(n,p).
Định lý 4.2: Nếu XB(n,p) thì E(X) = np và D(X) = npq.
2. Phân phối siêu bội:
Xác suất và thống kê Trang 19
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Định lý 4.3: Nếu XH(N,M,n) thì: E(X) = np, D(X) = npq
trong đó p = , q = 1 - p
3. Phân phối Poisson:
Đại lượng ngẫu nhiên X = {0, 1, 2, , n, } gọi là có phân phối Poisson nếu tồn tại số
sao cho:
Định lý 4.4: Nếu XP(a) thì E(X) = D(X) = a
4.2 Các phân phối liên tục:
4.2.1 Phân phối đều: f(x) = ký hiệu XU(a,b).
Định lý 4.5: E(X) = , D(X) =
4.2.2 Phân phối mũ: f(x) = ký hiệu XE().
Định lý 4.6: Nếu XE() thì E(X) = , E(X) =
4.2.3 Phân phối chuẩn:
1. Phân phối chuẩn: f(x) =
Định lý 4.7: Nếu XN( thì E(X) = , D(X) =
2. Phân phối chuẩn chuẩn tắc: f(x) =
Định lý 4.8 Nếu XN( thì Y =

3. Tích phân Laplace: Hàm Gauss: F(u) =
Tích phân Laplace:
Giữa hàm phân phối Gauss và tích phân Laplace có mối liên hệ:
F(u) = hay Hàm là hàm số lẻ.
Định lý 4.9: Nếu X N(0,1) thì:
i) P(
ii) P(
Xác suất và thống kê Trang 20
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Nếu XN( thì:
iii) P(
iv) P(
Định lý 4.10: Nếu XN( thì: P(
4.2.4 Phân phối "khi bình phương":
- Đại lượng ngẫu nhiên X2 gọi là phân phối "khi bình phương" n bậc tự do nếu:
X2 = X12 + X22 + + Xn2 trong đó X1, X2, Xn là các đại lượng ngẫu nhiên độc
lập có phân phối chuẩn chuẩn tắc.
- Trong trường hợp này ta ký hiệu: X2 X2(n)
Ký hiệu: là hàm gama dt
Định lý 4.11 Cho X X2(n) khi đó
i) Hàm mật độ của X2 là
ii) E(X2) = n; D(X2) = 2N
4.2.5 Phân phối Student:
Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là phân phối Student n bậc tự do nếu T = trong đó: UN(0,1)
và VX2(n)
Trường hợp này ta ký hiệu: TT(n)
Định lý 4.12 Cho TT(n). Khi đó
i)Hàm mật độ của T là
ii) E(T) = 0; D(T) =
4.3 Các định lý giới hạn:

1- Định lý Chebyshev
Định lý 4.13 (Bất đẳng thức Chebyshev). Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên. Khi đó, với
mọi ,ta có:
Xác suất và thống kê Trang 21
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Định lý 4.14 (Chebyshev). Cho là các đại lượng ngẫu nhiên đôi một độc lập, có phương
sai bị chặn đều (tồn tại với mọi ). Khi đó với mọi , ta có:
2-Định lý Bernoulli:
Định lý 4.15 (Bernoulli) Nếu là số lần thành công trong dãy
phép thử Bernoulli với xác suất thành công thì:
3-Định lý giới giạn trung tâm:
Với các đại lượng ngẫu nhiên ta đặt:
Định lý 4.16(Liapounov). Nếu các đại lượng ngẫu nhiên đơi một độc lập và
thì
với mọi là tích phân Laplace.
Theo định lí,nếu n khá lớn,ta có:
hay
Ta thường sử dụng trường hợp riêng sau đây.
Định lý 4.17 Nếu thì mọi thì, với khá lơn,ta có:
hay
Trong thống kê ta thường coi là khá lớn.
4.4 Các công thức gần đúng
1-Phân phối siêu bội và phân phối nhị thức
Xác suất và thống kê Trang 22
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Định lý 4.18 Cho .Nếu cố định và thì với , ta có:
Theo định lý 4.18, nếu khá lớn so với thì có thể coi:
tức là ta có công thức gần đúng:
2- Phân phối nhị thức và phân phối Poisson:
Định lý 4.19 Cho . Nếu và khi thì với ta có:

Theo định lý 4.19, nếu khá bé và khá lớn thì thì có thể coi ,tức là có công thức gần đúng:
3- Phân phối nhị thức và phân phối chuẩn:
Định lý (Định lý Moivre - Laplace địa phương). Cho .Nếu
sao cho bị chặn khi thì:
trong đó khi và là hàm mật độ Gauss.
Theo định lý 4.20,khi khá lớn ta có công thức gần đúng:
Định lý (Định lý Moivre - Laplace tích phân).
trong đó khi và là tích phân Laplace.
Theo định lý 4.21,khi khá lớn ta có công thức gần đúng:
Xác suất và thống kê Trang 23
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
Hai công thức gần đúng sau cùng này thường chỉ sử dụng khi không quá gần 0
hoặc 1,vì trong trường hợp đó sai số là lớn.
Chương 5: LÝ THUYẾT MẪU
5.1 Một số khái niệm về mẫu:
5.1.1 Tổng thể và mẫu:
Tập hợp có phần tử là tất cả các đối tượng mà chúng ta nghiên cứu gọi là tổng
thể.Tổng thể còn được gọi là tập chính của đám đông.
Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể.
Thống kê toán học cung cấp cơ sở toán học để, từ số liệu quan sát được trên một
mẫu, cho ta phương pháp đánh giá theo xác suất về toàn bộ tổng thể.
5.1.2 Các loại mẫu:
Mẫu mà chúng ta nghiên cứu được chọn theo một các thức nào đó mang tính ngẫu
nhiên, khách quan, gọi là ngẫu nhiên.
1. Phân loại mẫu theo phương pháp chọn mẫu:
- Mẫu không hoàn lại là mẫu được chọn bằng các phần tử đã lấy ra quan sát thì loại
khỏi tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo. (Còn gọi là mẫu không lặp).
- Mẫu hoàn lại là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát được b3 trở
lại tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo. (Còn gọi là mẫu lặp).
2. Phân loại mẫu theo mục đích nghiên cứu:

- Mẫu định tính: là mẫu mà ta chỉ quan tâm đến các phần tử của nó có một tính
chất A nào đó hay không.
Trường hợp này mẫu được cho dưới dạng:
+ Kích thước mẫu: n
+ Số phần tử có tính chất A: m.
Xác suất và thống kê Trang 24
Bộ môn: Toán ứng dụng Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM
- Mẫu định lượng: là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về lượng của các phần tử
như khối lượng, chiều dài, nhiệt độ Trường hợp này, một mẫu kích thước n được cho
dưới dạng tổng quát. X = (X1, X2, Xn) trong đo phần tử thứ i của mẫu nhận giá trị Xi (i
= )
5.2 Các đặc trưng mẫu:
1. Tỷ lệ mẫu:
2. Trung bình mẫu và phương sai mẫu:
- Trung bình mẫu:
- Phương sai mẫu:
3. Phép biến đổi số:
Với x0 tùy ý và h 0, đặt
Vì , nên theo tính chất kỳ vọng và phương sai ta có:
5.3 Tính chất của đặc trưng mẫu:
5.3.1 Kỳ vọng và phương sai của đặc trưng mẫu:
1. Kỳ vọng và phương sai của tỷ lệ mẫu:
Định lý : Nếu tổng thể có tỷ lệ p thì E(F) = p và D(F) =
2. Kỳ vọng và phương sai của trung bình mẫu:
Xác suất và thống kê Trang 25