PHÂN DẠNG và GIẢI các bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ độ

SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
A. T VN
I. Li m u:
Hỡnh hc khụng gian l mt mụn hc khú i vi hc sinh trung hc ph
thụng. ú l vỡ cỏc em nm khụng vng kin thc ca HHKG: H thng cỏc
nh ngha, nh lớ, tớnh cht ca cỏc i tng hỡnh hcNờn ng trc mt
bi toỏn HHKG cỏc em thng lỳng tỳng trong vic tỡm ra li gii, do thiu
phng phỏp .
Vi mc ớch:
+ Phõn dng bi tp v hỡnh hc khụng gian.
+ Cung cp mt cụng c, mt phng phỏp gii toỏn cho hc sinh.
+ Giỳp hc sinh thy c mi liờn h gia hỡnh hc v gii tớch.
+ Gõy hng thỳ hc tp mụn HHKG cho hc sinh, hc si nh khụng cũn
cm giỏc "s" HHKG.
Tụi chn ti: "PHN DNG V GII CC BI TON HèNH HC
KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TO "
II. Thc trng ca vn nghiờn cu:
Trờn thc t ng trc mt bi toỏn hỡnh hc khụng gian hc sinh
thng ngh ngay ti xem l bi toỏn ú cú th to hoỏ c hay khụng. Tuy
nhiờn cú mt s vn m cỏc em khú cú th gii quyt c ú l:
+ Mt bi toỏn nh th no thỡ cú th gii bng phng phỏp to .
+ Vic chn h trc to nh th no cho phự hp.
+ Cỏch chuyn bi toỏn t ngụn ng kỡnh hc khụng gian thun tuý sang ngụn
ng ca hỡnh hc gii tớch.
III. Kt qu ca thc trng:
Qua kim tra kho sỏt cht lng hc sinh ca lp 12A
2
khi cha ỏp dng
ti tụi thu c kt qu nh sau:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
1

SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
Tng s HS Loi kộm Loi TB Loi khỏ Loi gii
55 21 25 9 0
T thc trng ú tụi ó mnh dn ci tin phng phỏp tip cn mụn
hỡnh hc khụng gian, giỳp cỏc em cú hng thỳ khi hc mụn hc ny.
B. GII QUYT VN
I. Cỏc gii phỏp thc hin:
1. H thng li kin thc ó hc:
Giỳp hc sinh h thng li cỏc kin thc ó hc v hỡnh hc khụng gian
cng nh phng phỏp to trong khụng gian cỏc em thy c s tng
ng gia ngụn ng hỡnh hc khụng gian v ngụn ng hỡnh hc gii tớch.
2. Phõn loi cỏc bi tp:
* Da vo gi thit ca bi toỏn cú th chia lm hai loi:
Loi 1: Gi thit bi toỏn cú cho sn mt gúc tam din vuụng.
Loi 2: Gi thit bi toỏn khụng cho sn mt gúc tam din vuụng.
* Da vo kt lun bi toỏn cú th chia thnh cỏc loi sau:
Loi 1: Cỏc bi tp mang tớnh nh lng
Loi 2: Cỏc bi tp mang tớnh nh tớnh
Loi 3: Cỏc bi tp v cc tr hỡnh hc.
II. Cỏc bin phỏp t chc thc hin:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
2
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
Do thi lng cỏc tit hc chớnh khoỏ khụng thc hin, do ú tụi ó
s dng mt s tit hc t chn v tit hc ụn tp thc hin ti.
a . C S Lí THUYT:
lm c cỏc bi toỏn HHKG bng phng phỏp to hoỏ thỡ yờu
cu hc sinh phi nm vng kin thc v phộp toỏn ca vộc t v ng dng.
1. Cỏc phộp toỏn v vộc t:
* nh lớ 1: Cho

( ) ( )
; ; ; '; '; 'a x y z b x y z
r r
ta cú:
* Tớch vụ hng ca hai vộc t:
nh lớ 2: Cho
( ) ( )
; ; ; '; '; 'a x y z b x y z
r r
ta cú:
H qu:
* nh lớ 3: Nu A(x; y; z); B(x'; y'; z') thỡ:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
3
( )
( )
( )
'; '; '
'; '; '
; ;
a b x x y y z z
a b x x y y z z
ka kx ky kz
+ = + + +
=
=
r r
r r
r
( )

.cos ;
' ' '
ab a b a b
ab xx yy zz
=
= + +
rr r r r r
rr
( )
2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
0
' ' '
cos ;
' ' '
a a
a x y z
a b ab
ab xx yy zz
a b
a b
x y z x y z
=
= + +
=
+ +
= =
+ + + +

r r
r
r r rr
rr
r r
r r
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
+) Nu im M chia on AB theo t s k (k 1) tc l:
MA kMB=
uuur uuur
thỡ to
im M c tớnh theo cụng thc:
' ' '
; ;
1 1 1
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k

= = =

nh ngha: Tớch cú hng ca hai vộc t:
y z x x y
; ; ;
y' z' z' x' x' y'
z
a b

=
ữ


r r
* Tớnh cht:

; ; ;
, ; 0
; ; ; 0

cùng phơng
đồng phẳng
a b a a b b
a b a b
a b c a b c




=


=

r r r r r r
g
r r r r r
g
r r r r r r

g
2. ng dng ca tớch cú hng ca hai vộc t:

1
;
2
;
1
;
6

Diện tích hình bình hành ABCD: S
Thể tích tứ diện ABCD:
ABC
ABCD
ABCD
S AB AC
AB AC
V AB AC AD

=


=


=

V
Y

uur uuur
g
uur uuur
g
uur uuur uuur
g
b. S DNG PHNG PHP TO GII CC BI TON HèNH HC
KHễNG GIAN
Phng phỏp chung:
gii cỏc bi toỏn HHKG bng phng phỏp to ta lm theo 4 bc
sau:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
4
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
' ; ' ; '
' ' '
AB x x y y z z
AB x x y y z z
=
= + +
uuur
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
Bc 1: Ch h trc to Oxyz thớch hp.
Thụng thng gc O l nh ca mt gúc tam din vuụng
Bc 2: Xỏc nh to ca cỏc im cú liờn quan.
xỏc nh to cỏc im cú liờn quan ta cú th da vo cỏc yu t:
+) í ngha hỡnh hc ca to im (nm trờn trc to , mt phng to
)

+) Cỏc quan h hỡnh hc (s bng nhau, vuụng gúc, song song, cựng
phng, im chia on thng theo t s cho trc)
+) Xem im l giao ca 2 ng thng, ca ng thng v mt phng
Bc 3: Chuyn bi toỏn t ngụn ng ca HHKG thun tuý sang ngụn ng ca
hỡnh hc gii tớch.
Bc 4: S dng cỏc kin thc v to gii quyt bi toỏn.
Cỏc dng toỏn thng gp:
* Cỏc bi toỏn nh lng nh:
- di on thng
- Khog cỏch t mt im n mt ng thng hoc mt mt phng
- Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau.
- Gúc gia hai ng thng
- Gúc gia ng thng v mt phng
- Gúc gia hai mt phng
- Th tớch cỏc khi a din
- Din tớch thit din
* Cỏc bi toỏn nh tớnh:
- Chng minh cỏc quan h song song, quan h vuụng gúc.
- Bi toỏn cc tr, qu tớch.
1. CC BI TON MANG TNH NH LNG:
1.1. Cỏc bi toỏn v khong cỏch:
* Khong cỏch gia hai im ( di on thng)
* Khong cỏch t mt im n mt ng thng
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
5
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
*Khong cỏch gia hai ng thng
Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh bng a,
SA=a 3
v SA vuụng gúc vi ỏy.

a) Tớnh khong cỏch t A n mt phng (SBC)
b) Tớnh khong cỏch t trng tõm G ca tam giỏc SAB n mt phng (SAC)
Gii:
Chn h trc to sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); D(0; a; 0); S(0; 0;
3a
)

C(a; a; 0); (a>0)
a). Ta cú:

( ) ( )
( )
2 2
;0; 3 ; ; ; 3
; 3;0;
SB a a SC a a a
SB SC a a


=

uur uuur
uur uuur


( )
3;0;1n
r
l mt vộc t phỏp

tuyn ca mt
phng (SBC).
Phng trỡnh mt phng (SBC) l:
( ) ( ) ( )
3. 0. 0 1. 0 0
3 3 0
x a y z
x z a
+ + =
+ =
Khi ú khong cỏch t im A n
mt phng (SBC)
l:
( )
3
3
,
2
3 1
a
a
d A SBC

= =

+
b). To trng tõm G ca tam giỏc SAB l:
3
;0;
3 3

a a
G

ữ
ữ

( )
( )
( )
2 2
0;0; 3 ; ; ;0
; 3; 3;0
AS a AC a a
AS AC a a


=

uuur uuur
uuur uuur
( )
' 1;1;0n
ur
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (SAC)
Phng trỡnh mt phng (SAC) l: -1(x- 0) + 1(y - 0) + 0(z - 0) = 0
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
6
z
S
A D

yE
C
B
x
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
x - y = 0
Khi ú khong cỏch t trng tõm G n mt phng (SAC) :
( )
2
3
;
6
2
a
a
d G SAC = =

* Nhn xột: Trong vớ d 1 chỳng ta thy c li th ca phng phỏp to
th hin rt rừ cõu 2. Nu bng phng phỏp hỡnh hc khụng gian thun tuý
thỡ vic xỏc nh hỡnh chiu vuụng gúc ca G trờn mt phng (SAC) l rt khú
khn.
Li th ú cũn th hin trong vớ d sau:
Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh bng a,
SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v SA = a. Gi E l trung im ca
cnh CD. Tớnh theo a khong cỏch t im S n ng thng BE.
Gii:
Chn h trc to sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); D(0; a; 0); S(0; 0; a); (a>0) C(a; a; 0)
Vỡ E l trung im cnh CD nờn to im E l:
; ;0

2
a
E a

ữ

Ta cú:
; ;0
2
a
BE a


ữ

uuur

( )
1;2;0u
r
l mt
vộc t ch
phng ca ng thng BE.
Li cú:
( )
; 2 ; ;2SB u a a a

=

uur r

Khong cỏch t im S n ng
thng BE l:
( )
2 2 2
;
4 4 3 5
;
5
5
SB u
a a a a
d S BE
u

+ +

= = =
uur r
r
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
7
z
S
A D
yE
C
B
x
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
* Mt trong cỏc bi toỏn thng s dng phng phỏp to ú l cỏc bi

toỏn cú liờn quan n hỡnh hp ch nht v hỡnh lp phng
Vớ d 3: Cho hỡnh hp ch nht ABCD.A'B'C'D' cú AB = a, AD = 2a;
AA' = a.
a) Tớnh theo a khong cỏch gia AD' v B'C.
b) Gi M l im chia on AD theo t s
3
AM
MD
=
. Hóy tớnh khong cỏch t
M n mt phng (AB'C).
Gii:
Chn h trc to sao cho:
A(0 ; 0; 0); B(a; 0; 0); D(0; 2a; 0);
A'(0; 0; a); (a>0)
C(a; 2a; 0); B'(a; 0; a); D'(0; 2a; a)
a) Ta cú:
( ) ( ) ( )
0;2 ; ; ' 0;2 ; ; ' ;0;AD a a B C a a AB a a
uuur uuuur uuuur
Suy ra:
( ) ( )
1 2
0;2;1 ; 0;2; 1u u
ur uur
lõn
lt l cỏc vộc t ch
phng ca cỏc ng thng AD' v B'C.
Li cú:
( )

1 2
; 4;0;0u u

=

ur uur
Khi ú khong cỏch gia 2 ng
thng AD' v B'C bng:
( )
1 2
1 2
;
4
'; '
;
u u AB
a
d AD B C a
a
u u



= = =


ur uur uuur
ur uur
b) Ta cú:
( )

( )
2 2 2
;2 ;0
; ' 2 ; ; 2
AC a a
AC AB a a a

=

uuur
uuur uuuur
( )
2; 1; 2n
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (AB'C).
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
8
B
D
D'
C'
A'
z
B'
x
C
y
A
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
Phng trỡnh mt phng (AB'C) l: 2(x- 0) - (y- 0) - 2(z - 0) = 0

2x - y - 2z = 0.
Ta li cú:
3 3 3
AM MA
MA MD
MD
MD
= = =
uuur
uuur uuuur
uuuur
nờn im M chia on AD theo t s
k = -3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 3 .0 0 3 .2 0 3 .0
3
; ; 0; ;0
1 3 1 3 1 3 2
a
a
M M

ữ
ữ
ữ



Khi ú khong cỏch t im M n mt phng (AB'C) bng:
( )
3
2.0 2.0
2
; '
2
9
a
a
d M AB C

= =


Vớ d 4: Cho hỡnh lp phng ABCD.A'B'C'D' cnh bng a. Gi M, N ln
lt l trung im ca cỏc cnh BC v DD'. Tớnh theo a khong cỏch gia
hai ng thng BD v MN.
Gii:
Chn h trc to sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0);
D(0; a; 0); A'(0; 0; a) ; (a> 0)
D'(0; a; a); C(a; a; 0).

Vỡ M, N l trung im ca cỏc
cnh BC v DD' nờn to ca M, N l:
; ;0 ; 0; ;
2 2
a a
M a N a

ữ ữ

Ta cú:
( )
; ;0BD a a
uuur
( )
1;1;0u
r
l 1 vộc t ch phng ca ng thng BD.
( )
; ; 2;1;1
2 2
a a
MN a v


ữ

uuuur r
l 1 vộc t ch phng ca ng thng MN.
( )
; 1;1;1 ; 0; ;0

2
a
u v BM


=
ữ


r r uuuur
.
Khi ú khong cỏch gia BD v MN:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
9
A
C
D
x
B
B'
A'
z
D
'
C
'
y
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
( )
;

3
2
;
6
3
;
a
u v BM
a
d BB MN
u v


= =


r r uuuur
r r
1.2. Cỏc bi toỏn v gúc:
Bao gm:
* Gúc gia 2 ng thng
* Gúc gia 2 mt phng
* Gúc gia ng thng v mt phng
Vớ d 5: Cho hỡnh lp phng ABCD.A'B'C'D' cú cnh bng a. Gi M l
trung im ca cnh B'C', N l trung im ca cnh CD.
a) Tớnh cosin gúc gia 2 ng thng AD v MN.
b) Tớnh gúc gia ng thng MN v mt phng (AB'C). T ú suy ra MN
song song vi mt phng (AB'C).
c) Tinh cosin gúc gia 2 mt phng (AMN) v (ABCD)
Gii: Chn h trc to sao cho:

A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); D(0; a; 0); A'(0; 0; a); (a>0)
Khi ú: C(a; a; 0); B'(a; 0; a); C'(a; a; a)
a) Vỡ M, N ln lt l trung im ca cỏc
cnh B'C' v CD nờn:
a a
M a; ;a ;N ;a;0
2 2

ữ ữ

a a
MN - ; ;-a
2 2


ữ

uuuur
( )
1;1; 2u

r
l mt vộc t
ch phng ca ng
thng MN.
( ) ( )
0; ;0 0;1;0AD a v
uuur r
l 1 vộc t ch phng ca ng thng AD.
Gi

l gúc gia MN v AD
( )
.
1
cos cos ;
6
u v
u v
u v

= = =
r r
r r
r r
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
10
z
y
x
N
M
A'
D'
B'
C'
C
B
D
A

SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
b) Ta cú:
( ) ( )
( )
2 2 2
' ;0; ; ; ;0 '; ; ;AB a a AC a a AB AC a a a

=

uuuur uuur uuuur uuur
( )
1;1;1n
r
l 1 vộc t phỏp tuyn ca mt phng (AB'C)
Gi

l gúc gia ng thng MN v mt phng (AB'C)
( )
0
.
1 1 2
sin cos ; 0 0
3 2
u n
u n
u n

+
= = = = =
r r

r r
r r
T ú suy ra ng thng MN song song vi mt phng (AB'C).
c) Ta cú: A,B, C, D thuc mt phng z = 0 nờn mt phng (ABCD) cú 1 vộc t
phỏp tuyn l:
( )
0;0;1k
r
Li cú:
2 2
2
3
; ; ; ; ;0 ; ; ;
2 2 2 4
a a a a
AM a a AN a AM AN a



=
ữ
ữ ữ



uuuur uuur uuuur uuur
( )
4;2;3m
ur
l 1 vộc t phỏp tuyn ca mt phng (AMN)

Gi

l gúc gia hai mt phng (AMN) v (ABCD)
( )
3 29
cos cos ;
29
m k

= =
ur r
Vớ d 6: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O cnh
bng a. SO vuụng gúc vi mt phng (ABCD). Gi M, N ln lt l trung
im ca cỏc cnh SA v BC. Bit rng gúc gia MN v mt phng (ABCD)
bng 60
0
a) Tớnh MN v S
b) Tớnh gúc gia MN v mt phng (SBD).
Gii: Chn h trc to Oxyz sao cho: O(0;0;0)
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
11
o
A B
C
x
y
N
S
D
z

M
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.

( ) ( )
2 2
;0;0 ; 0; ;0
2 2
0;0; ; 0
2
;0;0
2
2 2 2
;0; ; ; ;0
4 2 4 4
2 2
; ;
2 4 2
a a
A B
S m m
a
C
a m a a
M N
a a m
MN

ữ ữ

>

ữ



ữ ữ



ữ

uuuur
a) Vộc t phỏp tuyn ca mt phng
(ABCD) l
( )
0;0;1k
r
.
Vỡ gúc gia ng thng MN v mt phng (ABCD) bng 60
0
nờn
( )
0
2 2
2 2 2
2 2
3
2
sin 60 cos ;

2
5 2
8
5 2 15 30
3
8 2 2
2 2 30 10
; ;
2 4 4 2
m
MN k
a m
a m a a
m m m
a a a a
MN MN
= =
+

+
= = =
ữ


=
ữ

uuuur r
uuuur
Ta cú:

30
0;0;
2
a
S

ữ

30
2
a
SO =
b) Ta cú:
( )
2;1; 15u
r
l mt vộc t ch phng ca ng thng MN.
Mt phng (SBD) cú vộc t phỏp tuyn l:
( )
1;0;0i
r
.
Gi

l gúc gia ng thng MN vi mt phng (SBD)
( )
2
1
sin cos ;
2 5 5

u i


= = =
r r
Vớ d 7: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng cõn, cnh huyn
AB =
4 2
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
12
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
cnh bờn
( )
SC ABC
v SC = 2. Gi M l trung im ca cnh AC, N l
trung im ca cnh AB.
a) Tớnh s o gúc gia 2 ng thng SM v CN
b) Tớnh di on vuụng gúc chung ca SM v CN.
Gii:
Ta cú: AC = BC = 4
Chn h trc to Cxyz Sao cho:
C(0; 0; 0); S(0; 0; 2); A(4; 0; 0); B(0; 4; 0)
a) Vỡ M , N l trung im ca AC v AB nờn
M(2; 0; 0); N(2; 2; 0)
( ) ( )
( )
( )
ẳ
( )
0

2;0; 2 ; 2;2;0
2 2
cos ; cos ;
.
4 1
. 2
2 2.2 2
, 60
SM CN
SM CN
SM CN SM CN
SM CN
SM CN
SM CN

= =
= =
= = =
=
uuur uuur
uuur uuur
uuuruuur
b) di on vuụng gúc chung ca SM
v CN bng khong cỏch gia 2 ng
thng SM v CN
( )
,
,
, 4; 4;4 , 4 3
8

2 3
3
4 3
SM CN CS
h
SM CN
SM CN SM CN
h


=



= =

= =
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
* Khụng phi lỳc no bi toỏn cng cho sn mt gúc tam din vuụng m ụi
khi ngi gii phi t xỏc nh. Khi ú vic xỏc nh h trc to khú khn
hn nhiu. Nh trong vớ d sau:
Vớ d 8: Cho hỡnh lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc cõn AB
= AC = a, gúc BAC bng 120
0
; BB= a. Gi I l trung im ca CC.
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
13
C

N
B
S
A
M
z
y
x
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
a) Chng minh rng tam giỏc ABI vuụng ti A.
b) Tớnh gúc gia 2 mt phng (ABC) v (ABI).
Gii:
Ta cú:
2 2 2 0 2
2 . .cos120 3 3BC AB AC AB AC a BC a= + = =
Chn h trc to Bxyz sao cho:
B(0; 0; 0);
( )
( )
0; 3;0 ; ' 0;0;C a B a
;(a>0)
Gi A
1
; A
2
l hỡnh chiu ca A trờn Bx v By
( )
0
1 2
0

2
2 2 2
.sin 30
2
3
.cos30
2
3
; ;0
2 2
' ; 3; 0; 3;
2
3 3
' ; ; ; ; ;
2 2 2 2 2
3
. 0
4 4 2
a
BA AA AB
a
BA AB
a a
A
a
C o a a I a
a a a a a
AB a AI
a a a
AB AI

= = =
= =


ữ
ữ



ữ



ữ ữ
ữ ữ

= + =
uuuur uur
uuuruur
Suy ra tam giỏc ABI vuụng ti A.
b) Ta cú:
2 2 2
3 3 3
', ; ;
4 4 2
a a a
AB AI


=

ữ

ữ

uuuur uur
( )
3 3;1;2 3n
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (ABI)
vộc t
( )
0;0;1k
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (ABC)
Gi

l gúc gia hai mt phng (ABI) v (ABC). Khi ú:
( )
2 3
.
3
cos cos ,
10
40
n k
n k
n k

= = = =
r r

r r
r r
1.3. Cỏc bi toỏn v th tớch, din tớch:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
14
B
B
A
y
C
A
2
A
C
A
1
x
z
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
Bao gm:
+ Din tớch thit din
+ Th tớch cỏc khi a din:
1
;
2
;
1
;
6
ABC

ABCD
ABCD
S AB AC
AB AC
V AB AC AD

=


=


=

Diện tích hình bình hành ABCD: S
Thể tích tứ diện ABCD:
V
Y
uur uuur
g
uur uuur
g
uur uuur uuur
g
g
Trong mt phng (P) cho mt a giỏc cú din tớch S, hỡnh chiu ca a
giỏc ú lờn mt phng (Q) l mt a giỏc cú din tớch S'. Khi ú:
S' = S.cos

(

l gúc gia hai mt phng (P) v (Q))
Vớ d 9: Cho hỡnh lp phng ABCD.A'B'C'D' cnh bng a. Gi M, N theo
th t l trung im cỏc cnh AD, CD. Ly P thuc BB' sao cho BP = 3PB'.
Tớnh din tớch thit din do mt phng (MNP) ct hỡnh lp phng.
Gii:
Nhn xột: Hỡnh chiu ca thit din to thnh
lờn mt phng (ABCD) chớnh l ng giỏc ABCNM
Gi S l din tớch thit din, S' l din
tớch a giỏc ABCNM,

l gúc gia 2 mt
phng (MNP) v (ABCD) thỡ:
S' = S. cos

2
2
2
'
cos cos cos
1
7
2 4
cos 8.cos
ABCNM ABCD DMN
S S S S
S
a
a
a

= = =

= =
Chn h trc to Axyz sao cho:
A(0; 0; 0); B(a: 0; 0); D(0; a; 0);
A'(0; 0; a); (a>0)
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
15
A
C
B
y
D
D'
A'
z
B'
C'
x
P
N
M
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
3
0; ;0 ; ; ;0 ; ;0;
2 2 4
a a a

M N a P a


ữ ữ ữ

Ta cú:
2 2 2
3
; ;0 ; ; ;
2 2 2 4
3 3 3
, ; ;
8 8 4
a a a a
MN MP a
a a a
MN MP


ữ ữ



=
ữ


uuur uuur
uuur uuur
( )

1; 1; 2n
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (MNP).
( )
0;0;1k
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (ABCD)
( )
.
2
6
cos cos ,
3
6
n k
n k
n k


= = = =
r r
r r
r r
Suy ra din tớch thit din l: S =
2
7 6
16
a
Vớ d 10: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng ti A; AB = 3;
AC = 6, SA = 9 v SA vuụng gúc vi (ABC). Gi M, N, P, Q ln lt l trng

tõm ca cỏc tam giỏc ABC, SAB, SAC, SBC. Tớnh th tớch t din MNPQ.
Gii:
Chn h trc to Axyz sao cho:
A(0; 0; 0); B(3; 0; 0); C(0; 6; 0); S(0; 0; 9)
Vỡ M, N, P, Q ln lt l trng tõm ca cỏc tam giỏc ABC; SAB; SAC; SBC
nờn M(1; 2; 0); N(1; 0; 3); P(0; 2; 3); Q(1; 2; 3)
( ) ( ) ( )
0; 2;3 ; 1;0;3 ; 0;0;3MN MP MQ
uuur uuur uuur
( )
; 0;3;0MP MQ

=

uuur uuur
1 1 3
; 9
6 6 2
MNPQ
V MP MQ MN

= = =

uuur uuur uuur
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
16
A
B
x
C

y
S
z
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
2. CC BI TON NH TNH:
2.1. Cỏc bi tp chng minh:
Bao gm:
+ Chng minh cỏc quan h song song
+ Chng minh cỏc quan h vuụng gúc
Vớ d 11: Cho hỡnh lp phng ABCD.A'B'C'D' cú cnh bng a. Gi M, N
theo th t l trung im ca cỏc cnh BC v DD'. Chng minh rng:
a)
( )
' 'AC A BD
b)
( )
'MN A BDP
Gii:
Chn h trc to sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0);
D(0; a; 0); A'(0; 0; a) ; (a> 0)
D'(0; a; a); C(a; a; 0), C'(a; a; a)
Vỡ M, N l trung im ca cỏc
cnh BC v DD'
nờn to ca M, N l:
; ;0 ; 0; ;
2 2
a a
M a N a

ữ ữ

* chng minh
( )
' 'AC A BD
ta ch cn chng minh vộc t
'AC
uuur
cựng
phng vi vộc t phỏp tuyn ca mt phng (A'BD)
a) Ta cú:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
17
A
C
D
x
B
B'
A'
z
D'
C'
y
M
N
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
( )
' ; ;AC a a a
uuur

( ) ( )
( )
2 2 2
' ;0; ; ' 0; ;
' ; ' ; ;
A B a a A D a a
A B A D a a a


=

uuur uuuur
uuur uuuur
( )
1;1;1n
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (A'BD)
Nhn xột:
' .AC a n=
uuur r

'; nAC
uuur r
l 2 vộc t cung phng.
T ú suy ra
( )
' 'AC A BD
b)
* chng minh
( )

'MN A BDP
ta chng minh
MN
uuur
vuụng gúc vi vộc t
phỏp tuyn ca mt phng (A'BD)
Ta cú:
; ; . .1 .1 .1 0
2 2 2 2
a a a a
MN a MN n a MN n

= + + =
ữ

uuur uuur r uuur r
( )
( )
'
'
MN n
MN A BD
M A BD

uuur r
P
Vớ d 12: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh bng a,
SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD). Gi M, N theo th t thuc cỏc cnh
BC, DC sao cho:
3
;
2 4
a a
BM DN= =
. Chng minh rng hai mt phng (SAM)
v (SMN) vuụng gúc vi nhau.
Gii:
* chng minh hai mt phng vuụng gúc vi nhau ta chng minh 2 vộc t
phỏp tuyn ca chung vuụng gúc vi nhau.
Chn h trc to Axyz sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; o; 0); D( 0; a; 0)
S(0; 0; b) vi a, b > 0
Vỡ:
3
;
2 4
a a
BM DN= =
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
18
M
z
S

A D
yN
C
B
x
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
nờn:
3
; ;0 ; ; ;0
2 4
a a
M a N a

ữ ữ

Ta cú:
( )
; ;0 ; 0;0;
2
; ; ;0
2
a
AM a AS b
ab
AM AS ab

ữ

=
ữ


uuur uur
uuur uur
( )
1; 2;0n
r
l mt vộc t
phỏp tuyn ca mt phng (SAM).
Li cú:

2
3
; ; ; ; ;
2 4
5
; ; ;
2 4 8
a a
SM a b SN a b
ab ab a
SM SN


ữ ữ

=
ữ


uuur uur
uuur uur
( )
2
4 ;2 ;5m ab ab a
ur
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (SMN)
Nhn xột:
( ) ( )
. 4 4 0m n ab ab m n SAM SMN= =
ur r ur r
Vớ d 13: Cho t din OABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc vi nhau.
Cỏc cnh OA, OB, OC ln lt to vi mt phng (ABC) cỏc gúc:
; ;

.
Chng minh rng:
a)
2 2 2
cos cos cos 2

+ + =

b)
2 2 2 2
OAB OBC OCA ABC

S S S S+ + =
V V V V
Gii:
Gi s: OA = a; OB = b; OC = c
Chn h trc to Oxyz sao cho:
A(a; 0; 0); B(0; b; 0); C(0; 0; c)
Ta cú:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
19
O
z
C
A
x
B
y
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;
; ;0 ; ;0;
; ; ;
OA a OB b OC c
AB a b AC a c
AB AC bc ac ab


=

uur uur uuur
uur uuur
uur uuur
( )
; ;n bc ac ab
r
l mt vộc t phỏp tuyn ca mt phng (ABC)
Cỏc vộc t n v:
( ) ( ) ( )
1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1i j k
r r r
l cỏc vộc t ch phng ca cỏc
ng thng OA, OB, OC.
a) Ta cú:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
sin cos ;
sin cos ;

sin cos ;
sin sin sin 1
bc
n i
ab bc ca
ac
n j
ab bc ca
ac
n k
ab bc ca
ab bc ca
ab bc ca




= =
+ +
= =
+ +
= =
+ +
+ +
+ + = =
+ +
r r
r r
r r
( ) ( ) ( )

2 2 2
2 2 2
1 cos 1 cos 1 cos 1
cos cos cos 2


+ + =
+ + =
b) Ta cú:

2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
;
4 4
4 4 4
ABC
OAB OBC OCA
a b b c c a
S AB AC
a b b c c a
S S S
+ +

= = =

= + + = + +

V
V V V
uur uuur
2.2. Cỏc bi toỏn qu tớch:
Vớ d 14: Cho hỡnh tr cú hai ỏy l hai ng trũn tõm O v O', bỏn kớnh
bng R , chiu cao hỡnh tr bng h. Trờn hai ng trũn (O) v (O') cú hai
im di ng A, B . Gi I, K theo th t l trung im ca OO' v AB.
a) CMR IK l ng vuụng gúc chung ca OO' v AB.
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
20
y
A
x
O
O'
z
B
K I
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
b) Tớnh di IK trong cỏc trng hp:
1) AB = k.h, vi
2
2
4
1 1
R
k
h
< < +
2)

( )
, 'OA O B

=
uur uuur
T ú suy ra qu tớch im K khi AB di ng.
Gii: Chn h trc to Oxyz vi:
O'

Oz. Khi ú: O'(0; 0; h)
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
A
2 2 2
B
, ; ;0 với x
', ; ; với x
A A A
B B B
A O R A x y y R
B O R B x y h y R
+ =ẻ ị
+ =ẻ ị
I, K l trung im ca OO' v AB nờn
0;0; ; ; ;
2 2 2 2
A B A B
x x y y
h h

I K
ổ ử
ổ ử
+ +
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố ứ
ố ứ
a) Ta cú:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
' 0;0; ; ; ; ; ; ;0
2 2
. ' 0
'
. 0
A B A B
B A B A
B B A A

x x y y
OO h AB x x y y h IK
IK OO
IK OO
IK AB x y x y R R
IK AB
+ +


ữ



=




= + + = =





uuuur uuur uur
uur uuuur
uur uuuur
uur uuur
uur uuur
Kt lun: IK l ng vuụng gúc chung ca OO' v AB

b) Ta cú:
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2
1
2
2 2 4
1 1
2 2
4 2
A B A B
A A B B A B A B
A B A B A B A B
x x y y
IK x y x y x x y y
R x x y y R x x y y
+ +


= + = + + + + + =
ữ ữ



= + + = + +

Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
21
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
1) Khi AB = k.h ta c:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1
2
1 1
1
2 2 4
B A B A A B A B
A B A B
k h AB x x y y h R x x y y h
k h
x x y y R
k h k h
IK R R R
= = + + = + +

+ = +

= + + = +



( )
2 2
2
1
4
k h
IK R

= +
Khi ú qu tớch im K thuc ng trũn (C) tõm I bỏn kớnh IK nm trong mt
phng vuụng gúc vi OO' ti I.
2) Khi
( )
, 'OA O B

=
uur uuur
ta c:
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
cos cos
1
cos cos
2 2

cos
2
A B A B
A B A B
A A B B
x x y y
x x y y R
x y x y
IK R R R
IK R




+
= + =
+ +

= + =

=
Khi ú qu tớch im K thuc ng trũn (C') tõm I bỏn kớnh IK nm trong mt
phng vuụng gúc vi OO' ti I.
3. CC BI TON CC TR:
Vớ d 15: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ng
cao AB = a, BC = 2a, SA = a v SA vuụng gúc vi ỏy, SC

BD
a) Tớnh AD.
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I

22
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
b) Gi M l im trờn cnh SA, t AM = x
( )
0 x a
. Tớnh di ng cao
DE ca tam giỏc BDM theo a v x. Xỏc nh x DE cú di ln nht, nh
nht?
Gii:
Chn h trc to Axyz sao cho:
A(0; 0; 0); B( 0; a; 0); D(m; 0; 0) (m > 0)
S(0; 0; a).
Khi ú: C(2a; a; 0).
a) Ta cú:
( ) ( )
; ;0 ; 2 ; ;BD m a SC a a a
uuur uuur
Vỡ SC

BD nờn:
2
. 0
2 0
2
BD SC BD SC
a
am a m
=
= =
uuur uuur uuuruuur

2
a
AD =
b) Vỡ M thuc SA nờn M(0; 0; x)
Din tớch tam giỏc BDM bng:
1 1
; .
2 2
;
BDM
S BD BM BM DE
BD BM
DE
BM

= =



=
uuur uuuur
uuur uuuur
Ta cú:
( )
0; ; ; ; ;0
2
a
BM a x BD a

= =

ữ

uuuur uuur
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
23
z
S
y
B
C
x
E
D
A
M
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
AX AX
2 2
2
2 2
AX
ax
; ax; ; ; 5
2 2 2
5 4

5
2 2
4
3
* ax =
2
4
0
* =
2
M M
MIN
MIN MIN
M
a a
BD BM BD BM a x
a a x a a
DE
a x a x
a
DE x x a
a x
a
M DE x a M S
a
v DE x x
a x
a
Min DE x

= = +
ữ


+
= =
+ +

=
ữ
+

=

=
ữ
+

=
uuur uuuur uuur uuuur
0 M A
Vớ d 16: Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú cỏc cnh u bng
a. Ly E, F theo th t thuc BC v AC sao cho EF// (ABBA). Tỡm giỏ tr
nh nht ca di on thng EF.
Gii: Chn h trc to Axyz sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); A(0; 0; a)
( )
3 3
; ;0 ; ' ;0; ; ' ; ;

2 2 2 2
a a a a
C B a a C a


ữ ữ
ữ ữ

Phng trỡnh ng thng AC:
3 ; 0;
2
2
x u
a
y u u
z a u
=




=

ữ




=

Vỡ
( )
' ; 3; 2E A C E u u a u
Phng trỡnh ng thng BC:
( )
3; ;0
2
2
' ; 3; 2
x a v
a
y v v
z v
F BC F a v v v
= +




=

ữ




=

+
Vỡ EF// (ABBA) nờn

Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
24
A

A

C
B

B
C
y
A
E
F
x
SKKN: Phân dạng và giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toan độ.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
. 0 0 .
* 3 2 2
2 4 20 12 2
3
5 2

5 5 5
5
5
5

5
EF Ay EF Ay u v v u
EF a v u v u u v a
a u u a u au a
a a a
u
a
EF
a
Min EF
= + = =
= + + + + =
= + = + =

= +
ữ


=
uuur uur uuuruur
C. KT LUN
I. Kt qu:
Sau khi ỏp dng phng phỏp ny cho hc sinh lp 12 A
2
, tụi thu c

kt qu nh sau:
1. T l hc sinh cú hng thỳ vi mụn hc tng lờn rừ rt. Trong mi bi tp tụi
c gng trỡnh by cho cỏc em 2 cỏch gii: s dng phng phỏp truyn thng v
s dng phng phỏp to . Do ú cỏc em ỏnh giỏ c u im v nhc
im ca phng phỏp ny trong mi vớ d.
2. S lng cỏc bi kim tra t im khỏ, gii tng vt tri. C th:
Giáo viên: Trần Văn Thiết Trờng THPT Thạch Thành I
25