giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4

1.4. CHUỖI LUỸ THỪA

1.4.1. Các định nghĩa
•
Chuỗi hàm số:
•
Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng:
0
(1)
n
n
n
a x
∞
=
∑
0
0
( ) (2)
n
n
n
a x x
∞
=
−
∑
hay tổng quát, nó có dạng:
1
( )

n
n
u x
∞
=
∑

0
( 1) 3
!
n n
n
n
x
n
∞
=
−
∑
( 1) 3
!
n n
n
a
n
−
=
1
2 3
( 1)

n
n
n
n
x
n
∞
=
+
 
−
 ÷
 
∑
2 3
n
n
n
a
n
+
 
=
 ÷
 
2
2
3 3
1
1! 2!

x x= − + −L

2
0 1 2
0
n
n
n
a x a a x a x
∞
=
= + + +
∑
L
Tại
0 :x =
0
a=
0

1
.3
n
n
n
x
n
∞
=
∑

Tại x = 2, chuỗi hội tụ hay phân kỳ?
hội tụ
Với x thoả
2 2,x− < <
chuỗi hội tụ hay phân kỳ?
hội tụ
0
n
n
n
a x
∞
=
∑
hội tụ tại
0
0x x= ≠
( )
0 0
, ?x x−
Nếu biết chuỗi luỹ thừa
thì kết luận được gì về tính hội tụ của nó trong
?

0
n
n
n
a x
∞

=
∑
hội tụ tại
0
0x x= ≠
Nếu chuỗi luỹ thừa
thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x thoả
1.4.2. Định lý Abel
0
x x<
0
x−
0
x
O

Niels Henrik Abel (1802 – 1829), Norway

0
0
n
n
n
a x
∞
=
∑
hội tụ hay phân kỳ?
0
lim 0

n
n
n
a x
→∞
⇒ =
0
0 : , 0
n
n
M a x M n⇒ ∃ > ≤ ∀ ≥
0
0 0
, 0
n n
n n
n n
x x
a x a x M n
x x
= ≤ ∀ ≥
0
0
n
n
x
M
x
∞
=

∑
0
x x<
Với
:x
thì
hội tụ
0
| |
n
n
n
a x
∞
=
⇒
∑
hội tụ
0
n
n
n
a x
∞
=
⇒
∑
hội tụ tuyệt đối
Chứng minh

Hệ quả
0
n
n
n
a x
∞
=
∑
phân kỳ tại
1
x x=
Nếu chuỗi luỹ thừa
thì nó phân kỳ tại mọi x thoả
1
x x>
1
x−
1
x
O

Nhận xét từ định lý Abel và hệ quả?

r−
r
O
Hội tụ tuyệt đối
Phân kỳ
Phân kỳ

O
0r =
O
r = +∞
Phân kỳ
Phân kỳ
Hội
tụ
Hội tụ tuyệt đối

1
.3
n
n
n
x
n
∞
=
∑
Chuỗi
có bán kính hội tụ
r =
?
3
Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
?

1.4.3. Quy tắc tìm bán kính hội tụ
1

| |
lim
| |
n
n
n
a
a
ρ
+
→∞
=
lim | |
n
n
n
a
ρ
→∞
=
Giả sử
Hoặc
Xét chuỗi luỹ thừa
0
n
n
n
a x
∞
=

∑
Khi đó, bán kính của chuỗi luỹ thừa được xác định bằng
công thức:
1
, 0
0,
, 0
khi
r khi
khi
ρ
ρ
ρ
ρ

< < +∞



= = +∞


+∞ =




Cách tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
?
Bước 1:

Tính bán kính hội tụ
r
Trường hợp
0r =
{ }
0=X
r = +∞
X = ¡
0 r< < +∞
Chuyển qua bước 2
Bước 2:
Xét sự hội tụ tại điểm
mút
,x r=
x r= −
0
0
( )
n
n
n
a x x
∞
=
−
∑
Trường hợp chuỗi dạng
0
xxt −=
0

n
n
n
a t
∞
=
∑
Trường hợp
Trường hợp
rồi kết luận

Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của các chuỗi luỹ thừa sau
( )
1
( 2012)
) 1
.3
n
n
n
n
x
a
n
∞
=
−
−
∑
2

1
) 2
n n
n
b x
∞
=
∑
2
2
n
n
a =
lim lim 2
n
n
n
n n
a
ρ
→∞ →∞
= = = +∞
0r⇒ =
{ }
0X =
Vậy MHT là

2
1
1

) ( 1)
2 1
n
n
n
n
c x
n
∞
=
+
 
+
 ÷
+
 
∑
2
( 1) 0t x= + ≥
2
1 1
1 1
( 1)
2 1 2 1
n n
n n
n n
n n
x t
n n

∞ ∞
= =
+ +
   
⇒ + =
 ÷  ÷
+ +
   
∑ ∑
2
1
1 1
)
1
2 1
n
n
x
d
x
n
∞
=
−
 
 ÷
+
+
 
∑

1
1
x
t
x
−
=
+
Đặt
Đặt

Ví dụ 2: Tính tổng của chuỗi
1
1
( 1)
,
3
n
n
n
n x
∞
+
=
+
∑
với
x
thuộc miền hội tụ của nó

Hướng dẫn:
Tìm MHT
( 3,3)X = −
1
1
( 1)
( )
3
n
n
n
n x
S x
∞
+
=
+
=
∑
Gọi
Theo Tính chất 3 (ở mục 8.6.3), ta có:
1
0
0 0
( ) ( 1)
3
x x
n
n
n

t
S t dt n dt
∞
+
=
= +
∑
∫ ∫
1
n
n
q
∞
=
⇒ =
∑
Với
1 1q− < <
1
q
q−
2
3
( )
3
(3 )
x
S x
x
x

′
 
⇒ = =
 ÷
−
−
 
1
0
3
n
n
x
+
∞
=
 
=
 ÷
 
∑
1
.
3 3
1
3
x x
x
x
= =

−
−