một số kinh nghiệm khi giải bài toán cơ học trong hệ quy chiếu quán tính và không quán tính

Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
Lời nói đầu
Chuyển động là một khái niệm cơ bản trong cơ học. Chuyển động của một vật thể
là sự thay đổi vò trí của vật đó so với các vật khác theo thời gian.
Để xác đònh vò trí của một vật trong không gian ta cần chọn một vật làm mốc và
một hệ trục tọa độ gắn với vật làm mốc nhằm xác đònh các tọa độ của vật đó. Trong
trường hợp đã biết rõ qũy đạo thì chỉ cần chọn một điểm làm mốc và một chiều dương
trên qũy đạo là đủ. Khi nghiên cứu chuyển động của một vật là cho biết tọa độ của vật
đó ở những thời điểm khác nhau. Muốn thế ta phải chọn gốc thời gian, thông thường
người ta chọn gốc thời gian là thời điểm vật bắt đầu chuyển động và phải dùng đồng hồ
để đo khoảng thời gian trôi qua tính từ gốc thời gian đến thời điểm mà ta quan tâm.
Một sự kiện khá hiển nhiên là một vật đứng yên trong hệ quy chiếu này lại có thể
chuyển động so với hệ quy chiếu khác. Chẳng hạn, người ngồi trên toa xe lửa đang
chuyển động sẽ nói rằng cái ghế anh ta đang đứng yên trong không gian, trong khi một
người đứng ở sân ga lại khẳng đònh cái ghế đó đang chuyển động. Từ đó ta thấy rằng,
chuyển động của một vật thể được nhận thấy theo cách khác nhau bởi hai người quan
sát đang chuyển động tương đối với nhau. Rõ ràng chuyển động hay đứng yên chỉ có
tính chất tương đối tùy theo hệ quy chiếu mà ta chọn.
Vì vậy, đối với việc giải một bài toán cơ học, chọn hệ quy chiếu là công việc quan
trọng đầu tiên. Khi chúng ta chọn hệ quy chiếu thích hợp giúp cho việc giải bài toán trở
nên đơn giản hơn rất nhiều. Nhưng cơ học không phải là một môn học dễ, do đó với
những kiến thức đã có chúng tôi gặp phải không ít khó khăn trong việc vận dụng nó
vào các bài toán cơ học hay giải thích các hiện tượng vật lý trong đời sống, trong tự
nhiên. Bên cạnh đó, việc cải cách nội dung chương trình bộ môn Vật lý ở cấp phổ
thông trung học đã đưa thêm một số kiến thức mới về cơ học nói chung, đặc biệt về hệ
quy chiếu không quán tính và lực quán tính nói riêng. Những vấn đề này chưa đề cập
trong sách giáo khoa phổ thông mà chỉ nói đến ở chương trình các lớp chuyên Lý và
Đại học.

Đứng trước những băn khoăn ấy, được sự hướng dẫn của thầy Dương Đào Tùng, tôi
quyết đònh nghiên cứu về đề tài “Một số kinh nghiệm khi giải bài toán cơ học trong hệ

quy chiếu quán tính và không quán tính”.
Hy vọng rằng, qua đó tôi sẽ nắm được sâu sắc và kỹ càng hơn những kiến thức về
cơ học, mà trong đó đặc biệt là hệ quy chiếu quán tính và không quán tính. Đây là
những kiến thức quan trọng khi nói đến chuyển động cơ học, mà chúng sắp được triển
khai đại trà vào sách giáo khoa phổ thông. Vì thế, tôi mong rằng: luận văn này sẽ như
một tài liệu tham khảo, giúp các bạn sinh viên khoa Vậy lý bổ sung một số kiến thức
cần thiết phục vụ cho việc giảng dạy sau này.
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 1
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
PHẦN I
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
A. HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH
I. KHÁI NIỆM HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH:
Ý nghóa của đònh luật I Newton là ở chỗ nó đònh nghóa một loại hệ quy chiếu, trong
đó các đònh luật của Newton áp dụng được. Do đó, đònh luật I Newton có thể phát biểu
như sau:
“Nếu hợp các lực tác dụng lên vật bằng không (0) thì có thể tìm được các hệ quy
chiếu, trong đó vật này không có gia tốc”.
“Tồn tại những hệ quy chiếu mà đối với chúng, một vật sẽ bảo toàn vận tốc của
mình, nếu không chòu tác dụng của vật khác, hoặc tác dụng của vật khác bù trừ lẫn
nhau”.
Những hệ quy chiếu trong đó đònh luật I Newton được nghiệm đúng gọi là hệ quy
chiếu quán tính hay hệ quy chiếu Galilée. Và nếu đã tồn tại một hệ quy chiếu quán
tính thì sẽ tồn tại vô số hệ quy chiếu quán tính khác, đó là những hệ quy chiếu chuyển
động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính mà ta đã xác đònh được.
Theo cách đònh nghóa này thì đònh luật I Newton là tiêu chuẩn xác đònh một hệ quy
chiếu là hệ quán tính hay không quán tính.
* Vấn đề đặt ra là trong thực tế người ta xem những hệ quy chiếu nào là hệ quy
chiếu quán tính:
Khi chưa có cách xác đònh một hệ quy chiếu theo nghóa tuyệt đối người ta quy ước

chọn một số hệ quy chiếu mà ta có thể xem gần đúng là hệ quy chiếu quán tính.
- Khi khảo sát chuyển động của các vật trên mặt đất hoặc ở lân cận mặt đất xảy ra
trong một khoảng thời gian ngắn và trong khoảng không gian hẹp, người ta chọn hệ quy
chiếu gắn với mặt đất hoặc chuyển động thẳng đều so với mặt đất là hệ quy chiếu quán
tính. Hệ quy chiếu này thường được sử dụng trong việc giải đa số các bài toán cơ học.
- Hệ quy chiếu đòa tâm: xem hệ quy chiếu gắn với tâm trái đất là hệ quy chiếu quán
tính. Hệ quy chiếu này được dùng trong việc khảo sát chuyển động của các vệ tinh
nhân tạo, mặt trăng, các con tàu vũ trụ bay quanh trái đất.
- Hệ quy chiếu Copernic (hệ Nhật tâm): khi nghiên cứu phạm vi rộng như chuyển
động của các hành tinh, Newton chọn hệ quy chiếu lấy gốc ở tâm mặt trời và có ba trục
tọa độ hướng về ba ngôi sao cố đònh ở rất xa mặt trời. Hệ quy chiếu gắn với tâm mặt
trời là hoàn toàn thích hợp để đònh luật quán tính được nghiệm đúng với độ chính xác
cao trong các hiện tượng cơ học mà ta nghiên cứu.
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 2
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
Các hệ quy chiếu trên thực ra không hẳn là hệ quy chiếu quán tính, chúng ta sẽ xét
kỹ hơn ở phần III.
II. NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐỐI GALILÉE:
Theo đònh luật thứ nhất của Newton, ta thấy rằng căn cứ vào chuyển động tự do của
các chất điểm thì không thể phân biệt được hệ quy chiếu quán tính này với hệ quy
chiếu quán tính khác. Nói khác đi không có một hiện tượng vật lý hay hiện tượng tự
nhiên nào có thể giúp ta phân biệt được hệ quy chiếu quán tính với nhau. Đó là nội
dung của nguyên lý tương đối Galilee’: “Mọi hiện tượng cơ học xảy ra giống hệt nhau
trong các hệ quy chiếu quán tính, nếu các điều kiện ban đầu giống nhau”.
Còn nếu các điều kiện ban đầu khác nhau. Thì dó nhiên hiện tượng có những nét
khác nhau. Thí dụ, người ở trong toa tàu chuyển động thẳng đều đối với Trái Đất sẽ
thấy hòn bi rơi thẳng đứng nhưng người đứng ở bên đường sẽ thấy hòn bi rơi theo qũy
đạo parabol. Đó là vì các điều kiện ban đầu khác nhau: đối với toa tàu hòn bi không có
vận tốc ban đầu, nhưng đối với Trái Đất nó có vận tốc ban đầu bằng vận tốc của toa
tàu.

Điều này chứng tỏ rằng: dù cho quan điểm của những người quan sát, nghiên cứu
hiện tượng trong hai hệ quy chiếu quán tính là hoàn toàn bình đẳng nhau nhưng các kết
luận của họ về một sự kiện là khác nhau. Nhưng các kết luận trên đều đúng.
Nguyên lý tương đối cho phép chọn một hệ quy chiếu quán tính bất kỳ khi nghiên
cứu một hiện tượng cơ học: “Mọi hệ quy chiếu quán tính là bình đẳng như nhau, không
có hệ nào ưu tiên hơn hệ khác”. Nhưng không được đưa ra các kết luận chung, đúng vô
điều kiện như người ta nói một cách tuyệt đối về vò trí trong không gian và về tốc độ
chuyển động. Các khái niệm về vò trí không gian và tốc độ của chuyển động đều là
tương đối. Khi nói về các khái niệm tương đối như thế thì cần phải chỉ rõ chúng được
xét trong hệ quy chiếu quán tính nào. Việc không có một quan điểm đúng duy nhất về
chuyển động dẫn đến ta thừa nhận tính tương đối của không gian.
III. MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐỘNG HỌC-ĐỘNG LỰC HỌC-CÁC ĐỊNH LUẬT
NĂNG LƯNG TRONG HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH:
1. Công thức động học chất chất điểm:
1.1. Phương trình chuyển động và phương trình qũy đạo
- Dạng vectơ:
)(trr =
a. Phương trình chuyển động
- Trong hệ tọa độ Descartes:





=
=
=
)(
)(
)(

tzz
tyy
txx
- Trong hệ tọa độ cầu:
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 3
o
z
z
e
y
x
θ
ϕ
r
e
ϕ
e
θ
e
y
z
x
ο
r
M
,
M
Toạ độ cầu
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng






=
=
=
)(
)(
)(
t
t
trr
ϕϕ
θθ
b. Phương trình qũy đạo:
Khử t từ các phương trình trên ta sẽ được phương trình biểu thò quan hệ giữa các tọa
độ x, y, z hoặc r,
θ
,
ϕ
của chất điểm chuyển động.
1.2. Vận tốc
a. Vận tốc trung bình
t
r
t
s
V
tb

∆
∆
=
∆
∆
=
zyx
tb
e
t
z
e
t
y
e
t
x
V
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
=
Tốc độ trung bình:
t
s

v
∆
∆
=
b. Vận tốc tức thời
zyx
t
e
dt
d
e
dt
dy
e
dt
dx
dt
rd
dt
r
V ++==
∆
=
→∆ 0
lim
zzyyxx
eVeVeVV ++=
Độ lớn:
222222 °°°
++=++= zyxVVVV

zyx
1.3. Gia tốc
a. Gia tốc trung bình
t
V
t
VV
a
tb
∆
∆
=
∆
−
=
12
b. Gia tốc tức thời
2
2
0
lim
dt
rd
dt
vd
t
v
a
t
==

∆
∆
=
→∆
zzyyxxz
z
y
y
x
x
eaeaeae
dt
dv
e
dt
dv
e
dt
dv
a ++=++=
Độ lớn:
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 4
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
2
2
2
2
2
2
2

2
2
222








+








+








=++=

dt
zd
dt
yd
dt
xd
aaaa
zyx
Có thể phân tích
a
thành 2 thành phần (trong chuyển động cong):
- Gia tốc tiếp tuyến:
τ
τ
.
dt
dv
a =
- Gia tốc pháp tuyến:
n
R
V
a
n
2
=
(R: bán kính cong qũy đạo)
n
aaa +=
τ

Về độ lớn:
2
2
2
22








+






=+=
R
V
dt
dv
aaa
n
τ
Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi độ lớn của vận tốc theo phương qũy đạo.
Gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi phương của vận tốc, nó bao giờ cũng

hùng về phía lõm của qũy đạo.
2. Công thức động học chất điểm:
2.1. Các đònh luật Newton
a. Đònh luật I
“Nếu không chòu tác dụng của lực nào hoặc nếu chòu tác dụng của các lực cân bằng
nhau, một vật đang đứng yên sẽ tiếp tục đứng yên, đang chuyển động sẽ tiếp tục
chuyển động, thẳng đều”.
Đònh luật 1 Newton bao gồm những nội dung sau:
- Khẳng đònh lực không phải là nguyên nhân của chuyển động mà là nguyên nhân
của biến đổi chuyển động, tức là của gia tốc.
- Nhờ tin vào đònh luật I mà Galilee’ và Newton đã phát hiện ra ma sát cản trở
chuyển động của mọi vật.
- Phát hiện ra quán tính của mọi vật.
- Phát hiện ra hệ quy chiếu quán tính hoặc không quán tính.
Tuy thí nghiệm lòch sử của Galilée thuộc loại thí nghiệm tưởng tượng và đònh luật I
Newton vẫn là đònh luật lý tưởng hóa. Cho mãi đến ngày nay, bằng kỹ thuật tạo ra
“đệm không khí” người ta gần như loại bỏ được ma sát và do đó mới tạo ra được thí
nghiệm kiểm chứng một phần của đònh luật I Newton (trường hợp vật chòu các lực cân
bằng) và người ta cũng đã chế tạo được các con tàu vũ trụ, như tàu Voyager được
phóng năm 1977 bay về phía sao Hải Vương. Trong khoảng không gian vũ trụ cách xa
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 5
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
các vì sao, các con tàu vũ trụ chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu gắn với mặt
trời mà không cần lực nào để duy trì chuyển động.
b. Đònh luật II
Trường hợp khối lượng của vật là không đổi:
m
F
A =
Dưới dạng tổng quát:

( )
vm
dt
d
dt
pd
F ==
Đònh luật II Newton cho ta đònh nghóa của lực: Lực là khối lượng của vật nhân với
gia tốc của nó (theo nhà vật lý Richard Feynman).
c. Đònh luật III
- Nội dung: lực và phản lực có giá trò bằng nhau, cùng chung một giá nhưng hướng
ngược chiều nhau.
- Ý nghóa:
. Đònh luật III Newton không chỉ đúng cho các vật đứng yên mà còn đúng cho cả
các vật chuyển động, không chỉ đúng cho loại tương tác tiếp xúc (lực đàn hồi, lực ma
sát) mà còn đúng cho loại tương tác từ xa thông qua một trường lực (trọng lực, điện lực,
từ lực).
. Đònh luật III nói rằng, tác dụng của vật này lên vật khác bao giờ cũng là tác dụng
tương hỗ và lực bao giờ cũng xuất hiện từng cặp trực đối, chứ không cân bằng.
2.2. Một vài loại lực trong tự nhiên
a. Lực hấp dẫn
m
1
12
F

21
F
m
2

12
3
12
21
12

r
r
mmG
F −=
Về độ lớn:
2
21

r
mmG
F =
(
2
2
11
/10.68,6 kgNmG
−
=
: hằng số hấp dẫn)
b. Trọng lực
Trọng lực là lực mà trái đất tác dụng lên vật. Có thể xem gần đúng trọng lực là lực
hút của trái đất tác dụng lên vật.
gmP .=
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 6

r
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
với
3

r
rmG
g −=

g: gia tốc trọng trường (gia tốc rơi tự do), phụ thuộc vào khoảng cách giữa vật
và tâm trái đất.
Gia tốc trọng trường trên mặt đất:
2
2
/8,9
.
sm
R
MG
g
o
==
Ngoài ra gia tốc trọng trường còn phụ thuộc vào những yếu tố như: vó độ đòa lý, trái
đất không đồng tính và quay quanh trục.
c. Trọng lượng
Quan điểm trước đây về trọng lượng: trọng lượng là lực mà vật tác dụng lên giá đỡ
hay dây treo, do nó bò trái đất hút mà không được tự do chuyển động.
Trong thực tế, có nhiều trường hợp vật được đặt trong hệ quy chiếu chuyển động có
gia tốc thì dựa vào quan điểm trên khó xác đònh trong lượng của vật. Người ta đã đưa ra
quan điểm mới về trọng lượng:

“Hợp lực của trọng lực và lực quán tính tác dụng lên một vật gọi là trọng lực biểu
kiến của vật”:
).( agmFPP
qbk
−=+=
Lực kế đo trọng lượng biểu kiến của vật:
)(. agmP
bk
−=
d. Lực đàn hồi
Lực đàn hồi của lò xo xuất hiện ở cả hai đầu của lò xo và tác dụng vào các vật tiếp
xúc (hay gắn) với lò xo làm lò xo biến dạng. Khi bò dãn, lực đàn hồi của lò xo hướng
vào trong lò xo, còn khi bò nén, lực đàn hồi của lò xo hướng ra ngoài.
Theo đònh luật Hooke (trong giới hạn đàn hồi):
F
đh
lk ∆=
Trong đó:
- k: độ cứng (hệ số đàn hồi) của lò xo.
-
o
lll −=∆
: độ biến dạng (độ dãn hay nén) của lò xo.
Đối với dây cao su, dây thép… lực đàn hồi gọi là lực căng.
Đối với các mặt tiếp xúc bò biến dạng khi ép vào nhau lực đàn hồi gọi là áp lực hay
lực pháp tuyến.
e. Lực ma sát
- Lực ma sát nghỉ:
. Xuất hiện ở mặt tiếp xúc và giữ cho vật đứng yên khi nó bò một lực tác dụng song
song với mặt tiếp xúc.

. Hướng của nó ngược với hướng của lực tác dụng.
. Độ lớn của nó bằng độ lớn của lực tác dụng:
F
msn
= F
t
(F
t
: ngoại lực tiếp tuyến)
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 7
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
. Có độ lớn cực đại:
F
ms nghỉ cực đại
=
N
o
.
µ
hay F
ms nghỉ
N
o
.
µ
≤
(
:
o
µ

hệ số ma sát nghỉ)
Lực ma sát nghỉ cực đại lớn hơn lực ma sát trượt:
F
ms nghỉ cực đại
≥
F
mst
- Lực ma sát trượt:
. Xuất hiện ở mặt tiếp xúc của hai vật đang trượt trên nhau.
. Có hướng ngược với hướng của vận tốc tương đối của vật này so với vật kia.

V
mst
F'
. Độ lớn:
F
mstrượt
N.
µ
=

µ
: hệ số ma sát trượt
N: độ lớn của áp lực do vật nén lên bề mặt tiếp xúc
- Lực ma sát lăn: lực ma sát lăn xuất hiện khi một vật lăn
trên một vật khác để cản trở chuyển động lăn. Lực ma sát lăn
cũng tỉ lệ với áp lực, nhưng hệ số ma sát lăn nhỏ hơn hệ số ma
sát trượt hàng chục lần.
f. Lực cản phụ thuộc vận tốc
VKF

c
.
1
−=
(với
V
nhỏ)
VVKF
c
.
2
−=
(với
V
lớn)
K
1,
K
2
: các hệ số tỉ lệ
3. Các đònh luật năng lượng
- Hệ cô lập là hệ không có tác dụng của ngọai lực.
Ví dụ: tên lửa chuyển động trong khoảng không gian vũ trụ, xa các hành tinh.
- Hệ cô lập cũng là hệ có các ngoại lực tác dụng nhưng các ngoại lực đó cân bằng
nhau.
Ví dụ: hệ vật chuyển động trên mặt phẳng ngang không có ma sát.
- Trường hợp đặc biệt: một hệ lúc bình thường là không cô lập, trong một khoảng
thời ngắn
t
∆

trong hệ xảy ra va chạm hoặc phân hủy mạnh, sao cho nội lực tương tác
giữa các bộ phận của hệ có cường độ rất lớn vượt trội hẳn các ngoại lực. Trong điều
kiện đó trong khoảng thời gian
t
∆
có thể coi hệ gần đúng là cô lập và áp dụng được
luật bảo toàn động lượng.
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 8
V
msl
F
N
ms
F
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
3.1. Đònh luật biến thiên và bảo toàn động lượng
- Đònh lý biến thiên động lượng viết dưới dạng:
( )
dtFvdmvmdpd ===
hay
F
dt
pd
=
chỉ nghiệm chính xác trong trường hợp
F
không đổi. Nếu
F
thay đổi trong quá trình
tác dụng thì vẫn có thể áp dụng đònh lý biến thiên động lượng trong điều kiện

t
∆
không lớn và
F
là giá trò trung bình của lực tác dụng.
- Đối với hệ cô lập:
constvmp == .
3.2. Công cơ học
rdFdA .=
dzFdyFdxFdA
zyx
++=
∫∫∫∫
++==
2
1
2
1
2
1
2
1
z
z
z
y
y
y
x
x

x
r
r
dzFdyFdxFdAA
Trường hợp
F
không đổi chuyển dời thẳng:
α
cos sFsFA
==
(
α
: góc hợp bởi hướng của lực và hướng dòch chuyển)
- Công của trọng lực:
)(
CBBC
ZZmgA −=
- Công của lực đàn hồi:
)(
2
1
2
2
2
1
xxKA
−=
- Công của lực ma sát:
0 〈−=−= sNKsFA
ms

3.3. Động năng-Thế năng-Đònh lý động năng
a. Động năng-Đònh lý động năng
- Động năng:
W
đ
=
2
.
2
1
vm
- Đònh lý động năng:
∆
W
đ
Avmvm =−=
2
1
2
2
.
2
1
.
2
1
A: tổng công thực hiện của các lực tác dụng lên vật trong quá trình đó.
b. Thế năng trọng trường (thế năng hấp dẫn): tại vò trí có độ cao z
Wt = m.g.z (nếu chọn gốc thế năng là mặt đất)
- Thế năng đàn hồi của lò xo:

2
.
2
1
xKWt =
(nếu chọn gốc thế năng ứng với vò trí lò xo không bò biến dạng)
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 9
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
3.4. Đònh luật biến thiên và bảo toàn cơ năng
Khi nói cơ năng của một vật chuyển động trong trọng trường của trái đất thì đó chính
là cơ năng của hệ (vật+trái đất) có giá trò bằng:
Động năng của vật+Động năng trái đất+Thế năng tương tác giữa vật và trái đất.
Nhưng ở đây động năng của trái đất bằng 0, vì ta đã chọn hệ quy chiếu gắn liền với
trái đất và bỏ qua chuyển động quay của trái đất.
a. Cơ năng đàn hồi
22
.
2
1
.
2
1
xKVmW +=
Cơ năng trọng trường
zgmVmW
2
1
2
+=
b. Đònh luật bảo toàn cơ năng

Nếu cơ hệ chỉ chòu tác dụng của lực thế hoặc các lực không thế nhưng không sinh
công thì cơ năng được bảo toàn:
=
W
W
đ
+
W
t
=
const
c. Đònh luật biến thiên cơ năng
AW =∆
A: công của các ngoại lực không phải là lực thế
3.5. Đònh luật biến thiên và bảo toàn momen động lượng
M
dt
Ld
=
với
ii
i
i
VmrL Λ=
∑
: momen động lượng của cơ hệ đối với điểm 0 (gốc của
i
r
).
k

k
k
FrM Λ=
∑
.
: tổng momen của ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với điểm 0.
Trường hợp hệ cô lập, ngoại lực:
0=
∑
k
k
F
hoặc
k
r
có phương trùng với phương của
k
F
thì
0
=
M

0=
dt
Ld
hay
constL =
momen động lượng của cơ hệ được bảo toàn.
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 10

Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
B. THAY ĐỔI CÁC HỆ QUY CHIẾU
Ta biết hệ quy chiếu là vật thể để bạn gắn vào đó hệ trục tọa độ. Hệ quy chiếu
thông dụng đối với chúng ta trong chuyển động hằng ngày là hệ gắn với mặt đất. Tuy
nhiên nếu bạn đi trên máy bay hay con tàu vũ trụ thì hệ quy chiếu gắn với mặt đất có
thể là hệ quy chiếu không tiện lợi nhất. Nhưng khi đã chọn rồi thì phải luôn chú ý đến
sự lựa chọn của bạn và phải thận trọng tiến hành mọi phép đo của bạn đối với hệ quy
chiếu đã chọn.
Trong một bài toán động học ta cần xác đònh quy luật biến đổi của vận tốc, gia tốc
của một chất điểm khi chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác. Do đó ta
cần tìm công thức liên hệ giữa vận tốc gia tốc của chất điểm trong các hệ quy chiếu
chuyển động tương đối với nhau.
I. CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC
Công thức cộng vận tốc mà ta đề
cập chỉ áp dụng được nếu vận tốc
của vật chuyển động cũng như vận
tốc của hệ quy chiếu chuyển động
rất nhỏ so với vận tốc ánh sáng.
Trong trường hợp một trong các
vận tốc đó lớn so sánh được với vận
tốc ánh sáng thì ta phải áp dụng
công thức cộng vận tốc của thuyết
tương đối.
- Hệ quy chiếu (R
1
) xem như cố đònh.
- Hệ quy chiếu (R
2
) di động.
Xét hai hệ quy chiếu R

1
và R
2
, ta có:
MOOOMO
2211
+=
111
1
/
2
/
21
/
1
/
)(
RRR
R
dt
MOd
dt
OOd
dt
MOd
MV









+








=








=
mà:
1
1
/2
/
21
)(

R
R
OV
dt
OOd
=








MOMVMO
dt
MOd
dt
MOd
RR
R
RR
RR
2
/
/2
/
/
2
/

2
12
2
12
21
)( ΛΩ+=ΛΩ+








=








do đó:
MOOVMVMV
RR
RRR 2
/
2/
12

121
)()()( ΛΩ++=
với :
MOOVMVMV
RR
R
RRe 2
/
/2/
12
1
12
)()()( ΛΩ+==
(vận tốc kéo theo)
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 11
y
2
x
2
x
1
z
1
M
y
1
z
2
O
1

O
2
(R
1
)
(R
2
)
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
Vậy sự tổng hợp vận tốc biểu thò bằng:
)()()(
21
//
MVMVMV
eRR
+=
Trong đó:
)(MV
e
là vận tốc kéo theo của điểm M nghóa là vận tốc đối với R
1
của M,
nếu nó cố đònh trong R
2
(điểm trùng hợp).
- Các trường hợp đặc biệt:
. Trường hợp R
2
chuyển động tònh tiến đối với R
1

:
OM
RR
=Ω )(
12
/
121
/2//
)()()(
RRR
OVMVMV +=
. Trường hợp R
2
quay đối với R
1
chung quanh một trục cố đònh:
Cho một chuyển động quay quanh trục O
z
với vận tốc w:
z
RR
ew.
12
/
=Ω

=)(MV
e
OMewOM
z

RR
Λ=ΛΩ
12
/
hay
θ
erwMV
e
)( =
do đó:
θ
erwMVMV
RR
)()(
21
//
+=
II. CÔNG THỨC GIA TỐC
Ta trở lại biểu thức:
MOOVMVMV
RR
RRR 2
/
/2/
12
121
)()()( ΛΩ++=
Để đơn giản ta ký hiệu:
Ω
có nghóa là

12
/ RR
Ω
V
có nghóa là
)(MV
Tính đạo hàm trong R
1
của mỗi số hạng
222
2
2
1
2
///
/
/
/
/

RRR
R
R
R
R
VaV
dt
Vd
dt
Vd

ΛΩ+=ΛΩ+








=








1
1
1
/2
/
/2
)(
)(
R
R
R
Oa

dt
OVd
=








MO
dt
d
dt
MOd
dt
MOd
RRR
2
//
2
/
2

)(
111
Λ









Ω
+








ΛΩ=








ΛΩ

MO
dt
d

MO
dt
MOd
RR
2
/
2
/
2

12
Λ








Ω
+









ΛΩ+








ΛΩ=
MO
dt
d
MOV
R
R
) (
2
/
2
/
1
2
Λ









Ω
+ΛΩΛΩ+ΛΩ=
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 12
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
Khi tập hợp các số hạng trên ta được:
2
1
1
21
/
2
/
2/2
//
2 ) (.)(
R
R
R
RR
VMO
dt
d
MOOaaa ΛΩ+Λ









Ω
+ΛΩΛΩ++=
Trong đó:
.
1
/ R
a
: ký hiệu là
a
: gia tốc tuyệt đối.
.
2
/ R
a
: ký hiệu là
r
a
: gia tốc tương đối
.
MO
dt
d
MOOaMa
R
Re 2
/
2/2

) (.)()(
1
1
Λ








Ω
+ΛΩΛΩ+=
: gia tốc kéo theo
.
2
/
2)(
R
c
VMa ΛΩ=
: gia tốc coriolis (còn gọi là gia tốc phụ) xuất hiện do
chuyển động quay của R
2
so với một trục đi qua O
1
trong hệ R
1
và do sự chuyển

động của M trong hệ R
2
có vận tốc tương đối
2
/
)(
R
MV
không song song với
Ω
.
Như vậy theo đònh luật coriolis thì gia tốc tuyệt đối là tổng hợp vectơ của 3 gia tốc:
gia tốc tương đối, gia tốc kéo theo và gia tốc coriolis.
)()()()(
21
//
MaMaMaMa
ceRR
++=
hay
cer
aaaa ++=
* Một số trường hợp đặc biệt:
- Trường hợp hệ quy chiếu R
2
chuyển động tònh tiến đối với hệ quy chiếu R
1:
O
RR
=Ω

12
/
1
/2
)(
Rr
Oaaa +=
Hệ quy chiếu R
2
chuyển động thẳng đều so với hệ quy chiếu R
1
:
r
aa =
(vì
constOV
R
=
1
/2
)(
, nên
)0)(
)(
1
1
/2
/2
==
R

R
Oa
dt
Ovd
Vậy gia tốc của một vật chuyển động bất kỳ là như nhau trong mọi hệ quy
chiếu quán tính.
- Trường hợp hệ quy chiếu (R
2
) quay tròn đều quanh 1 trục cố đònh với vận tốc
gốc w so với hệ quy chiếu (R
1
) coi là đứng yên. Giả sử vật chuyển động trong hệ
quy chiếu R
2
.
ce
aaOa ++=
r
VwMHwa 2.
2
Λ+=
Nếu vật đứng yên trong hệ (R
2)
thì v
r
= 0:
khi đó: a= w
2
.
MH

với: - H là hình chiếu của M lên trục quay.
-
MH
vectơ bán kính vạch từ trục quay đến chất điểm M theo hướng vuông góc
với trục quay.
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 13
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
C. HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH
I. KHÁI NIỆM HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH
Như chúng ta đã biết các đònh luật Newton chỉ đúng trong hệ
quy chiếu quán tính, tức là hệ quy chiếu cố đònh hay chuyển
động thẳng đều đối với nhau. Ta không thể áp dụng máy móc
đònh luật I và II Newton trong hệ quy chiếu không phải là hệ
quy chiếu quán tính. Nhưng làm thế nào để biết được một hệ
quy chiếu nào đó là hệ quy chiếu quán tính hay không quán
tính? Không thể được nếu không dựa vào đònh luật I.
Trong một toa tàu đang đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều so với mặt đất, mọi
thí nghiệm cơ học đều tuân theo đònh luật I. Một hòn bi đang đứng yên trên mặt bàn
nằm ngang sẽ đứng yên mãi. Con lắc luôn có phương thẳng đứng. Bây giờ con tàu tăng
(giảm) tốc độ hoặc đổi hướng chuyển động. Các hiện tượng cơ học diễn ra hoàn toàn
khác trước. Hòn bi thu gia tốc và chuyển động về phía ngược lại. Con lắc lệch khỏi
phương thẳng đứng về phía ngược lại. Mặc dù, ta không thấy có vật nào ở xung quanh
đã tác dụng lên chúng và gây ra gia tốc ấy. Như vậy trong con tàu chuyển động có gia
tốc, các đònh luật Newton không được nghiệm đúng. Hệ quy chiếu gắn với con tàu có
gia tốc trong trường hợp này là hệ quy chiếu không quán tính.
Vậy, hệ quy chiếu không quán tính đó là một hệ bất kỳ chuyển động có gia tốc
tương đối với hệ quy chiếu quán tính. Các đònh luật Newton không nghiệm đúng trong
các hệ quy chiếu không quán tính.
Hệ quy chiếu không quán tính đơn giản nhất là hệ quy chiếu chuyển động thẳng có
gia tốc và hệ quy chiếu quay đều.

II. LỰC QUÁN TÍNH
Khi xây dựng khái niệm lực quán tính các nhà vật lý đã dựa vào đònh luật II với tính
cách là đònh nghóa đònh lượng của lực. Như vậy, đònh luật II Newton nói rằng, khi hòn
bi có khối lượng m, thu một gia tốc -
a
tàu
thì lực tác dụng vào nó là
amF −=
tàu
bất kể
lực này có nguồn gốc từ đâu. Cho nên, lực quán tính là lực xuất hiện do tính chất không
quán tính của hệ quy chiếu chứ không do tương tác giữa các vật nên nó không tuân
theo đònh luật III Newton, tức là không có phản lực tương ứng. Tuy nhiên, nếu thêm lực
quán tính thì đònh luật II Newton mới áp dụng được cho các hệ quy chiếu không quán
tính và việc giải thích nhiều hiện tượng vật lý cũng như giải một số bài toán cơ học trở
nên dễ dàng hơn.
Ta xét những trường hợp cụ thể:
- Trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng với gia tốc
o
a
:
. Lực quán tính chỉ có một thành phần:
o
qt
amF −=
.
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 14
a
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
 Lực quán tính có giá trò bằng tích khối lượng của vật với gia tốc của hệ và có chiều

ngược với chiều vectơ gia tốc của hệ đó.
. Lực quán tính này không phụ thuộc vào vò trí và vận tốc của vật trong hệ quy chiếu.
- Trong hệ quy chiếu chuyển động quay đều với vận tốc gốc w
 Lực quán tính tác dụng lên vật đứng yên chỉ có một thành phần
lt
F
gọi là lực quán
tính ly tâm.
HMwmF
lt

2
=
Lực này nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay
w
có giá trò bằng m.w
2
.MH
(với HM là khoảng cách từ trục quay đến chất điểm) có chiều hướng từ trục quay ra
phía ngoài. Lực này phụ thuộc vào vò trí của vật trong hệ quy chiếu, nó càng lớn khi vật
ở xa trục và có tác dụng kéo vật ra xa trục quay.
 Lực quán tính tác dụng lên vật chuyển động với vận tốc
V
(so với hệ quy chiếu
không quán tính) có 2 thành phần:
+ Lực quán tính ly tâm:
HMwmF
lt

2

=
xuất hiện do sự quay của đóa với vận tốc gốc
w.
+ Lực quán tính coriolis:
VwmF
c
2 Λ−=
có hướng vuông gốc với vận tốc
'
V
và
vuông gốc với trục quay, không phụ thuộc vào vò trí của vật nhưng phụ thuộc vào vận
tốc
V
của vật đối với hệ quy chiếu quay.
Về độ lớn:
θ
sin 2
'
vwmF
c
=
(
θ
là góc giữa
w
và
)
'
v

 Lực quán tính coriolis luôn vuông gốc với phương chuyển động của vật nên nó
không sinh công, mà chỉ làm lệch qũy đạo mà thôi, không làm thay đổi độ lớn vận tốc
của vật chuyển động. Như vậy, về tính chất lực quán tính coriolis phân biệt rõ với các
lực khác từ trước đến nay.
* Lực quán tính ly tâm và lực ly tâm là hai hay chỉ là một?
Một số tác giả viết sách giáo khoa coi lực ly tâm là
phản lực của lực hướng tâm. Để minh họa cho quan điểm
này ta xét thí dụ một người dùng dây buộc vào một vật
rồi cầm đầu kia của dây mà quay sao cho cả dây lẫn vật
đều quay tròn trong mặt phẳng nằm ngang. Thông qua
dây, người tác dụng vào vật một lực ly tâm và ngược lại,
thông qua dây, vật cũng tác dụng lại vào người một phản
lực là lực ly tâm.
Nhưng bây giờ ta xét trường hợp phức tạp hơn, dây quét thành một mặt nón xung
quanh trục đối xứng thẳng đứng OO’. Hợp lực của trọng lực và lực căng tác dụng vào
vật là lực hướng tâm. Trong trường hợp này lực ly tâm là lực nào? Phản lực của lực
hướng tâm là lực nào và đặt ở đâu? Phản lực của lực căng
T
là lực
'T
do vật kéo dây,
lực này tác dụng vào đầu tự do của dây và trực đối với lực
T
. Phản lực của trọng lực
P
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 15
T
ht
F
P

ht
F
ο
'
ο
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
là lực
'P
do vật hút trái đất đặt ở tâm Trái Đất và trực đối với
P
. Ta không thể tổng
hợp 2 lực đặt vào hai vật khác nhau để trở thành lực ly tâm được.
Cho nên một số quan niệm khác cho rằng, coi lực quán tính ly tâm và lực ly tâm chỉ
là một. Lực ly tâm là tên gọi tắt của lực quán tính ly tâm. Nó chỉ tồn tại trong hệ quy
chiếu quay vì nó không phải là lực thực gây ra bởi sự tương tác giữa các vật.
III. CÔNG THỨC ĐỘNG LỰC HỌC-CÁC ĐỊNH LUẬT NĂNG LƯNG TRONG
HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH
1. Công thức động lực học trong hệ quy chiếu không quán tính
Giả sử ta đã biết quy luật chuyển động của hệ quy chiếu không quán tính R đối với
hệ quy chiếu quán tính R
qt
. Ta hãy xác đònh phương trình động học trong hệ quy chiếu
R.
- Trong hệ quy chiếu quán tính R
qt
, chuyển động của chất điểm tuân theo phương
trình động lực học:
Fam =
Trong đó:
a

: gia tốc của chất điểm đối với hệ quy chiếu quán tính, đây là gia tốc tuyệt đối.
:F
tổng vectơ các ngoại lực tác dụng vào vật.
- Trong hệ quy chiếu không quán tính, chất điểm có gia tốc tương đối:
cer
aaaa −−=
Ta đïc:
cer
amamamam −−=
có thể đặt:
eie
amF −=
và
cic
amF −=
Các vectơ này có thứ nguyên của lực và gọi là lực quán tính. Như vậy, để thể hiện
một cách đúng đắn hệ thức cơ bản của động lực học ta thêm vào các lực quán tính:
icier
FFFam ++=
với:
r
a
: gia tốc của vật đối với hệ quy chiếu không quán tính.
ie
F
: lực quán tính kéo theo, tùy thuộc vào tính chất của hệ quy chiếu không
quán tính mà
ie
F
có dạng

amF
qt
−=
hay
HMwmF
lt

2
=
ric
vwmF 2 Λ−=
: lực quán tính coriolis. Lực này chỉ tồn tại nếu chất điểm
chuyển động so với R và R chuyển động quay đối với R
qt
.
Với kết quả trên có thể phát biểu đònh luật II Newton trong trường hợp hệ quy chiếu
không quán tính: phương trình động lực học của chuyển động trong hệ quy chiếu không
quán tính có cùng dạng như trường hợp hệ quy chiếu quán tính, nhưng ngoài các lực tác
dụng thông thường lên chất điểm phải đưa vào 2 lực: lực quán tính kéo theo và lực
quán tính coriolis.
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 16
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
Ta xét một số trường hợp cụ thể:
 Hệ quy chiếu R chuyển động tònh tiến với gia tốc
o
a
so với hệ quy chiếu R
qt
OF
ic

=
oqt
amF −=
qtr
FFam +=
 Hệ quy chiếu R quay đều quanh trục cố đònh so với hệ quy chiếu R
qt
với vận tốc
gốc
w
không đổi.
- Nếu vật đứng yên trong hệ quy chiếu R:
V
r
= 0  F
ic
= 0

HMwmFam
r

2
+=
lt
FFam +=
- Nếu vật chuyển động với vận tốc tương đối
r
V
trong hệ quy chiếu R
qt

mà:
rr
VwmHMwmamam 2
2
Λ−+=

cltr
FFFam ++=

* Trường hợp vận tốc gốc w(t) ta được lực quán tính tương ứng với chuyển động của
M trong hệ R.
- Gia tốc kéo theo:

re
ewre
dt
dw
ra
2
−=
θ
Lực quán tính kéo theo:
rie
ewrme
dt
dw
mrF
2
+−=
θ

- Gia tốc coriolis:
θ
θ
ererewVewa
rzrzc
( 2 2
oo
+Λ=Λ=
)
Lực quán tính coriolis:
θ
θ
erwmerwmF
rc
2 2
oo
−−=
2. Các đònh luật năng lượng trong hệ quy chiếu không quán tính
2.1. Trong hệ quy chiếu quán tính, người ta đã rút ra các đònh luật năng lượng từ
các đònh luật Newton
Một hệ gồm nhiều chất điểm (hay nhiều vật mà ta có thể coi là chất điểm) tương tác
với nhau được gọi là một cơ hệ. Lực tương tác giữa các chất điểm trong cơ hệ với nhau
được gọi là nội lực. Lực tương tác giữa một chất điểm trong cơ hệ và các chất điểm ở
ngoài cơ hệ được gọi là ngoại lực.
Các cơ hệ được phân thành 2 loại:
- Cơ hệ kín: là cơ hệ không có tương tác với các vật ở ngoài hệ.
- Cơ hệ không kín: là cơ hệ có chòu tác dụng của các ngoại lực.
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 17
z
e

r
e
θ
e
θ
ϕ
x
ϕ
X
qt
Y
qt
y
θ
e
r
e
Z
qt
O
r
r
z
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
Đối với các hệ kín: do các nội lực của hệ tồn tại theo từng cặp lực-phản lực trực đối
nhau và hệ không chòu tác dụng của các ngoại lực, nên tổng các lực tác dụng lên hệ
bằng không. Vì vậy, các đònh luật bảo toàn được phát biểu như sau:
- Đònh luật bảo toàn động lượng: “Tổng động lượng của một hệ kín không biến đổi
theo thời gian”.
constP =

- Đònh luật bảo toàn cơ năng: “Cơ năng của một hệ kín không biến đổi theo thời
gian” hay “Khi một cơ hệ chỉ chòu tác dụng của những lực thế, cơ năng của hệ là một
đại lượng không đổi”.
W
đ
+ W
t
= W = const
- Đònh luật bảo toàn mômen động lượng: “Khi momen của các ngoại lực tác dụng
lên cơ hệ bằng 0 đối với một điểm nào đó, thì momen động lượng của cơ hệ đối với
điểm đó không đổi”
constL
o
=
Đối với các hệ không kín: do có các ngoại lực tác dụng lên hệ. Vì vậy các đònh luật
bảo toàn được thay thế bằng đònh luật tổng quát hơn đó là các đònh luật biến thiên,
chúng được phát biểu như sau:
- Đònh luật biến thiên động lượng: “Độ biến thiên động lượng của một cơ hệ trong
một khoảng thời gian bằng xung lượng của các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng
thời gian đó”.
dtFVmd .).( =
- Đònh luật biến thiên cơ năng: “Độ biến thiên cơ năng của cơ hệ trong một khoảng
thời gian bằng công của các lực khác không phải là lực thế tác dụng lên cơ hệ trong
khoảng thời gian đó”.
d(W
đ
+ W
t
) = dA
- Đònh luật biến thiên momen động lượng: “Độ biến thiên động lượng của cơ hệ đối

với một điểm nào đó trong một khoảng thời gian bằng xung lượng của tổng momen các
ngoại lực đối với điểm đó trong khoảng thời gian đó”.
dtMLd
e)(
=
hay
FOM
dt
Ld

.
Λ=
2.2. Trong hệ quy chiếu không quán tính
Người ta đưa thêm vào các lực quán tính để vẫn có thể áp dụng được các đònh luật
Newton, nhưng lực quán tính không có phản lực. Vì vậy trong hệ quy chiếu không quán
tính ngay cả khi không có ngoại lực tác dụng thì vẫn có lực quán tính tác dụng lên cơ
hệ, tổng ngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn khác không. Do đó, trong hệ quy chiếu
không quán tính phát biểu các đònh luật năng lượng theo kiểu cơ hệ không kín và phải
cộng thêm các lực quán tính vào các ngoại lực tác dụng lên hệ.
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 18
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
- Đònh luật biến thiên động lượng: “Trong hệ quy chiếu không quán tính, độ biến
thiên động lượng của một cơ hệ trong một khoảng thời gian bằng xung lượng của các
ngoại lực và các lực quán tính tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó”.
- Đònh luật biến thiên cơ năng: “ Trong hệ quy chiếu không quán tính, độ biến thiên
cơ năng của cơ hệ trong một khoảng thời gian bằng công của các lực khác không phải
là lực thế và công của lực quán tính tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó”.
d(W’
đ
+ W’

t
) = dA + dA
Fie
- Đònh luật biến thiên momen động lượng: “Trong hệ quy chiếu không quán tính, độ
biến thiên momen động lượng của cơ hệ đối với một điểm nào đó trong một khoảng
thời gian bằng xung lượng của tổng momen các ngoại lực và momen của các lực quán
tính đối với điểm đó trong khoảng thời gian đó”.
)(.
.
icie
o
FFFOM
dt
Ld
++Λ=
Trong đó:
ie
F
: lực quán tính kéo theo
ic
F
: lực quán tính coriolis
 Đònh lý về động năng trong hệ quy chiếu không quán tính R. Đònh lý về động
năng cũng áp dụng trong hệ R nếu đưa thêm vào công của lực quán tính:
∆
W
đ
)()(
ie
FAFA +=

Trong hệ R, công của lực quán tính coriolis bằng 0
0)( =
ic
FA
 Thế năng của lực quán tính ly tâm: hệ quy chiếu không quán tính R quay với vận
tốc w không đổi xung quanh một trục cố đònh Oz của R
qt.
z
RqtR
ew.
/
=Ω
Xét chất điểm có khối lượng m. Tính công nguyên tố của lực quán tính ly tâm tác
dụng lên chất điểm trong hệ R.
( )
drrwmezerderwmFA
zrr
R
lt
) (
22
/
=+=
δ
Do vậy ta có:
( )
dUFA
R
lt
−=

/
δ

const
rwm
U +−=
2

22
Qui ước: U = 0 khi r = 0 nên const = 0
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 19
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
PHẦN II
MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC
TRONG HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH vàø
KHÔNG QUÁN TÍNH
A. TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để giải bài toán cơ học một cách có hệ thống, chính xác ta thường tiến hành một số
bước sau:
- Phân tích dạng bài toán.
- Xác đònh các thông số của bài toán (thông số đã biết, thông số cần tìm).
- Lựa chọn hệ quy chiếu thích hợp.
- Lựa chọn phương pháp giải.
- Tiến hành giải tìm ra kết quả.
Trong đó, việc quan trọng là nhất thiết phải xác đònh hệ quy chiếu. Hệ quy chiếu là
hệ trục tọa độ gắn vào một vật được coi là mốc và một đồng hồ để đo thời gian.
Thí dụ: Xét chuyển động của một người đi từ mũi tàu tới đuôi tàu trong khi tàu
chuyển động trên sông, ta có thể chọn hệ quy chiếu gắn với bờ sông hoặc hệ quy chiếu
gắn với tàu.
Chọn hệ quy chiếu là hoàn toàn tùy ý nhưng bạn cần chọn sao cho việc giải quyết

bài toán là đơn giản nhất.
Ta xét thí dụ đơn giản sau: sau khi gặp nhau ở giao lộ vuông góc nhau, một xe con
chạy lên hướng Bắc với vận tốc V
1
= 40km/h, còn xe tải chạy sang hướng Đông với vận
tốc V
2
= 30km/h. Tìm khoảng cách giữa hai xe sau 2 giờ.
Coi 2 xe như chất điểm
* Cách thứ nhất:
- Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất
- Gốc tọa độ là giao lộ, chiều trục x là chiều Tây-Đông, chiều trục y là chiều Nam-
Bắc.
- Gốc thời gian: thời điểm 2 xe gặp nhau ở giao lộ.
Phương trình chuyển động của xe con và xe tải:
x = 30t
y = 40t
Do đó tại thời điểm t hai xe cách nhau một đoạn:
tyxS 50
22
=+=∆
Vậy sau 2 giờ hai xe cách nhau:
kmS 100250 =×=∆
* Cách thứ hai:
- Chọn hệ quy chiếu gắn với xe tải
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 20
S∆
x
y
ο

Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
- Trong hệ quy chiếu này, gốc tọa độ gắn với xe tải, chiều dương trục x là chiều từ
xe tải tới xe con.
- Nếu chọn như vậy thì vận tốc của xe con đối với xe tải là:
V
con/tải
V=
con/đất
V+
đất/tải
V=
con/đất
V−
tải/đất
1
V=
2
V−
Suy ra:
hkmVVV /504030
222
2
2
1
=+=+=
Khoảng cách từ xe con tới xe tải sau 2 giờ:
kmS 100250
=×=∆
Nhận xét:
- Hai cách chọn hệ quy chiếu khác nhau cho ta cùng kết quả. Nếu chọn theo cách

thứ nhất ta phải xét chuyển động của hai chất điểm. Nếu chọn theo cách thứ hai chỉ còn
xét chuyển động của một chất điểm.
- Theo cách thứ hai ngoài kết quả đònh lượng ta còn biết được quan sát viên ngồi
trên xe tải (gốc tọa độ) thấy xe con chạy theo hướng Tây Bắc nghiêng với trục Nam
Bắc mộc góc
α
bằng:
40
30
1
2
arctg
V
V
arctg ==
α
Như vậy cách chọn hệ quy chiếu thứ hai mang lại nhiều thông tin hơn.
Bên cạnh đó, chúng ta thường dùng một số phương pháp để giải bài toán cơ học, đó
là phương pháp động học, phương pháp động lực học và phương pháp năng lượng.
I. ĐỐI VỚI HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH
Chọn hệ quy chiếu (thường chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất), gốc thời gian. Xác
đònh các dữ liệu và yêu cầu của bài toán.
1. Phương pháp động học
Phương pháp động học xác đònh các đại lượng đặc trưng của chuyển động dựa trên
những công thức về: vận tốc, gia tốc, quãng đường…
Phương pháp động học có phạm vi áp dụng hẹp, nó chỉ giúp ta giải quyết những bài
toán động học tương ứng (bài toán chuyển động thẳng, bài toán chuyển động cong).
Thực ra, trong hầu hết các bài toán cơ học dù có sử dụng phương pháp khác thì ta
cũng phải vận dụng một số công thức của động học khi tiến hành giải bài toán.
2. Phương pháp động lực học

Phương pháp động lực học dựa trên cơ sở các phương trình của 3 đònh luật Newton,
đặc biệt là phương trình:
amF
n
i
.
1
=
∑
=
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 21
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
Phương pháp động lực học được áp dụng cho những bài toán liên quan đến lực tác
dụng-nguyên nhân làm thay đổi chuyển động của cơ hệ . Phương pháp động lực học
gồm các bước:
- Xác đònh lực tác dụng vào cơ hệ và biểu diễn chúng trên hình vẽ.
- Viết các phương trình động lực học dưới dạng vectơ.
- Chiếu các phương trình vectơ vừa viết xuống hệ trục tọa độ thích hợp để được các
phương trình đại số.
- Dựa vào điều kiện ban đầu để tìm ẩn bài toán (biết lực xác đònh chuyển động, biết
chuyển động xác đònh lực) và nhận xét kết quả.
3. Phương pháp năng lượng
Về nguyên tắc, có thể sử dụng phương pháp động lực học để giải bài toán cơ học.
Nhưng trong trường hợp cơ hệ phức tạp, việc phân tích đầy đủ, chính xác các lực tác
dụng lên cơ hệ tương đối khó. Do đó việc giải bài toán cơ học thường nhanh gọn hơn
nhờ sử dụng phương pháp năng lượng. Đặc biệt hiệu quả trong những trường hợp các
lực biến thiên không xác đònh.
Phương pháp này dựa trên cơ sở vận dụng các đònh lý, đònh luật biến thiên, đònh luật
bảo toàn trong vật lý.
3.1. Vận dụng các đònh lý biến thiên

a. Đònh lý biến thiên động lượng
- Cơ sở:
tFPd ∆= .
- Vận dụng: Áp dụng cho những bài toán liên quan đến động lượng biến thiên.
b. Đònh lý động năng
- Cơ sở W
đ2
- W
đ1
= A
W
đ1,
W
đ2
: động năng của vật ở trạng thái (1) và trạng thái (2).
A : tổng công của ngoại lực tác dụng vào hệ.
- Vận dụng: Áp dụng cho những bài toán mà các thông số có liên quan đến động
năng, quãng đường dòch chuyển.
c. Đònh lý về momen động lượng
- Cơ sở:
MM
dt
Ld
n
i
F
i
==
∑
=1

- Vận dụng: hệ là một vật quay quanh một trục. Khi sử dụng phải biết được các lực
tác dụng lên vật, phải biết được trục quay của vật.
3.2. Vận dụng các đònh luật bảo toàn
Các đònh luật bảo toàn có bản chất là các đònh luật biến thiên nhưng thỏa một số
điều kiện nào đó thì trở thành đònh luật bảo toàn.
a. Đònh luật bảo toàn cơ năng
- Cơ sở: W = const
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 22
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
- Vận dụng: Áp dụng cho những cơ hệ có lực thế tác dụng
)(P
hoặc có thêm các lực
khác mà các lực này không sinh công trong quá trình chuyển động (
, ),
msn
fN
Khi áp dụng đònh luật bảo toàn cơ năng ta chỉ cần quan tâm đến các thông số có liên
quan đến hai trạng thái đang xét, mà không cần quan tâm đến quá trình biến đổi trung
gian của hệ.
Nếu muốn tiếp tục tìm các lực (lực ma sát nghỉ, lực căng dây…) thì phải vận dụng
các phương trình động lực học.
b. Đònh luật bảo toàn năng lượng
- Cơ sở: “Trong một hệ kín có sự chuyển hóa năng lượng từ dạng này sang dạng
khác nhưng năng lượng tổng cộng được bảo toàn”.
- Vận dụng: đây là đònh luật phổ biến, tổng quát của tự nhiên.
Ta xét đối với các bài toán cơ học: khi cơ hệ có nội lực là lực ma sát (như lực ma sát
trượt sinh công âm…) thì cơ năng của hệ không bảo toàn nữa. Lực ma sát đã thực hiện
công âm, tương ứng với sự tỏa ra nhiệt lượng bằng công đó. Lúc này, ta áp dụng đònh
luật bảo toàn năng lượng.
c. Đònh luật bảo toàn động lượng

Đònh luật này cho phép giải những bài toán mà phương pháp động lực học không thể
áp dụng được, điển hình là các bài toán va chạm và bài toán các hạt vi mô.
Khi xác đònh động lượng ta phải chỉ rõ động lượng của vật được tính với mốc nào
(nghóa là vận tốc được tính với mốc nào). Khi nói động lượng của vật mà không chỉ rõ
mốc ta hiểu mốc tính động lượng là Trái Đất. Đònh luật bảo toàn động lượng chỉ áp
dụng được cho hệ cô lập (hệ kín).
Khi áp dụng đònh luật bảo toàn động lượng thường tiến hành theo các bước sau:
- Xác đònh xem hệ có đủ điều kiện để động lượng được bảo toàn hay không.
- Chọn mốc tính vận tốc (cũng là mốc cho động lượng). Chọn trục và chiều trục cho
các
V
, xác đònh vận tốc và động lượng mỗi vật.
- Xác đònh vectơ tổng động lượng
∑
P
của cơ hệ ngay trước và ngay sau khi xảy ra
tương tác.
- Xác đònh ẩn số, lập phương trình bảo toàn động lượng cho cơ hệ rồi giải.
II. ĐỐI VỚI HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH
Trong thực tế, khi một vật thực hiện một chuyển động phức tạp đối với các hệ quy
chiếu không quán tính thì sự mô tả chuyển động đó trong một hệ quán tính sẽ rất phức
tạp. Mô tả chuyển động đó trong một hệ không quán tính sẽ đơn giản hơn rất nhiều,
nhưng lại không thể khảo sát bằng các đònh luật của Newton bởi vì hệ quy chiếu không
quán tính không phải là hệ kín. Để vẫn duy trì được các đònh luật thứ nhất và thứ hai
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 23
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
của Newton như đối với các hệ quán tính, người ta đưa thêm vào loại lực đặc biệt gọi là
lực quán tính.
1. Phương pháp động học
Phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính được

mô tả tương đối phức tạp hơn so với trong hệ quy chiếu quán tính. Ở phần sau, chúng ta
sẽ xét một vài bài toán cụ thể.
2. Phương pháp động lực học
Một số bước tương tự như trong hệ quy chiếu quán tính nhưng phương trình động lực
học trong hệ quy chiếu không quán tính ngoài sự có mặt của các lực tương tác, còn phải
kể thêm lực quán tính
q
F
khi xác đònh tổng lực.
q
FFam +=.
Trong đó:
.
a
: gia tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính.
.
F
: tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm.
Một số trường hợp cụ thể:
- Nếu hệ quy chiếu (R) chuyển động thẳng với gia tốc
o
a
:
Phương trình động lực học trong hệ quy chiếu không quán tính:
qt
FFam
+=
.
với
o

qt
amF .
−=

o
amFam
−=
- Nếu hệ quy chiếu (R) chuyển động quay đều với vận tốc gốc w:
+ Chất điểm đứng yên trong hệ (R):
Phương trình động lực học:
lt
FFam
+=
.
với
HMwmF
lt

2
=
: lực quán tính ly tâm
hay
HMwmFam
2
+=
(với H là hình chiếu của M trên trục quay)
+ Chất điểm chuyển động với vận tốc tương đối
'V
trong hệ (R):
Phương trình động lực học:

( )
' 2
2
VwmHMwmFam
Λ−+=
với
HMwmF
lt

2
=
)'.(.2 VwmF
c
Λ−=
: lực quán tính coriolis
3. Phương pháp năng lượng
Trong hệ quy chiếu không quán tính ta áp dụng các đònh lý, đònh luật biến thiên và
lưu ý rằng phải kể thêm lực quán tính vào các ngoại lực tác dụng lên hệ.
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 24
Luận văn tốt nghiệp GVHD:Dương Đào Tùng
3.1. Vận dụng đònh lý động năng
ie
FF
AAvmvm
+=−
2
2
2
1
'.

2
1
'.
2
1
Trong đó:
21
',' vv
: vận tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính.
F
A
: tổng công của các ngoại lực tác dụng lên chất điểm.
ie
F
A
: công của lực quán tính kéo theo.
3.2. Vận dụng đònh luật biến thiên cơ năng
ie
FF
AAWW +=−
'
12
''
Trong đó:
','
21
WW
: cơ năng ứng với trạng thái (1) và (2) khi xét trong hệ quy chiếu
không quán tính.
'F

A
: công của các lực không phải là lực thế.
Tuy nhiên, việc áp dụng đònh lý động năng sẽ đơn giản hơn so với áp dụng đònh luật
biến thiên cơ năng.
3.3. Đònh lý về momen động lượng
p dụng đònh lý về momen động lượng đối với một trục cố đònh trong hệ quy chiếu
không quán tính R
( )
icie
R
Ro
FFFOM
dt
Ld
++Λ=









/
/
ic
F
: lực quán tính coriolis.
III. MỐI QUAN HỆ GIỮA HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH VÀ HỆ QUY CHIẾU

KHÔNG QUÁN TÍNH
Với nội dung của thuyết tương đối rộng, Einstein đã đề ra nguyên lý tương đương:
“Chuyển động tự do trong hệ quy chiếu không quán tính giống như chuyển động của vật
trong hệ quy chiếu quán tính với trường ngoài là trường hấp dẫn”.
Như vậy xét về mặt cơ học thì chuyển động tự do của các vật trong trường hấp dẫn
đều (có gia tốc trọng trường
g
) hoàn toàn giống như chuyển động của chúng trong hệ
quy chiếu không quán tính (chuyển động với cùng gia tốc
g
). Ta nói có sự tương đương
giữa trường hấp dẫn và trường quán tính. Einstein lý luận rằng: mọi người quan sát
quán tính hay không quán tính đều có khả năng tìm ra các đònh luật vật lý. Nếu điều đó
không đúng thì rõ ràng chúng ta đã không thể tìm ra đònh luật vật lý nào hết vì quả đất
của ta là hệ quy chiếu không quán tính. Nghóa là khẳng đònh giữa hệ quy chiếu quán
tính và hệ quy chiếu không quán tính có mối quan hệ với nhau.
Ở đây, ta chỉ xét trong cơ học Newton. Một số đại lượng vật lý như: lực, khối lượng,
thời gian trong cơ học Newton đều bất biến nghóa là chúng có giá trò bằng số như nhau
SVTH: Nguyễn Xuân Thònh Trang 25