tuyển tập các đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 tham khảo bồi dưỡng thi (23)

Đề thi hs giỏi môn toán 9 Năm học: 2008-2009
Thời gian : 150 phút không kể thời gian phát đề
Bài 1: Cho ba số x, y, z thõa mãn đồng thời:

2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + =
Tính giá trị của biểu thức:
2008 2008 2008
A x y z= + +
Bài 2: Cho x, y, z là 3 số dơng thỏa mãn: x + y+ z = 4
CMR:
4x y y z z x+ + + + + >
Bài 3: Giải hệ phơng trình



+=+
+=
)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yxyx
yxyx
Bài 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đ-
ờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Bài 5: Cho
Rzyx

,,
thỏa mãn :

zyxzyx
++
=++
1111
Hãy tính giá trị của biểu thức : M =
4
3
+ (x
8
y
8
)(y
9
+ z
9
)(z
10
x
10
) .
Đáp án
Bài 1:
Ta có:
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + =
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 0x y z + + + + + =

Mà:
2 2 2

( 1) 0; ( 1) 0; ( 1) 0x y z+ + +
1 0
1 0
1 0
x
y
z
+ =


+ =


+ =


1x y z = = =
Thay
1x y z= = =
vào
2008 2008 2008
A x y z= + +
Ta đợc
2008 2008 2008
( 1) ( 1) ( 1) 3A = + + =
Vậy A = 3
Bài 2:
Ta có: x; y; z > 0 thỏa mãn : x + y+ z = 4
Do đó ta có:
4x y x y z+ < + + =

2
4 2 ( ) 2 2x y x y x y x y x y x y + < + < + < + + < +
(1)
Tơng tự :
2y z y z+ < +
(2)

2z x z x+ < +
(3)
Từ (1); (2) và (3) ta có:

2 2 2x y y z z x x y y z z x+ + + + + < + + + + +
2( ) 2( )x y z x y y z z x + + < + + + + +
(*)
Mà: x + y+ z = 4 thay vào (*) ta đợc:
2( ) 2.4 4x y y z z x x y y z z x+ + + + + > + + + + + >

Vậy
4x y y z z x+ + + + + >
(ĐPCM)
Bài 3: Giải hệ phơng trình



=
=

=+
=




+=+
+=




+=+
+=
2y
-2x


0
4
2167221762
8422
)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yx
yx
xyxyxyxy
xyxyxxy
yxyx

yxyx
Vậy nghiệm của hệ: (x; y) = (-2; 2)
Bài 4:
O
B
C
H
E
A
P
a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có
CB
CH
PB
EH
=
; (1) (0,5đ)
Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị)
=> AHC

POB
Do đó:
OB
CH
PB
AH
=
(2) (0,75đ)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH.

(0,25đ)
b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH
2
= BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) và do AH = 2EH ta có
.)2(
2PB
AH.CB
2PB
AH.CB
AH
2
= R
(0,5đ)

AH
2
.4PB
2
= (4R.PB - AH.CB).AH.CB

4AH.PB
2
= 4R.PB.CB - AH.CB
2

AH (4PB
2
+CB
2

) = 4R.PB.CB (0,5đ)
2
222
222
222
2222
d
Rd.2.R
4R)R4(d
Rd.8R

(2R)4PB
4R.2R.PB
CB4.PB
4R.CB.PB
AH

=
+

=
+
=
+
=
Bài 5:
Ta có :
zyxzyx
++
=++

1111
=>
0
1111
=
++
++
zyxzyx
=>
( )
0
=
++
++
+
+
zyxz
zzyx
xy
yx

( )
( )
( )
( )( )
0)(
0
)(
0
11

2
=+++
=








++
+++
+
=








++
++
xzzyyx
zyxxyz
xyzzyzx
yx
zyxzxy

yz
Ta có : x
8
y
8
= (x + y)(x-y)(x
2
+y
2
)(x
4
+ y
4
).=
y
9
+ z
9
= (y + z)(y
8
y
7
z + y
6
z
2
- + z
8
)
z

10
- x
10
= (z + x)(z
4
z
3
x + z
2
x
2
zx
3
+ x
4
)(z
5
- x
5
)
Vậy M =
4
3
+ (x + y) (y + z) (z + x).A =
4
3