Bài tập lớn môn xác suất thống kê

Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
Môn : Xác Suất Thống Kê
………… o0o…………

Bài Tập Lớn
GVHD : Th.S Nguyễn Văn Phú
Nhóm SV thực hiện : Nhóm 5


Lớp BK10HTĐ – Đại Học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh
Xác suất thống kê Page1
STT Mã Số SV
Họ và
Tên
1 Đỗ Khánh Hòa
2 Nguyễn Chí Luyến
3 Nguyễn Chiến Thắng
4 Phạm Duy Hải
5 Võ Chí Công
6 Nguyễn Quốc Anh
7 Nguyễn Đăng Hiển
8 Hồ Trọng Thăng
9 Trần Thị Trúc Linh
10 Nguyễn Thảo Nguyên
11 Nguyễn ThịThanh Huệ
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
Tp. HCM, Ngày 09 tháng 12 năm 2011
Nhận Xét
Trong thời gian 3 tuần vừa qua, nhóm chúng em đã rất cố gắng

hoàn thành bài tập lớn môn “Xác Suất Thống Kê“. Trong quá trình
hoàn thành bài tập, chúng em đã rút ra được nhiều kinh nghiệm và
kiến thức rất bổ ích, giúp chúng em hiểu biết nhiều hơn về môn “Xác
Suất Thông Kê“ .

Sinh viên nhóm 5
Xác suất thống kê Page2
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5

LỜI MỞ ĐẦU
Xác suất –thống kê là một môn học quan trọng đối với sinh viên các
ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế và cả một số ngành khoa
học xã hội.
Môn này cung cấp cho sinh viên những khái niệm cơ bản của lý
thuyết xác suất và thống kê toán. Sinh viên hiểu được việc vận dụng
quy luật xác suất để xây dựng các phương pháp ra quyết định trong
điều kiện thông tin không đầy đủ trong thống kê. Các kiến thức xác
suất thống kê học được phải có tính thực tiễn để người học có thể
áp dụng vào thực tế của ngành học.
Trang bị cho sinh viên các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất
và thống kê toán như: phép thử, biến cố, xác suất của biến cố, đại
lượng ngẫu nhiên, tổng thể, mẫu,
Trang bị cho sinh viên một số phương pháp cơ bản để tính xác suất
của một biến cố. Biết các qui luật phân phối xác suất của một đại
lượng ngẫu nhiên
Cung cấp những kiến thức cơ bản nhằm xây dựng và giải quyết
những bài toán cơ bản thường nảy sinh trong thực tế của ngành
học như: bài toán ước lượng, bài toán xác định kích thước mẫu, bài
toán kiểm định giả thiết.

Nâng cao khả năng suy luận, phân tích của sinh viên.
Trong bài làm của chúng em không tránh khỏi những sai sót,mong
thầy cho ý kiến nhận xét , đánh giá để chúng em có thể rút kinh
nghiệm cho lần sau. Chúng em chân thành cảm ơn thầy!
Xác suất thống kê Page3
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
 Cơ sở lý thuyết:
I. Các quy tắc đếm.
1. Quy tắc cộng:
Nếu 1 công việc được chia ra làm k trường hợp để thực hiện,
trường hợp 1 có cách thực hiện xong công việc,…, trường hợp k có
cách thực hiện xong công việc và không có bất kỳ một cách thực
hiện nào ở trường hợp này lại trùng với 1 cách thực hiện ở trường
hợp khác, thì có cách thực hiện xong công việc.
2. Quy tắc nhân:
Nếu một công việc chia làm k giai đoạn, giai đoạn 1 có cách thực
hiện, giai đoạn 2 có cách thực hiện,…,giai đoạn k có cách thực hiện,
thì có cách thực hiện xong công việc.
3. Chỉnh hợp:
Một chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k
phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho:
(k =
4. Chỉnh hợp lặp:
Một chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự
gồm k phần tử không cần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho:
5. Hoán vị:
Một hoán vị từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm n phần tử
khác nhau đã cho:

6. Tổ hợp:
Một tổ hợp chập k từ n phần tử là một tập hợp con gồm k phần
tử lấy từ n phần tử đã cho:
(k =
Xác suất thống kê Page4
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
7. Công thức nhị thức Newton:
II. Biến cố:
1. Phép thử ngẫu nhiên, biến cố:
Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện những điều kiện đã đặt ra
để nghiên cứu một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó.Mỗi kết quả của
phép thử gọi là 1 biến cố.
Có 3 loại biến cố:_Biến cố trống(Ф)
_Biến cố chắc chắn(Ω)
_Biến cố ngẫu nhiên
2. Biến cố bằng nhau:
Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra, ký
hiệu A ⊂ B. Nếu đòng thời có A ⊂ B và B ⊂ A thì các biến cố A và B
gọi là bằng nhau, ký hiệu A=B.
3. Các phép toán trên biến cố:
Cho 2 biến cố A và B khi đó ta gọi:
Tổng của A và B hay A cộng B là biến cố xảy ra khi A xảy ra
hoặc B xảy ra, ký hiệu A + B.
Hiệu của A và B hay A trừ B là biến cố xảy ra nếu A xảy ra
nhưng B không xảy ra, ký hiệu A – B.
Tích của A và B hay A nhân B là biến cố xảy ra nếu A và B đồng
thời xảy ra, ký hiệu AB.
Biến cố đối lập của A là biến cố xảy ra nếu A không xảy ra và
không xảy ra nếu A xảy ra, ký hiệu .

III. Định nghĩa xác suất:
1. Định nghĩa cổ điển:
Ta gọi các trường hợp đồng khả năng là các trường hợp mà
khả năng của chúng ngang bằng nhau. Ta gọi 1 trường hợp thuận
lợi cho biến cố A nếu trường hợp này xảy ra thì A xảy ra.
2. Định nghĩa hình học:
Xác suất thống kê Page5
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
Ta gọi độ đo của 1 tập trên 1 đường là độ dài, trong một mặt là
diện tích, trong không gian là thể tích của tập đó.Trong mặt phẳng
các tập nằm trên 1 đường có độ đo bằng 0, trong không gian các
tập nằm trên 1 mặt có độ đo bằng 0.
3. Định nghĩa thống kê:
Giả sử trong n phép thử với điều kiện như nhau biến cố A xuất
hiện k lần, khi đó ta gọi:
là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử.
4. Định nghĩa theo tiên đề: thống nhất các định nghĩa trên ta được
định nghĩa theo tiên đề có 3 tính chất sau:
a. 0 P(A) 1 với mọi biến cố A
b. P(Ω) = 1, P(Ф) = 0
c. Nếu A và B xung khắc thì: P(A+B) = P(A) + P(B).
5. Xác xuất của biến cố đối lập: Với mọi biến cố A ta có:
6. Các định lý cộng xác suất:
a. Nếu là các biến cố đôi một xung khắc thì:
b. Với các biến cố tùy ý A và B ta có:
P(A+B) = P(A) + P(B) P(AB)
IV. Xác suất có điều kiện :
1. Định nghĩa và công thức tính: Cho 2 biến cố A và B. Ta gọi xác
suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra là xác suất của A với điều

kiện B, ký hiệu . Công thức:
2. Định lý nhân xác suất, tính độc lập của các biến cố:
a. Với các biến cố tùy ý A và B ta có:
Xác suất thống kê Page6
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
b. Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu xác suất của biến cố này không
phụ thuộc vào xác suất xảy ra của biến cố kia, tức là:
c. Nếu A và B độc lập thì:
3.Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayès:
a. Công thức xác suất đầy đủ: Với mọi biến cố F ta có:
b. Công thức Bayès: Với mỗi , ta có:
4. Công thức Bernoulli:
Trong đó : p = P(A)
q = 1 p
Bài tập:
Bài 1.1
a) Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số, số đầu khác 0 và
khác 1?
b) Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số, số đầu khác 0,
khác 1 và tổng của bảy chữ số đó là số chẵn?
c) Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số, số đầu khác 0,
khác 1 và tổng của bảy chữ số đôi một khác nhau?
Bài 1.2
a) Có bao nhiêu chẵn gồm sáu chữ số khác nhau từng đôi một,
trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ?
Xác suất thống kê Page7
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
b) Có bao nhiêu chẵn gồm sáu chữ số khác nhau từng đôi một,

trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn (chữ số đầu
tiên phải khác 0)?
Bài 1.3
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau (chữ số
đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không
có mặt chữ số 1?
b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số khác nhau (chữ số
đầu tiên phải khác 0), biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần,
chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt
không quá một lần?
Bài 1.4
Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm sáu ghế.
Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho sáu học sinh trường A và sáu học
sinh trường B vào bàn nối trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong
mỗi trường hợp sau:
a) Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì
khác trường nhau.
b) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường
nhau.
Bài 1.5
Có bao nhiêu cách xếp 10 người ngồi thành hàng ngang sao A và B
ngồi cạnh nhau,còn C và D thì không ngồi cạnh nhau?
Bài 1.6
Một loại biển số xe gồm một số kí hiệu và bốn chữ số sau cùng (ví dụ
như 50AB,3507;60NN,0369;…). Hỏi có thể có:
a) Bao nhiêu biển số xe cùng một loại?
Xác suất thống kê Page8
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
b) Bao nhiêu biển số xe cùng một loại mà có bốn số sau cùng đều

khác nhau?
Giải:
1.1
a) Gọi dãy số điện thoại gồm 7 chữ số là :
Vì chữ số đầu tiên khác 0 và 1 => có 8 cách chọn
có 10 cách chọn
có 10 cách chọn
có 10 cách chọn
có 10 cách chọn
có 10 cách chọn
có 10 cách chọn
Vậy số cách chọn : 8.
b) Trong câu a) ta có 2 trường hợp:
TH1: Tổng của 7 chữ số là chẵn
Số cách chọn = x
TH2: Tổng của 7 chữ số là lẻ
Số cách chọn = y
Từ đến số cách để chọn được số lẻ (1,3,5,7,9) và số cách để chọn
được số chẵn (0,2,4,6,8) là giống nhau và với thì số cách để chọn
được số lẻ (3,5,7,9) và số chẵn (2,4,6,8) cũng = nhau.
 x = y
Xác suất thống kê Page9
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
vậy x = y = .8. = 4.
c) có 8 cách
còn lại 9 chữ số. Chọn 6 số trong 9 số đặt vào 6 vị trí khác nhau
có cách
vậy số cách được chọn = 8. = 483840
bài 1.2

a) Gọi dãy số gồm 6 chữ số là
Vì là số lẻ nên có 5 cách chọn (1,3,5,7,9)
Vì là số chẵn nên có 5 cách chọn (0,2,4,6,8)
Còn lại 8 số chọn 4 số trong 8 số đặt vào 4 vị trí khác nhau có
cách
Vậy số cách chọn = 5.5. = 42000 cách
b) Xét trường hợp là tùy ý
Chọn 1 tập gồm 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ từ tập (0,1,2 9)
 Có . cách chọn
ứng với mỗi tập đã chọn được, ta có
có 3 cách chọn vì là chẵn
Còn 5 chữ số đặt vào 5 vị trí khác nhau => có 5! Cách chọn
Vậy số cách chọn là . .3.5! = 36000
Bước 2: xét trường hợp =0
Chọn 1 tập gồm 1 chữ 0, 2 chữ số khác 0, 3 chữ số lẻ
 Có 1
Xác suất thống kê Page10
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
ứng với 1 tập đã chọn được, ta có:
có 1 cách chọn bằng 0
có 2 cách chọn vì là chẵn
Còn lại 4 chữ số đặt vào 4 vị trí khác nhau có 4! Cách chọn
Vậy số cách chọn = 1 1.2.4! = 2880
Bước 3:
Số cách chọn thỏa : 36000 – 2880 = 33120
Bài 1.3
a) Chọn dãy số gồm 6 chữ số là : :
chọn 1 tập gồm 1 chữ số 0 và 5 chữ số khác 0 từ tập => có 1. cách.
ứng với mỗi tập đã chọn được, ta có :

có 5 cách chọn vì
Còn lại 5 chữ số đặt vào 5 vị trí nhau => có 5! Cách
Vậy số cách chọn = 1 5.5! = 33600
b)Gọi dãy số gồm 7 chữ số là :
xét trường hợp tùy ý, chọn 1 tập gồm 1 chữ số 2, 1 chữ số 3 và 2 chữ
số từ tập
 Có 1.1. cách
ứng với 1 tập đã chọn ta có tập 2a,2b,3a,3b,3c,x,y. Sau đó ta đặt 7
chữ số đầu tiên vào 7 vị trí khác nhau => có 7 cách
vì các số 2 và 3 là giống nhau => số cách chọn = 1.1.= 11760
Bước 2:
Xác suất thống kê Page11
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
xét trường hợp =0
chọn 1 tập gồm 1 chữ số 0, 1 chữ số 2, 1 chữ số 3 và 1 chữ số từ
tập => có 1.1.1.7 cách chọn
ứng với mỗi tập đã chọn được ta có tập , sau đó ta có:
+ có 1 cách chọn :
+ còn lại 6 chữ số, đặt vào 6 vị trí khác nhau => có 6 cách
- Vì các số 2 và 3 là giống nhau => số cách chọn = 7. = 420
Bước 3:
Xét trường hợp
Số cách chọn thỏa đề: 11760 – 420 = 11340
Bài 1.4
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
a) TH1: vị trí 1 là học sinh trường A
A B A B A B
B A B A B A

+ 6 HS trường A xếp vào 6 vị trí khác nhau => có 6 cách
+ 6 HS trường B xếp vào 6 vị trí khác nhau => có 6 cách
Vậy số cách chọn = 6! 6! = 518400
TH2: số cách chọn thỏa đề: 6! 6! + 6! 6! = 1036800
Xác suất thống kê Page12
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
b) Vị trí 1 có 12 cách chọn
Vì 2 HS đối diện nhau thì phải khác trường, nên vị trí 7 có 6
cách chọn
Vị trí 2 có 10 cách chọn
Vì khác trường nên vị trí 8 có 5 cách chọn
Vị trí 3 có 8 cách chọn
Khác trường nên vị trí 9 có 4 cách chọn
Vị trí 4 có 6 cách chọn
Vị trí 10 có 3 cách chọn
Vị trí 5 có 4 cách chọn
Vị trí 11 có 2 cách chọn
Vị trí 6 có 2 cách chọn, và vị trí 12 có 1 cách chọn
Vậy, số cách chọn là : 12x6x10x5x8x4x6x3x4x2x2x1 = 6!
2x4x6x8x10x12 = 33177600
Bài 1.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Có 10 người A,B,C,D,E,F,G,H,I,J
Bước 1:
Xét trường hợp A và B ngồi cạnh nhau còn C tùy ý
Vì A và B luôn ngồi cạnh nhau nên có thể xem A và B là 1 cặp ,
gọi là AB
AB có 9 cách chọn. Từ 1 9 => A và B có 1x2!
Vì C và D ngồi cạnh nhau => cặp CD có 7 cách chọn => C và D

có 7x2!
Còn lại 6 người xếp vào 6 vị trí khác nhau => có 6! Cách
Vậy số cách chọn: 1x2! 7x2!6! = 20160
TH2: AB ở vị trí 9 và 10
Tương tự TH1 : có 20160 cách chọn
TH3: AB ở những vị trí còn lại:
AB có 7 cách chọn: từ 2 8 => A và B có 7x2! Cách
CD có 6 cách chọn => CD có 6x2! Cách
Còn lại 6 người, xếp vào 6 vị trí khác nhau => có 6! Cách
Xác suất thống kê Page13
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
Vậy số cách chọn :
Vậy số cách chọn ở bước 2 là :
20160 +20160 + 120960 = 161280
Vậy số cách chọn thỏa đề: 725760 – 161280 = 564480
Bài 1.6
a) Các biển số xe cùng 1 loại là các biển số xe có 4 kí hiệu đầu
giống nhau ta chỉ cần xét đến 4 chữ số sau cùng
Gọi 4 chữ số sau cùng là : ,,,
N =
- có 10 cách chọn vì
- có 10 cách chọn vì
- có 10 cách chọn vì
- có 10 cách chọn vì
Vậy số cách chọn = = 10000
b) Chọn 4 số thứ tự 10 số đạt vào 4 vị trí khác nhau => có cách
Vậy số cách chọn = = 5040 cách
0o0
Chương 2: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN,VECTƠ NGẪU NHIÊN

 Cơ sở lý thuyết:
Xác suất thống kê Page14
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
I.Đại lượng ngẫu nhiên.
Định lý 2.1 Giả sử A
1,
A
2, ,
A
n
là một nhóm đầy dủ các biến cố. Khi
đó có một quy tắc X đặt mỗi biến cố với A
i
với một số (i=1…n ) gọi là
một đại lượng ngẫu nhiên. Đại lượng ngẫu nhiên còn gọi là biến cố
ngẫu nhiên.
II.Hàm phân phối xác suất, Hàm mật dộ xác suất.
1.Hàm phân phối xác suất.
Ðịnh nghĩa: Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu FX(x)
xác định như sau:
F
X
()=P( X< ),
Ý nghĩa: F
x
x là xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị bên trái x ,
hàm phân
phối phản ánh mức độ tập trung xác suất về bên trái điểm x .
Tính chất: .

2.Hàm m ật độ xác suất.
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên lien tục, có hàm phân phối F(x)
là một hàm có đạo hàm. Khi đó ta gọi hàm: là hàm mật độ xác
suất của X.
Tính chất:
.

Xác suất thống kê Page15
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
- Khi đó, xác suất để X thuộc vào khoảng [) được xác định như sau:
III.vectơ ngẫu nhiên.
1 Khái niệm vectơ ngẫu nhiên.
Cho các đại lượng ngẫu nhiên X
1,
X
2,……
X
n
xác định trên các kết quả
của một phép thử. Khi đó ta gọi: Z= (X
1
,X
2
,….X
n
) là các vectơ ngẫu
nhiên n chiều.

2. Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2- chiều.
2.1. Bảng phân phối xác suất đồng thời.
Cho X =; Y=.
Đặt p
ij
=P(X =x
i
,Y =y
j
),i= 1,2,3,…m; j =1,2,… n.
Bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất đồng thời
y
1
y
2 …….
y
n
Y
x
1
x
2.
.
.
x
n
p
11
p
12

p
1n
p
21
p
22
p
2n
.
.
p
m1
p
m2
p
mn
X

2.2.Phân phối lề của Xvà Y.
Đặt :p
i
.
Ta có bảng phân phối xác suất của X:
x x
1
x
2 ……………
x
n
p

x
p
1
p
2 ………………
p
n
Đặt q
j
Xác suất thống kê Page16
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
Ta có bảng phân phối xác suất của Y:
Y y
1
y
2
…………

y
n
q
y
q
1
q
2
………… q
n
2.3.Phân phối có điều kiện.

Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y= y
j
j= 1 n.
x x
1
x
2 ……
x
n
P
x\y
1 …………
Bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X = x
i
,i=1…m.
Y y
1
y
2
…….

y
n
P
y\x
1
………

2.4.Điều kiện độc lập của X và Y.
X và Y dộc lập khi và chỉ khi:

P(X=x
i
,Y=y
j
)= P(X=x
i
).P(Y=y
j
),
p
ij
=p
i
q
j,
2.5.Hàm phân phối của (X,Y).
F(x,y)=P(X<x,Y<y)= .
IV. Hàm các đại lượng ngẫu nhiên. Phép toán trên các dại
lượng ngẫu nhiên. 1.Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên.
a. Trường hợp rời rạc
Xác suất thống kê Page17
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
Giả sử Y =, X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. bằng cách tính
các giá trị , ta tìm được các giá trị mà Y nhận. Xác suất tương ướng
để Y nhận là:
1.
b. Trường hợp liên tục.
Giả sử Y =,X là đại lượng ngẫu nhiên lien tục có hàm mật độ
f

x
(x).
Từ miền giá trị của X ta tìm được miền giá trị của Y.
Tìm hàm phân phối của Y:
F
y
(x)=P(Y<x)=P, Với A = (u: .
Lấy đạo hàm của F
y
(x) ta có f
y
(x).
2. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên.
a. Trường hợp rời rạc.
Giả sử Z= , đã biết bảng phân phối xác suất đồng thời của
(X,Y). Ta cần tìm phân phối xác suất của Z.
Bằng cách tính ) ta tìm dược các giá trị có thể nhận của
Z. Xác suất tương ướng dể Z nhận z
k
là:
b. Trường hợp liên tục.
Giả sử f(x,y) là hàm đồng thời của hàm của (X,Y). T a cần
tìm mật đô của Z=
Theo định nghỉa ta có hàm phân phối của Z:
Lấy đạo hàm F
z
(z) ta tìm được hàm mật độ f
z
(z) của Z.
Xác suất thống kê Page18

Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
Bài tập :
2.1 gieo đồng thời hai con súc sắc cân đồi và đồng chất . gọi X và Y
là các biến cố ngẫu nhiên chỉ số chấm chấm xuất hiện ở mặt
trên con súc sắc đó .
a) lập bảng phân phối sác xuất của các biên cô ngẫu nhiên .
Z1 = max (X,Y) và Z2 = min (X,Y)
b) tìm các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên Z1,Z2
2.2 một cơ quan có ba ô tô hoạt động . xác suất để trog tuần làm
viếc các ô tô bị tươ g là 0,1;0,2 ; 0,3 .gọi X là biến cố ngẫu nhiên chỉ
số ô tô bị hỏng trong một tuần làm việc. tìm hàm phâm phối của
biến ngẫu nhiên X .
2.3 một hộp gồm bốn bi trắng và hai bi xanh cùng cỡ .lấy ngẫu
nhiên từng bi cho dến khi gặp bi trắng tì dừng lại gọi X là biến ngẫu
nhiên lấy ra
a) lập bảng phân phối cảu biến ngẫu nhiên X .
b) tìm phân phối của X
Giải:
2.1
a/ = max {X,Y}
= {1,2,3,4,5,6}
Xác suất thống kê Page19
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
Khi
Trườn hợp 1
X=4
 Y có 4 cách chọn {1,2,3,4}
 Số cách chọn = 1.4 =4

Trường hợp
Y= 4 ,X4
 X có 3 cách chọn {1,2,3}
 Số cách chọn 1.3=3
 Vậy số cạch chọn =4+3=7
Tương tự ta có bảng sau
1 2 3 4 5 6
b/ = min { X,Y}
={1,2,3,4,5,6}
Khi =n
Trường hợp 1 X=n
 Y có 7-n cách chọn {n,n+1… ,6}
 Số cách chọn = 7-n
Trường hợp 2
Y=n ,Xn
 X có 6-n cạch chọn {n+1,….6}
 Số cách chọn = 1.6-n=6-n
 Vậy số cách chọn = (7-n)+(6-n)=13-2n
 P=
 Ta co bảng sau
Xác suất thống kê Page20
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
1 2 3 4 5 6
2) F()=
F()=
2.2
X là biến cố ngẫu nhiên chỉ số ô tô bị hỏng trong một tuần làm
việc
X= { 0,1,2,3}

Gọi là biến cố thứ 1 bị hỏng 1=1
P(0) = P()= 0.9 x0.9 x0.7 =0.567
P(1)= P(+
= 0.1x0.9x0.7 + 0.9x0.1x0.7 + 0.9x0.1x0.3 =0.369
P(2) = 0.1x0.1x0.7 + 0.1x0.9x0.3 + 0.9x0.1x0.3 = 0.051
P(3)=P() = 0.1x0.1x0.3 = 0.003
x 0 1 2 3
P 0,567 0,369 0,061 0,003
F(X)
2.3
X là biến cố ngẫu nhiên chỉ số bi được lấy
X = {1,2,3,4}
P(1)=
Xác suất thống kê Page21
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
P(2)==
P(3)=
P(4)=
X 1 2 3 4
P
b)
F(X)
Xác suất thống kê Page22
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
Chương 3: CÁC ĐẠI LƯỢNG CỦA ĐẶC TRƯNG NGẪU NHIÊN
 Cơ sở lý thuyết
I. Kỳ Vọng
1. Định nghĩa kỳ vọng

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có các bảng phân phối xác
suất:
X x
1
x
2 …
x
n …
P p
1
p
2 …
p
n …
Khi đó ta gọi kỳ vọng của X là số:
E(X) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ … + x
n
p
n
+ … = (3.1)
Trong trường hợp có vô hạn x
n

thi ta nói X có kỳ vọng và E(X) là kỳ
của nó nếu chuổi (3.1) hội tụ tuyệt đối.
Vì = 1 , nên :
Min x
i
≤E(X)≤max x
i
Do đó E(X) là một giá trị trung bình của các x
i
, mỗi x
i
được tính với
tỷ trọng p
i
.
Vậy : kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên là trung bình theo xác suất
các giá trị có thể nhận của đại lượng ngẫu nhiên đó.
Xác suất thống kê Page23
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì vai trò của hàm
mật độ xác suất f(x) giống như bảng phân phối xác xuất, tổng (1)
tương ứng với tích phân . Do đó :
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì kỳ
vọng của X là số :
E(X) = (3.2)
Ta nói X có kỳ vọng nếu tích phân (3.2) hội tụ tuyệt đối.
2. Tính chất của kỳ vọng
 Định lý :
Với mọi đại lương ngẫu nhiên X, Y va hằng số C ta có :

(i) E( C ) = C
(ii) E (X + Y) = E(X) + E(Y)
(iii) E(CX) = CE(X)
E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập.
II. Phương sai
1. Định nghĩa phương sai
Cho x là một đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X). Khi đó ta gọi
phương sai của X là kỳ vọng của bình phương độ sai khác giữa X và
E(X), ký hiệu là D(X). Vậy :
D(X) = E[(X – E(X))
2
]
Ký hiệu : a = E(X), thì :
D(X) = E[(X – a)
2
] = E(X – a)
2
Xác suất thống kê Page24
Bài tập lớn Xác Suất Thống Kê
nhóm 5
2. Tính chất của phương sai
 Định lý :
Với mọi đại lượng ngẫu nhiên X, Y và hằng số C ta có:
(i) D(X) ≥ 0, D( C ) = 0
(ii) D(CX) = C
2
D(X)
(iii) D(X) = E(X
2
) – ( E(X))

2
(iv) D(X + Y) = D(X) + D(Y) nếu X và Y độc lập.
D(X + C) = D(X)
III. Một số đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên
1. Mốt của đại lượng ngẫu nhiên
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất :
X x
1
x
2
… x
n
…
P p
1
p
2
p
n
…
Nếu = max p
k
thì ta gọi mốt của X là :
Mod(X) =
Mốt của X gọi là số có khả năng nhất
Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x). Nếu f(x
0
)
= maxf(x) thì ta gọi mốt của X là :
Mod(X) = x

0
2. Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên
Cho x là một đại lượng ngẫu nhiên. Số m gọi là trung vị của X,
ký hiệu là med(X) nếu :
(X < m) ≤ và P( X > m) ≤
3. Momen trung tâm
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X) = a. Ta gọi
momen trung tâm cấp k của X là :
µ
k
= µ
k
(X) = E(X – a)
k
Ta gọi momen gốc cấp k là : . Ta có : y
1
= a
Xác suất thống kê Page25