de thi hoc sinh gioi mon toan lop 8

Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THAM KHẢO
MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian :90 phút
Bài 1: (1,5 điểm):
a) Giải phương trình: x
2
- 6x + 9 = 4
b) Giải bất phương trình: |
5
1
x
−
| >
5
2

Bài 2: (1,5 điểm)
Tìm x, y , z biết: x
2
+ 2y
2
+ z
2
- 2xy - 2y - 4z + 5 = 0 rồi tính giá trị của A với
A = (x-1)
2008
+(y-1)
2008

+(z-1)

2008
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho P(x)=
3x6x2x2x
3x3x2xx
234
234
−−−+
−−−+
a) Rút gọn P(x)
b)Xác định giá trị của x để P(x) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 4: (1 điểm)
Cho a + b + c = 1 , a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 và
c
z
b
y
a
x
==
. Tính giá trị của xy + yz + xz
Bài 5: (1 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + xz = 6.
Chứng minh rằng: x

2
+ y
2
+ z
2
3≥
Bài 6: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM. K là một điểm của AM sao cho
KM = 2 KA . BK cắt AC tại N.
a) Tính diện tích tam giác AKN theo S.
b) Một đường thẳng đi qua K cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại I và J.
Tính giá trị của:
+
AI
AB
AJ
AC

Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng
Đáp án Toán 8:
Bài 1 : (1,5 điểm)
a) Tìm đúng x = 5; x = 1 (0,75 điểm)
b) |
5
1
x
−
| >
5
2

⇔
x -
5
1
>
5
2
hoặc
5
1
x
−
<
5
2
−

⇔
x >
5
3
hoặc x <
5
1
−
(0,75 điểm)
Bài 2: (1,5 điểm)
x
2
+ 2y

2
+ z
2
- 2xy - 2y - 4z + 5 = 0
⇔
(x - y)
2
+ (y - 1)
2
+(z - 2)
2
= 0 (0,5 điểm)

⇔





=−
=−
=−
02z
01y
0yx
(0,25 điểm)

⇔




=
==
2z
1yx
(0,25 điểm)
Tính đúng A= (x -1)
2008
+(y -1)
2008

+( z - 1)
2008
=1 (0,5 điểm)
Bài 3: (1,5 điểm)
a)P(x)=
3x6x2x2x
3x3x2xx
234
234
−−−+
−−−+
=
2
2
22
22
)1x(
1xx
)3x()1x(

)3x)(1xx(
+
++
=
−+
−++
(0,5 điểm)

4
3
4
3
)
1x
1
2
1
(
4
3
)1x(
1
1x
1
4
1
)1x(
1
1x
1

1
)1x(
1
)1x(
1x
)1x(
)1x(
)1x(
11x1x2x
)1x(
1xx
P)b
2
22
222
2
2
2
2
2
≥+
+
−=+
+
+
+
−=
+
+
+

−=
+
+
+
+
−
+
+
=
+
+−−++
=
+
++
=
(0,5 điểm)
Dấu = xảy ra
⇔
1x21x
2
1
1x
1
0
1x
1
2
1
=⇔=+⇔=
+

⇔=
+
−
(0,25 điểm)
P(x) có giá trị nhỏ nhất là
4
3
khi x = 1 (0,25 điểm)
Bài 4: (1 điểm)

)1cbavì(zyx
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
=++++=
++
++
===
. (0,25 điểm)
Do đó:
(x+y+z)
2
=
222
222

222
2
2
2
2
2
2
zyx
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
++=
++
++
===
( vì a
2
+ b
2
+ c
2
= 1) (0,25 điểm)
⇒
x
2

+ y
2
+ z
2
+ 2xy +2yz + 2xz = x
2
+ y
2
+ z
2
(0,25 điểm)
⇒
2xy +2yz + 2xz = 0
⇒
xy + yz + xz = 0 (0,25 điểm)
Bài 5: (1 điểm)
(x-1)
2
≥
0
⇔
x
2
+1
≥
2x.
Tương tự: y
2
+1
≥

2y; z
2
+1
≥
2z và 2(x
2
+y
2
+z
2
)
≥
2(xy+yz+xz) (0,5 điểm)
Cộng 4 bất đẳng thức theo từng vế ta có:3(x
2
+y
2
+z
2
)+3
≥
2(x+y+z+xy+yz+xz) (0,25 điểm)
⇔
x
2
+y
2
+z
2
≥

3(vì x+y+z+xy+yz+xz = 6) (0,25 điểm)
Bài 6: (3,5 điểm)
Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng
a) Gọi E là trung điểm NC: NE = EC. (0,25 điểm)
BNC
∆
có ME là đường trung bình nên ME//BN suy ra KN//ME (0,25 điểm)
AME
∆
có KM = 2KA
⇒
2
AN
NE
KA
KM
==

⇒
NE = EC = 2AN (0,25 điểm)
Chứng minh được AC = AN + NE + EC = 5AN (0,25 điểm)
Chứng minh được S
AKN
=
5
1
S
AKC
(0,25 điểm)

S
AKC
=
3
1
S
AMC
(0,25 điểm)

S
AMC
=
2
1
S
ABC
(0,25 điểm)

⇒
S
AKN
=
2
1
.
3
1
.
5
1

S
ABC
=
S
30
1
(0,25 điểm)
b) Vẽ BD // IJ và CF // IJ (D, F thuộc tia AM) (0,25 điểm)
Chứng minh được
∆
BMD =
∆
CMF
⇒
MD = MF (0,25 điểm)
∆
ABD có IK// BD nên:
AK
AD
AI
AB
=
(định lý Ta-let) (0,25 điểm)

∆
AFC có KJ// CF nên:
AK
AF
AJ
AC

=
(0,25 điểm)

AK
MFAMDMAM
AK
AF
AK
AD
AJ
AC
AI
AB
++−
=+=+
(0,25 điểm)

6
AK
AM2
==