Bài 6 ƯDTP Tính thể tích

Bµi 6:
øng dông tÝch ph©n ®Ó tÝnh
thÓ tÝch vËt thÓ



1. Tính thể tích của vật thể
( ) ( )
1
b
a
V S x dx=
∫
α
γ
β
S(x)
a x
b
(1)
S(x)
y
z
x
y
z
x
O
•

Cho một vật thể trong không gian
toạ độ 0xyz. Gọi T là phần của vật
thể giới hạn bởi 2 mp và
Tính thể tích vật thể T ?
( )
α
( )
β

Ví dụ 1: Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích
đáy bằng B và chiều cao bằng h.
0
0
( ) .
h
h
V S x dx B x Bh
= = =
∫
S(x)=B
h
x
O
x
Hướng dẫn
Ta có: S(x) = B
Áp dụng CT (1) ta có:
(0 )x h≤ ≤

x

O
S
S(x)
h
x
V
V
í dụ 2:
í dụ 2:


Cho khối chóp
Cho khối chóp
đỉnh 0
đỉnh 0


có diện tích đáy
có diện tích đáy
bằng
bằng
S
S
và chiều cao bằng h. Tính thể tích khối
và chiều cao bằng h. Tính thể tích khối
chóp đó.
chóp đó.


HD:

HD:
¸
¸
p dông c«ng thøc
p dông c«ng thøc
( )
b
a
V S x dx
=
∫
Ta
Ta
cã
cã
:
:


( ) ( )
2
2
2
2
0
:
3
x
h
O

h
x
V S S x S x S
h
S Sh
V x dx
h
→ ⇒ =
⇒ = =
∫
A
α
C

Ví dụ 3: tính thể tích khối chóp cụt tạo bởi khối chóp
đỉnh O có diện tích hai đáy lần lượt là B, B’ và chiều
cao bằng h.
Ta có
Ta có
:
:
B
B
x
N
M
a
b
OM=a; ON=b (a<b); MN=h
,

0
2
3 3
2 2
2 2
2
' '
( )
3
( ) ( )
.
3
( )
3
b
a
x B
V B dx b a
b b
b a a ab b
B
b
h
V B BB B
= = −
− + +
=
⇒ = + +
∫
h

2. Thể tích khối tròn xoay
2. Thể tích khối tròn xoay
Bai_5.gsp
Bai_5.gsp
•
Cho hàm số y= f(x) liên tục ,
không âm trên đoạn [a; b]. Hình
phẳng giới hạn bởi các đường y =
f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh
trục Ox tạo nên một vật thể tròn
xoay T.
•
Thiết diện của vật thể T với mp
vuông góc với Ox tại điểm x là một
hình tròn bán kính y = f(x)
•
Diện tích thiết diện: S(x) = πy
2

•
Thể tích V của vật thể:
2
b
a
V y dx= π
∫
( )a x b≤ ≤
2 2
[f(x)]

b b
a a
V y dx dx= π = π
∫ ∫

1 2O
x
y
Đáp số :
Ví dụ 4: Xét hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm
số các đường
thẳng x=1, x=2 và trục
hoành. Tính thể tích khối
tròn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng đó quanh
trục hoành.
2
y x
=
Bµi 6: øng dông tÝch ph©n ®Ó tÝnh thÓ tÝch vËt thÓ
2
y x=
1
4
2 2
2 4
1 1
31
5

V y dx x dx
Π
=Π =Π =
∫ ∫

Ví dụ 5:
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y=cosx, y=0,
x=0 và x=Π/4.Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành
khi quay hình A quanh trục hoành
Đáp số:
4 4
2
0 0
( 2)
os xdx (1 os2x)dx =
2 8
V c c
Π Π
Π Π Π +
= Π = +
∫ ∫

Ví dụ 6
•
Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt
phẳng x=0 và x=3, biết rằng thiết diện của vật thể bị
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ x là một hình chữ nhật có hai kích
thước là x và
Hướng dẫn :

2
2 9 x−
(0 3)x
≤ ≤
3
2
0
2 9 18V x x dx
= − =
∫

11
11
Tương tự trên ta có:
Tương tự trên ta có:
O
x
x
y
Cho hình thang cong
Cho hình thang cong
AabB, với cung AB có PT
AabB, với cung AB có PT
là x = g(y) Hãy xác định thể
là x = g(y) Hãy xác định thể
tích vật tròn xoay khi hình
tích vật tròn xoay khi hình
thang cong đó quay quanh
thang cong đó quay quanh
Oy?

Oy?
2
d
c
V x dy
π
=
∫

12
12
[ ]
sinx
:
0;2
y
S y o
x
π

=

=


∈

Ví dụ 7
Ví dụ 7
:

:


Tính
Tính
O
x
y
π
Ta có:
Ta có:
( )
2
2
0
sin 1 os2x
2
sin 2
2 2 2
b b
a a
V xdx c dx
x
x
π
π
π
π π
= = −
 

= − =
 ÷
 
∫ ∫
[ ]
2
/ 2
: 0
2;4
y x
S x
y

=

=


∈

Ví dụ 8
Ví dụ 8
:
:


Tính
Tính
Ta có:
Ta có:

4
2
2
2 12
b
a
V yd y y
π π π
= = =
∫
O
x
y
2
4

13
13
Kh
Kh
ối cầu được sinh ra bởi đườn tròn
ối cầu được sinh ra bởi đườn tròn
(C): x
(C): x
2
2
+ y
+ y
2
2

= R
= R
2
2
quay quanh
quay quanh
Ox
Ox
O
x
x
y
THỂ TÍCH CỦA KHỐI CẦU
THỂ TÍCH CỦA KHỐI CẦU
V
V
ậy
ậy
:
:
( )
2 2
3
2 3
4
3 3
R
R
R
R

V R x dx
x
R x R
π
π π
−
−
= −
 
= − =
 ÷
 
∫

KIẾN THỨC PHẢI BIẾT TRONG BÀI
•
CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ:
( ) ( )
1
b
a
V S x dx=
∫
2 2
[f(x)]
b b
a a
V y dx dx= π = π
∫ ∫
•

THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY QUAY QUANH OX :
2 2
[g(y)]
d d
c c
V x dy dy
= π = π
∫ ∫
•
THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY QUAY QUANH OY :