Toán cao cấp A2_chuỗi số bất kỳ

Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ
Đại học Quốc gia TP.HCM
Đại học Quốc gia TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Khoa: Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng
Bộ môn: Toán Ứng Dụng
Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ
∑
∞
=1n
n
u
Ru
n
∈
∑
∞
=
1n
n
u
∑
∞
=1n
n
u
∑∑
∞

=
∞
=
≤
11 n
n
n
n
uu
Chương 3:
, trong đó
Nếu chuỗi hội tụ thì
cũng hội tụ và
I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI
CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ
a.Định lý
Cho chuỗi số
Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ
Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy
mà biết được chuỗi
b. Định nghĩa
được gọi là hội tụ tuyệt đối.
cũng hội tụ hay phân kỳ.
∑
∞
=
1n
n
u
∑

∞
=1n
n
u
hội tụ thì chuỗi
∗
Nếu chuỗi
∑
∞
=1n
n
u
∑
∞
=
1n
n
u
hội tụ mà phân kỳ thì chuỗi
∗
Nếu chuỗi
Chú ý:
∑
∞
=1n
n
u
được gọi là bán hội tụ.
hội tụ hay phân kỳ thì lúc
∑

∞
=
1n
n
u
∑
∞
=1n
n
u
này chuỗi
Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ
∑
∞
=1
2
2
sin
n
n
n
22
2
1sin
nn
n
≤
∑
∞
=1

2
1
n
n
∑
∞
=1
2
2
sin
n
n
n
∑
∞
=1
2
2
sin
n
n
n
VD1: Xét chuỗi
Ta có:
Mà chuỗi hội tụ nên
Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối.
I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)
hội tụ.
Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ
3

1
3
.)1(
n
n
n
n
∑
∞
=
−
3
3
)1(
n
u
n
n
n
⋅−=
(
)
3
1
3
3
1
→
+
⋅=

+
n
n
u
u
n
n
∑
∞
=
1n
n
u
∑
∞
=1n
n
u
VD2: Xét chuỗi
Đặt
Ta có:
Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi
phân kỳ nên chuỗi cũng phân kỳ.
I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)
Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ
n
n
n
n
n







+
−
−
∑
∞
=
23
12
.)1(
1
n
n
n
n
n
u






+
−

⋅−=
23
12
)1(
3
2
23
12
→






+
−
=
n
n
u
n
n
∑
∞
=
1n
n
u
∑

∞
=1n
n
u
VD3: Xét chuỗi
Đặt
Ta có:
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi
hội tụ nên chuỗi cũng hội tụ.
I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)
Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ
n
n
n
n
1
sin.
1
tg.)1(
1
∑
∞
=
−
n
n
u
n
n
1

sin
1
tg)1(
⋅⋅−=
2
3
111
~
n
n
n
u
n
=⋅
∑
∞
=
1
2
3
1
n
n
∑
∞
=
1n
n
u
∑

∞
=1n
n
u
VD4: Xét chuỗi
Đặt
Ta có:
Mà hội tụ nên
Vậy hội tụ tuyệt đối.
I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt)
hội tụ
Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ
))1( (
1
4321
+−++−+−±
+
n
n
uuuuu
0
>
n
u
0,)1(
1
>−
∑
∞
=

n
n
n
n
uu
với được gọi là chuỗi đan dấu.
II. CHUỖI ĐAN DẤU
a. Định nghĩa
Chuỗi có dạng
Xét chuỗi đan dấu
b. Tiêu chuẩn Leibnitz
∗
Nếu dãy u
n
đơn điệu giảm và
0lim
=
∞→
n
n
u
∗
Chuỗi đan dấu thoả mãn tiêu chuẩn Leibnitz được gọi
là chuỗi Leibnitz.
đan dấu trên hội tụ.
thì chuỗi
Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ
∑
∞
=

⋅−
2
ln
1
)1(
n
n
nn
nn
u
n
ln
1
=
0lim
=
∞→
n
n
u
∑
∞
=
−
1
)1(
n
n
n
u

VD1: Xét chuỗi
Nhận xét
đơn điệu giảm và
Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz
hội tụ và còn được gọi là chuỗi Leibnitz
II. CHUỖI ĐAN DẤU (tt)
Đây là chuỗi đan dấu với dương và
Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ
∑
∞
=
++
⋅−
1
2
1
)1(
n
n
nn
n
1
)(
2
++
=
xx
x
xf
1;0

)1(
1
)(
22
2
>∀<
++
+−
=
′
x
xx
x
xf
1
2
++
=
nn
n
u
n
∑
∞
=
⋅−
1
)1(
n
n

n
u
VD2: Xét chuỗi
Nhận xét: Đây là chuỗi đan dấu
Ta có:
Vậy là dãy số dương giảm và
hội tụ.
II. CHUỖI ĐAN DẤU (tt)
Xét hàm
u
n
→0 nên chuỗi đan dấu

Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ