Một số phương pháp của lý thuyết phát triển trong giải tích phức và giải tích clifford nhiều biến

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP CHUYÊN NGÀNH
TOÁN TIN ỨNG DỤNG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CỦA LÍ THUYẾT
THÁC TRIỂN TRONG GIẢI TÍCH PHỨC VÀ
GIẢI TÍCH CLIFFORD NHIỀU BIẾN
Thầy hướng dẫn: GS.TSKH Lê Hùng Sơn
Sinh viên thực hiện: Vũ Vệt Hùng
Lớp: Toán Tin KSTN - K51
MỤC LỤC
Mở đầu
Chương 0: Một số kiến thức giải tích thực
Chương 1: Đại số Clifford
Chương 2: Đa tạp và dạng vi phân
Phần I: Các phương pháp của lí thuyết thác triển trong giải tích phức
nhiều biến
Chương 2: Giải tích phức một biến
1. Công thức tích phân Cauchy
2. Định lí duy nhất
3. Định lí Runge và phương trình Cauchy-Riman không thuần nhất
Chương 3: Các định lí thác triển kiểu Hactog
1. Hàm chỉnh hình và định lí thác triển Hagtog
2. Biểu diễn tích phân và định lí Xevery
3. Lược đồ Homander
Chương 4: Bài toán Cudanh
1. Hàm phân hình và bài toán Cudanh
2. Giải bài toán trong trên miền đa tròn
3. Lí thuyết bó và ứng dụng
Phần II: Giải tích Quaternion và giải tích Clifford
Chương 5: Định lí thác triển Hactog cho hàm chính quy Qaternion
nhiều biến
1. Toán tử vi phân và hàm chính quy

2. Công tức Cauchy-Pompeu và toán tử tích phân Teodorescu
3. Định lí thác triển
Chương 6: Áp dụng lí thuyết bó trên đa tạp giải tích Clifford nhiều
chiều
1. Bài toán Cudanh
2.
Phần III: Một số vấn đề liên quan và mở rộng
Chương 7: Toán tử vi phân và bài toán thác triển
Chương 8: Trường Vecto điện từ
Mở đầu
Chương 0: Một số kiến thức giải tích thực
1. Kí hiệu
Cho
n
RΩ ⊂
(i)Hàm nhiều biến
:u RΩ →
ta viết là
( ) ( )
1
, , ,
n
u x u x x x= ∈Ω
(ii)Hàm véc tơ
:
m
u RΩ →
ta viết là
( ) ( ) ( )
( )

1
, , ,
m
u x u x u x x= ∈Ω
(iii)Nếu
Ω
là mặt trơn (n-1) chiều trong
n
R
ta viết
fdS
Ω
∫
để kí hiệu tích phân của f trên
Ω
với độ đo (n-1) chiều.
(iv)Trung bình
( )
( )
( )
, ,
1
n
B x r B x r
fdy fdy
n r
α
=
∫ ∫
Ñ

Là trung bình của f trên hình cầu B(x,r) và
( )
( )
( )
1
, ,
1
n
B x r B x r
fdS fdS
n n r
α
−
∂ ∂
=
∫ ∫
Ñ
Là trung bình của f trên mặt cầu đó
(v)Tích chập
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*f g x f y g x y dy f x y g y dy= − = −
∫ ∫
(vi)Đạo hàm riêng
:u R
Ω →
( )
( ) ( )
0
lim
i

i
x
h
i
u x he u x
u
u x
x h
→
+ −
∂
= =
∂
, nếu giới hạn này tồn tại.
2
,
i j
x x
i j
u
u
x x
∂
=
∂ ∂
(vii)Véc tơ Gradient
( )
1
, ,
n

x x
Du u u=
(viii)Ma trận Hessian
2 2
2
1 1
2
2 2
2
1



n
n n
n n
u u
x x x
D u
u u
x x x
×
 
∂ ∂
 
∂ ∂ ∂
 
 
=
 

∂ ∂
 
 
∂ ∂ ∂
 
(ix)Laplacient
( )
2
1
i i
n
x x
i
u u tr D u
=
∆ = =
∑
(x)Các không gian hàm
( )
{ : \C u u R= Ω →
u liên tục}

( )
{ : \
k
C u u R= Ω →
u liên tục khả vi k lần}
( )
{ : \C u u R
∞

= Ω →
u khả vi vô hạn lần}
( )
0
{ : \C u u R= Ω →
u có giá com pắc}
(xi) Cho
:
m
u RΩ →
ta kí hiệu
1 1
1
1



n
m m
n
m n
u u
x x
Du
u u
x x
×
 
∂ ∂
 

∂ ∂
 
 
=
 
∂ ∂
 
 
∂ ∂
 
là ma trận gradient
Nếu m = n ta có
( )
1
i
n
i
x
i
divu tr Du u
=
= =
∑
là divergence
2. Giải tích thực
a. Đạo hàm pháp tuyến
Cho
n
RΩ ⊂
là một tập mở bị chặn

Định nghĩa: Giả sử trên
∂Ω
xác định một trường pháp tuyến đơn vị
hướng ra ngoài
( )
1
, ,
n
v v v=
Cho
( )
1
u C∈ Ω
.Ta gọi
: .
u
v Du
v
∂
=
∂
Là đạo hàm pháp tuyến hướng ra ngoài của u
b. Định lí Gauss-Green
Định lí :( Gauss-Green).Giả sử
( )
1
u C∈ Ω
khi đó
, 1, ,
i

i
x
u dx uv dS i n
Ω ∂Ω
= =
∫ ∫
Áp dụng định lí trên ta có công thức tích phân từng phần
Định lí :( Công thức tích phân từng phần).Cho
( )
1
,u w C∈ Ω
khi đó
, 1, ,
i i
i
x x
u wdx uw dx uwv dS i n
Ω Ω ∂Ω
= − + =
∫ ∫ ∫
Từ các công thức trên dễ dàng chứng minh được các công thức Green
sau
Định lí :( Công thức Green).Cho
( )
2
,u w C∈ Ω
khi đó
(i)
u
udx dS

v
Ω ∂Ω
∂
∆ =
∂
∫ ∫
(ii)
w
DuDwdx u wdx u dS
v
Ω Ω ∂Ω
∂
= − ∆ +
∂
∫ ∫ ∫
(iii)
( )
w u
u w w u dx u w dS
v v
Ω ∂Ω
∂ ∂
 
∆ − ∆ = −
 ÷
∂ ∂
 
∫ ∫
c. Định lí Lebesgue
Định lí :(Lebesgue).Cho

:
n
f R R→
là khả tổng địa phương.Khi đó với
hầu hết
0
n
x R∈
ta có
( )
( )
0
0
,
, 0.
B x r
fdx f x r→ →
∫
Ñ
3. Phương trình Laplace và phương trình Poisson
a. Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace
Phương trình Laplace là phương trình đạo hàm riêng sau
0u
∆ =
với
:u RΩ →
là hàm chưa biết.Ta sẽ tìm nghiệm dưới dạng
u(x)=v(r)
ở đây
( )

1/2
2 2
1

n
r x x x= = + +
Định nghĩa: Hàm số
( )
( ) ( )
2
1
log , 2
2
1 1
, 2
2
n
x n
x
n
n n n
x
π
α
−

− =


Φ =



>
−


với
( )
, 0,
n
x R x n
α
∈ ≠
là thể tích của hình cầu đơn vị trong
n
R
được gọi
là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace
Có thể kiểm tra
( )
0, 0x x∆Φ = ∀ ≠
dễ dàng
b. Nghiệm của phương trình Poisson
Phương trình Poisson là phương trình đạo hàm riêng sau
u f∆ =
với
:u RΩ →
là hàm chưa biết, và
:f RΩ →
là hàm đã biết

Ta cho nghiệm ở dạng tích chập
( ) ( ) ( )
n
R
u x x y f y dy= Φ −
∫
Áp dụng các định lí đã giới thiệu ta có thể chứng minh định lí sau
Định lí: Định nghĩa u như công thức trên và giả thiết
( )
2
0
f C∈ Ω
.Khi
đó
(i)
( )
2 n
u C R∈
và
(ii)
u f−∆ =
trong
n
R
.
Chứng minh. Xem [1, tr 3]
Chương 1: Đại số Clifford
1. Số phức
Nhắc lại rằng
{ }

/ ,C z x iy x y R= = + ∈
trong đó i là đơn vị ảo.Ta có
2
1i = −
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
.z z x iy x iy x x y y i x y x y= + + = − + +
2 2
;z x iy z zz x y= − = = +
2. Đại số Quaternion
Mỗi phần tử của một đại số Quaternion H tương ứng với một véc tơ
trong không gian
4
R
.Các phần tử cơ sở của một đại số Quaternion H
là:
( )
( )
( )
( )
0
1
2
3
1,0,0,0
0,1,0,0
0,0,1,0
0,0,0,1
e
e

e
e
↔

↔


↔


↔

Người ta còn đồng nhất
0
e
với phần tử đơn vị 1.Một phần tử x của đại
số Quaternion H có dạng:
( )
0 1 1 2 2 3 3 0 1 2 3
, , ,x x x e x e x e x x x x= + + + ↔

Tích các phần tử cơ sở:

2
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1, 1,2,3
, ,
0, , 1,2,3;
i
i j j i

e i
e e e e e e e e e
e e e e i j i j
= − =
= = =
+ = = ≠

Phần tử liên hợp của x là
0 1 1 2 2 3 3
x x x e x e x e= − − −

Ta có

2 2 2 2
0 1 2 3
xx xx x x x x= = + + +

Chuẩn của x là
x xx=

3. Đại số Clifford
Cho trường số K và không gian vec tơ n chiều V trên K có hệ cơ sở
trực chuẩn: {
1 2
, , ,
n
e e e
}.
Kí hiệu K là
0

V
, V là
1
V
và
Λ
là tích ngoài.Ta định nghĩa tích ngoài 2
phần tử đồng thời xây dựng 1 không gian vec tơ mới
2
V
từ V:
( )
2

,
i j i j
V V V
e e e e
× →
Λa
Tiếp tục
3
V
từ V:
( )
3

, ,
i j k i j k
V V V V

e e e e e e
× × →
Λ Λa
.v.v….
Cuối cùng là
1 2
{k /k K}
n n
V e e e= Λ Λ ∈
vì tích ngoài của nhiều hơn n
phần tử luôn bằng không do tính phản xứng.
Bây giờ đặt
0 1 2

n
A V V V V= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
.
Một phần tử a thuộc A có dạng:
, ,a a e a F
α α α
α
= ∈
∑
với
1
{ , , }
h
α α α
=
là 1 tập con của {1,…,n} và

1 2

h
e e e e
α α α α
= Λ Λ Λ
,
0
1e ≡
Do đó ta cần định nghĩa tích Clifford của các phần tử cơ sở.
Trước hết xét tích của 2 phần tử thuộc
1
V
.Ta lấy:
2
0( ), 1.
i j i j
i j j i i
e e e e
e e e e i j e
= Λ ⇒
+ = ≠ = −
Tổng quát:
1 2 1 2

h h
e e e e e e e
α α α α α α α
= Λ Λ Λ =
,

Và:
1 2 1 2

h k
e e e e e e e e
α β α α α β β β
=
Từ đó có thể thấy phép nhân Clifford kết hợp nhưng không giao hoán.
Công việc còn lại ta chỉ cần chú ý tới cấu trúc không gian vec tơ tự
nhiên trên A.Ta gọi A là một đại số Clifford.
Ta kết thúc phần này bằng việc nói tới khái niệm liên hợp trên A.Ta
gọi là liên hợp và kí hiệu:
0 0 1 1
,e e e e= = −
,
Tổng quát:
1 2 1
1
( 1)
h h h
h
e e e e e e e
α α α α α α α
−
= = −
,
Hay
1e e
α α
=

Và :
a a e
α α
α
=
∑
.
Phần I: Các phương pháp của lí thuyết
thác triển trong giải tích phức nhiều biến
Chương 2: Giải tích phức một biến
1. Mở đầu
Cho u là một hàm nhận giá trị phức,
( )
1
u C∈ Ω
, ở đây
Ω
là một tập mở
trên C.
Cho z là một số phức bất kì,
z x iy= +
.Ta có
,
2 2
z z z z
x y
+ −
= =
Nên vi phân của u có thể biểu diễn như tổ hợp tuyến tính của dz và
dz

u u u u
du dx dy dz dz
x y z z
∂ ∂ ∂ ∂
= + = +
∂ ∂ ∂ ∂
ở đây ta kí hiệu
1 1
,
2 2
u u u u u u
i i
z x y z x y
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − = +
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
Định nghĩa: Hàm
( )
1
u C∈ Ω
được gọi là chỉnh hình nếu
/ 0u z
∂ ∂ =
trên
Ω
.Tập các hàm chỉnh hình trên
Ω

kí hiệu là
( )
A Ω
.
Nếu u là một hàm chỉnh hình thì:
'
u
du dz u dz
z
∂
= =
∂
.
Ví dụ:
1
; ( )
z z n n
de e dz dz z dz n Z
−
= = ∈
Các hàm nói tới xét trên tập xác định của chúng.
2. Công thức tích phân Cauchy
Cho
ω
là một tập mở bị chặn trên C.Giả sử rằng
1
C
ω
∂ ∈
.

Định lí: (Cauchy) Nếu
( )
1
u C
ω
∈
ta có:
/1 ( )
( ) ,
2
u z z
u dz dz dz
i z z
u
ω ω
ζ ζ ω
π ζ ζ
∂
 
∂
= + Λ ∈
 ÷
− −
 
∂
∫ ∫∫
Chứng minh.Xem [1, tr 3]
Ngược lại ta có
Định lí: Cho hàm
( ) ( )

0
, 1
k
CC k
ϕ
∈ ≥
, xét tích phân
1 ( )
( ) ,
2
z
u dz dz
i z
ϕ
ζ
π ζ
= Λ
−
∫∫
Ta có
( )
k
u C C∈
và
/u z
ϕ
∂ ∂ =
.Hiển nhiên u là hàm chỉnh hình ngoài
giá của
ϕ

.
Chứng minh. Xem [1, tr 3]
Hệ quả: Cho
( )
u A∈ Ω
ta có
( )
u C
∞
∈ Ω
, đồng thời
( )
'u A∈ Ω
.
Hệ quả: Phương trình
/u z
ϕ
∂ ∂ =
với
( ) ( )
0
, 1
k
CC k
ϕ
∈ ≥
có một nghiệm
( )
k
u C C∈

3. Định lí duy nhất
Định lí: Cho u là hàm chỉnh hình trên
{ }
\z z rΩ = <
, ta có
( )
( )
( )
0
0
!
n
n
z
u z u
n
∞
=
∑
Chuỗi vế phải hội tụ đều trên mọi tập con compac của
Ω
Chứng minh. Xem [1, tr 5]
Hệ quả: (Định lí duy nhất) Nếu
( )
u A∈ Ω
và có một điểm z trên
Ω
sao
cho
( )

( )
0, 0
k
u z k= ∀ ≥
Thì u = 0 trên
Ω
nếu
Ω
liên thông.
4. Định lí Runge và phương trình Cauchy-Riman không
thuần nhất
Định lí: Cho
Ω
là một tập mở trong C và K là một tập con compac của
Ω
sao cho
\KΩ
liên thông.Khi đó mọi hàm chỉnh hình trong một lân
cận của K có thể xấp xỉ trên K bởi những hàm chỉnh hình trên
Ω
.
Chứng minh. Xem [1,tr 6]
Định lí:Với mọi
( )
f C
∞
∈ Ω
phương trình
/u z f∂ ∂ =
có một nghiệm

( )
u C
∞
∈ Ω
.
Chứng minh. Xem [1, tr 12]
Chương 3: Các định lí thác triển kiểu Hactog
1. Hàm chỉnh hình nhiều biến và định lí thác triển Hactog
a. Hàm chỉnh hình
Cho miền D
n
C∈
.xét hàm phức:
:f D C→
.
Giả sử rằng f khả vi tại z hữu hạn thuộc D theo nghĩa giải tích thực (
2n
R
-khả vi) tức là tồn tại vi phân:
1 2 2
1 2 2

n
n
f f f
df dx dx dx
x x x
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂

Khi đưa vào các biến phức
v
z
và
v
z
theo các công thức:
, ( 1, , )
2 2
v v v v
v v n
z z z z
x x v n
i
+
+ −
= − = =
Ta có thể viết lại một cách hình thức dưới dạng:
1 1
1
1

n n
n
n
f f f f
df dz dz d z d z f f
z z
z z
∂ ∂ ∂ ∂

= + + + + + = ∂ + ∂
∂ ∂
∂ ∂
,
trong đó với v=1,…,n đặt:
1 1
, .
2 2
v v n v v n v
v
f f f f f f
i i
z x x x x
z
+ +
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − = +
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
   
và kí hiệu
1 1
1
1
,
n n
n
n

f f f f
f dz dz f d z d z
z z
z z
∂ ∂ ∂ ∂
∂ = + + ∂ = + +
∂ ∂
∂ ∂
Định nghĩa: Hàm f xác định trong lân cận nào đó của điểm z
n
C∈
,
được gọi là khả vi tại điểm đó theo nghĩa giải tích phức(
n
C
-khả vi),
nếu nó
2n
R
-khả vi tại điểm đó và tại điểm này:
0( 1, , )
v
f
v n
z
∂
= =
∂
hay là
0f∂ =

.
Tức là vi phân có dạng:
1
1
.
n
n
f f
df dz dz
z z
∂ ∂
= + +
∂ ∂
Định nghĩa: Hàm
n
C
-khả vi tại mỗi điểm của lân cận nào đó của điểm
z
n
C∈
, được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm đó.Hàm chỉnh hình tại
mỗi diểm của tập mở nào đó
n
CΩ ⊂
được gọi là chỉnh hình trên tập
Ω
.
Tập các hàm chỉnh hình trong miền D nào đó lập thành 1 vành kí hiệu
là H(D).
b. Định lí thác triển kiểu Hactog

Định lí (Hactog): Giả sử cho các miền
1
' ( '), ( )
n
n n
D C z D C z
−
⊂ ⊂
,hàm
f tùy ý chỉnh hình trong lân cận (theo nghĩa
n
C
) của tập
0
( ' ) ({ ' } ),
n n
M D D z D= ×∂ ∪ ×
Trong đó
0
' 'z D∈
, thác triển chỉnh hình được vào toàn miền
'
n
D D D= ×
Chứng minh.
Xét hàm
°
1 ( ', )
( )
2

n
n
n
n n
D
f z
f z d
i z
ξ
ξ
π ξ
∂
=
−
∫
Ta chứng minh
°
f
chỉnh hình.Thật vậy
Theo định lí duy nhất dễ thấy rằng nó bằng f trên khắp những nơi mà f
chỉnh hình.
Ví dụ:
2. Biểu diễn tích phân và định lí Xevery
Trong mục này ta đưa ra 1 công thức biểu diễn tích phân có tính chất
tổng quát so với công thức tích phân Cauchy.Công thức đó là công
thức Mactineli-Bockhone.Để làm điều đó ta cần tới công thức Green
dạng phức tương tự thực.
c. Công thức Stoke
Kí hiệu d là phép lấy vi phân các dạng,
∂

là phép tính topo lấy biên.
Định lí: Giả sử trên đa tạp m chiều định hướng được M, cho dây
chuyền p chiều
σ
và dạng vi phân
ω
bậc p-1 trên nó, nếu M,
σ
,
σ
∂
,
ω
thuộc lớp
1
C
thì:
d
σ σ
ω ω
∂
=
∫ ∫
Đó là công thức Stoke.
Chứng minh. Xem [3, tr 103]
a. Công thức Green
Đối với các miền
n
D C⊂
, ta sẽ viết công thức Green dưới dạng

phức.Ta đưa vào các tọa độ
1 2
, ,
n
Z Z
:
, ,( 1, , )
v v n v v
Z z Z z v n
+
= = =
Với v=1,…,2n đặt:
1
1 2
( 1)
v v
n
v
dZ dZ
δ
−
= − Λ Λ Λ
,(vi phân
v
dZ
bị bỏ).
Và xét dạng:
1
m
n v v

v
v
v
g f
f g
z
z
ω δ δ
+
=
 
∂ ∂
= −
 ÷
∂
∂
 
∑
trong đó f và g là các hàm lớp
2
C
cho trong
D
, và:
1 1
, ,( 1, , ).
2 2
v v v v v
v
i i v n

z x y x y
z
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − = + =
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
   
Vi phân của dạng này là:
( )
2 2
1 2
1
1
,
4
m
n
v
v v v v
g f
d f g dZ dZ f g g f dZ
z z z z
ω
=
 
∂ ∂
= − Λ Λ = ∆ − ∆
 ÷

∂ ∂ ∂ ∂
 
∑
Với chú ý rằng ta đã sử dụng :
2 2 2
2 2
4
v v
v v
x y
z z
∂ ∂ ∂
+ =
∂ ∂
∂ ∂
Sử dụng công thức Stoke ta có:
( )
1
1
4
m
n v v
v
v
v
D D
g f
f g f g g f dZ
z
z

δ δ
+
=
∂
 
∂ ∂
− = ∆ − ∆
 ÷
∂
∂
 
∑
∫ ∫
,
Trong đó
1 2

n
v
dZ dZ dZ= Λ Λ Λ
.
Ta đã có công thức Green.bây giờ ta tìm biểu diễn tích phân.
b. Công thức Mactineli-Bockhone
Chọn hàm g là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace với kì dị tại
z=0 (giả thiết D chứa điển này).Với n>1 nó có dạng:
2 2 1
1
1 1
( )
( 1)

( 1)
n n
n
v v
v
g z
n z
n z z
− −
=
− −
= =
−
 
−
 ÷
 
∑
Bởi vì với z
≠
0 ta có
2
2 2 2
; ; 0
v v
v
n n
v
v v
z nz z

g z g
g
z
z z
z z
+
−
∂ ∂
= = ∆ =
∂
∂ ∂
Loại bỏ khỏi D một hình cầu tâm z.Kí hiệu
\{ < }D D z
ρ
ρ
=
Giả thiết hàm f chỉnh hình trên
D
, ta có
0, 0
v
f
f
z
∂
= ∆ =
∂
.Áp dụng
công thức Green ta có:
{ }

( )
1 1
1
0
4
n n
n v n v
v v
v v
D D D
z
g g
f f f g g f dZ
z z
ρ
ρ
ω δ δ
+ +
= =
∂ ∂
=
∂ ∂
= − = ∆ − ∆ =
∂ ∂
∑ ∑
∫ ∫ ∫ ∫
Trên mặt cầu
{ < }z
ρ
, ta có

2
v
n
v
g z
z
ρ
∂
=
∂
, mặt khác f liên tục tai 0, ta có
thể viết
{ } { }
2
1 1
(0)
( )
n n
n v n v
v
n
v v
v
z z
g f
f z
z
ρ ρ
δ δ ρ
ρ

+ +
= =
= =
∂
= + Ο
∂
∑ ∑
∫ ∫
Áp dụng công thức Stoke ta có:
{ } { }
1 2
1

n
n v
v n
v
z z
z n dZ dZ
ρ ρ
δ
+
=
= <
= Λ Λ
∑
∫ ∫
Theo tính chất tích ngoài ta có
2
v n v v n v

dZ dZ idx dx
+ +
Λ = − Λ
, suy ra
{ } { }
2
1 2 1 2
( 2 ) ( 2 )
!
n
n n n
n n
z x
dZ dZ i dx dx i
n
ρ ρ
π
ρ
< <
Λ Λ = − Λ Λ = −
∫ ∫
Gom những vấn đề đã tích lũy lại ta rút ra:
1
(0)
( 2 ) ( )
( 1)!
n
n v n
v
v

D
g f
f i
z n
δ π ρ
+
=
∂
∂
= − + Ο
∂ −
∑
∫
Cho
0
ρ
→
ta có:
1
1
2
1
1
1
2
1
( 1)!
(0) ( 1)
( 2 )
( 1)!

( 1)
( 2 )
n
n v
v
n
n
n
v
v
D
n
v
v
n
n
n
v
v
D
n z
f f dz d z d z
i
z
n z
f d z d z dz
i
z
π
π

+ −
=
∂
−
=
∂
−
= − × Λ Λ Λ
−
−
= − × Λ Λ Λ
−
∑
∫
∑
∫
trong đó
1

n
dz dz dz= Λ Λ
.
Bây giờ thay cho z = 0 ta lấy điểm cố định z thuộc D ta có công thức
Mactineli-Bockhone cần tìm:
1
1
2
1
( 1)!
( ) ( ) ( 1)

( 2 )
n
v
v v
n
n
n
v
v
D
n z
f z f d d d
i
z
ξ
ξ ξ ξ ξ
π
ξ
−
=
∂
− −
= − × Λ Λ Λ
−
−
∑
∫
Khi m = 1 công thức này chuyển thành công thức tích phân Côsi
2
1 1 ( )

( ) ( )
2 2
D D
z f
f z f d d
i i z
z
ξ ξ
ξ ξ ξ
π π ξ
ξ
∂ ∂
−
= =
−
−
∫ ∫
Cuối cùng kí hiệu
1
1
2
1
( 1)!
( , ) ( ) ( 1)
( 2 )
n
v
v v
n
n

n
v
v
n z
z f z d d d
i
z
ξ
ω ξ ξ ξ ξ
π
ξ
−
=
− −
= = − × Λ Λ Λ
−
−
∑
Ta có thể viết lại công thức biểu diễn tích phân:
( ) ( ) ( , )
D
f z f z
ξ ω ξ
∂
=
∫
d. Định lí Xevery
Sử dụng biểu diễn tích phân Mactineli-Bockhone ta có thể chứng
minh được định lí sau:
Định lí Xeveri: Giả sử cho miền D compac trên

n
C
(n>1) với phần bù
liên thông và biên trơn
D S∂ =
; trên S giả sử cho hàm
1
f C∈
.Để tồn
tại hàm
°
1
( ) ( )f H D C D∈ ∩
có giá trị trên biên trùng với
f
, cần và đủ
là tại mỗi điểm
S
ξ
∈
có:
1
0,
n
S
df d d d d
ξ ξ ξ ξ
Λ = = Λ Λ
Hơn nữa
°

f
bằng 0 khắp nơi ngoài
D
.
Chứng minh. Xem [3, tr 125]
Hệ quả: Nếu hàm f chỉnh hình khắp nơi trong miền
n
D C⊂
(n>1), có
thể trừ ra 1 tập con compac K của D, thì f thác triển được lên toàn
miền D.
Chứng minh:
Để vận dụng định lí Xeveri, ta làm như sau: bọc ‘lỗ thủng’ compac K
bởi 2 mặt trơn 2n-1 chiều
1 2
, \S S D K∈
,sao cho chúng giới nội tương
ứng các miền có phần bù liên thông
1 2
,G G
và
1 2
K G G⊂ ⊂
.
Đặt
2 1
\G G G=
, vì f chỉnh hình trên
G
nên theo công thức Mactineli-

Bockhone đối với điểm z tùy ý thuộc G có:
2 1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
s S
f z f z f z
ξ ω ξ ξ ω ξ
= −
∫ ∫
Cũng vì thế trên
1 2
,S S
có các điều kiện Xeveri:
1 2
0; 0
S S
df d df d
ξ ξ
Λ = Λ =
Vì z nằm ngoài
1
S
nên theo định lí Xeveri
1
( ) ( , ) 0
S
f z
ξ ω ξ
=
∫
.Do đó

với mọi z thuộc G ta có
2
( ) ( ) ( , )
s
f z f z
ξ ω ξ
=
∫
Từ đó lại theo định lí Xeveri f đã được thác triển chỉnh hình khắp nơi
trong
2
G
.Ta hoàn thành chứng minh.
3. Lược đồ Homander
Hệ quả trên có thể chứng minh trực tiếp nhờ lược đồ Homander như
sau.
Trước hết xét hệ phương trình Cauchy-Riman
u f
∂ =
ở đây f là dạng vi phân song bậc (0,1) và
1
n
v
v
u
u dz
z
∂
∂ =
∂

∑
Chú ý rằng
0f
∂ =
là điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của phương
trình .Thực chất của bài toán là ta muốn giải một hệ phương trình đạo
hàm riêng quá xác định
/ , 1, ,
j j
u z f j n
∂ ∂ = =
Với điều kiện
/ / 0, , 1, ,
j k k j
f z f z j k n
∂ ∂ −∂ ∂ = =
Định lí: Cho
( )
0
, 1, , , 0
k n
j
f C C j n k∈ = >
và điều kiện trên được thỏa
mãn (n > 1).Khi đó hệ ( ) có một nghiệm
( )
0
k n
u C C∈
.

Chứng minh.Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 2
1 1
1 1 2
2 , , ,
2 , , ,
n
n
u z i z f z z d d
i f z z z d d
π τ τ τ τ
π τ τ τ τ
− −
− −
= − Λ
= − Λ
∫∫
∫∫
Ta thấy
( )
k n
u C C∈
và nếu
2

n
z z+ +

đủ lớn thì
( )
0u z =
.Từ định lí ( )
ta có
1 1
/u z f
∂ ∂ =
nếu k > 1 bằng cách lấy đạo hàm dưới dấu tích phân
và sử dụng điều
/ / 0, , 1, ,
j k k j
f z f z j k n
∂ ∂ −∂ ∂ = =
ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 2
/ 2 , , ,
k k n k
u z i z f z z d d f z
π τ τ τ τ
− −
∂ ∂ = − ∂ Λ =
∫∫
Như vậy u thỏa mãn phương trình Cauchy-Riman và u là một hàm
chỉnh hình ngoài một tập compac nào đó.Từ định lí duy nhất suy ra
rằng u có giá compac.
Bây giờ ta chứng minh hệ quả đã nói.Trong cách chứng minh tuân
theo một quy trình mà ta gọi là lược đồ Homander.

Bổ đề:Đối với tập mở
n
U R⊂
tùy ý và tập con K compac của U tùy ý ,
tồn tại hàm
[ ]
: 0,1
n
R
ϕ
→
lớp
C
∞
sao cho
( )
1,
0, \K
n
x K
x
x R
ϕ
∈

=

∈

Chứng minh.Xem [1, tr 84]

Ta phát biểu lại hệ quả dưới dạng định lí
Định lí: Nếu hàm u chỉnh hình khắp nơi trong miền
n
D C⊂
(n>1), có
thể trừ ra 1 tập con compac K của D, thì u thác triển được lên toàn
miền D.
Chứng minh.
Lấy
( )
0
DC
ϕ
∞
∈
mà nó bằng 1 trong một lân cận của K.Đặt
( ) ( )
0
1u u C D
ϕ
∞
= − ∈
và
( )
0 0
f u u C D
ϕ
∞
∈= ∂ = − ∂
Gọi v là một nghiệm của phương trình

u f
∂ =
và đặt
0
U u v= −
Ta có
0
0U u v f f
∂ = ∂ − ∂ = − =
nên U là hàm chỉnh hình.Mặt khác vì
( )
0
v C D
∞
∈
nên tồn tai một tập mở con của D\K trên đó v triệt tiêu, và
do đó
0
U u u= =
.Theo định lí duy nhất ta có U = u trên D\K.
Vậy U là thác triển của u.Ta hoàn thành chứng minh
Chương 4: Bài toán Cousin
1. Hàm phân hình và bài toán Cousin
a. Hàm phân hình
Lớp hàm phân hình rộng hơn lớp các hàm chỉnh hình.Nó có thể được
định nghĩa một cách địa phương như sau
Với mỗi
n
z C∈
ta kí hiệu

z
H
là tập các hàm chỉnh hình trong một lân
cận của z.Trên
z
H
xét quan hệ tương đương sau
~f g
nếu f = g trong
một lân cận của z.Lớp tương đương tùy ý theo quan hệ này được gọi
là mầm hàm chỉnh hình tai z kí hiệu qua
z
f
.Kí hiệu
/ ~
z z
O H=
.Với các
phép toán trên các hàm được cảm sinh lên
z
O
có thể xét như là vành
giao hoán có đơn vị và không có ước của 0.Và do đó có thể xây dựng
trường thương của
z
O
mà ta kí hiệu là
z
M
.

Định nghĩa: Hàm phân hình
ϕ
trên một tập mở
n
CΩ ⊂
là ánh xạ
:
z
z
M
ϕ
Ω → ∪
Nghĩa là
( )
z
z M
ϕ
∈
với mọi z và với mỗi điểm của
Ω
có một lân cận
ω

và các hàm
( )
,f g H
ω
∈
sao cho
( )

/ ,
z z
z f g z
ϕ
= ∈Ω
.Tập các hàm phân
hình trên
Ω
kí hiệu là
( )
M Ω
.
b. Các bài toán Cousin
Xuất hiện một cách tự nhiên vấn để xây dựng hàm phân hình f xác
định trong toàn bộ miền các hàm phân hình đã cho ở địa phương một
hàm chỉnh hình.ta hiểu rằng f đã được xây dựng theo các phần chính
của nó.
Bài toán Cousin cộng tính: Cho miền D thuộc đa tạp giải tích M và
phủ mở
{ }
A
U U
α
α
∈
=
của miền đó.Trong mỗi
U
α
cho hàm phân hình

f
α

sao cho thực hiện được điều kiện tương thích sau:
Trong giao
U U U
αβ α β
= ∩
tùy ý, hiệu
f f
α β
−
là hàm chỉnh hình.
Hãy xây dựng hàm phân hình f trong D sao cho trong mỗi
U
α
hiệu
f
α
-f là hàm chỉnh hình
Giống như các định lí thác triển ta sẽ tìm câu trả lời cho câu hỏi là bài
toán Cousin có giải được hay không tức là có tồn tại hàm f hay
không.
Trong trường hợp một chiều ta có
Định lí: (Mittac-Lefler) Với mọi miền phẳng D bài toán Cousin giải
được.
Chứng minh.[xem 1, tr 11]
Tuy nhiên trong trường hợp nhiều chiều vấn đề không hoàn hảo như
thế.
Bài toán Cousin nhân tính: Cho miền D thuộc đa tạp giải tích M và

phủ mở
{ }
A
U U
α
α
∈
=
của miền đó.Trong mỗi
U
α
cho hàm phân hình
0f
α
≠
sao cho thực hiện được điều kiện tương thích sau:
Trong giao
U U U
αβ α β
= ∩
tùy ý,
/f f
α β
là hàm chỉnh hình.
Hãy xây dựng hàm phân hình f trong D sao cho trong mỗi
U
α
thương
/f f
α

là hàm chỉnh hình khác 0.
2. Giải bài toán trong trên miền đa đĩa
Trước hết ta đưa ra điều kiện cần và đủ để bài toán Cousin cộng tính
giải được.
Khi có các dữ kiện Cousin
f
α
trên các phủ
U
α
của miền D, trong mỗi
giao
U U U
αβ α β
= ∩
ta có thể xét hiệu
h f f
αβ α β
= −
chỉnh hình trong
U
αβ
do điều kiện tương thích.Rõ ràng trong mỗi
U
αβ

ta có
0h h
αβ βα
+ =

và trong mỗi giao
U U U U
αβγ α γβ
= ∩ ∩
thì có
0h h h
αβ βγ γα
+ + =
Họ tùy ý các hàm
( )
h H U
αβ αβ
∈
thỏa mãn hai điều kiện trên được gọi là
các đối chu trình chỉnh hình đối với phủ
{ }
A
U U
α
α
∈
=
.
Định lí: Điều kiện cần và đủ để bài toán Cousin giải được là tồn tại
các hàm
( )
h H U
α α
∈
sao cho trong giao

U U U
αβ α β
= ∩
h h h
αβ α β
= −
Chứng minh.
Nếu bài toán Cousin giải được thì ta đặt
h f f
α α
= −
chỉnh hình trong
U
α
.Và ta có
h f f h h
αβ α β α β
= − = −
Ngược lại nếu tồn tại các
( )
h H U
α α
∈
thỏa mãn điều kiện thì ta lấy
f h f
α α
= +
chính là nghiệm của bài toán Cousin.Ta hoàn thành chứng
minh.
Từ định lí trên có thể thấy việc giải được bài toán Cousin hoàn toàn

phụ thuộc vào đối chu trình chỉnh hình tương ứng của nó.Nếu đối với
một đối chu trình chỉnh hình nào đó điều kiện của định lí được thỏa
mãn thì ta nói đối chu trình đó đối đồng điều với không.Do đó định lí
còn có thể phát biểu:
“Để giải được bài toán Cousin cần và đủ là đối chu trình chỉnh hình
tương ứng đồng điều với không”
Tiếp tục, kí hiệu
( )
1
Z U
là nhóm các đối chu trình chỉnh hình.Trong
nhóm này có nhóm con
( )
1
B U
các đối chu trình đồng điều
không.Nhóm thương
( ) ( ) ( )
1 1 1
/Z U B U H U=
được gọi là nhóm đối
đồng điều đối với phủ U của miền D.Rõ ràng điều kiện cần và đủ giải
được bài toán Cousin là
( ) ( )
1 1
Z U B U≡
hay là nhóm đối đồng điều là
tầm thường
( )
1

0H U =
.
Trong các khái niệm trên nếu thay điều chỉnh hình bởi điều khả vi vô
hạn thì ta có khái niệm đối chu trình vi phân, đối chu trình vi phân
đồng điều không và nhóm đối đồng điều vi phân.Tuy nhiên các nhóm
này luôn tầm thường.
Định lí: Đối với phủ mở U tùy ý của miền D trên đa tạp khả vi vô hạn,
đối chu trình vi phân tùy ý đồng điều không.
Chứng minh.xem [1, tr 252]
Điều này có nghĩa là nếu trong mỗi
U
αβ
đã cho các hàm khả vi vô hạn
( )
h C U
αβ αβ
∞
∈
thì trong mỗi
U
α
tồn tại hàm
( )
h C U
α α
∞
∈
sao cho
h h h
αβ α β

= −
trong
U
αβ
.
Vì các hàm chỉnh hình cũng khả vi vô hạn nên với đối chu trình chỉnh
hình tương ứng của bài toán Cousin ta có :
Tồn tại các hàm
( )
g C U
α α
∞
∈
sao cho
h g g
αβ α β
= −
trong
U
αβ
.
Đặt
1
n
v
v
v
g
g dz
z

α
α α
ω
=
∂
= ∂ =
∂
∑
.Ta có
0
ω
∂ =
và trong giao
U
αβ
ta có
0h
α β αβ
ω ω
− = ∂ =
do đó các dạng
α
ω
xác định một dạng vi phân
ω
song
bậc (0,1) duy nhất trên D.
Định lí: Nếu phương trình
f
ω

∂ =
với
ω
xác định như trên giải được
thì đối chu trình chỉnh hình
{ }
h
αβ
đồng điều không.
Chứng minh.
Đặt
h g f
α α
= −
trên
U
α
ta có
0h f g
α α α α
ω ω
∂ = ∂ − −∂ ==
và
( )
( )
h h g f g f h
α βα β αβ
− = − − − =
.Ta có điều phải chứn minh.
Tương tự định lí ( ) đã xét trong lược đồ Homander nhưng ở đây vế

phải của phương trình không có giá compac.Để đơn giản ta xét D là
tích của các miền phẳng đơn liên mà ta goi là đa đĩa.
Định lí: Trên miền đa đĩa D phương trình Cauchy-Riman không thuần
nhất () có một nghiệm
( )
u C D
∞
∈
.
Chứng minh.xem [1, tr 258]
Như vậy định lí trên chứng minh tính giải được của bài toán Cousin
cộng tính trên miền đã đĩa.
Ta kết thúc phần này bằng cách mô tả lại những việc đã làm theo một
cách nói khác.
Xét các dạng vi phân cấp một song bậc (0,1) với hệ số trong lớp
C
∞
,
nó có dạng
1
n
v v
v
a dz
ω
=
=
∑
.Lấy vi phân của nó
j

i j
i
j i
j i
a
a
dz dz
z z
ω
<
 
=
 ÷
 ÷

∂
∂
∂
∂

− Λ
∂
∑
Dạng
ω
được gọi là đóng hay đối chu trình nếu
0
ω
∂ =
tức là

, , 1, ,
j
i
j i
a
a
i j n
z z
∂
∂
= =
∂ ∂
.Đối chu trình được gọi là đồng điều với không hay
dạng đúng nếu tồn tại hàm
f C
∞
∈
sao cho
f
ω
∂ =
tức là
, 1, ,
v
v
f
a v n
z
∂
= =

∂
.Các đối chu trình lập thành nhóm cộng kí hiệu qua
1
Z
còn các chu trình đối đồng điều không thành nhóm con
1
B
.Nhóm
thương
1 1 1
/H Z B=
gọi là nhóm đối đồng điều với hệ số trong nhóm
các dạng vi phân.Định lí ( ) cho ta biết rằng trên đa đĩa D thì nhóm đối
đồng điều đó là tầm thường.Lời giải của bài toán Cousin nằm ở định lí
sau
Định lí: Nhóm đối đồng điều chỉnh hình của phủ U bất kì của miền đa
đĩa
( )
1
H U
đẳng cấu với nhóm
1
H
.
Chứng minh.Xem [1, tr 260]
3. Lí thuyết bó và ứng dụng
Mục này sẽ áp dụng lí thuyết bó để giải quyết bài toán Cousin tổng
quát
a. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa: Bó của những cấu trúc đại số nào đó trên không gian tôpô

X (cơ sở của bó) là cặp
( )
,
σ
℘
lập nên từ không gian tôpô
℘
và ánh xạ
: X
σ
℘→
(gọi là phép chiếu) nếu thực hiện được các điều kiện sau
đây
i) Hình chiếu
σ
là đồng phôi địa phương khắp nơi trên
℘
ii) Đối với mỗi điểm P thuộc X ,trong nghịch ảnh
( )
1
P
P
σ
−
℘ =

gọi là thớ của bó trên P, đã đưa vào cấu trúc đại số
iii) Các phép tính đại số trong thớ liên tục trong tôpô
℘
Ví du:

1. Cho đa tạp giả tích phức V.Đặt
z
z V
O O
∈
= ∪
là tập các mầm hàm chỉnh
hình trên V.Trên O ta đưa vào tôpô trong đó lân cận là tập các mầm
thuộc một hàm chỉnh hình.Điều đó được làm như sau.Xét mầm tùy ý
z
f O∈
và hàm tùy ý f biểu diễn nó.giả sử U là một lân cận tùy ý của
điểm z trong đó f chỉnh hình.Tập các mầm
U
U f
η
η
∈
= ∪
%
được gọi là lân
cận của
z
f
.Phép chiếu là ánh xạ
:

z
O V
f z

π
→
a
Tính chất đồng phôi địa phương có nghĩa là nếu hạn chế phép chiếu
trên một lân cận nào đó
U
%
thì nó là đơn trị hai chiều.
Các phép tính đai số đối với các mầm xác định tại cùng một điểm là
liên tục trong tôpô đã xét.Có nghĩa là nếu
z z z
h f g= +
thì với lân cận
tùy ý
( )
z
U h
%
tồn tại các lân cận
( ) ( )
,
z z
V f V g
% %
sao cho với mọi
( )
z
f V f
η
∈

%

và
( )
z
g V g
η
∈
%
ta có
( )
z
f g U h
η η
+ ∈
%
.Điều này có thể chứng minh không
mấy khó khăn.Như vậy ta có bó các mầm hàm chỉnh hình.
2. Tương tự ta có bó các mầm hàm phân hình
z
z V
M M
∈
= ∪
có thể xét
như bó trường.
3. Bó
( )
,p q
F

các mầm dạng vi phân song bậc (p,q) với hệ số khả vi vô
hạn có thể xét như bó nhóm cộng.
4. Các bó hằng Z, R, C.
Các đối tượng mà ta sẽ khảo sát thực chất là các thiết diện theo định
nghĩa sau
Định nghĩa: Thiết diện của
( )
,
σ
℘
trên tập mở
U X
⊂
là ánh xa liên tục
:f U →℘
sao cho hợp
f
σ
°
là ánh xạ đồng nhất trong U.
Như vậy có thể xem thiết diện chính là các hàm trên X.Tập tất cả các
thiết diện của bó trên U kí hiệu là
( )
,
U
U℘ = Γ ℘
Ta chú ý tính chất sau (do tính đồng phôi địa phương của phép chiếu),
nếu U liên thông và có
P U
∈

sao cho
( ) ( )
f P g P=
thì
f g≡
trên U
với f,g là các thiết diện nào đó trên U.Điều này cho phép cảm sinh các
phép toán trên các
P
℘
lên
U
℘
Bó có thể xây dựng từ tiền bó thông qua giới hạn tôpô, điều này thực
chất là cho trước các thiết diện.Ta nói tới các khái niệm này.
Định nghĩa: Ta nói rằng trên không gian tôpô X đã xho tiền bó cấu
trúc đại số nào đó nếu
i) Đã cho cơ sở
{ }
U
các tập mở của tôpô X.
ii) Kết hợp mỗi tập mở U của cơ sở với một cấu trúc đại số
U
℘
iii) Với mỗi cặp U,V thuộc
{ }
U
sao cho
V U
⊂

kết hợ một đồng cấu
:
UV U V
ρ
℘ →℘
dồng thời thực hiện được điều kiện bắc cầu sau đây: nếu
W V U⊂ ⊂

thì
UW VW UV
ρ ρ ρ
= °
Ví dụ: Tiền bó được cho là là bộ các hàm chỉnh hình hay các thiết
diện
( ) ( )
,U O H UΓ =
.Các đồng cấu ở đây là cá ánh xạ nhúng tự nhiên
vành
( )
H U
vào
( )
H V
tương ứng mỗi hàm f với hạn chế của nó trên V
Bây giờ ta nói tới quá trình địa phương hóa đưa từ tiền bó về bó tương
tự như cách xây dựng bó O.
Giả sử cho tiền bó nào đó
{ }
U
℘

trên không gian tôpô X .Đối với mỗi
điểm
P X∈
ta xét cơ sở
P
U
các lân cận của điểm này.Ta gọi hai phần
tử
U U
f ∈℘
và
V V
g ∈℘
là tương đương tại điểm P nếu tồn tại lân cận
P
W U∈
sao cho
W U V
⊂ ∩
và
( ) ( )
UW U VW V
f g
ρ ρ
=
Tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ này gọi là giới hạn tôpô
và kí hiệu
lim
P
P U

U U
top
∈
℘ = ℘
Trong tập
P
℘
bằng cách tự nhiên ta đưa vào cấu trúc đại số đã cho
trong
U
℘
.
Tập
P
P X∈
℘= ∪ ℘
có thể xét như bó trên không gian X.Phép chiếu được
định nghĩa đơn giản là ánh xạ
P
P
℘ →
.Tôpô trên
℘
được xây dựng
như sau.Với mỗi lân cận
P
U U∈
lập ánh xạ
:
PUP U

ρ
℘ →℘
cho tương
ứng mỗi phần tử
U
f ∈℘
với lớp tương đương
P P
f ∈℘
chứa phần tử
đó.Nhờ đó ta định nghĩa lân cận của
P
f
là
( ) ( )
Q
U
UP
Q
fU f
ρ
∈
℘= ∪ ⊂
%
Có thể chứng minh rằng các lân cận đã nói lập thành cơ sở tôpô của
℘

và trong tôpô đó phép chiếu là đồng phôi địa phương và các phép tính
đại số liên tục.
b. Các nhóm đối đồng điều

Ta sẽ định nghĩa các nhóm này đối với phủ rồi nhờ giới hạn tôpô để
chuyển nó sang toàn không gian.
Giả sử X là không gian tôpô và trên nó cho bó nhóm Aben
℘
xét phủ
mở
{ }
A
U U
α
α
∈
=
của không gian X và với mỗi số nguyên
0p ≥
xây
dựng đa chỉ số
( )
1
0
, ,
p
p
A A A
α α α
+
= ∈ = × ×
và kí hiệu
0

p
U U U
α α α
= ∩ ∩
Định nghĩa: Đối dây chuyền cấp p với hệ số trong bó
℘
đối với phủ U
đã cho là hàm h, đặt tương ứng mỗi đa chỉ số
1p
A
α
+
∈
với thiết diện
( )
,
U
h U
α
α α
∈℘ = Γ ℘
sao cho
h
α
là hàm phản xứng của các chỉ số
0
, ,
p
α α
Nếu

U
α
trống thì ta xem
0h
α
=
.Tập tất cả các đốii dây chuyền
cấp p với hệ số trong bó
℘
lập nên một bộ các nhóm mà ta ký hiệu
qua
( )
,
p
C U ℘
.
Định nghĩa: Toán tử đối bờ là ánh xạ
( ) ( )
1
: , ,
p p
C U C U
δ
+
℘ → ℘
đặt tương ứng mỗi đối dây chuyền h cấp p với đối dây chuyền
h
δ
cấp
p+1 theo quy tắc

( ) ( )
0 1
0 1
1


0
1
p
p
v
p
v
v
h h
α α
α α
δ
+
+
+
Λ
=
= −
∑
Ta chú ý tính chất
0
δδ
=
.

Định nghĩa: Đối chu trình cấp p là đối dây chuyền h mà
0h
δ
=
.Tập
( ) ( )
{ }
, : 0,
p p
h hZ U C U
δ
℘ = ∈ ℘ =
được gọi là nhóm các đối chu
trình.Đối chu trình h được gọi là đối đồng điều với không hay đối bờ
nếu tồn tại đối dây chuyền g sao cho
g h
δ
=
.Nhóm các đối bờ kí hiệu
là
( )
,
p
B U ℘
.Nhóm thương
( ) ( ) ( )
, , / ,
p p p
H U Z U B U℘ = ℘ ℘
được gọi là

nhóm đối đồng điều thứ p đối với phủ U.
Trường hợp riêng p = 1 đối dây chuyền
{ }
h
αβ
được xác định trên các giao
U
αβ

các tập của phủ sao cho
0h h
αβ βα
+ =
.toán tử đối bờ chuyển chúng thành
các dạng cấp 2
( )
hh h h
αβ αγ βγ
αβγ
δ
= − +
trong
U U U U
αβγ α γβ
= ∩ ∩
do đó
các đối chu trình là các đối dây chuyền mà
0h h h
αβ βγ γα
+ + =

.Đối bờ
của đối dây chuyền
{ }
h
α
cấp 0 là
( )
h hh
α β
αβ
δ
= −
.Do đó đối chu trình
đồng điều 0 cấp 1 là những cái mà
h h h
αβ α β
= −
.Như vậy nhóm
( )
1
,H U ℘
tương tự với nhóm
( )
1
,H U O
đã xét.
Các đối chu trình cấp 0 là các đối dây chuyền
{ }
h
α

mà
0h h
α β
− =
trong
giao
U
αβ
, và do đó nó xác định một thiết diện toàn cục.Mặt khác đối bờ cấp 0 thì
chỉ là đối chu trình 0 vì không có các đối dây chuyền cấp -1.Do đó ta có
Định lí: Nhóm đối đồng điều không chiều với hệ số trong bó
℘
trên không
gian X với phủ U tùy ý đẳng cấu với nhóm các thiết diện toàn cục của
bó này
( ) ( )
0
, ,XH U ℘ Γ ℘;
Bây giờ ta thực hiện giới hạn tôpô.Giả sử cho hai phủ mở
{ }
A
U U
α
α
∈
=

và
{ }
B

V V
β
β
∈
=
.Ta nói phủ thứ hai mịn hơn phủ thứ nhất kí hiệu
V Up

nếu tồn tại ánh xạ
: B A
ρ
→
sao cho
( )
,V U B
ρ β
β
β
⊂ ∀ ∈
.Ta lập đồng cấu
( ) ( )
: , ,
p p
UV
C U C V
ρ
℘ → ℘
bằng cách cho tương ứng mỗi đối dây chuyền
h
β

đối dây chuyền
( )
( )
UV
h h
β
ρ β
ρ
=
là hạn chế của nó.Đồng cấu này cảm sinh ra đồng cấu
( ) ( )
*
: , ,
p p
UV
H U H V
ρ
℘ → ℘
Định lí: Đồng cấu
( ) ( )
*
: , ,
p p
UV
H U H V
ρ
℘ → ℘
không phụ thuộc cách
chọn
ρ

.
Chứng minh.Xem [1, tr 282] hoặc [1, tr 177]
Như vậy ở dây ta có tình huống tương tự như tiền bó.Với phương
pháp tương tự ta đi đến:
Định nghĩa: Ta gọi hai phần tử
( )
p
U
f H U∈
và
( )
p
V
g H V∈
là tương
đương nếu tồn tại phủ sao
,W U W Vp p
và
( ) ( )
UW U VW V
f g
ρ ρ
=
Tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ này gọi là giới hạn tôpô
và kí hiệu
( ) ( )
, lim ,
p p
U
H X topH U℘ = ℘

được gọi là nhóm đối đồng điều thứ p của không gian X
Nhận xét: Nếu với không gian X tồn tại các phủ U mịn tùy ý và
( )
, 0
p
H U ℘ =
thì
( ) ( )
, lim , 0
p p
U
H X topH U℘ = ℘ =
.
c. Dãy khớp bó
Trước hết ta định nghĩa ánh xạ bó.Cho hai bó
( )
,
σ
℘
và
( )
,
τ
ℑ
trên
cùng một không gian X.Ánh xạ bó
:
ϕ
℘→ ℑ
là ánh xạ liên tục sao cho

khắp nơi trong
℘
có
τ ϕ σ
=°
.
Chú ý rằng đối với mọi điểm
P X∈
ta có
( )
P P
ϕ
℘ ⊂ ℑ
.Mặt khác nếu
U
f ∈℘
thì
f
ϕ
°
liên tục trong U và
( )
f f
ϕ στ
=° ° °
là ánh xạ đồng
nhất có nghĩa là
U
f
ϕ

∈ℑ°
.
Ánh xạ bó sẽ là đồng cấu bó nếu nó bảo toàn các phép tính đại số
trong mọi thớ, sau đó là đẳng cấu nếu nó là đơn trị hai chiều lên
ℑ
.
Ảnh của đồng cấu bó có thể xem như bó con nên ta nêu ra khái niệm
này.Ta nói
( )
,
σ
℘
là bó con của bó
( )
,
σ
ℑ
nếu 1)
℘
mở trong
ℑ
, 2)
( )
X
σ
℘ =
3)Với mọi
P X∈
thớ
P

℘
là nhóm con của
P
ℑ
.Khi đó ta có
thể lập bó thương
/ /
P P
P X∈
ℑ ℘= ∪ ℑ ℘
với tôpô thương.
Bây giờ ta nói tơis dãy khớp bó.giả sử cho hai đồng cấu nhóm Aben:
1 2
0 1 2
ϕ ϕ
℘ →℘ →℘
ta nói rằng dãy trên là khớp tại
1
℘
nếu
1 2
kerim
ϕ ϕ
=
.
Dãy
1
1 1

i i

i i i
ϕ ϕ
+
− +
℘ →℘ →℘
gọi là khớp nếu nó khớp tại mỗi
i
℘
.