SKKN: PHUONG PHAP DIEN TICH TRONG CHUNG MINH HINH HOC

A. PHN M U
*********
I . Bi cnh ca ti
Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của
những ngời yêu thích toán học. Đối với học sinh để có một kiến thức vững
chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với
giáo viên: Làm thế nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu
hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân.
II. Lí do chọn đề tài SKKN
i vi hc sinh THCS, cú nhng bi toỏn m nu khụng bit s dng
phng phỏp din tớch chng minh thỡ vic gii bi toỏn ú s gp nhiu
khú khn. Bi vy khi dy phn din tớch a giỏc, tụi cng rt quan tõm
n vn ny, mi khi cú iu kin nờu ra cho hc sinh , tụi u khụng
b qua. c bit l nm hc 2006 2007, khi cú yờu cu luyn thi hc sinh
gii huyn (Ging Trụm) cho hc sinh lp 8 m tụi c phõn cụng dy
ch Phng phỏp din tớch trong chng minh hỡnh hc thỡ ý nh tp
hp cỏc kinh nghim ging dy ca mỡnh v ca cỏc ng nghip , ng
thi tỡm tũi b sung thờm nhng dng bi tp cú liờn quan ti phng phỏp
trờn li cng thỳc gic tụi .
Hc sinh THCS ó bit s dng cụng thc din tớch tớnh toỏn vỡ
cỏc em ó c lm quen t Tiu hc . Nhng lm th no HS bit s
dng chỳng chng minh thỡ khụng n gin chỳt no . Sau õy tụi xin
c trỡnh by mt s kinh nghim ca mỡnh kt hp vi nhng vn
mỡnh tỡm tũi hc hi c Giỳp hc sinh bit s dng phng phỏp
din tớch trong chng minh hỡnh hc
III. Lịch sử của SKKN này.
Trong nhiều năm tôi đợc phân công làm nhiệm vụ bồi dỡng học sinh giỏi
tôi đã tích lũy đợc nhiều kiến thức về dạng toán phơng pháp diện tích
A.t vn
A. PHN M U
I. Bi cnh ca ti:

1

PHềNG GIO DC O TO GING TRễM
TRNG THCS TN LI THNH
**********************
Sáng kiến kinh nghiệm
Tên Đề tài:
PHNG PHP DIN TCH TRONG
CHNG MINH HèNH HC
********************************


GV: TRN VN LAM

Năm học 2010 2011.
Tân Lợi Thạnh, tháng01 năm 2011
Năm học 2006 - 2007
Hiện nay, đất nước ta đang phát triển và đổi mới ngày càng mạnh mẽ về
mọi mặt. Bộ GD&ĐT đã đặt vấn đề đổi mới phương pháp dạy học Toán ở
bậc THCS. Việc vận dụng đổi mới phương pháp dạy họcToán trong gần
mười năm qua của giáo viên ở mỗi trường có những thành công và hạn chế
khác nhau. Nhất là việc dạy học phân môn hình học có nhiều vấn đề còn
nhiều trừu tượng và mắc mứu. Chính vì thế, hơn 1 năm học qua tôi đã tìm
hiểu thực trạng, nguyên nhân khiến cho nhiều học sinh học yếu và không
đam mê phân môn hình học và giải pháp khắc phục. Từng bước tôi đã vận
dụng các giải pháp mà mình tim được và thấy hiệu quả học tập của học sinh
có nâng dần hơn.
II . Lí do chọn đề tài
Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê
của những người yêu thích toán học. Đối với học sinh để có một vốn kiến

thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều và bền bỉ.
Đối với giáo viên làm thế nào để trang bị cho các em đủ kiến thức? Đó là
câu hỏi mà giáo viên nào cũng đặt ra cho bản thân.
Đối với học sinh THCS, có những bài toán mà nếu không biết sử dụng
phương pháp diện tích để chứng minh thì việc giải bài toán đó sẽ gặp nhiều
khó khăn. Bởi vậy khi dạy phần diện tích đa giác, tôi cũng rất quan tâm đến
vấn đề này, mỗi khi có điều kiện để nêu ra cho học sinh , tôi đều không bỏ
qua. Đặc biệt là năm học 2009 – 2010, khi có yêu cầu dạy môn Tự chọn
cho học sinh lớp 8 mà tôi được phân công dạy chủ đề “ Phương pháp diện
tích trong chứng minh hình học “ thì ý định tập hợp các kinh nghiệm giảng
dạy của mình và của các đồng nghiệp, đồng thời tìm tòi bổ sung thêm
những dạng bài tập có liên quan tới phương pháp trên lại càng thúc giục tôi
Học sinh THCS đã biết sử dụng công thức diện tích để tính toán vì
các em đã được làm quen từ Tiểu học. Nhưng làm thế nào để HS biết sử
dụng chúng để chứng minh thì không đơn giản chút nào. Sau đây tôi xin
được trình bày một số kinh nghiệm của mình kết hợp với những vấn đề
2
mình tìm tòi học hỏi được để “Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp
diện tích trong chứng minh hình học".
III. Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu "Phương pháp diện tích trong chứng minh hình học và
các bài tập vận dụng".
Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trường THCS
IV. Mục đích nghiên cứu:
Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài "Phương pháp diện tích trong
chứng minh hình học"
Đôi mới phương pháp dạy học.
Nâng cao chất lượng dạy học, cụ thể là chất lượng học sinh giỏi là mũi
nhọn.
V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:

Nhờ sự nghiên cứu, tìm hiểu và áp dụng đổi mới phương pháp dạy
học môn toán nói chung và môn hình hình học nói riêng, tôi đã nhận thấy
những ưu điểm cần phát huy, những hạn chế cần khắc phục. Bản thân từng
bước tìm ra các giải pháp để khắc phục những tồn tại, nhằm nâng dần chất
lượng bộ môn và giúp học sinh có hứng thú học tập môn Toán nói chung
và phân môn Hình học nói riêng và đạt hiệu quả cao hơn.
B - NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ "Phương pháp diện
tích trong chứng minh hình học" là gì và ngoài giải các bài tập vê diện tích
trong chứng minh hình học thì những dạng bài tập nào được vận dụng nó
và vận dụng nó như thế nào?
I. Cơ sở lý luận.
Ở tiểu học, học sinh đã được học về diện tích các hình chữ nhật, hình
vuông, hình tam giác … Các công thức về diện tích các hình nói trên chủ
yếu được các em ứng dụng trong việc giải quyết các bài tập tính toán có
liên quan đến diện tích. Lên đến THCS, HS lớp 8 lại tiếp tục được học về
3
diện tích của các hình này nhưng ở diện rộng hơn và sâu hơn. Tới đây, ta
cũng cần cho học sinh thấy được ngoài ứng dụng tính toán, các công thức
tính diện tích còn cho ta mối quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng, chúng
rất có ích trong một số bài toán chứng minh về đại số cũng như hình học.
II. Thực trạng của vấn đề:
1. Thuận lợi:
1.1- Về phía người dạy:
- Giáo viên được đào tạo có trình độ chuyên môn nghiệp vụ đạt
chuẩn và chuyên tu trên chuẩn, kiến thức khá phong phú đủ năng lực soạn
dạy. Trong thời gian giảng dạy, giáo viên đúc kết nhiều kinh nghiệm và
truyền đạt kinh nghiệm cho nhau. Đa số giáo viên có phẩm chất đạo đức
tốt, tác phong sư phạm chuẩn mực, có tinh thần trách nhiệm cao, có tâm

huyết và giàu lòng yêu nghề mến trẻ.
- Đa số giáo viên có tinh thần tự học, tự rèn cao; tìm hiểu, nghiên cứu
các tài liệu có liên quan bộ môn. Tham gia các phong trào thao giảng, dự
giờ, thi giảng,…. để nâng dần trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
- Từng bước nắm bắt sự thay đổi về mọi mặt của đất nước, nhạy bén
trước thay đổi của khoa học kĩ thuật hiện đại. Giáo viên đã tìm hiểu và vận
dụng, đổi mới phương pháp dạy học. Đặc biệt là có nhiều giáo viên tiếp
xúc, làm quen, thậm chí ứng dụng công nghệ thông tin vào soạn dạy.
- Giáo viện dạy toán nhận thấy rõ mối quan hệ giữa Hình học và các
môn khoa học tư nhiên khác. Ngoài ra, dạy môn Hình học phải gắn với
thực tế đời sống, và phải phù hợp với đặc điểm tâm lí của học sinh.
1.2- Về phía học sinh:
- Đa số các em chăm ngoan, tích cực học tập. Các em thấy được vị
trí, vai trò vô cùng quan trong của môn toán. Từ đó, các em xác định được
mục tiêu, phương pháp để học tốt môn này.
- Đa số các em có tinh thần tự học cao. Tính chủ động tìm hiểu kiến
thức qua sách báo, trên mạng Internet… ở nhiều HS càng được phát huy.
4
- Cũng có nhiều học sinhthật sự yêu thích môn Toán học, có niềm sai
mê và hứng thú sáng tạo. Số HS đạt điểm giỏi môn Toán học ngày càng
nhiều hơn, học sinh giỏi huyện dần dần xuất hiện tuy ít nhưng cũng nhen
nhóm niềm hi vọng cho thầy-trò của trường.
2. Hạn chế:
2.1 Về phía người dạy:
- Về mặt tâm lí, nhiều giáo viên cho rằng dạy hình học thật khó. Vì
kiến thức lí thuyết khô khan, thậm chí có nhiều khái niệm từu tượng không
gây hứng thú học tập cho học sinh. Do vậy mà họ rất e ngại khi phải dạy
thao giảng, dự giờ phân môn này. Đồng thời thầy cô lo lắng vì học sinh
không thích học, lớp thụ động, dẫn đến tiết dạy không thành công.
2.2 Về phía học sinh:

- Phân môn hình học cũng được xem là một môn học năng khiếu.
Nếu học sinh không có năng khiếu phân tích, óc quan sát, trí tưởng tượng
thì không thể tự phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.
- Đa số học sinh học yếu môn Toán và Hình học nói riêng là do các
em hỏng kiến thức từ lớp dưới . vì đặc trưng của môn Toán là môn hệ
thống kiến thức được xây dựng đi lên như xây một búc tường.
- Có những học sinh lười học dẫn đến học yếu. Mà nguyên nhân chủ
yếu do các em không nghe giảng bài, ghi chép không đầy đủ, không làm
bài tập,… Có những em lười học trốn tiết liên tục dẫn đến kiến thức bị hụt
hỏng không làm được bài tập dẫn đến chán học.
III. Nội dung và biện pháp giải quyết vấn đề của đề tài:
1. Các tính chất cơ bản về diện tích đa giác.
- Mỗi đa giác có một diện tích xác định. diện tích đa giác là một số dương.
- Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
- Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong
chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.
- Hình vuông có cạnh có độ dài bằng 1 (đơn vị đo chiều dài) thì có diện tích
bằng 1 (đơn vị đo diện tích). Hình vuông này gọi là hình vuông đơn vị.
5
2 Các công thức diện tích của đa giác .
• Học sinh xem lại công thức tính diện tích của tam giác và các
loại hình của tứ giác.
• Các công thức suy ra từ diện tích :
- Đướng trung tuyến chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau
- Những tam giác có chung đáy còn đỉnh thứ ba nằm trên đường thẳng song
song với đáy chung thì có diện tích bằng nhau, và ngược lại
- Các tỉ số diện tích :
+ =
+ =
3. Sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh một số quan

hệ về độ dài của các đoạn thẳng.
3.1. Một số ví dụ áp dụng diện tích trong chứng minh
Ví dụ 1:
Sau khi học về hằng đẳng thức bình phương của tổng hay hiệu , có
bài toán yêu cầu dùng hình học để chứng minh công thức (a+b)
2
= a
2
+ 2ab
+ b
2
và (a-b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
Ví dụ 2 : Minh hoạ định lí Pi tago bằng diện tích :
6
S
AMB
= S
AMC
AA' // BC ⇒ S
ABC
= S
A’BC
a). Đặt 4 tam giác vuông bằng nhau lên tấm bìa hình vuông như hình a).
Phần bìa không bị che lấp là hình vuông có cạnh bằng c, diện tích của nó là
c

2
b). Đặt 4 tam giác vuông bằng nhau đó lên tấm bìa hình vuông như hình b).
Phần bìa không che lấp là 2 hình vuông có diện tích lần lượt là a
2
, b
2

Do đó, ta có : c
2
= a
2
+ b
2
(trong đó a, b là độ dài lần lượt của 2 cạnh góc
vuông, c là độ dài cạnh huyền)
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Hãy giải
thích vì sao ta có đẳng thức : BC.AH = AB . AC

GV gợi ý cho học sinh : Viết công thức tính diện tích tam giác ABC
theo hai cách
Học sinh trình bày được lời giải :
S
ABC
=
2
1
. AB . AC =
2
1
AH. BC

⇒
BC.AH = AB.AC
GV giới thiệu : Để chứng minh được hệ thức BC.AH = AB.AC, ta
đã sử dụng phương pháp diện tích .
3.2 . Sau khi cho học sinh tiếp cận với phương pháp diện tích
như nêu ở trên , tôi đưa ra một số bài tập cho học sinh tham khảo và luyện
tập với yêu cầu dần dần cao hơn.
7
Nhưng thời gian giảng dạy chính khoá ở trên lớp không có nhiều để giành
cho công việc này, nên tôi phải đưa ra hai hướng : Một là hướng dẫn cho
học sinh tự học bằng cách phát cho các nhóm học sinh phiếu học tập trong
đó có ghi sẵn nội dung bài tập và hệ thống câu hỏi dẫn dắt dễ , hai là cho
nôi dung bài tập và GV sẽ cùng HS giải quyết hoàn chỉnh bài giải sau 1
tuần học sinh tự thảo luận nhóm hoặc nghiên cứu trước ở nhà .
3.2.1 Các phiếu học tập
a - Phiếu học tập số 1
Nội dung bài tập và gợi ý Điền vào để hoàn chỉnh
Bài toán 1: Chứng minh
rằng trong một tam giác
đường cao ứng với cạnh lớn
hơn có độ dài nhỏ hơn
đường cao ứng với cạnh có
độ dài nhỏ hơn
H ư ớng d ẫn
Gỉa sử ta có tam giác ABC,
trong đó AC > AB, các
đường cao tương ứng là CH,
BK .Ta phải chứng minh CH
> BK.
Hãy viết công thức tính

dtích ABC theo cạnh AB và
AC
Ta có tỉ lệ thức nào
Gỉa sử ta có tam giác ABC, trong đó AC >
AB, các đường cao tương ứng là CH, BK .
Ta phải chứng minh CH > BK
2.S
ABC
= …………(theo cạnh AB)
2.S
ABC
= …………(theo cạnh AC)
=> =
DO AC > AB nên …… > ……. đpcm
8
Bài 2 (Định lí TaLet) Cho
tam giác ABC . D và E lần
lượt thuộc các cạnh AB và
AC . Chứng minh rằng nếu
DE // BC thì
AC
AE
AB
AD
=
- Viết công thức tính S
DBE
và S
CED
- Khi DE // BC, hãy so sánh

BH và CK ; S
DBE
và S
CED
;
S
AEB
và S
ADC
.
- Từ đó so sánh tỉ số
ABC
AEB
S
S
và tỉ
số
ABC
ADC
S
S
- Tìm mối liên hệ của các tỉ
số trên với các tỉ số
AC
AE
và
AB
AD
Vẽ BH và CK vuông góc với DE
S

DBE
= …
S
CED
= …
DE // BC
⇒
BH … CK ( Bằng khoảng cách
giữa hai đường thẳng song song DE và BC )

⇒
S
DBE
….S
CED



⇒
S
DBE
+…

= S
CED
+

….

⇒

S
AEB
= S
ADC
⇒
ABC
ADC
ABC
ABE
S
S
S
S
=
(1)

∆
AEB và
∆
ABC có chung đường cao xuất
phát từ đỉnh B nên
=
ABC
AEB
S
S
(2)
∆
ADC và
∆

ABC có chung đường cao xuất
phát từ đỉnh C nên

=
ABC
ADC
S
S
(3)
Kết hợp ( ),(…) và … suy ra
AC
AE
AB
AD
=
b. Phiếu học tập số 2
Đề bài và hướng dẫn Nội dung điền khuyết
Bài Toán 2: Cho ∆ABC ,
AD la đường phân giác
(D∈BC). Chưng minh rằng
Hướng dẫn giải:
Kẻ DE⊥AB, DF ⊥ AC
9
=
Hướng dẫn giải:
Kẻ DE⊥AB, DF ⊥
AC. Em có NX gì DE □
DF
Đường p/g AD chia hình
ABC thành 2 tam giác. Em

hãy viết công thức tính diện
tích 2 tam giác đó theo 2
cách.
Ta có:
S
ABD
= ……
S
ACD
= ……
 = (1) vế phải
Mặt khác: ABD, ACD có cùng…… xuất phát
từ A nên:
= (2) vế trái
Từ (1) và (2) ta suy ra:
= đpcm
Bài toán 4: Cho hình thang
ABCD.Qua điểm I nằm trên
đường thẳng nối trung điểm
hai cạnh đáy ta kẻ đường
thẳng song song với cạnh
đáy. Đường thẳng này cắt
cạnh bên AD tại E và cạnh
bên CB tại điểm F. Chứng
minh rằng: IE = IF.
Hướng dẫn c/m:
Gọi thêm, kẻ thêm yếu tố
phụ
Em so sánh S
AMND

S
BMNC
S
EAM
S
FBM
, S
EDN
S
FCN
.
Gọi M,N la các trung điểm của các cạnh đáy
hình thang. Ta dễ dàng chứng minh S
MEN
=
S
MFN.
Thật vậy: Gọi H, K là chân đường vuông góc
từ E, F đến MN , ta có:
S
AMND
S
BMNC
S
EAM
S
FBM
(cùg ch.cao , đáy bằg nhau)
S
EDN

S
FCN
(cùg ch.cao , đáy bằg nhau)
10
Em có nhận xét gì về diện
tích 2 tam giác ∆EHI và
∆FKI
S
AMND
– (S
EAM
+ S
EDN
) S
BMNC
- (S
FBM
+ S
FCN
)
⇒ S
MEN
S
MFN
⇒ EH FK
⇒ ∆EHI ∆FKI
⇒ EI FI
3.2.2 Các bài tập tự luận
a>. Áp dung chứng minh đẳng thức (bất đt) của đoạn thẳng.
Bài Toán1: Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’ . Gọi H là

trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng :
1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
Bài Toán 2: Cho ∆ABC , Điểm M thuộc miền trong tam giác, AM, BM,
CM cắt cạnh BC, AC, AB lần lượt tại D,E,F CMR: + + = 1
Bài toan 3: Cho hình bình hành ABCD. Lấy một điểm M trên cạnh BC và
một điểm N trên cạnh AB sao cho AM = CN. Chứng minh rằng đỉnh D của
hình bình hành cách đêu hai đường thẳng AM, CN
11
Giải:
Áp dụng tính chất về tỉ số diên tích, ta có: = = =
= (1)
Tương tự, ta cũng có:
= (2) = (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra + + = 1
Hướng dẫn giải:
HBC, ABC có cùng cạnh đáy BC nên:
= ; = ; =

+ + = + + = = 1
Kẻ DI⊥CN và DK⊥AM. Ta có:
S
CDN
= S
CAD
S
ADM
= S
CAD
⇒ S
CDN
= S
ADM
⇒ DK = DI
Bài Toán 4: Cho tam giác ABC.
Gọi D là trung điểm của AB. Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = 2EC. Gọi
O là giao điểm của CD và BE, CMR:
a. S
BOC
= S
AOC
b. BO = 3OE
Giải:
a. Ta có: S
BCD
= S
ACD
S
BOD

= S
AOD
⇒ S
BCD
- S
BOD
= S
ACD
- S
AOD
hay S
BOC
= S
AOC
b. Ta có S
OEC
=.S
AOC
(vì EC = AC)
⇒S
OEC
=S
BOC
Hai tam giác: BOC và OEC có chung đường cao CH nên: OE = .OB hay
OB = 3OE.
Bài Toán 5: Cho tam giác ABC . Trên
cạnh AB lấy điểm M sao cho
AM=1/3.AB. Trên cạnh AC lấy điểm
N sao cho AN=1/3.AC. Gọi O là giao
điểm của BN và CM.

a. Chứng minh rằng S
BOC
= 2S
BOA
b. Từ C và B hạ CE và BD
vuông góc với OA. Chứng minh rằng: BD = CE.
c. Giả sử S
ABC
= a (đơn vị diện tích). Tính S
AMON
Giải:
12
a. Kẻ AH, CK vuông góc BN. Ta có: SONC = 2SONA (Vì NC = 2NA)
suy ra: CK = 2AH ⇒ S
BOC
= 2S
BOA
(1)
b. Chứng minh được : S
BOC
= 2S
COA
(2)
Từ (1) và (2) suy ra S
BOA
= S
COA
⇒ BD = CE.
c. Từ (1) và (2) suy ra SBOC = S
ABC

= a
Ta Có: S
AMC
+ S
ANB
= S
ANB
+ S
AMON
+ S
ONC
=.a
⇒ S
AMON
= .a - (S
ABN
+ S
ONC
) = .a - 1,2.a = 1,6.a
Bài Toán 6: Cho tam giác có ba góc nhọn ABC với ba đường cao AA',
BB', CC' cắt nhau tại H. A
1
, B
1
, C
1
là các điểm đối xứng của H qua BC,
AC, và AB. Chứng minh rằng tổng: + +
= 4
Giải: Xét tỉ số .

Ta có : = = 1 + = 1 + = 1+
Mà =
Do đó : = 1 +
Tương tự = 1 + , = 1 +
⇒ + + = 3 + + +
+ + = 3 + = 3 + 3 + 1=4
Bài Toán 7:Trong một tam giác, gọi h
a
là
đường cao ứng với cạnh a và b
h
là đường cao ứng với cạnh b. Chứng minh
rằng nếu a > b thì: a + h
a
> b + h
b
. Hãy xác định khi nào thì dấu đẳng thức
xẩy ra.

13
Giải:
Ta có : h
a
< b (quan hệ giữa đường xiên và
đường vuông góc)
2S = ah
a
= bh
b
Do đó: a + h

a
- (b + h
b
) = a + - (b + )
= (a-b)(1- ) > 0 Vì a -b> 0, 2S < a.b
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2S = ab, tức là hai cạnh đã cho vuông
góc nhau, tam giác ABC vuông góc tại C.
b>. Áp dung c/m các điểm thẳng hàng và đường đồng quy
Bài Toán 8: Cho ∆ABC nhọn. Về phía ngoài dựng các hình chữ nhật
BCDE, ACFG có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng tâm đường tròn
ngoại tiếp của ∆ABC trung điểm của DF và điểm C thẳng hàng
Giải:
Để c/m OC đi qua trung điểm DF
Ta cần c/m S
OCD
= S
OCF
:
Ta có: S
OCD
= = (1)
S
OCF
= = (2)
Mà S
BCDE
= S
ACFG
hay BC.CD = AC.CF (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra S
OCD
= S
OCF
Suy ra DI = FN => DM =FM đpcm
Bài Toán 9: (Định lí CEVA)
Cho ∆ABC, Gọi D,E,F là các điểm nằm trên các cạnh BC, AC, AB. Chứng
minh rằng AD, BE và CF đồng quy khi và chỉ khi = 1
14
Giải:
Giả sử AD, BE, CF cắt nhau tại điểm O
Ta có: = = =
Tương tự ta c/m = ;
=
Do đó:
= . . = 1
Bài Toán 10: (Đường thẳng New Tơn)
Chứng minh rằng trong một tứ giác ngoại tiếp thì tâm đường tròn nội tiếp
và trung điểm của hai đuờng chéo thẳng hàng.
Theo cách dựng điểm D' và C" và hai đẳng thức trên ta có:
S
MPD'
+ S
MPC'
= S
NPD'
+ S
NPC'
⇒ S
MD'PC'

= S
ND'PC'
⇒ S
MD'C'
= S
ND'C'
⇒ MN // D'C' (1)
Mặt Khác:
Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn nên ta có AD + BC = AB + CD
Từ đó SOAD + SOBC = SOAB + SOCD = 1,2SABCD
Lập luận như trên ta cũng có: OM // D'C' (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra M, O , N thẳng hàng.
15
Giải:
Cách 1:Gọi P là giao điểm DA và CB kéo
dài. Trên DA lấy điểm D' sao cho PD' = AD
và trên CB lấy C' sao cho PC' = BC
M,N là trung điểm của BD và AC nên ta có:
S
MAD
+S
MBC
= S
MAB
+ S
MCD
= S
ABCD
S
NAD

+S
NBC
= S
NAB
+S
NCD
=S
ABCD
Cách 2: Ta có: S
OAB
+ S
OCD
= S
OBC
+ S
OAD
= S
ABCD
= S
AMB
+ S
CMD

Suy ra: S
OAB
- S
AMB
= S
CMD
- S

OCD
Hay S
AMO
- S
BMO
= S
CMO
- S
DMO
Mà S
MOB
= S
DMO
nên S
AMO
= S
CMO
, do đó MI đi qua trung điểm của AC hay
M , O , N thẳng hàng.
4.Các bài tập tham khảo:
Bài toan1: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng (d) chia chu vi của tam
giác thành hai phần có tỉ số chu vi và diện tích bằng nhau. Chứng minh
rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn nôi tiếp đường tròn (O;R) và đường
cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H lên trên AB, AC. Chứng minh rằng
nêu AH = R thì D, O, E thẳng hàng.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC, các đường phân giác trong lần lượt là AD,
BE và EF (D∈BC, E∈AC, F∈AB). Gọi A' là điểm đối xứng của A qua D,
B' là đối xứng của B qua E và C' là đối xứng C qua F. Giả sử A∈B'C',
B∈A'C', C∈A'B'. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Bài toán 3: Cho đường tròn tâm O Đường kính AB = 2R . M là điểm thuộc
đường tròn, tiếp tuyên tại M cắt tiếp tuyen tại A và B lần lượt tại C và D.
Gọi r la bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OCD. Chứng minh rằng R
< r < R.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. M là một điểm
bất kì trên cung AB (không chứa C) và goi O
1
, O
2
là tâm đường nội tiếp
tam giác CAM và tam giác CBM. Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp
tam giác MO
1
O
2
đi qua một điểm khác M.
Bài Toán 5: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp tất cả các điểm nằm bên
trong tam giác mà khoảng cách từ điểm đó đến một cạnh bằng tổng khoảng
cách từ điểm đó đến hai cạnh khác.
* Khuyến khích HS về nhà tự tìm bài toán sử dụng phương pháp diện
tích để chứng minh .
16
Cũng còn những dạng bài tập khác nữa, nhưng tôi chỉ dừng lại ở
những ví dụ nêu ở trên. Tôi nghĩ rằng như thế cũng tạm đủ để HS tiếp cận
và biết cách giải quyết. Nếu HS có khả năng tìm tòi thêm thì tôi vẫn
khuyến khích .
IV. Hiệu quả: Sau khi thấy được các công thức diện tích không phải
chỉ để tính diện tích mà chúng còn rất có ích để giải nhiều bài toán chứng
minh khác, học sinh rất thích thú, nhất là khi các em tự mình giải được bài
tập theo phương pháp nói trên. Qua đó, nó giúp học sinh vững tin hơn khi

vận dụng kiến thức một cách sáng tạo để giải bài tập theo nhiều phương
pháp khác nhau. Nó góp phần đáp ứng yêu cầu mới hiện nay, giúp cho HS
học tập một cách năng động hơn, khả năng ứng dụng phong phú hơn. Nó
góp phần làm cho số lượng học sinh yêu thích môn Toán ngày càng tăng
lên. Sự yêu thích bộ môn giúp các em thêm tích cực học tập và tiến bộ hơn.
C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ
I - Bài học kinh nghiệm
Đây là một phương pháp suy luận khó đối với diện đại trà nên SGK
có đề cập nhưng lượng bài tập giành cho vấn đề này còn ít. Nếu vì lí do
trên mà trong quá trình giảng dạy GV cũng lướt qua thì rất thiệt thòi cho
đối tượng HS khá giỏi, vì thực tế cho thấy có những bài toán nếu không sử
dụng phương pháp này thì việc chứng minh sẽ rất khó khăn. Ngoài các bài
tập nêu trên còn có một số dạng khác nữa nhưng thời gian trên lớp không
cho phép GV hướng dẫn học sinh kĩ hơn về phương pháp này. Bởi vậy nếu
không tổ chức được một hình thức học tập thích hợp thì không thể khuyến
khich được HS tích cực tự giác tham gia tự học, tự rèn bổ sung kiền thức,
hỗ trợ thêm cho việc tiếp thu bài trên lớp tốt hơn.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ bé mà tối rút ra được trong quá
trình giảng dạy. Nó đã góp phần giúp tôi hoàn thành nhiệm vụ giảng dạy
trên lớp cũng như công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong những năm qua
17
có kết quả tốt đẹp. Tôi xin mạn phép được trình bày và kính mong được sự
quan tâm của các thầy cô giáo trong hội đồng giám khảo và các bạn đồng
nghiệp. Chắc chắn rằng trong bài viết của tôi cũng còn nhiều thiếu sót. Rất
mong được quí thầy cô góp ý, bổ sung để bản thân tôi được học hỏi nhiều
hơn và hoàn thiện hơn trong công tác giảng dạy. Xin chân thành cám ơn .
II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
Chất lượng giáo dục có vai trò quan trọng vì nó phản ánh trình độ
dân trí, hiểu biết của người dân một nước, là nền tảng cho chiến lược phát
triển con người. Bác Hồ đã căn dặn “ Dù có khó khăn đến đâu cũng phải thi

đua dạy tốt và học tốt”. Vì thế tôi đã dầy công tìm tòi nghiên cứu làm tài
liệu bồi dưỡng học sinh giỏi . Kiến thức của sản phẩm không quá nặng
phương pháp phù hơp, dễ hiểu và tôi đã trải nghiệm qua thực tiễn học sinh
tiếp thu tốt. Xin được với thiệu với bạn đọc, các em học sinh, các bậc cha
mẹ học sinh tham khảo, góp phần nhỏ vào năng lực giải toán và tri thức
toán học của mình(học sinh). Rất mong bạn đọc tham khảo và góp ý cho
tôi dê nội dung phong phú và hoàn thiện hơn.
III. Khả năng ứng dụng triển khai:
Có thể áp dụng cho việc giảng dạy môn Hình học trong các trường
Trung học cơ sở đặc biệt đối với các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi.
Bài tập phong phú, đa dạng
Dễ hiểu
Khả năng phát triển tư duy, tính sáng tao cao.
IV. Những kiến nghị đề xuất:
Để đạt được hiệu quả cao ngoài phương pháp dạy tốt thì giáo viên
phải thường xuyên nghiên cứu thêm tài liệu về phương pháp diện tích các
phần miềm giảng dạy như sketchpad, mathcad Bên cạnh đó kết hợp với
phương tiện dạy học như máy chiếu, các hình ảnh trực quan … thì bài học
sẽ sinh động và gần gũi với thực tế hơn. Nhờ đó học sinh học sinh sẽ lĩnh
hội được kiến thức một cách tốt hơn, kết quả giảng dạy sẽ cao hơn.
18
Hiện nay đồ dùng dạy học môn hình học thiếu rất nhiều. Vậy kính
mong cấp trên cần trang bị nhiều hơn đồ dùng dạy học của môn này.
Trên đây là những kinh nghiệm giảng dạy phương pháp diện tích
trong chứng minh hình học. Rất mong sự góp ý của các đồng nghiệp.
 Tài liệu tham khảo:
1. Phan Văn Đức - Nguyễn Hoàng Khanh - Lê Văn Trường , Bồi
dưỡng và phát triển toán hình học 8, Nhà xuất bản Đà Nẳng.
2. Nguyễn Để - Nguyễn Việt Hải - Hoàng Đức Chính, Các bài
tập toán diện tich đa giác, Nhà xuất bản giáo dục 1996

3. Huỳnh công bằng, phương pháp diện tích.
MỤC LỤC
A- PHẦN MỞ ĐẦU
I. Bối cảnh chọn đề tài Trang 1
II. Lí do chọn đề tài Trang 1
III.Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu Trang 2
IV.Mục đích nghiên cứu Trang 2
19
V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu Trang 2

B - NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
I. Cơ sở lý luận. Trang 2
II. Thực trạng của vấn đề Trang 3
III.Nội dung và biện pháp giải quyết vấn đề của đề tài Trang 4
IV. Hiệu quả Trang 16

C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ
I - Bài học kinh nghiệm Trang 16
II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm Trang 17
III.Khả năng ứng dụng triển khai Trang 17
IV. Những kiến nghị đề xuất: Trang 18
♦ Tài liệu tham khảo: Trang 18

20