de thi thu mon toan hay co dap an

TRƯỜNGĐHSPHÀNỘI ĐỀTHITHỬĐẠIHỌCLẦNIVNĂM2010
TRƯỜNGTHPTCHUYÊN–ĐHSP Mônthi:TOÁN
_______________ Thờigianlàmbài:180 phút, không kểthờigianphatđề
==========================================
Ngàythi:18–4–2010
Cừu1.(2,0điểm).Chohàmsố:y=2x
3
–3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1,trongđómlàthamsố.
1. Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủahàmsốkhim=0.
2. Chứngminhrằngvớimọigiátrịcủam,hàmsốluôncócựcđại,cựctiểuvàkhoảng
cáchgiữacácđiểmcựcđại,cựctiểucủađồthịhàmsốkhôngđổi.
Cừu2.(2,0điểm).
1. Giảihệ:
ï
î
ï
í
ì
- + = - +
- - = +
232
262
yxyxx
yx
y
x
y
(Vớix,y ÎR).
2. Giảiphươngtrình:sin

2
x+
x
x
2sin2
)2cos1(
2
+
=2cos2x.
Cừu3.(2,0điểm).
1. Tínhtíchphân:I=
ò
2
4
3
sin
cos

p
p

dx
x
xx
.
2. ChohìnhchópS.ABCcóđáyABClàtamgiácđềucạnhbằnga,mặtbên(SBC)
vuônggócvớimặtđáy,haimặtbêncònlạitạovớimặtđáymộtgóc
a
.Tính thểtích
hìnhchópS.ABC.

Cừu4.(2,0điểm).
1. Tìmnghiệmphứccủaphươngtrình:2(1+i)z
2
–4(2–i)z– 5– 3i=0.
2. Chocácsốthựcdươngx,y,z.Chứngminhrằng:
0
222
³
+
-
+
+
-
+
+
-
xz
zxz
zy
yzy
yx
xyx
Cừu5.(2,0điểm).
1. TrongmặtphẳngOxy,hãyxácđịnhtọađộcácđỉnhcủatam giácABCvuôngcântại
A.Biếtrằngcạnhhuyềnnằmtrênđườngthẳngd:x+7y– 31=0,điểmN(7;7)thuộc
đườngthẳngAC,điểmM(2;3)thuộcABvànằmngoàiđoạnAB.
2. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng
ï
î
ï

í
ì
=
+ - =
=
D
4
27:
z
ty
tx
.Gọi '
'
D làgiaotuyếncủa
haimặtphẳng(P):x–3y+z=0,(Q):x+y– z+4=0.
a) Chứngminhrằnghaiđươngthẳng D và ' D chéonhau.
b) Viếtphươngtrìnhdạngthamsốđườngvuônggócchungcủahaiđường thẳng D, ' D.
Hết
http:laisac.page.tl
HƯỚNGDẪNGIẢIBÀITHILẦN4
Câu 1.1.Tựlàm.
2. Tacóy’=6x
2
–6(2m+1)x+6m(m+1)
Þ
y’=0khix
1
=mhoặcx
2
=m+1.Dox

1
¹ x
2
vớimọimnênhàmsốluôncócựcđại,cựctiểu.GọiA(x
1
;y
1
),B(x
2
;y
2)là
cácđiểm
cựctrị
y
1
=f(x
1
)=2m
3
+3m
2
+1;y
2
=f(x
2
)=2m
3
+3m
2
Þ

AB=
2
khôngđổi(đpcm!).
Câu 2.1.Giảihệ:Điềukiện:y ¹ 0;x–2y ³ 0;x+ 02 ³ - yx .
Pt
Û
0622 = - - - - yyx
y
x
Û 6
2
2
2
-
-
-
-
y
yx
y
yx
=0(chiacảhaivếchoy)
Û
y
yx 2 -
=3hoặc
y
yx 2 -
=2.
Với

y
yx 2 -
=3
Û
î
í
ì
+ =
>
yyx
y
29
0
2
thayvàopt(2)tađượcnghiệmx=
9
24
,y=
9
4
Với
y
yx 2 -
=2
Û
î
í
ì
+ =
<

yyx
y
24
0
2
thayvàopt(2)tađượcnghiệm:x=12,y= 2.
Vậyhệcóhainghiệm(x;y)=(12;2),(
9
4
;
3
8
).
2. Giảiphương trìnhlượnggiác:
Điềukiện:sin2x ¹ 0.Pt
Û
sin
2
x+ 02
sin
cos
sin5)sin21(2
cossin4
cos4
3
22
4
= - + Û - =
x
x

xx
xx
x
Û
5+
xx
x
23
3
sin
1
.2
sin
cos
- =0
Û
cot
3
x–2cot
2
x+3=0
Û
(cotx+1)(cot
2
x–3cotx+3)=
0
Û
cotx=1(Vỡcot
2
x –cotx+3>0)

Û
x= Zkk Î + - ,.
4

p
p

(thỏamónđiềukiện).
Vậyphươngtrìnhcónghiệm:x= Zkk Î + - ,.
4

p
p

.
Câu3.1.Tínhtíchphân:Tacó
'
2
sin
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
x
=
x
x

3
sin
cos2
- nờn
I=
ò
-
2
4
2
)
sin
1
(
2
1

p
p

x
xd =
2
4
2
|
sin
1
.
2

1

p
p

x
x - +
2
4
2
4
2
|cot
2
1
)
22
(
2
1
sin
2
1

p
p
p
p
p p


x
x
dx
- - - =
ò
=
2
1
.
2.Tính thể tíchkhốichóp:HạSH ^ BC
Þ
SH ^ (ABC)(vỡ:(SBC) ^ (ABC)).
HạHM ^ AB,HN ^ ACthỡ Ð SMH= Ð SNH=
a

Þ
D SHM= DSHN
Þ
HM=HN
Þ
HlàtrungđiểmcủaBC(vỡtamgiỏcABCđều)
Þ
HM=
4
3
2
ah
=
Þ
SH=HM.tan

a
=
4
3a
tan
a
.Vậythểtíchkhốichóplà:V
S.ABC
=
3
1
.SH.S
ABC
=
16
tan
3

a
a
.
Câu4.1.Tìmnghiệmphức:
Tacó D ’=4(2–i)
2
+2(1+i)(5+3i)=16.Vậyphươngtrìnhchohainghiệmlà:
Z
1
=
i
ii

i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
- =
- -
=
+
-
=
+
+ -
Z
2
=
i
ii
i
i
i

i
2
1
2
1
2
)1)((
1)1(2
4)2(2
- - =
- -
=
+
-
=
+
- -
2.ChứngminhBĐT:
Tacó:
22)(2
)(22)(
22
yxyx
x
yx
yx
x
yx
xy
x

yx
xyyxx
yx
xyx -
=
+
- =
+
+
- ³
+
- =
+
- +
=
+
-
(1)(vỡx,y>0)
Tươngtự:
2
2
zy
zy
yzy -
³
+
-
(2),
2
2

xz
xz
zxz -
³
+
-
(3).Cộngtừngvế(1),(2),(3)suyra:
0
222
222
=
-
+
-
+
-
³
+
-
+
+
-
+
+
- xzzyyx
xz
zxz
zy
yzy
yx

xyx
.Đẳngthứcxảyrakhix=y=z
(đpcm!).
Câu5.1.Xácđịnhtọađộcácđỉnh:
ĐườngthẳngABđiquaM(2;3)nêncóphươngtrình:a(x–2)+b(y+3)=0,(a
2
+b
2
¹ 0).
DotamgiỏcABCvuôngcântạiAnên:
22
0
.50
7
45cos
2
1
ba
ba
+
+
= =
Û
12a
2
7ab12b
2
=0
Û
ê

ë
é
- =
=
ba
ba
34
43
.
Với:3a=4b,Chọna=4,b=3tađượcd
1
:4x+3y+1=0.
Với:4a=3b,chọna=3,b= 4tađượcd
2
:3x–4y–18=0.
+)NếulấyABlàd
1
:4x+3y+1=0thì AC//d
2
nờnAClà:3(x7)–4(y–7)=0
Û
3x–
4y+7=0.
HệphươngtrìnhtọađộA:
î
í
ì
= + -
= + +
0743

0134
yx
yx
Û
A(1;1)
Hệphương trìnhtọađộB:
î
í
ì
= - +
= + +
0317
0134
yx
yx
Û
B(4;5).
Tacó: MAMBMBMA 2)8;6(),4;3( = Þ - = - =
Þ
MnằmngoàiđoạnAB(Thỏamãn)
HệphươngtrìnhtọađộC:
î
í
ì
= - +
= + -
0317
0743
yx
yx

Û
C(3;4).
+)NếulấyABlàd
2
sẽkhôngthỏamãn.
VậyA(1;1),B(4;5)vàC(3;4).
2.a).Đườngthẳng D điquaM(0;7;4)vàcóVTCP ).0;2;1(
1
=u
Đườngthẳng D ’điquaN(0;2;6)cóVTCP
2
u =(
1 1
31
;
11
1 1
;
11
31 -
- -
-
)=(2;2;4)
Tacó[
21
,uu ]=(8;4;2)và )2;9;0( =MN
Þ
[
21
,uu ].

MN
=0–36– 4=40 ¹ 0.
Vậy D, D ’chéonhau.
b).Đườngvuônggócchungdcủa D,D ’cóVTCP:
u
=(4;2;1)(=ẵ.[
21
,uu ]).
GọiHKlàđoạnđườngvuônggócchungcủa D, D’vớiH D Î D Î K, ’.
Tacó:H=(t;7+2t;4),K(s;2+s;6+2s)
Þ
HK(s–t;9+s–2t;2+2s)cũnglàVTCPcủa
d.
Suyra:
1
22
2
29
4 -
+
=
-
- +
=
- ststs
Þ
s=
21
11
- ,t=

7
23
Þ
H( )4;
7
3
;
7
23
-
Vậyphươngtrìnhthamsốđườngvuônggócchunglà:
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
- =
- - =
+ =
tz
ty
tx
4
2
7
3

4
7
23
.