Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

Bộ giáo dục và đào tạo
Đại học Thái Nguyên

Nguyễn Thị Ngân

Một số lớp hệ phương trình cặp
và ứng dụng
Luận án tiến sĩ toán học
Chuyên ngành:
MÃ số:

Toán Giải tích
62 46 01 02

Tập thể hướng dẫn khoa học:

1. TS. Nguyễn Văn Ngọc

2. PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn

Thái Nguyên, 2013


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.

Các kết quả viết

chung với tác giả khác đà được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án.
Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công
trình khoa học của ai khác.

Tác giả luận án

Nguyễn Thị Ngân

i


Lời cảm ơn
Luận án được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán thuộc trường Đại học
Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc
của TS. Nguyễn Văn Ngọc và PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn. Các Thầy đà truyền
cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đối với các Thầy.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả cũng luôn nhận được sự góp
ý, động viên của GS. TSKH. Đinh Nho Hào, PGS. TSKH. Nguyễn Minh Trí, TS.
Phạm Minh Hiền, Ths. Đào Quang Khải (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam), GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu, PGS. TS. Nguyễn
Minh Tuấn, PGS. TS. Trần Huy Hổ (trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại
học Quốc gia Hà Nội), GS. TSKH. Lê Hùng Sơn, PGS. TS. Phan Tăng Đa (khoa
Toán - Tin ứng dụng, Đại học Bách Khoa Hà Nội), PGS. TS. Đặng Quang

á

(Viện Công nghệ Thông tin, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Tác giả
xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo cùng các anh chị em NCS,
Cao học trong seminar của Bộ môn Giải tích khoa Toán, trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên, Phòng Phương trình vi phân - Viện Toán học,
khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc

gia Hà Nội, đà luôn giúp đỡ, động viên tác giả trong nghiên cứu khoa học và
cuộc sống.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào
tạo Sau đại học - Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên, các Phòng Ban chức năng, Phòng Quản lý đào tạo Sau

ii


đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giáo viên trong khoa, đặc biệt
là Bộ môn Giải tích đà tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt là chồng, các con
cùng những người thân trong gia đình đà giúp đỡ, động viên tác giả trong quá
trình thực hiện luận án.


Mục lục
Bìa

.

.

.

.

.

.

.

Lời cảm ơn

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

i

.

Lời cam đoan

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

i

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ii

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

iv

Một số ký hiệu dùng trong luận án

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

viii

Mở đầu

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1

Mục lục

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1 Hệ phương trình cặp tích phân Fourier tổng quát
1.1

Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh
1.1.1
1.1.2

1.2

Không gian

S

.

.

.

.

.

.

.

20

của các hàm cơ bản giảm nhanh

.

.

.

.

.

.

20

Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản

.

19

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

20

Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

21

.

.

.

.

.

21

.

.

.

.

.

.

22

S

1.2.1

Không gian

1.2.2

Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm .

1.2.3
1.3

của các hàm suy rộng tăng chậm

Biến đổi Fourier của tích chập .

Các không gian Sobolev

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

23

.

H s (R)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

24

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

24

.

.

.

.

.

.

.

.

24

.

.

.

.

.

.

.

.

25

1.3.1

Không gian

1.3.2

Các không gian

s
s
H (), H, (), H s ()

1.3.3

Định lý nhóng

.

.

.

.

.

iv

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1.4

Các không gian Sobolev vectơ

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.4.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.4.2
1.5

Khái niệm

Phiếm hàm tuyến tính liªn tơc . . . . . . . . . . . . . . .

28

Toán tử giả vi phân vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.5.1

30

1.5.2

Chuẩn và tích vô hướng tương đương

. . . . . . . . . . .

32

1.5.3
1.6

Kh¸i niƯm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nhóng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

TÝnh giải được của hệ phương trình cặp
1.6.1

Định lý tồn tại

34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Định lý duy nhất

1.6.2

. . . . . . . . . . . . .

2 HƯ ph­¬ng trình cặp của một số bài toán biên hỗn hợp đối với
phương trình điều hoà và song điều hoà trong miền hình dải
41
2.1

Bài
trình

toán
điều

biên
hoà

hỗn

hợp

thứ

nhất

đối

với

phương

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.1.1

Phát biểu bài toán

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.1.2

§­a về hệ phương trình cặp tích phân . . . . . . . . . . .

43

2.1.3

Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.10)

45

2.1.4

Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích
phân kỳ dị nhân Cauchy

2.1.5

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

§­a hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy về hệ vô
hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . .

2.2

46

Bµi toán biên hỗn hợp đối với dải đàn hồi

49

. . . . . . . . . . . .

56

2.2.1

Ph¸t biểu bài toán

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.2.2

Đưa về hệ phương trình cặp tích phân . . . . . . . . . . .

58

2.2.3

Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.51)

.

61


2.2.4

Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích
phân kỳ dị nhân Cauchy

2.2.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy về hệ vô
hạn các phương trình đại số tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . .

2.3

67

Bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình song điều hoà . . . .

72

2.3.1

Phát biểu bài to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.3.2

Đưa về hệ phương trình cặp tích phân . . . . . . . . . . .

74

2.3.3

Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.106) .

77

2.3.4

Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích
phân nhân logarithm

2.3.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Đưa hệ phương trình tích phân nhân logarithm về hệ vô
hạn các phương trình đại số tuyến tÝnh . . . . . . . . . . .

2.4

84

86

Bài toán biên hỗn hợp thứ hai đối với phương trình điều
hoà
2.4.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phát biểu bài toán

90

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

2.4.2

§­a vỊ hƯ phương trình cặp tích phân . . . . . . . . . . .

91

2.4.3

Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.157) .

92

2.4.4

Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích
phân kỳ dị nh©n Cauchy

2.4.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

§­a hƯ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy về hệ vô
hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . .

96

3 Gi¶i gần đúng hệ phương trình tích phân kỳ dị của một hệ
phương trình cặp tích phân Fourier
102
3.1

Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị về dạng không thứ nguyên

102

3.2

Tính gần đúng nghiệm của một hệ phương trình tích phân kỳ dÞ

106


3.2.1

Tính gần đúng ma trận hạch của hệ phương trình tích phân
kỳ dị

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

106

3.2.2

Tính nghiệm gần đúng của hệ phương trình tích phân kỳ dị 110

3.2.3

Về tốc độ hội tụ

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

128

Kết luận và đề nghị
Danh mục công trình của tác giả đà công bố liên quan đến luận án
Tài liệu tham khảo
.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

132
134

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

135


Một số ký hiệu dùng trong luận án
R: đường thẳng thực
: khoảng hoặc hệ các khoảng không giao nhau trong R
Rn : không gian vectơ Euclide n chiều
Cn : không gian phức n chiều
C k (): tập tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp k

trên



k
C (): tập tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp k

trên

, có giá compact

trong



C (): tập tất cả các hàm khả vi vô hạn trên

C (R): tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong R

2 : không gian của các dÃy số {fn }, n N, thoả mÃn điều kiện

n=0

|fn |2 <

L1 (R): không gian các hàm khả tích trên R
L2 (R): không gian các hàm bình phương khả tích trên R
L21 (a, b): không gian các hàm u(x) cho trªn (a, b) sao cho
ρ
b

||u||L2±1 =
ρ

ρ±1 (x)|u(x)|2 dx

1/2

< +∞,

a

víi

ρ(x) =

(x − a)(b − x), a < x < b
viii


S : không gian các hàm cơ bản giảm nhanh trên R
S : không gian các hàm suy rộng tăng chậm trên R
D(): không gian các hàm khả vi vô hạn và có giá compact trong
D (): không gian ®èi ngÉu cđa D(Ω)
s
s
H s (R), H◦ (Ω), H◦,◦ (), H s (): các không gian Sobolev
s
s
Hs (R), H (), H, (), Hs (): các không gian Sobolev vectơ

F : phÐp biÕn ®ỉi Fourier
F −1 : phÐp biÕn ®ỉi Fourier ngược
p, p : các toán tử hạn chế
, : các toán tử thác triển
Tn (x): đa thức Chebyshev bậc n loại một
Un (x): đa thức Chebyshev bậc n loại hai
Jm : hàm Bessel loại một cấp m


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

Phương trình cặp (dual equations) và hệ phương trình cặp (systems of dual
equations) xuất hiện khi giải các bài toán biên hỗn hợp của Vật lý toán bằng
cách sử dụng các biến đổi tích phân thích hợp. Nhiều bài toán của lý thuyết

đàn hồi, các bài toán về vết nứt, các bài toán về tiếp xúc, . . . có thể được đưa
đến giải các phương trình cặp khác nhau. Trong khoảng năm thập niên gần đây
những nghiên cứu về phương trình cặp chủ yếu là các phương pháp tìm lời giải
hình thức của các phương trình này [17, 44].
Hiện nay các kết quả định tính về phương trình cặp còn hạn chế [2- 5, 9,
11, 18, 23, 47], tính giải được của các hệ phương trình cặp hầu như chưa được
nghiên cứu. Việc nghiên cứu hệ phương trình cặp sẽ mở rộng phạm vi áp dụng
cho phương trình cặp trong việc giải các bài toán biên hỗn hợp của Vật lý toán.
Vì vậy, việc nghiên cứu về hệ phương trình cặp là cần thiết và có tính thời sự.
Trong các phép biến đổi tích phân thì phép biến đổi tích phân Fourier có vị trí
đặc biệt quan trọng đối với các phát triển lý thut cđa to¸n häc cịng nh­ øng
dơng trong nhiỊu ngành khoa học tự nhiên khác.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của
mình là "

".

Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

2. Mục đích của đề tài luận án
2.1.

Mục đích của đề tài luận án là thiết lập tính giải được của các hệ phương

trình cặp tích phân trong những không gian hàm thích hợp. Các không gian hàm
được sử dụng trong luận án là không gian các hàm suy rộng tăng chậm và các
không gian Sobolev vectơ.

1

2.2.

Mục đích thứ hai của đề tài luận án là nghiên cứu các phương pháp hữu

hiệu tìm nghiệm của hệ các phương trình cặp tích phân. Trong luận án này,
chúng tôi sử dụng phương pháp biểu diễn nghiệm của các hệ phương trình cặp
tích phân thông qua các hàm phụ trợ thích hợp, và đưa hệ các phương trình cặp
tích phân về hệ các phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy hoặc nhân
logarithm.
2.3.

Mục đích thứ ba của đề tài luận án là vận dụng các phương pháp hữu hiệu

giải hệ phương trình tích phân kỳ dị, để từ đó có thể tìm được nghiệm của hệ
phương trình cặp tích phân. Trong luận án này chúng tôi vận dụng phương pháp
đa thức trực giao [32- 37] để đưa hệ các phương trình tích phân kỳ dị với nhân
Cauchy hoặc nhân logarithm về hệ vô hạn các phương trình đại sè tun tÝnh
tùa hoµn toµn chÝnh qui [14], thn tiƯn cho việc tìm nghiệm gần đúng của các
hệ phương trình cặp tích phân đề cập trong luận án này.
3. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là thiết lập tính giải được của hệ phương
trình cặp tích phân Fourier tổng quát với biểu trưng (symbol) là ma trận xác
định dương. Xét ứng dụng của lý thuyết hệ phương trình cặp tích phân Fourier
tổng quát vào nghiên cứu một số lớp hệ phương trình cặp xuất hiện khi giải một
số bài toán biên hỗn hợp cho các phương trình điều hoà và song điều hoà trong
miền hình dải của mặt phẳng.
4. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi vận dụng tiếp cận lý thuyết hàm suy rộng và toán tử giả vi phân
để nghiên cứu hệ phương trình cặp tích phân mà luận án quan tâm. Tiếp cận
lý thuyết hàm suy rộng được sử dụng để nghiên cứu các phương trình cặp dạng
Titchmash được Walton J. R. lần đầu tiên nghiên cứu vào năm 1975 [47], còn
tiếp cận toán tử giả vi phân do Nguyễn Văn Ngọc vận dụng năm 1988 [24] để
nghiên cứu tính giải được của phương trình cặp tích phân Fourier với biểu trưng
tăng chậm.


5. Tổng quan về đề tài luận án
5.1. Phương trình cặp tổng quát

Hiện nay trong số các phương pháp giải tích giải các bài toán biên hỗn hợp
của Vật lý toán thì phương pháp phương trình cặp là tổng quát và linh hoạt hơn
cả. Những công trình nền móng của phương pháp này là các công trình của các
nhà toán häc Beltrami E., Boussinesq J. vµ Abramov V. M. Sù phát triển của
phương pháp đà dựa trên các công trình sau ®ã cđa Tranter C., Cooke J., Sneddon
I., Ufliand Ia. S., Babloian A. A., Valov G. N., Mandal B. N., Aleksandrov B.
M., . . . .
Các phương trình cặp xuất hiện khi sử dụng phép biến đổi tích phân nào đó
để giải các bài toán biên hỗn hợp của các phương trình đạo hàm riêng. Có nhiều
phép biến đổi tích phân khác nhau và mỗi phép biến đổi lại tương ứng với một
loại phương trình cặp. Độ phức tạp của mỗi loại phương trình cặp phụ thuộc
vào biểu trưng và số khoảng có trong phương trình. Phương trình cặp tổng quát
có thể được phát biểu như sau:

R và T là biến đổi
1
tích phân nào đó trên J với biến đổi ngược T
. Ký hiệu v() là T biến đổi

của hàm v(x). Phương trình cặp tích phân đối với phép biến đổi tích phân T có
Giả sử

J

là khoảng hữu hạn hay vô hạn của trục thực

dạng

pT 1 [A1 ()v()](x) = f (x),
p′ T −1 [A2 (ξ) v(ξ)](x) = g(x),

x ∈ ,

x ,

(1)

A1 () và A2 () là các hàm đà biết, , là các hệ khoảng không giao
′
′
nhau cña J, sao cho Ω ∪ Ω = J, p và p lần lượt là các toán tử hạn chế trên

và tương ứng. Nếu ký hiệu
trong đó

u() = A2 (ξ)v(ξ),

A(ξ) =

A1 (ξ)
,
A2 (ξ)

u(x) = T −1 [u](x)

th× (1) có thể được viết lại ở dạng

pT 1 [A()u()](x) = f (x),
p′ u(x) = g(x), x ∈ Ω′ ,

x ∈ Ω,

(2)


hàm

A() được gọi là biểu trưng (symbol) của toán tử (giả vi phân):
Au := T 1 [A()u()](x).

Nhận xét rằng, phương trình cặp (2) có thể được xem như là bài toán Dirichlet
đối với phương trình giả vi phân

Au = f (x) trên .

5.2. Các phương pháp hình thức

Trong khoảng 50 năm qua đà xuất hiện nhiều nghiên cứu về những phương
pháp hình thức giải các phương trình cặp tích phân và các phương trình cặp

chuỗi đối với các phép biến đổi tích phân khác nhau. Những phương pháp này
nhìn chung còn mang tính hình thức, tức là chưa xét đến tính giải được của các
phương trình cặp, cũng như chưa có sự đảm bảo toán học chặt chẽ đối với các
biến đổi. Tuy nhiên, các phương pháp này đà thúc đẩy sự phát triển mạnh mẽ
của lý thuyết phương trình cặp đối với các biến đổi tích phân khác nhau. Phần
lớn các phương pháp này có thể tìm thấy trong các tài liệu [17, 31, 44].
Trước hết đề cập tới những phương pháp hình thức nghiên cứu về phương
trình cặp liên quan đến biến đổi Fourier (gọi tắt là phương trình cặp tích phân
Fourier) dạng:



1
F [Au](x) := 1
u()A()eix d = f (x), x ∈ Ω ⊂ R,

2π −∞
∞
F −1 [u](x) := 1

u(ξ)e−ixξ dξ
= g(x), x ∈ R \ Ω,

2π

u() là hàm cần tìm, A(), f (x), g(x)
n Jk , Jk = (ak , bk ), Ji ∩ Jj = (i = j).
k=1

trong đó

ã

Khi

= (0, )

là những hàm đà biết,

(3)

=

phương pháp thường được sử dụng là phương pháp nhân

tử hoá Wiener- Hopf [11, 19, 31]. Trường hợp này thường gặp trong các bài
toán về tán xạ các sóng và về các vết nứt nửa vô hạn.

ã Khi = (a, b) là khoảng hữu hạn, phương trình (3) còn được gọi là phương

trình bộ ba (triple equation) được đưa về phương trình tích phân dạng chập [1,
7, 36, 37]:

b

(a ∗ u)(x) :=

a

a(x − t)u(t)dt = f (x) + g (x), a < x < b,

˜

(4)


a(x), u(x) tương ứng là biến đổi Fourier ngược của A() và u(), còn
g (x) là hàm số phụ thuộc tuyến tính vào hàm g(x). Phương trình tích phân dạng

trong đó

chập (4) thường là phương trình với nhân logarithm, hoặc là phương trình với
nhân kỳ dị Cauchy và được giải gần đúng bằng phương pháp đa thức trực giao
[36, 37], phương pháp tiệm cận [1].

ã Eswaran (1990) [17] đà đề xuất một phương pháp tìm nghiệm của phương
2 k 2 , Ω = (−1, 1), g(x) = 0 gặp trong lý thuyết
trình (3) với A() =

nhiễu xạ (difraction) sóng điện từ. Phương pháp của Eswaran dựa trên quá trình
trực giao hoá và hệ thức



Jm (x) ix
e d = 0, |x| > 1.



(5)

Nghiệm của phương trình (3) được tìm ở dạng

u() =



am (m + 1)im+2

m=0

Jm+1 (x)
,


(6)

Đưa (6) vào (3), thay đổi thứ tự lấy tổng và tích phân ta ®­ỵc

∞
m=0

am ψm (x) = f (x), |x| < 1,

trong ®ã

ψm (x) = (m + 1)im+2

∞
−∞

ξ 2 − k2

Jm+1 (ξx)
dξ.
ξ

C¸c hƯ số chưa biết được tìm bằng cách tiến hành trực giao hoá dÃy hàm

(7)

(8)

m (x),

xác định bởi công thức (8).

ã Các phương trình cặp tích phân với hạch lượng giác thường gặp trong các

bài toán về vết nứt và tiếp xúc của lý thuyết đàn hồi hai chiều [40, 41]. Trong
[17] giới thiệu cách tìm nghiệm hình thức của một số phương trình cặp loại này
liên quan đến các phép biến đổi Fourier-sin và Fourier- cosin.

ã Các phương pháp hình thức tìm nghiệm của các phương trình cặp liên quan

đến biến đổi Hankel, biến đổi Mehler- Fock, Weber-Orr và Legendre được giới
thiệu khá chi tiết trong [17, 44].


Như trên đà nói, các phương pháp trên đây về cơ bản còn mang tính hình
thức, chưa quan tâm đến vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm trong các không

gian hàm thích hợp nào đó, cũng như những đảm bảo toán học cần thiết trong
quá trình biến đổi đưa phương trình cặp về các phương trình tích phân tương
ứng. Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày tổng quan những kết quả nghiên cứu về
tính giải được của một số lớp phương trình cặp tích phân, đặc biệt là tích phân
Fourier, là đối tượng nghiên cứu của đề tài luận án này.
5.3. Tính giải được của các phương trình cặp

Số lượng các nghiên cứu về tính giải được của các phương trình cặp so với
các nghiên cứu về các phương pháp tìm lời giải hình thức của các phương trình
này là rất khiêm tốn. Trong phần này chúng tôi sẽ đề cập đến một số kết quả
nghiên cứu đại diện của các chuyên gia và của tác giả luận án về tính giải được
của các phương trình cặp tích phân thường gặp trong các bài toán biên hỗn hợp
của vật lý toán.

ã

Năm 1975, Walton J. R. [47] vận dụng tiếp cËn hµm suy réng Zemanian

[48], xÐt tÝnh duy nhÊt nghiƯm của phương trình cặp dạng Titchmarsh










0

0

t2 (t)Jà (tx) = f (x), 0 < x < 1,
t

−2β

(9)

ψ(t)Jν (tx) = g(x), 1 < x < ,

trong lớp các hàm suy rộng chính qui.

ở đây Jà , J

(t)

là các hàm và các số đà cho. Cũng với

là hàm cần tìm,

f (x), g(x), ,

là các hàm Bessel loại một,

cách tiếp cận đó, phương trình (9) cũng đà được nghiên cứu sau đó trong [9,
20]. Năm 2000, các tác giả trong [5] đà xét tính giải được của phương trình này
trong các không gian Lebesgue.

ã Nguyễn Văn Ngọc [25, 26] xét tính giải được của một số lớp phương trình

m
m
cặp tích phân Hankel bằng cách sử dụng các toán tử vi phân Mà , N và các
m
m

tích phân phân Mà,J , Nà,J trong không gian các hàm suy rộng Zemanian Hà .
Nguyễn Văn Ngọc và Hà Tiến Ngoạn [30] đà xây dựng các không gian Sobolev
liên quan đến phép biến đổi tích phân Hankel để nghiên cứu toán tử giả vi phân
dạng

A[u] = Bà [A(.)u(.)], trong đó u = Bà [u] là biến đổi Hankel cđa hµm suy


rộng

u, A(t)

là biểu trưng (symbol) đà cho.

toán tử giả vi phân

A[u]

Tính bị chặn và tính compact của

được vận dụng để nghiên cứu tính giải được của các

phương trình cặp tích phân dạng

ã






0
0

A(t)u(t)Jà (tx) = f (x), x R+ ,

(10)

u(t)Jµ (tx) = g(x), x ∈ R+ \ Ω.

XÐt tính giải được của phương trình cặp tích phân Fourier. Trong [11] xét

phương trình cặp đối với tích chập trên các nửa trục không phải bằng phương

pháp Wiener- Hopf (Phương pháp nhân tử hoá), mà bằng phương pháp bài toán

biên Riemann (xem mục 5.3, trang 53). Phương trình này có thể đưa về phương

trình cặp tích phân Fourier dạng

F 1 [(1 + K1 (ξ))u(ξ)](x) = f (x), x > 0,
F −1 [(1 + K2 (ξ))u(ξ)](x) = g(x), x < 0

(11)

1 + Kj (ξ) = 0, kj (x) = F −1 [Kj (ξ)], f (x) ∈ {0} (j = 1, 2),

(12)

víi các giả thiết

trong đó

{0}

là lớp các hàm có Fourier thuộc không gian

L2 (R)

và thoả mÃn

điều kiện Holder địa phương trên khoảng bị chặn bất kỳ và tại lân cận của



và

f (x) =
•

f (x), x ≥ 0,
g(x), x < 0.

Gohberg I. C và Fel'man I. A. [12] đà nghiên cứu phương trình (11) với

các giả thiết


f (x), kj (x) = F −1 [Kj (ξ)] ∈ L1 (R),

1 + Kj (ξ) = 0, Ind[1 + Kj (ξ)]R = 0 (j = 1, 2),
trong đó

IndK()R

là chỉ số của hàm

K()

(13)

(14)

trên trục thực theo chiều dương.

Kết quả nhận được là các điều kiện (13)-(14) là cần và đủ để phương trình (11)

có nghiệm trong

L1 (R).

ã Poletaev G. S [33-35] đà xét phương trình (11) víi gi¶ thiÕt
F −1 [K1 (ξ)](x) ∈ L1 (R), ecx F 1 [K2 ()](x) L1 (R), trong đó c

là hằng số

dương nào đó, bằng phương pháp dựa trên kỹ thuật nhân tử hoá Wiener-Hopf
trong các đại số Banach đà thiết lập một số định lý về tính giải được của phương
trình (11) trong các không gian thích hợp.

ã Năm 1986, Nguyễn Văn Ngọc và Popov G. Ya. [23] đà xét tính giải được

của phương trình cặp vi-tích phân với nhân lượng giác trên hệ khoảng



d


A()() sin(x)d, x In , n = 1, N ,
dx 0
∞


A(ξ) cos(ξx)dξ = 0, x ∈ R+ \ ∪N In ,

n=1

(15)

0

= (an , bn ), In Im = , A() là hàm cần tìm. Với một số giả thiết về
biểu trưng (), đà chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình (15) trong lớp hàm CN (R, {j }). Nghiệm của phương trình đà cho được

trong đó In

tìm ở dạng

2
A() =
ξ
víi ®iỊu kiƯn

N

bj

Φj (y) sin(yξ)dy
j=1

aj

bj

Φj (y)dy = 0, j = 1, N .
aj

2N + 1 khoảng được đưa về hệ N phương trình tích
xy
phân loại một với nhân chính ln
đối với các hàm j (y), j = 1, N .
x+y
ã Manam S. R. [18] đề xuất phương pháp tìm nghiệm hữu hiệu của một lớp

Phương trình cặp trên hệ

phương trình cặp liên quan đến tổ hợp của các hàm lượng giác. ĐÃ nhận được
tiêu chuẩn giải được, theo đó nghiệm của phương trình là duy nhất.

ã

Năm 1988, Nguyễn Văn Ngọc [24] đà vận dụng tiếp cận toán tử giả vi

phân trong các không gian Sobolev cấp thực để xét tính giải được của phương
trình cặp tích phân Fourier (3) trong các không gian Sobolev thích hợp. Kết quả

A() của phương trình (3) dương

/2
và A() C(1 + ||) thì với mỗi f (x) H
(), g(x) H /2 (R \ ),
/2
phương trình (3) có nghiệm duy nhất trong H
(R).
cơ bản của nghiên cứu này là: nếu biểu trưng

ã

Năm 2009, Nguyễn Văn Ngọc đà đưa ra cách giải các phương trình cặp

đối với biến đổi Fourier với symbol tăng cấp

p N sau đây [28]:

F 1 [||p A()u()](x) = f (x), x ∈ (a, b),
F −1 [u(ξ)](x)
= 0, x ∈ R \ (a, b),

(16)

u(ξ) ∈ S ′ ∩ C (R) là hàm cần tìm, f (x) là hàm đà cho thuộc không
p/2
gian Sobolev H
(a, b). Hàm đà biết A() thoả mÃn các điều kiện

trong đó

i) A() C ∞ (R), A(−ξ) = A(ξ), ReA(ξ) ≥ 0(≡ 0),
ii) L(ξ) := 1 − A(ξ) = O(|ξ|−q ), |ξ| → ∞, q >> 1.

Khi

p = 2m (m = 1, 2, . . .) nghiệm của phương trình (16) được tìm ë d¹ng
1
u(ξ) =
(−iξ)m

b
a

Khi

b

ϕ(t)eiξt dt,

a

tk ϕ(t)dt = 0, k = 0, 1, . . . , m − 1.

p = 2m + 1 (m = 0, 1, 2, . . .)

m

được thay bởi

Phương trình cặp (16) được đưa về giải phương trình tích phân kỳ dị

nhân Cauchy đối với với hàm

ã

(18)

nghiệm của phương trình (16) được tìm

tương tự như trên, trong đó trong các công thức (17)-(18)

m + 1.

(17)

(t).

Mới đây Banerji P. K. và Deshnar Loonker [2] xét tính giải được trong

không gian các hàm suy rộng của một lớp phương trình cặp liên quan đến biến
đổi Mehler-Fock









trong đó


0
0

= g1 (), 0 ≤ α ≤ a,

1
τ f (τ )P− 2 +iτ (cosh α)dτ

(19)

1
tanh(πτ )f (τ )P− 2 +iτ (cosh α)dτ = g2 (α), α > a,

1
P− 2 +iτ (cosh α) lµ hàm Legendre.

ã Những kết quả gần đây của Nguyễn Văn Ngọc và Nguyễn Thị Ngân dành

cho việc nghiên cứu tính giải được của các hệ phương trình cặp tích phân Fourier

pF −1 [A(ξ)u(ξ)](x) = f (x), x ∈ Ω,
p′ F −1 [u(ξ)](x)

= g(x), x ∈ Ω′ = R \ Ω,

(20)


trong đó



là một khoảng hữu hạn của trục thực,

là các vectơ hàm đà cho,

A()

u

f, g

là một ma trận vuông xác định và được gọi là

biểu trưng ( symbol) của hệ phương trình cặp (20),
hạn chế trên

là vectơ hàm cần tìm,

p

và

p

lần lượt là toán tử

và .

Phương pháp nghiên cứu là sử dụng tiếp cận toán tử giả vi phân của các hàm
suy rộng trong các không gian Sobolev thích hợp. Vận dụng Định lý Riesz về
phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert và Định lý Fredholm
để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các hệ phương trình cặp.
Đưa ra các biểu diễn nghiệm thích hợp để đưa các hệ phương trình cặp tích
phân Fourier về hệ phương trình tích phân kỳ dị hoặc hệ phương trình tích phân
với nhân logarithm. Vận dụng phương pháp đa thức trực giao [36] đưa hệ các
phương trình tích phân trên đây về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính

tựa hoàn toàn chính qui [14].
Vì đối tượng nghiên cứu của luận án này là tính giải được của các hệ phương
trình cặp tích phân liên quan đến biến đổi Fourier, nên trong luận án này chúng
tôi chỉ đề cập đến các phương trình cặp tích phân (chủ yếu là tích phân Fourier)
mà chưa quan tâm đến các phương trình cặp chuỗi. Tuy nhiên, nhận xét rằng
một số kết quả về tính giải được của các phương trình cặp chuỗi có thể tìm thấy,
ví dụ trong [15, 22, 27, 29, 38, 39].
Nhận xét rằng, các phương pháp được sử dụng trong nghiên cứu tính giải
được của các phương trình cặp tích phân và chuỗi có thể phân thành các nhóm
tiếp cận sau đây:
- Cách tiếp cận giải tích và giải tích hàm [5, 11, 12, 18, 23, 33, 34, 35, 38,
39, . . . ].
- C¸ch tiÕp cËn hµm suy réng [2, 9, 20, 25, 26, 47, . . . ].
- C¸ch tiÕp cËn to¸n tư giả vi phân của các hàm suy rộng trong các không
gian Sobolev và phương trình tích phân [24, 27- 29, . . . ].
6. CÊu tróc vµ tỉng quan ln án

Luận án gồm phần Mở đầu, ba chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo.


Chương 1 dành cho việc trình bày lý thuyết chung của hệ n-phương trình cặp
tích phân Fourier trên hệ các khoảng không giao nhau của trục thực. Các hệ
phương trình này là sự khái quát hoá của nhiều hệ phương trình cặp gặp trong
các bài toán biên hỗn hợp của Vật lý toán, một số các bài toán đó sẽ được trình
bày trong Chương 2.
Trong các mục 1.1-1.3 trình bày một số kiến thức bổ trợ: biến đổi Fourier của
hàm cơ bản giảm nhanh và hàm suy rộng tăng chậm, các không gian Sobolev
cấp thực bất kỳ.

s

Hs (R), H (),
Hs (), Hs (). ĐÃ chứng minh sự đẳng cấu giữa không gian Hs (R) với
,
s

s
không gian (H (R)) là không gian đối ngẫu của H (R) ( Định lý 1.8). Tương
Mục 1.4 trình bày về các không gian Sobolev vectơ

tự, chứng minh định lý về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên không gian

s
H () (Định lý 1.9), định lý này đóng vai trò quan trọng trong

nghiên cứu tính giải được của các hệ phương trình cặp tích phân được xét ở các
mục sau.
Mục 1.5 dành cho việc nghiên cứu toán tử giả vi phân vectơ dạng

(Au)(x) := F 1 [A()u()](x),
A() = ||aij ()||nìn là ma trận vu«ng cÊp n, u = (u1 , u2 , . . . , un )T là
vectơ chuyển vị của vectơ dßng (u1 , u2 , . . . , un ) vµ u(ξ) := F [u] = (F [u1 ], F [u2 ],
. . . , F [un ])T . Ma trận A() được gọi là biểu trưng (symbol) của toán tử giả vi
phân A. Dựa trên nhiều bài toán cụ thể, chúng tôi đà định nghĩa các lớp của



biểu trưng: (R), + (R), (R) ( Định nghĩa 1.11). Điều kiện (1.27) có vai

trong đó

trò tương tự như điều kiện bức đối với toán tử vi phân elliptic.
Lớp biểu trưng

(R)
+

có vai trò quan trọng trong việc xây dựng chuẩn và

tích vô hướng tương đương trong không gian
tục của toán tử giả vi phân vectơ

Au

Hs (R)

với biểu trưng

(Mệnh đề 1.5). Tính liên

A() (R)

được cho

bởi Mệnh đề 1.6, còn tính hoàn toàn liên tục của toán tử được cho bởi Mệnh
đề 1.7. Các tính chất trên đây của toán tử giả vi phân

F 1 [A()u()](x) có vai

trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính giải được của các hệ phương trình cặp

tích phân ở mục tiếp theo.


Mục 1.6 dành cho việc nghiên cứu tính giải được của hệ phương trình cặp
tích phân

pF 1 [A()u()](x) = f (x),
p′ F −1 [u(ξ)](x)

= g(x),

x ∈ Ω,

(21)

x ∈ Ω′ := R \ ,

là một khoảng hoặc hệ các khoảng kh«ng giao nhau trong R, u(ξ) =
(ˆ1 (ξ), u2 (ξ), . . . , un ())T là hàm vectơ cần t×m, f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . ,
u
ˆ
ˆ
fn (x))T ∈ (D′ (Ω))n , g(x) = (g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x))T ∈ (D ( ))n là những

hàm vectơ cột xác định trên và tương ứng, A() = ||aij ()||nìn là ma trận

vuông và được gọi là biểu trưng của hệ phương trình cặp (21); p và p lần lượt

là các toán tử hạn chế trên và tương ứng (Hệ (1.34) trong luận án).

trong đó

Hệ phương trình cặp tích phân (21) được xét với các giả thiết sau

A() (R), A() là ma trận xác định dương với mäi ξ ∈ R,
◦
−α/2
f (x) ∈ H
(Ω), g(x) ∈ Hα/2 ( ).

(22)

ẩn hàm u() được tìm dưới dạng u() = F [u](), trong đó u H/2 (R).
ĐÃ chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình cặp
tích phân trong các trường hợp ma trận

A() (R)
+

và trường hợp ma trận

A() (R) trong các không gian Sobolev vectơ thích hợp của các hàm suy


rộng (Định lý 1.10, Định lý 1.11, Định lý 1.12 và Định lý 1.13).

Chương 2 dành cho việc trình bày về một số lớp hệ phương trình cặp tích
phân xuất hiện khi giải một số bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình điều
hoà và song điều hoà trong miền hình dải.
Trong Chương 2 này, chúng tôi xét một số bài toán biên hỗn hợp của phương

trình điều hoà và song điều hoà trong miền hình dải, khi các điều kiện biên loại
khác nhau được cho xen kẽ nhau trên hai biên song song với trục

Ox của miền

hình dải.
Mục 2.1 và 2.2 dành cho việc nghiên cứu về hệ phương trình với biểu trưng
tăng cấp một. Trong các mục này trình bày hai bài toán biên hỗn hợp.
Mục 2.1 xét một hệ phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng cấp một
của một bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình điều hoà trong miền hình


dải khi điều kiện biên Neumann (đạo hàm pháp tuyến) được cho trên khoảng
hữu hạn

(a, b), còn ở ngoài khoảng đó thì cho điều kiện biên Dirichlet. Bằng

phương pháp biến đổi Fourier đà biến đổi về hệ phương trình cặp tích phân
(Mục 2.1.2). Mục đích quan trọng là đà thiết lập tính giải được của hệ phương
trình cặp tích phân: chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ
phương trình cặp tích phân trong không gian Sobolev của các hàm suy rộng, đó
là các định lý: Định lý 2.1 và Định lý 2.2 (Mục 2.1.3). Trong Mục 2.1.4 với
việc biểu diễn các hàm

1
um (x) =
2

b
a

um (x), m = 1, 2 qua các hàm phụ trợ thích hỵp

−1/2
vm (t)sign(x − t)dt, vm ∈ L2 (a, b) ⊂ H (a, b), m = 1, 2,


đưa hệ phương trình cặp tích phân này về hệ phương trình tích phân kỳ dị với
nhân Cauchy (Hệ (2.12) trong luận án)






trong đó

1
i

b
a

vm (t)dt
+
x−t

2

b

a

vk (t)ℓmk (x − t)dt = −ifm (x),

k=1


 vm (t) ∈ L2 (a, b), m = 1, 2;
ρ

a < x < b,

−i ∞ e−ξh
ℓ11 (x) = ℓ22 (x) =
sin(ξx)dξ,
π 0 sinh(ξh)
i ∞ sin(ξx)
ℓ12 (x) = ℓ21 (x) =
dξ.
π 0 sinh(ξh)
VËn dụng phương pháp đa thức trực giao [36, 37] để đưa hệ các phương trình
tích phân kỳ dị với nhân Cauchy về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến
tính. ĐÃ chứng minh hệ phương trình (2.12) và hệ vô hạn các phương trình đại
số tuyến tính (2.30) là tương tương (Định lý 2.5). Trong các Bổ đề 2.2 và Bổ
đề 2.3 đà đánh giá các hệ số của hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính
(2.37), chứng minh được Định lý 2.6 về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến
tính có duy nhất nghiệm thuộc không gian 2 , ngoài ra khẳng định hệ phương
trình này là hệ phương trình tựa hoàn toàn chính qui (Mục 2.1.5). Nội dung
của mục này đà được công bố trong
Thái nguyên

Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học

và trong kỷ yếu Hội thảo quốc tế "Based on the selected lectures of


the

17th International Conference on Finite and Infinite Dimensional Complex

Analysis and Applications".
Mục 2.2 trình bày về một hệ phương trình cặp tích phân gặp trong bài toán
biên hỗn hợp đối với dải đàn hồi. Bằng cách biểu diễn các đại lượng của chuyển
vị và ứng suất qua hai hàm điều hoà, bài toán được đưa về hệ phương trình cặp
tích phân hai phương trình đối với vết của các chuyển vị trên biên với biểu
trưng tăng cấp một như hệ phương trình cặp tích phân đà gặp trong Mục 2.1,
nhưng biểu trưng trong trường hợp này thì có cấu trúc phức tạp hơn rất nhiều.
Mục 2.2.3 trình bày tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân. Chứng
minh ma trận

A () là ma trận xác định dương (Bổ đề 2.4). Chứng minh sự

tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình cặp tích phân (2.54) (Định lý
2.7, Định lý 2.8). Tương tự như trong Mục 2.1.4 bằng cách biểu diễn các hàm

um (x), m = 1, 2 qua các hàm phụ trợ thích hợp đưa hệ phương trình cặp tích
phân (2.54) về hệ phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy (Mục 2.2.4).
Mục 2.2.5 trình bày biến đổi về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính.
Chứng minh hệ phương trình (2.62) và hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến
tính (2.69) là tương tương (Định lý 2.10). Trong các Bổ đề 2.6 và Bổ đề 2.7

đà đánh giá các hệ số của hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính (2.69).
Chứng minh được hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tÝnh (2.69) cã duy
nhÊt nghiƯm thc kh«ng gian ℓ2 , ngoài ra còn khẳng định hệ phương trình này
là hệ phương trình tựa hoàn toàn chính qui (Định lý 2.11). Nội dung của mục
này đà được công bố trong tạp chí Vietnam Journal of Mathematics.
Mục 2.3 dành cho việc nghiên cứu về hệ phương trình với biểu trưng giảm
cấp một, trình bày về một hệ phương trình cặp tích phân gặp trong bài toán biên
hỗn hợp đối với phương trình song điều hoà. Bài toán có nguồn gốc từ bài toán
mô tả sự uốn của tấm hình dải giới hạn bởi các cạnh

y = 0, y = h với điều kiện
ngàm cho trên các khoảng |x| < a và điều kiện gối tựa cho trên |x| a được

trình bày trong Mục 2.3.1. Mục 2.3.3 trình bày tính giải được của hệ phương
trình cặp tích phân (2.106). Sử dụng Bổ đề 2.8 chúng tôi chứng minh hệ phương
trình (2.110) có duy nhất nghiệm (Định lý 2.13). Chứng minh Định lý 2.14,
định lý về sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình (2.110). Chứng minh sự tồn tại


duy nhất nghiệm của bài toán (2.81)-(2.85) (Định lý 2.15). Mục 2.3.4 trình bày
phương pháp đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích phân
nhân logarithm trên


1


2π








1


 2π








a

ln
−a

(−a, a) (HƯ (2.127) trong ln ¸n)
1
u1 (t)dt
x−y

a

+

−a
a

+

a

1
ln
u2 (t)dt+
x−y
−a

a
−a

−a

u1 (t)k11 (x − t)dt
u2 (t)k12 (x − t)dt = f1 (x),

u1 (t)k21 (x − t)dt
a

+
−a

u2 (t)k22 (x − t)dt = f2 (x),

trong ®ã

a

um (ξ) = F [um ](ξ) =
−a

eitξ um (t)dt, suppum ⊂ [−a, a], m = 1, 2,

πx
1
k11 (x) = k22 (x) = ln x coth
2π
4h
∞
1
2a∗ (ξ) − tanh(ξh)
11
+
cos(ξx)dξ,
2π 0
ξ
1 ∞ a∗ (ξ)
12
k12 (x) = k21 (x) =
cos(ξx)dξ.
π 0
ξ
Chøng minh hệ phương trình cặp tích phân (2.126) tương đương với hệ
phương trình tích phân nhân logarithm (2.127) (Định lý 2.16). Mục 2.3.5 trình
bày phương pháp đưa tiếp về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính.

Chứng minh Định lý 2.17 về hệ phương trình tích phân (2.127) và hệ vô hạn các
phương trình đại số tuyến tính (2.138) là tương đương. Trong các Bổ đề 2.11 và
Bổ ®Ị 2.12 ®· ®¸nh gi¸ c¸c hƯ sè cđa hƯ vô hạn các phương trình đại số tuyến
tính (2.142), chứng minh được Định lý 2.18 về hệ vô hạn các phương trình đại
số tuyến tính có duy nhất nghiệm thuộc không gian 2 , ngoài ra còn khẳng định
hệ phương trình này là hệ phương trình tựa hoàn toàn chính qui. Nội dung của
mục này đà được công bố trong tạp chí

Acta Mathematica Vietnamica.

Mục 2.4 dành cho việc nghiên cứu về hệ phương trình với biểu trưng tăng giảm cấp một, trình bày về một hệ phương trình cặp tích phân gặp trong bài toán
biên hỗn hợp thứ hai đối với phương trình điều hoà trong miền hình dải khi trªn