Nhận dạng lớp hệ phương trình sử dụng được số phức; cách chuyển từ bài toán đơn thuần số thực sang số phức; đúc rút kinh nghiệm, tìm ra bản chất

ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ MỞ ĐẦU
Trong mấy năm gần đây trong đề thi Đại học hay xuất hiện câu giải hệ
phương trình không mẫu mực. Theo nhận định chung, các câu này thường là câu
khó đối với thí sinh. Việc giải câu này bằng các phương pháp truyền thống tôi
xin không được bàn luận ở đây. Trong quá trình luyện thi cho học sinh phần hệ
phương trình, ngoài các cách truyền thống, để tăng thêm công cụ và tạo niềm
hứng thú cho học sinh tôi đã đưa thêm công cụ Số phức vào việc giải hệ phương trình.
Thực tế trong qua trình giảng dạy phần này có một số khó khăn như, trong
đề thi Đại học câu Số phức thường không khó, vì lý do đó các học sinh không
giành nhiều thời gian, tâm sức vào phần Số phức nhưng vẫn đạt dược điểm tối
đa cho câu Số phức ; sách tham khảo cũng ít đề cập đến vấn đề này, nếu có
thường không được tác giả đi sâu, lý giải cụ thể nên học sinh cũng không thấy rõ
vai trò của Số phức và việc vận dụng cũng khó; chưa có đề thi Đại học nào mà
việc giải hệ phương trình đã xử dụng công cụ Số phức. Chính vì những khó
khăn đó tôi phải bắt đầu từ những hệ phương trình giải bằng cách truyền thống
sau đó giải cách hai bằng công cụ Số phức, cho học sinh so sánh và gây sự tò
mò cho việc xử dụng Số phức. Bước tiếp theo sẽ vận dụng Số phức vào những
ví dụ khó hơn và thấy rõ vai trò của nó thông qua các ví dụ này.
Trong quá trình vận dụng tôi thường tập trung vào việc Nhận dạng lớp hệ
phương trình sử dụng được số phức; cách chuyển từ bài toán đơn thuần số
thực sang số phức; đúc rút kinh nghiệm, tìm ra bản chất
II/ THỰC TRẠNG:
1/ Thực trạng và hậu quả:
- Học sinh không nắm vững công cụ Số phức .
- Không nhận ra được những loại hệ phương trình nào thì sử dụng được Số phức.
- Nếu đọc được bài giải nào về ứng dụng Số phức vào việc giải hệ phương
trình thì không hiểu rõ bản chất, mà thường là giải câu nào biết câu đó.
2/ Tên đề tài:
Đứng trước thực trạng và hậu quả trên tôi chọn đề tài:
"Ứng dụng số phức trong giải hệ phương trình không mẫu mực"

TRANG 1
GII QUYT VN
I/ Lý thuyt:
1/ Kin thc b tr:
1.1/ Gii phng trỡnh bc hai:
- Dng:
2
az bz c 0+ + =
- Cỏch gii:
Tớnh
2
b 4acD = -
, hoc tớnh
2
b
' ac
2
ổử
ữ
ỗ
D = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+/ Nu
b
0 z
2a

- d
D =d ị =
+/ Nu
b i
0 z
2a
- - d
D =d< ị =
+/ Nu
iD =a + b
, tỡm w sao cho
2
b w
w z
2a
-
=D ị =
1.2/ Gii phng trỡnh bc cao:
- Dng:
3
z a bi= +
+/ Ta cú
[ ]
3
3
z r cos( k2 ) isin( k2 )
k2 k2
z r cos isin
3 3
= j + p + j + p

ộ ự
j + p j + p
ờ ỳ
ị = +
ờ ỳ
ở ỷ
+/ Cho
{ }
k 0;1;2=
ta c 3 nghim
- Dng:
4
z a bi= +
(gii tng t)
- Dng:
3 2
az bz cz d 0+ + + =
(gii nh trờn R)
2/ Mt s biu thc thng dựng cn nh: Nu
z x yi= +
thỡ ta cú cỏc kt
qu sau
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 2 2 4 3 3
z x yi
z (x y ) 2xyi
z (x 3xy ) (3x y y )i
z (x 6x y y ) 4(x y xy )i
= -

= - +
= - + -
= - + + -
2 2
1 x yi
z x y
-
=
+
TRANG 2
2 2
iz xi y
i xi y
z x y
= -
+
=
+
3/ Nhận dạng: Những hệ phương có những dấu hiệu sau thì có thể dùng số phức
+/ Có nhiều biểu thức như dạng trên (tất nhiên không có i).
+/ Đưa về phương trình bậc 3 mà máy tính cầm tay không cho nghiệm.
+/ Mẫu có biểu thức
2 2
x y+
hoặc đưa được về dạng này.
II/ Một số ví dụ và bài tập tương tự:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2 2
xy 2x 5y 2 0
x y 10x 4y 21 0

ì
- - + =
ï
ï
í
ï
- - + + =
ï
î
Hướng dẫn:
- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức
2 2
x y 2xy;x y- + ±
, nên có thể dùng số phức.
- Đặt
2 2 2
z x yi z x y 2xyi;iz xi y= + Þ = - + = -
- Hệ phương biến đổi về
2 2
2xyi 4xi 10yi 4i 0
x y 10x 4y 21 0
ì
- - + =
ï
ï
í
ï
- - + + =
ï
î

2 2
(x y 2xi) 10(x yi) 4(xi y) 21 4i 0Þ - + - + - - + + =
- Thay vào ta được:
2
z 2(5 2i)z 21 4i 0- + + + =
- Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được
z (5 2 2) i(2 2 2)= ± + ±
- Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm
x 5 2 2
y 2 2 2
ì
ï
= ±
ï
í
ï
= ±
ï
î
- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp phân tích
phương trình (2) thành nhân tử (thêm bớt hoặc xem phương trình (2) là phương
trình bậc hai)
Bài tập 1: Giải hệ phương trình
2 2
2xy 2x y 1
11
x y x 2y
6
ì
+ - =

ï
ï
ï
í
ï
- - - =
ï
ï
î
Hướng dẫn: Đưa về phương trình
2
11
z (2i 1)z i 0
6
+ - - - =
TRANG 3
S:
1 5 1 3
; ; ;
2 4 2 4
ổ ửổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
- -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
- Lu ý: H phng trỡnh trờn cú th gii bng phng phỏp phõn tớch

phng trỡnh (1) thnh nhõn t.
Vớ d 2: Gii h phng trỡnh
3 2
3 2
x 3xy 1
y 3x y 3
ỡ
ù
- =-
ù
ớ
ù
- =-
ù
ợ
Hng dn:
- Nhn dng: Chỳng ta d dng a v phng trỡnh ng cp bc 3 nhng
khi dựng mỏy tớnh cm tay tỡm nghim thỡ mỏy tớnh khụng cho kt qu.
- t
3 3 2 2 3
z x yi z (x 3xy ) (3x y y )i= + ị = - + -
- H phng bin i v
3 2
3 2
x 3xy 1
y i 3x yi i 3
ỡ
ù
- =-
ù

ớ
ù
- =-
ù
ợ
- Tr hai phng trinh ta c phng trỡnh:
3
z 1 i 3=- +
- Gii phng trỡnh trờn bng lng giỏc
Ta cú
3
1 3 2 2
z 2 i 2 cos k2 i.sin k2
2 2 3 3
ổ ử
ộ ự
ổ ử ổ ử
p p
ữ
ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ
ờ ỳ
= - + = + p + + p
ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ
ỗ

ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ
ố ứ ố ứ
ỗ
ố ứ
ở ỷ

2 k2 2 k2
z 2 cos i.sin
9 3 9 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
p p p p
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ị = + + +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ

2 2
2 cos i.sin
9 9

8 8
2 cos i.sin
9 9
14 14
2 cos i.sin
9 9
ỡ
ổ ử
p p
ù
ữ
ù
ỗ
+
ữ
ù ỗ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ù
ù
ổ ử
p p
ù
ù
ữ
ỗ
= +

ớ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ù
ù
ổ ử
p p
ù
ữ
ỗ
ù
+
ữ
ỗ
ù
ữ
ỗ
ố ứ
ù
ù
ợ
- Kt lun: H phng trỡnh cú 3 nghim
2 2 8 8 14 14
(x;y) 2cos ;2sin ; 2cos ;2sin ; 2cos ;2sin
9 9 9 9 9 9

ỡ ỹ
ổ ửổ ửổ ử
p p p p p p
ù ù
ù ù
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
=
ớ ý
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ù ù
ố ứố ứố ứ
ù ù
ợ ỵ
- Lu ý: H phng trỡnh trờn cú th gii bng phng phỏp gii phng
trỡnh bc 3 tng quỏt (xem Phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh -
Nguyn Vn Mu)
TRANG 4
Bi tp 2: Gii h phng trỡnh
2.1/
3 2 2 2
3 2 2 2
x 3xy x 1 x 2xy y
y 3x y y 1 y 2xy x
ỡ
ù
- - + = - -

ù
ớ
ù
- + - = - -
ù
ợ
Hng dn: a v phng trỡnh
3 2
z (1 i)z z 1 i- + - = +
ỏp s:
{ }
(x;y) (1;0);( 1;0);(1;1)= -
2.2/
3 2
2 3
x 3xy 2 2
3x y y 2
ỡ
ù
- =-
ù
ớ
ù
- =
ù
ợ
Vớ d 3: Gii h phng trỡnh
4 2 2 4
3 3
x 6x y y 4

x y y x 3
ỡ
ù
- + =
ù
ớ
ù
- =-
ù
ợ
Hng dn:
- Nhn dng: Trong h phng trỡnh cha cỏc biu thc
4 2 2 4 3 3
x 6x y y ;x y xy- + -
- t
4 4 2 2 4 3 3
z x yi z (x 6x y y ) 4(x y xy )i= + ị = - + + -
- T h phng trỡnh nhõn thờm
4i
vo phng trỡnh (2) ta c
4 2 2 4
3 3
x 6x y y 4
4x yi 4y xi 4i 3
ỡ
ù
- + =
ù
ớ
ù

- =-
ù
ợ
- Cng v vi v ta c
4
1 i 3
z 4 4i 3 8 8 cos k2 isin k2
2 2 3 3
ổ ử
ộ ự
ổ ử ổ ử
- p - p
ữ
ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ
ờ ỳ
ị = - = - = + p + + p
ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ
ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ
ố ứ ố ứ
ỗ

ố ứ
ở ỷ
- Kt lun: H phng trỡnh cú 4 nghim
4 4 4 4
4 4 4 4
5 11 17
x 8cos x 8cos x 8cos x 8cos
12 12 12 12
5 11 17
y 8 sin y 8sin y 8sin y 8sin
12 12 12 12
ỡ ỡ ỡ ỡ
- p p p p
ù ù ù ù
ù ù ù ù
= = = =
ù ù ù ù
ù ù ù ù
ù ù ù ù
ẩ ẩ ẩ
ớ ớ ớ ớ
ù ù ù ù
- p p p p
ù ù ù ù
= = = =
ù ù ù ù
ù ù ù ù
ù ù ù ù
ợ ợ ợ ợ
Bi tp 3: Gii h phng trỡnh

4 2 2 4
4 2 2 4
x(x 10x y 5y ) 3
y(y 10x y 5x ) 1
ỡ
ù
- + =
ù
ớ
ù
- + =-
ù
ợ
Hng dn: Khai trin
5
(x yi)+
TRANG 5
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
3x y
x 3
x y
x 3y
y 0
x y
ì
-
ï
ï

+ =
ï
ï
+
ï
í
ï
+
ï
- =
ï
ï
+
ï
î
Hướng dẫn:
- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức
2 2
1
x y+
, nên có
thể dùng số phức.
- Đặt
2 2 2 2
1 x yi i xi y
z x yi z x yi; ;
z x y z x y
- +
= + Þ = - = =
+ +

- Nhân phương trình (2) với i, ta được
2 2
2 2
3x y
x 3
x y
xi 3yi
yi 0
x y
ì
-
ï
ï
+ =
ï
ï
+
ï
í
ï
+
ï
- =
ï
ï
+
ï
î
- Cộng vế với vế đưa về
2 2 2 2

3(x yi) xi y
(x yi) 3
x y x y
- +
+ + - =
+ +
- Thay vào ta được:
3 i
z 3
z
-
+ =
- Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được
z 2 i;z 1 i= + = -
- Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm
{ }
(x;y) (2;1);(1; 1)= -
- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp giải phương
trình bậc 3 tổng quát (xem Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình -
Nguyễn Văn Mậu)
Bài tập 4: Giải các hệ phương trình sau
4.1/
2 2
2 2
16x 11y
x 7
x y
11x 16y
y 1
x y

ì
-
ï
ï
+ =
ï
ï
+
ï
í
ï
+
ï
- =-
ï
ï
+
ï
î
Hướng dẫn: Đưa về
16 11i
z 7 1
z
-
+ = -
Đáp số:
{ }
(x;y) (2; 3);(5;2)= -
TRANG 6
4.2/

2 2
2 2
78y
x 20
x y
78x
y 15
x y
ì
ï
ï
+ =
ï
ï
+
ï
í
ï
ï
+ =
ï
ï
+
ï
î
Đáp số:
{ }
(x;y) (2;3);(18;12)=
4.3/
2 2

2 2
9x 10y
x 3 2
x y
10x 9y
y 0
x y
ì
ï
+
ï
+ =
ï
ï
+
ï
ï
í
ï
-
ï
ï
+ =
ï
+
ï
ï
î
Đáp số:
{ }

(x;y) ( 2; 5);(2 2; 5)= -
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
1
3x 1 2
x y
1
7y 1 4 2
x y
ì
æ ö
ï
÷
ï
ç
+ =
÷
ï ç
÷
ç
ï
÷
+
è ø
ï
ï
í
ï
æ ö
ï
÷

ç
ï
- =
÷
ç
÷
ï
ç
÷
+
è ø
ï
ï
î
Hướng dẫn:
- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức
1
x y+
, nên có thể
đưa về chứa
2 2
1
u v+
để dùng số phức.
- Điều kiện:
x,y 0;x y 0³ + ¹
- Đặt
u x 0
v y 0
ì

ï
= ³
ï
ï
í
ï
= ³
ï
ï
î
- Thay vào hệ phương trình ta được
2 2
2 2
1 2
u 1
u v
3
1 4 2
v 1
u v
7
ì
æ ö
ï
÷
ï
ç
+ =
÷
ï ç

÷
ç
ï
è ø
+
ï
í
ï
æ ö
ï
÷
ç
ï - =
÷
ç
ï
÷
ç
è ø
+
ï
î
- Hệ phương biến đổi về
2 2
2 2
u 2
u
u v
3
vi 4i 2

vi
u v
7
ì
ï
ï
+ =
ï
ï
+
ï
í
ï
ï
- =
ï
ï
+
ï
î
TRANG 7
- Đặt
2 2
1 u vi
z u vi
z u v
-
= + Þ =
+
- Đưa về phương trình

1 2 4 2
z i
z
3 7
+ = +
- Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được u, v. Thay u,v tìm x,y
- Kết luận:
1 2 2 2
(x;y) ; 2
3 21 7
æ ö
÷
ç
÷
= ± ±
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp biến đổi tương
đương.
Bài tập 5: Giải các hệ phương trình sau
5.1/
3
10x 1 3
5x y
3
y 1 1

5x y
ì
æ ö
ï
÷
ï
ç
+ =
÷
ï ç
÷
ç
ï
÷
+
è ø
ï
ï
í
ï
æ ö
ï
÷
ç
ï
- =-
÷
ç
÷
ï

ç
÷
+
è ø
ï
ï
î
Đáp số:
1
;1
10
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
5.2/
7
x 2 3 2
2x 5y
7
5y 2 3
2x 5y
ì
æ ö
ï
÷

ï
ç
+ =
÷
ï ç
÷
ç
ï
÷
+
è ø
ï
ï
í
ï
æ ö
ï
÷
ç
ï
- =
÷
ç
÷
ï
ç
÷
+
è ø
ï

ï
î
Đáp số:
3
2;
5
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
5.3/
15
x 2 2 3
x 2y
15
y 2 3( 3 1)
x 2y
ì
æ ö
ï
÷
ï
ç
- = +
÷
ï ç

÷
ç
ï
÷
+
è ø
ï
ï
í
ï
æ ö
ï
÷
ç
ï
+ = -
÷
ç
÷
ï
ç
÷
+
è ø
ï
ï
î
Đáp số:
( )
(x;y) 7 4 3;4 2 3= + -

TRANG 8
C. KẾT LUẬN
I/ Kết quả thực nghiệm:
Việc thực hiện dạy thực nghiệm năm học 2012-2013 tại lớp 12A1, tôi so
sánh với lớp 12A1 năm học 2011-2012. Tôi thu được kết quả như sau
TT Năm học Lớp Sĩ số
Yếu Trung bình Khá, Giỏi
Số
lượng
Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ %
1
2011-
2012
12A1 50 5 10% 38 76% 7 14%
2 2012-2013 12A1 50 1 2% 37 74% 12 25%
II/ Kiến nghị:
- Đối với nhà trường: Việc viết sáng kiến kinh nghiệm phải là yêu cầu bắt
buộc đối với mọi giáo viên, để giáo viên làm quen với công việc nghiên cứu
khoa học. Để tránh hình thức các sáng kiến kinh nghiệm phải được báo cáo
trước tổ chuyên môn. Các sáng kiến kinh nghiệm có giải cấp trường nhà trường
khen thưởng kịp thời. Những sáng kiến kinh nghiệm mang tính đối phó phải
được nhắc nhở để rút kinh nghiệm cho năm sau.
- Đối với Sở: Để tạo điều kiện cho giáo viên trong tỉnh được học hỏi kinh
nghiệm lẫn nhau thông qua việc viết sáng kiến kinh nghiệm, các sáng kiến kinh
nghiệm có giải tỉnh nên được biên soạn thành tài liệu và bắt buộc các nhà trường
phải mua để giáo viên được tham khảo.
III/ Lời tác giả:
Việc vận dụng Số phức vào giải hệ phương trình chưa được áp dụng vào
việc giải hệ phương trình trong thi Đại học trong những năm trước đây, nhưng
việc trang bị thêm công cụ Số phức đã giúp cho học sinh hứng thú. Đặc biệt

những hệ phương trình mà việc dùng Số phức để giải mang tính đặc hiệu thì
càng làm cho học sinh thêm yêu thích. Việc tạo hứng thú cho học sinh là mục
đích mà ngành GD&ĐT cũng như toàn xã hội ta đang hướng tới. Tuy nhiên do
nhiều lý do, nên bài viết này không tránh khỏi thiếu sót. Tôi mong nhận được sự
thông cảm và đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp và các em học sinh.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013
TRANG 9
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do tôi
viết, không sao chép nội dung của người
khác
Người viết:
Nguyễn Duy Trình

TRANG 10