Các chuyên đề toán 9 ôn thi vào lớp 10 chọn lọc

MỤC LỤC
PHẦN I: ĐẠI SỐ
CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC - BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
3x16x 14)
x2x
1
)7
x5
3x
3x
1
13)
x7
3x
6)
65xx
1
12)
27x
x3
5)
35x2x 11) 12x 4)
73xx 10)
147x
1
3)
2x 9) 2x5 2)
3x 8) 13x 1)
2

2
2
2
2
2
++−
−
−
+
−
−
+
+−
+
−
+−−
+−
−
−−
+−
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bài 1: Đưa một thừa số vào trong dấu căn.
22
x
7
x e) ;
x25
x
5)(x d) ;
5

2
x c) 0);x (víi
x
2
x b) ;
3
5
5
3
a)
−
−>
Bài 2: Thực hiện phép tính.
33
3;
3
33
3152631526 h) ;2142021420 g)
725725 f) ;10:)4503200550(15 c)
26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)
;526526 d) ;877)714228( a)
−−+−++
−−+−+
−−+−+−
−+++⋅+−
Bài 3: Thực hiện phép tính.
1027
1528625
c)
57

1
:)
31
515
21
714
b)
6
1
)
3
216
28
632
( a)
+
−+−
−−
−
+
−
−
⋅−
−
−
Bài 4: Thực hiện phép tính.
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )
+−++

++−−−−−+
−+++−−−+a
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
53
53
53
53
d)
65
625
65
625
c)
113
3
113
3
b)
1247
1
1247
1
a)
+
−
+
−
+
+

−
+
−
+
+−
−
−+++
−
+−
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
10099
1

43
1
32
1
21
1
c)
34710485354b) 4813526a)
+
++
+
+
+
+
+
+−+++−+
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:

4
3y6xy3x
yx
2
e)
)4a4a(15a
12a
1
d)
;
4a
a42a8aa
c)
1.a vµ 0a víi,
1a
aa
1
1a
aa
1 b)
b.a vµ 0b 0,a víi,
ba
1
:
ab
abba
a)
22
22
24

++
⋅
−
+−⋅
−
−
−+−
≠>








−
−
−








+
+
+

≠>>
−
+
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
(
)
(
)
a.)y)(1x(1xybiÕt , x1yy1xE e)
1.x2x9x2x16biÕt , x2x9x2x16D d)
0;3yy3xxbiÕt , yxC c)
;1)54(1)54(x víi812xxB b)
549
1
y;
25
1
x khi2y,y3xxA a)
2222
2222
22
33
3
2
=++++++=
=+−−+−+−++−=
=+++++=
−−+=−+=
+
=

−
=+−=
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức
21x
3x
P
−−
−
=
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 -
3
).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: Xét biểu thức
1.
a
a2a
1aa
aa
A
2
+
+
−
+−
+
=
a) Rút gọn A.

b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
A
.
c) Tìm a để A = 2.
2
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 3: Cho biểu thức
x1
x
2x2
1
2x2
1
C
−
+
+
−
−
=
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của C với
9
4
x =
.
c) Tính giá trị của x để
.
3

1
C =
Bài 4: Cho biểu thức
222222
baa
b
:
ba
a
1
ba
a
M
−−








−
+−
−
=
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị M nếu
.
2

3
b
a
=
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 5: Xét biểu thức
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
P
2
−
⋅








++
+
−
−
−

=
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức
.
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
Q
−
+
−
−
+
−
+−
−
=
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên.
Bài 7: Xét biểu thức
( )
yx
xyyx
:

yx
yx
yx
yx
H
2
33
+
+−








−
−
−
−
−
=
a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H ≥ 0.
c) So sánh H với
H
.
Bài 8: Xét biểu thức
.

1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1A








−−+
−
−








+
+=
a) Rút gọn A.

b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
c) Tính các giá trị của A nếu
200622007a −=
.
Bài 9: Xét biểu thức
.
x1
2x
2x
1x
2xx
39x3x
M
−
−
+
+
+
−
−+
−+
=
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên.
Bài 10: Xét biểu thức
.
3x
3x2
x1
2x3

3x2x
11x15
P
+
+
−
−
−
+
−+
−
=
a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x sao cho
.
2
1
P =
3
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
c) So sánh P với
3
2
.
Bài 11: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
2 2
7 5 7 5
−
− +
1.1 Cho biểu thức:
( )

2 1
1 : 1
1 1
x x x x
B x
x x
  
+ + −
= − −
 ÷ ÷
+ −
  
a) Rỳt gọn B.
b) Tớnh B khi
4 2 3x
= −
c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của B với x ≥ 0; x ≠ 1.
Bài 12:
1.1 Tớnh giỏ trị của biểu thức:
3 3
3 1 1 3 1 1
−
+ − + +
1.2 Cho biểu thức:
x x y y
x y
M
x y x y xy
−
−

= −
− + +
a) Rỳt gọn M.
b) Với điều kiện nào của x và y thỡ M = 0.
Bài 13:
1.1 Tớnh giỏ trị của biểu thức:
3 5 3 5
3 5 3 5
− +
+
+ −
1.2 Cho biểu thức:
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
N
x x x x x
 
+ −
= + +
 ÷
− + + −
 
a) Rỳt gọn N. b) Chứng minh rằng: N > 0 với x ≥ 0; x ≠ 1.
Bài 14:
1.1 Tớnh giỏ trị của biểu thức:
2 3 2 3
+ + −

1.2 Cho biểu thức:
1 1
1 1 1
x x x
P
x x x x x
−
= + +
− − − + −
a) Rỳt gọn P. b) Tớnh P khi
53
9 2 7
x =
−
c) Tỡm x để P
= 16.
Bài 15:
1.1 Tớnh giỏ trị của biểu thức:
2( 2 6)
3 2 3
+
+
1.2 Cho biểu thức:
3 3 1 2
2 2 1
x+ 9x x x
K
x x x x
− + −
= − +

+ − + −
a) Rỳt gọn K. b) Tớnh K khi
3 2 2x = +
.
c) Tỡm x nguyờn dương để K nhận giỏ trị nguyờn.
Bài 16:
1.1 Tớnh giỏ trị của biểu thức:
1 1 3 2 4 1
4,5 50 :
2 2 2 5 15 8
 
× − +
 ÷
 
4
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
1.2 Cho biểu thức:
1 2
1 :
1
1 1
x x
A
x
x x x x x
   
= + −
 ÷  ÷
+
− + − −

   
a) Rỳt gọn A. b) Tớnh A khi
4 2 3x
= +
. c) Tỡm x để A >
1.
Bài 17: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
4 2 3 3
− −

1.1 Cho biểu thức:
2
2
1
1
x x x+ x
B
x x x
+
= + −
− +
a) Rỳt gọn B. b) Tỡm x để B = 2. c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất
của B.
Bài 18:
1.1 Tớnh giỏ trị của biểu thức:
1 1
2 3 2 3
+
+ −
1.2 Cho biểu thức:

2 1 2
1
1
1 2 1
x+ x x x x x x x
C
x
x x x
 
− − + −
= + − ×
 ÷
−
− −
 
a) Rỳt gọn C. b) Cho
6
1 6
C
= ×
+
Tỡm x ?. c) Chứng minh:
2
3
C
>
.
Bài 19:
1.1 Tớnh giỏ trị của biểu thức:
(2 2 5 18)( 50 5)

− + +
1.2 Cho biểu thức:
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
D
x
x x x x
   
− − + −
= − − +
 ÷  ÷
−
+ − + −
   
a) Rỳt gọn D. b) Với giỏ trị nào của x thỡ D < 1.
Bài 20:
1.1 Tớnh giỏ trị của biểu thức:
2 7
2 2 3 2
+
− −
1.2 Cho biểu thức:
1 1 1 1 1
1 1
x x x x x x
E x
x x x x x x x

   
− + + −
 
= − + − +
 ÷  ÷
 ÷
− + − +
 
   
a) Rỳt gọn E. b) Tỡm x để E = 6.
Bài 21:
1.1 So sỏnh hai số:
2005 2004 2004 2003 và
− −

1.2 Cho biểu thức:
2
2 2( 1)
1 1
x x x+ x x
P
x x x x
− −
= − +
+ + −
a) Rỳt gọn P. b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P.
c) Tỡm x để biểu thức
2 x
Q
P

=
nhận giỏ trị là số nguyờn.
Bài 22: Tỡm giỏ trị biểu thức sau:
a)
1 3 4
11 2 30 7 2 10 8 4 3
A = − −
− − +
. d)
2 2 2 2D = + + + +
5
n d u c nấ ă
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
b)
1 1 1

1 2 2 3 99 100
B = + + +
+ + +
.
c)
1 1 1

2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
C
= + + +
+ + +
.
Bài 23: Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:
a)

4 1 1
:
4 4
2 2
x x x
A
x x
x x
 
−
= + +
 ÷
− −
+ −
 
b)
( ) ( )
3
2 3x y x x y y xy y
B
x y
x x y y
− + + −
= +
−
+
c)
1 3 2
1 1 1
C

x x x x x
= − +
+ + − +
d)
( )
( )
2
( )
x x y y xy x y
y
D
x y
x y x y
+ − +
= +
+
− +
Bài 24: Cho abc = 1. Tớnh:
1 1 1
1 1 1
S
a ab b bc c ac
= + +
+ + + + + +
.
CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIÉT
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai.
Bài 1: Giải các phương trình
1) x
2

- 6x + 14 = 0 ; 2) 4x
2
- 8x + 3 = 0 ;
3) 3x
2
+ 5x + 2 = 0 ; 4) -30x
2
+ 30x - 7,5 = 0 ;
5) x
2
- 4x + 2 = 0 ; 6) x
2
- 2x - 2 = 0 ;
7) x
2
+ 2
2
x + 4 = 3(x +
2
) ; 8) 2
2
x
2
+ x + 1 =
3
(x +
1) ;
9) x
2
- 2(

3
- 1)x - 2
3
= 0.
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x
2
- 11x + 8 = 0 ; 2) 5x
2
- 17x + 12 = 0 ;
3) x
2
- (1 +
3
)x +
3
= 0 ; 4) (1 -
2
)x
2
- 2(1 +
2
)x + 1 + 3
2
= 0 ;
5) 3x
2
- 19x - 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;

7) (
3
+ 1)x
2
+ 2
3
x +
3
- 1 = 0 ; 8) x
2
- 11x + 30 = 0 ;
9) x
2
- 12x + 27 = 0 ; 10) x
2
- 10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm.
1) x
2
- 2(m - 1)x - 3 - m = 0 ; 2) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 ;
3) x
2
- (2m - 3)x + m
2
- 3m = 0 ; 4) x
2
+ 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0 ;

5) x
2
- (2m + 3)x + m
2
+ 3m + 2 = 0 ; 6) x
2
- 2x - (m - 1)(m - 3) = 0 ;
7) x
2
- 2mx - m
2
- 1 = 0 ; 8) (m + 1)x
2
- (2m - 1)x - 3 + m = 0 ;
9) ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.
Bài 2:
6
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai
nghiệm phân biết:
x) (Èn 0
cx
1
bx
1
ax

1
=
−
+
−
+
−
Chứng minh rằng phương trình: c
2
x
2
+ (a
2
- b
2
- c
2
)x + b
2
= 0 vô nghiệm với a, b, c là
độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng phương trình bậc hai:
(a + b)
2
x
2
- (a - b)(a
2
- b
2

)x - 2ab(a
2
+ b
2
) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3:
Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
Cho bốn phương trình (ẩn x) sau:
x
2
+ 2ax + 4b
2
= 0 (1)
x
2
- 2bx + 4a
2
= 0 (2)
x
2
- 4ax + b

2
= 0 (3)
x
2
+ 4bx + a
2
= 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm.
Cho 3 phương trình (ẩn x sau):
(3) 0
cb
1
x
ba
ba2a
cx
(2) 0
ba
1
x
ac
ac2c
bx
(1) 0
ac
1
x
cb
cb2b
ax

2
2
2
=
+
+
+
+
−
=
+
+
+
+
−
=
+
+
+
+
−
với a, b, c là các số dương cho trước.
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có
nghiệm.
Bài 4: Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0.
Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phương trình ax
2

+ bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một
trong hai điều kiện sau được thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm
của phương trình bậc hai cho trước.
Bài 1: Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình: x
2
- 3x - 7 = 0.
Tính:
7
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
( )( )
4
2
4
1
3
2
3
1
1221
21
21
2
2

2
1
xxF ;xxE
;x3xx3xD ;
1x
1
1x
1
C
;xxB ;xxA
+=+=
++=
−
+
−
=
−=+=
Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là
1x
1
vµ
1x
1
21
−−
.
Bài 2: Gọi x
1
; x
2

là hai nghiệm của phương trình: 5x
2
- 3x - 1 = 0. Không giải phương
trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
.
x4xx4x
3xx5x3x
C
;
x
1
x
1
1x
x
x
x
1x
x
x
x
B
;x3x2xx3x2xA
2
2
1
2
21
2
221

2
1
2
211
2
1
2
2
1
2
1
2
21
3
22
2
1
3
1
+
++
=









−−
+
++
+
+=
−+−=
Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phương trình bậc hai: 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải
phương trình hãy thành lập phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các
nghiệm của nó là
1p
q
vµ
1q
p
−−
.
b) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là
2610
1
vµ
7210
1
+−
.
Bài 4: Cho phương trình x
2
- 2(m -1)x - m = 0.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn
1
22
2
11
x
1
xy vµ
x
1
xy +=+=
.
Bài 5: Không giải phương trình 3x
2
+ 5x - 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
( )( )
2
2
1
1
21
1
2
2
1

1221
x
2x
x
2x
D ;xxC
;
1x
x
1x
x
B ;2x3x2x3xA
+
+
+
=−=
−
+
−
=−−=
Bài 6: Cho phương trình 2x
2
- 4x - 10 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải phương
trình hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y

2
thoả mãn: y
1
= 2x
1
- x
2
; y
2
=
2x
2
- x
1
Bài 7: Cho phương trình 2x
2
- 3x - 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phương
trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:








=
=



+=
+=
1
2
2
2
2
2
1
1
22
11
x
x
y
x
x
y
b)
2xy
2xy
a)

Bài 8: Cho phương trình x
2
+ x - 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phương trình
ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
8
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10





=+++
+=+







+=+
+=+

0.5x5xyy
xxyy
b) ;
3x3x
y
y
y
y
x
x
x
x
yy
a)
21
2
2
2
1
2
2
2
121
21
1
2
2
1
1
2

2
1
21
Bài 9: Cho phương trình 2x
2
+ 4ax - a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy
lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
21
2121
21
xx
y
1
y
1
vµ
x
1
x
1
yy +=++=+
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô

nghiệm.
Bài 1:
a) Cho phương trình (m - 1)x
2
+ 2(m - 1)x - m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phương trình (2m - 1)x
2
- 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phương trình có nghiệm.
c) Cho phương trình: (m - 1)x
2
- 2mx + m - 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
d) Cho phương trình: (a - 3)x
2
- 2(a - 1)x + a - 5 = 0.
Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
a) Cho phương trình:
( )
06mm
1x
x12m2
12xx
4x
2
224
2

=−−+
+
−
−
++
. Xác định m để phương
trình có ít nhất một nghiệm.
b) Cho phương trình: (m
2
+ m - 2)(x
2
+ 4)
2
- 4(2m + 1)x(x
2
+ 4) + 16x
2
= 0. Xác định
m để phương trình có ít nhất một nghiệm.
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả
mãn điều kiện cho trước.
Bài 1: Cho phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm).

5) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
- x
2
= - 2.
7) Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
sao cho A = 2x
1
2
+ 2x
2
2
- x
1
x
2
nhận
giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x
2
- 2(m + 1)x + m - 3 = 0 ; (4x

1
+ 1)(4x
2
+ 1) = 18
b) mx
2
- (m - 4)x + 2m = 0 ; 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
x
2
c) (m - 1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
2
x
2
2

d) x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 ; 3x
1
x
2
- 5(x
1
+ x
2
) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x
2
+ 2mx - 3m - 2 = 0 ; 2x
1
- 3x
2
= 1
9
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
b) x
2
- 4mx + 4m
2
- m = 0 ; x
1
= 3x

2
c) mx
2
+ 2mx + m - 4 = 0 ; 2x
1
+ x
2
+ 1 = 0
d) x
2
- (3m - 1)x + 2m
2
- m = 0 ; x
1
= x
2
2
e) x
2
+ (2m - 8)x + 8m
3
= 0 ; x
1
= x
2
2
f) x
2
- 4x + m
2

+ 3m = 0 ; x
1
2
+ x
2
= 6.
Bài 4:
a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x
2
- (2m - 1)x - 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm
kia.
b) Chư phương trình bậc hai: x
2
- mx + m - 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
sao cho biểu thức
)xx2(1xx
3x2x
R
21
2
2

2
1
21
+++
+
=
đạt giá trị lớn nhất. Tìm
giá trị lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phương trình sau đây bằng 2.
mx
2
- (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bài 5: Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này
gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b
2
.
Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện
cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là
:
kb
2
= (k + 1)
2
.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số.

Bài 1:
a) Cho phương trình x
2
- (2m - 3)x + m
2
- 3m = 0. Xác định m để phương trình có
hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 1 < x
1
< x
2
< 6.
b) Cho phương trình 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thoả mãn: - 1 < x
1
< x
2
< 1.
Bài 2: Cho f(x) = x
2
- 2(m + 2)x + 6m + 1.

a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x)
= 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn - 1.
c) Bài 4: Cho phương trình: x
2
+ 2(m - 1)x - (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn
hơn 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 5: Tìm m để phương trình: x
2
- mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x
1
≤ - 2 ≤ x
2
.
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ
thuộc tham số.
Bài 1:
10
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
a) Cho phương trình: x
2
- mx + 2m - 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của
phương trình không phụ thuộc vào tham số m.

b) Cho phương trình bậc hai: (m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0. Khi phương trình
có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số
m.
c) Cho phương trình: 8x
2
- 4(m - 2)x + m(m - 4) = 0. Định m để phương trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các
nghiệm đối với hai số - 1 và 1.
Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m - 1)
2
x
2
- (m - 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình
có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phương trình: x
2
- 2mx - m
2
- 1 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:
2
5
x
x
x
x
1
2
2
1
−=+
.
Bài 4: Cho phương trình: (m - 1)x
2
- 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải và biện luận phương trình theo m.
b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2

:
- Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x
1
- x
2
| ≥ 2.
Bài 5: Cho phương trình (m - 4)x
2
- 2(m - 2)x + m - 1 = 0. Chứng minh rằng nếu
phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thì: 4x
1
x
2
- 3(x
1
+ x
2
) + 2 = 0.
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai.
Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị của tham số để phương trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một

nghiệm của phương trình kia:
Xét hai phương trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
a’x
2
+ b’x + c’ = 0 (2)
trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m.
Định m để sao cho phương trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của
phương trình (1), ta có thể làm như sau:
i) Giả sử x
0
là nghiệm của phương trình (1) thì kx
0
là một nghiệm của phương
trình (2), suy ra hệ phương trình:
(*)
0c'kxb'xka'
0cbxax
0
2
0
2
0
2
0






=++
=++
Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.
ii) Thay các giá trị m vừa tìm được vào hai phương trình (1) và (2) để kiểm tra
lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau.
Xét hai phương trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) (3)
a’x
2
+ b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4)
Hai phương trình (3) và (4) tương đương với nhau khi và chỉ khi hai phương trình có
cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng).
11
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với
nhau ta xét hai trường hợp sau:
i) Trường hợp cả hai phương trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:





<∆
<∆
0

0
)4(
)3(
Giải hệ trên ta tịm được giá trị của tham số.
ii) Trường hợp cả hai phương trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:







=
=
≥
≥
(4)(3)
(4)(3)
(4)
(3)
PP
SS
0Δ
0Δ
Chú ý: Bằng cách đặt y = x
2
hệ phương trình (*) có thể đưa về hệ phương trình bậc nhất
2 ẩn như sau:




−=+
−=+
c'ya'xb'
caybx
Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm như sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m.
- Tìm m thoả mãn y = x
2
.
- Kiểm tra lại kết quả.
Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
2x
2
- (3m + 2)x + 12 = 0
4x
2
- (9m - 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm
chung đó:
a) 2x
2
+ (3m + 1)x - 9 = 0; 6x
2
+ (7m - 1)x - 19 = 0.
b) 2x
2
+ mx - 1 = 0; mx
2
- x + 2 = 0.

c) x
2
- mx + 2m + 1 = 0; mx
2
- (2m + 1)x - 1 = 0.
Bài 3: Xét các phương trình sau:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
cx
2
+ bx + a = 0 (2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có một nghiệm
chung duy nhất.
Bài 4: Cho hai phương trình:
x
2
- 2mx + 4m = 0 (1)
x
2
- mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một
nghiệm của phương trình (1).
Bài 5: Cho hai phương trình:
x
2
+ x + a = 0
x
2
+ ax + 1 = 0

a) Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương.
Bài 6: Cho hai phương trình:
x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
x
2
+ 2x + m = 0 (2)
12
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
a) Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phương trình tương đương.
c) Xác định m để phương trình (x
2
+ mx + 2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân
biệt
Bài 7: Cho các phương trình:
x
2
- 5x + k = 0 (1)
x
2
- 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các
nghiệm của phương trình (1).
MỘT SỐ BÀI LÀM THÊM
Bài 1: Giải các phương trỡnh sau:

a) 2x
2
+ 5x = 0 b) 2x
2
- 1 = 0 c) x
2
+ 5 = 0
d) 2x
2
- 3x - 5 = 0 e) x
2
-(
2
+ 1)x +
2
=0 f) 2x
4
- 7x
2
- 4 = 0
Bài 2: Tỡm m để các phương trỡnh sau cú nghiệm kộp:
a) 3x
2
+ (m + 1)x + 4 = 0 c) 5x
2
+ 2mx - 2m + 15 = 0
b) mx
2
- 2(m - 1)x + 2 = 0 d) mx
2

- 4(m - 1)x - 8 = 0.
Bài 3: Tỡm m để các phương trỡnh sau cú nghiệm :
a) 2x
2
- (4m + 3)x + 2m
2
- 1 = 0
b) mx
2
+ (2m - 1)x + m + 2 = 0
Bài 4: Tỡm m để các phương trỡnh sau cú 2 nghiệm phõn biệt:
a) x
2
- 2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0 b) (m + 1)x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
Bài 5: Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh:
a) x
2
+ 2mx - 3m + 2 = 0 cú 1 nghiệm x = 2. Tỡm nghiệm cũn lại.
b) 4x
2
+ 3x - m
2
+ 3m = 0 cú 1 nghiệm x = -2. Tỡm nghiệm cũn lại.
c) mx
2
-

1
2
x - 5m
2
= 0 cú 1 nghiệm x = -2. Tỡm nghiệm cũn lại.
Bài 6: Không giải phương trỡnh x
2
- 2x - 15 = 0. Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương
trỡnh. Tớnh
a) x
1
2
+ x
2
2
b)
2 2
1 2
1 1
x x
+
c) x
1
3
+ x
2

3
d) x
1
2
- x
2
2
e) (x
1
- x
2
)
2
g)
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
3 3 3x x
x x x x
+ −
+
h)
2
1
3 3
1
2 1 2
x x

x x x x
+
− −
Bài 7: Lập phương trỡnh cú hai nghiệm là x
1
, x
2
được cho trong mỗi trường hợp sau:
a) x
1
= - 4, x
2
= 7; b) x
1
= -
5
, x
2
= 3 +
5
; c) x
1
. x
2
= 4;
17
2 2
1 2
x + x
=

;
Bài 8: Cho phương trỡnh: x
2
+ px - 5 = 0 cú nghiệm là x
1
, x
2
. Hóy lập phương trỡnh cú
hai nghiệm là hai số được cho trong các trường hợp sau:
a) - x
1
và - x
2
b)
1
1
x
và
2
1
x
Bài 9: Cho phương trỡnh x
2
+ (m - 3)x - 2m + 2 = 0.
a) Tỡm giỏ trị của m để :
a
1
) phương trỡnh cú nghiệm x = -5. Tỡm nghiệm cũn lại.
a
2

) phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt.
a
3
) phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu.
13
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
a
4
) Phương trỡnh cú 2 nghiệm cựng dương.
a
5
) Phương trỡnh cú ớt nhất một nghiệm dương.
a
6
) Phương trỡnh cú 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả 2x
1
+ x
2
= 3
a
7
) Phương trỡnh cú 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả (x

1
- x
2
)
2
= 4
b) Viết một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trỡnh độc lập với tham số
m.
Bài 10: Cho phương trỡnh x
2
+ 2(m - 1)x - 2m + 5 = 0. Định m để :
a) Phương trỡnh cú nghiệm.
b) Phương trỡnh cú 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả :
α
) x
1
+ 2x
2
= 9
β
) x
1
+ x
2
+ 2x
1

x
2

≤
6
γ
) A = 12 - 10x
1
x
2
+ (x
1
2
+ x
2
2
) đạt GTNN.
Bài 11: Cho phương trỡnh: (m - 2)x
2
- 3x + m + 2 = 0
a) Giải phương trỡnh với m = 1.
b) Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm.
c) Giải và biện luận phương trỡnh trờn.
Bài 12: Cho phương trỡnh: x
2
- mx - 2(m
2
+ 8) = 0. Tỡm m để phương trỡnh cú hai
nghiệm để:
a)

2 2
1 2
52x x
+ =
b)
2 2
1 2
x x
+
đạt GTNN. Tỡm GTNN này.
Bài 13: Cho phương trỡnh: x
2
- mx - 7m + 2 = 0.
a) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm x = 2. Tỡm nghiệm cũn lại.
b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu.
c)Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x
1
, x
2
thoả : 2x
1
+ 3x
2
= 0.
d) Tỡm m nguyờn để biểu thức
1 2
1 2
.
1
x x

A =
x x+ −
nhận giỏ trị nguyờn.
Bài 14: Cho phương trỡnh: x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
- 3m + 2 = 0.
a) Định m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt.
b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x
1
,x
2
thỏa món:
2 2
1 2
x x
+
= 16 .
c) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dấu. Khi đó hai nghiệm của phương
trỡnh cựng dấu õm hay cựng dấu dương?
Bài 15: Cho phương trỡnh: x
2
- 2(m + 2)x + 6m + 1 = 0.
a) Giải phương trỡnh với m = - 1.
b)Chứng minh phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m.
c) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương.
d)Tỡm hệ thức liờn hệ giữa cỏc nghiệm x
1
, x

2
của phương trỡnh khụng phụ thuộc
vào m.
Bài 16: Giải các phương trỡnh sau:
a)
1 3 0x x
− − − =
b) x
4
- 7x
2
- 144 = 0.
c) 2x
4
- x
3
- 6x
2
- x + 2 = 0 d)
15 3 6x x
− + − =
CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa được về dạng cơ bản
14
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
Bài 1: Giải các hệ phương trình
3x 2y 4 4x 2y 3
1) ; 2) ;
2x y 5 6x 3y 5

2x 3y 5 3x 4y 2 0
3) 4) ;
4x 6y 10 5x 2y 14
2x 5y 3 4x 6y 9
5) ; 6)
3x 2y 14 10x 15y 18
− = − =
 
 
+ = − =
 
+ = − + =
 
 
+ = + =
 
+ = − =
 
 
− = − =
 
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phương trình sau
( )
( )






=++++−
=+−−





=++−−
=++−







=
+
−
−
=
+
+
−
+








=
+
−
+
=
+
−
+







=
+
−
+
=
+
+
+
13.44yy548x4x2
72y31x5
5) ;

071y22xx3
01y2xx2
4)
;
4
2y
5
1x
2
7
2y
3y
1x
1x
3) ;
9
4y
5
1x
2x
4
4y
2
1x
3x
2) ;
1
2xy
3
2yx

4
3
2xy
1
2yx
2
1)
22
2
2
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước
Bài 1: Định m và n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).
( )
( )



−=++
−=+−
32m3nyx2m
nmy1n2mx
Định a và b biết phương trình: ax
2
- 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy:
a) 2x - y = m ; x = y = 2m ; mx - (m - 1)y = 2m - 1
b) mx + y = m
2
+ 1 ; (m + 2)x - (3m + 5)y = m - 5 ; (2 - m)x - 2y = - m
2

+ 2m - 2.
Bài 3: Cho hệ phương trình
sè) thamlµ (m
4myx
m104ymx



=+
−=+
a) Giải hệ phương trình khi m =
2
.
b) Giải và biện luận hệ theo m.
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0,
y > 0.
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên
dương.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x
2
- y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
(câu hỏi tương tự với S = xy).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm
trên một đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
15
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
Bài 4: Cho hệ phương trình:
( )




+=−
−=−−
5my2x
13mmyx1m
Giải và biện luận hệ theo m.
Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y <
0.
Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x
2
+ 2y = 0. (Hoặc: sao cho
M (x ; y) nằm trên parabol y = - 0,5x
2
).
Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm
trên một đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 5: Cho hệ phương trình:



=−
=+
12ymx

2myx
Giải hệ phương trình trên khi m = 2.
Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên.
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x - y đạt giá trị lớn nhất.
Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I
Ví dụ: Giải hệ phương trình
( )



=+++
=++
28yx3yx
11xyyx
22
Giải các hệ phương trình sau:
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )






=+
=+





=+
=−−−





−=+−
−=++





=+
+=++



=−+
=++




=++++
=++





=+−
−=+−



=+
=++



=++
=++





=++
=+++
35yyxx
30xyyx

10)
5xyyx5
6yxyx
9)
yx7yxyx
yx19yxyx
8)
6yx
232yxyx
7)
31xyyx
101y1x
6)
17xy1yy1xx
81y1x
5)
133yxy3x
1y3xyx
4)
84xyyx
19yxxy
3)
2yxyx
4yxyx
2)
7xyyx
8yxyx
1)
22
2

22
2
22
22
22
22
22
22
22
22
22
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II
Ví dụ: Giải hệ phương trình





=+
=+
x21y
2y1x
3
3
Bài tập tương tự:
Giải các hệ phương trình sau:
16
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10






+=
+=





=−
=−





+=
+=







=+
=+








=−
=−





+=−
+=−





=++
=++





+=
+=






=+
=+





=+
=+
3x7yy
3y7xx
10)
x3yy
y3xx
9)
8x3yy
8y3xx
8)
y
3
x
1
2y
x
3
y
1

2x
7)
y
x
43xy
x
y
43yx
6)
x2y2xy
y2x2yx
5)
1yxyx
1yxyx
4)
x2yy
y2xx
3)
x2xy
y2yx
2)
3x1y
3y1x
1)
3
3
2
2
3
3

22
22
2
2
3
3
22
22
2
2
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số
Giải các hệ phương trình sau:
2 2
2
2 2
2
2
1 0
12
1) 2)
3 0
8
2 4 4 2 2 11 0
3) 4)
4
2 5 4
2
5)
x y
x xy y

x xy
xy x y
xy x x x y xy
xy y x
x xy y x
x
+ − =

− − =


 
+ + =
− + =




− + = − + + − =


 
+ − =
− + − =



( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2

2
2 2
2 2
3 5 0 5 3 8
6)
5 0 2 3 12
2 2 0
0
7) 8)
2 0 2 0
2 1
9)
2 2 2 0
y x y x y x y
x y x y
x y
x y
y x x y
x y xy
x y xy y
 
+ − + − = − + − =
 
 
− − = + =
 
 
− + =
 
− =

 
− = − + =
 

+ − =


+ − − =



CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x - 5 ; b) y = - 0,5x + 3
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax
2
khi:
a) a = 2 ; b) a = - 1.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
Bìa 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
(d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
17
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
(d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đường thẳng (∆) : y = 2x - 1/5.
(d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng (d’): y = -1/2x + 3.
(d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dương trục Ox một góc 30
0
.
(d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đường thẳng

(∆): y = 2x - 3; (∆’): y = 7 - 3x tại một điểm.
(d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài).
Bài 2: Gọi (d) là đường thẳng y = (2k - 1)x + k - 2 với k là tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
b) Định k để (d) song song với đường thẳng 2x + 3y - 5 = 0.
c) Định k để (d) vuông góc với đường thẳng x + 2y = 0.
d) Chứng minh rằng không có đường thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1).
e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol
Bài 1:
a) Biết đồ thị hàm số y = ax
2
đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A và B là hai điểm lần lượt trên (P) có hoành độ lần lượt là 2 và - 4. Tìm toạ
độ A và B từ đó suy ra phương trình đường thẳng AB.
Bài 2: Cho hàm số
2
x
2
1
y −=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).
Bài 3:
Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P):
2
x
4
1
y −=

và đường thẳng (D): y = mx -
2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P).
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
Bài 4: Cho hàm số
2
x
2
1
y −=
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là - 2; 1. Viết phương trình
đường thẳng MN.
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đường
thẳng MN và chỉ cắt (P) tại một điểm.
Bài 5:
Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax
2
(a ≠ 0) và đường thẳng (D): y = kx +
b.
1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1).
2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm được ở câu 1).
3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm được ở câu 1) và câu 2).
4) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm







−1;
2
3
C
và có hệ số góc m
a) Viết phương trình của (d).
18
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và
vuông góc với nhau.
HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài 1: Cho hàm số:
(3 2) 1y x
= − +
a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
b) Tính giá trị của y biết
3 2x = +
c) Tính giá trị của x biết
3 2y
= +
Bài 2: Cho hàm số: y = x + 2.
a) Vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số trên không?

3 7 1 5
( ; ) ( ; )
2 2 2 2
A , B
−

Bài 3: Cho hàm số: y = (m + 1)x + 5
a) Vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1.
b) Tìm m để hàm số đồng biến; nghịch biến.
Bài 4: Cho hàm số: y = (m
2
- 3)x + 2 có đồ thị (d).
a) Tìm m để hàm số đồng biến; nghịch biến?
b) Vẽ (d) với m = 2.
c) Tìm m để (d) đi qua A(1; 2).
d) Tìm m để (d) đi qua B(1; 8).
Bài 5: Cho hàm số: y = (m - 1)x + m + 1 có đồ thị (d).
a) Tìm m để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Vẽ (d) với m vừa tìm được.
b) Tìm m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3. Vẽ (d) với m vừa tìm
được.
c

) Tìm m biết (d) tạo với trục hoành một góc bằng 45
0
.
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.
Bài 7: Viết hàm số bậc nhất y = ax + b biết hàm số:
a) Có hệ số b bằng
3
và song song với đường thẳng (d): 2x - y + 1 = 0.
b) Có đồ thị đi qua A(3; 2) và B(1; -1)
c) Có đồ thị đi qua C(2; -1) và vuông góc với đường thẳng (d’): y = 3x + 1.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A( -2; 1) và đi qua điểm M thuộc
đường thẳng (d): 2x + y = 3 có hoành độ bằng
1

2
.
Bài 9: Xác định m để đường thẳng y = x + m + 1 tạo với các trục tọa độ 1 tam giác có
diện tích bằng 8 (đvdt).
Bài 10: Cho hệ phương trình:
2
2 1
x my
mx y
+ =


− =

a) Giải hệ phương trình với m = 2.
b) Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0; y < 0.
Bài 11: Cho hệ phương trình:
2 5
3 1
mx y
mx y
− + =


+ =

a) Giải hệ phương trình với m = 1.
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
Bài 12: Cho 3 đường thẳng (d
1

): x + y = 1; (d
2
): x - y = 1; (d
3
): (a+1)x + (a - 1)y = a + 1
19
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
a) Với giá trị nào của a thì (d
1
) vuông góc với (d
3
).
b) Tìm a để 3 đường thẳng trên đồng quy.
c) CMR khi a thay đổi, đường thẳng (d
3
) luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 13: Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(2; 5), B(-1; -1) và C(4; 9).
a) Viết phương trình đường thẳng BC.
b) CMR 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
c) CMR các đường y = 3; 2y + x - 7 = 0 và đường thẳng BC đồng quy.
HÀM SỐ BẬC HAI
Bài 1: Cho hàm số: y = ax
2
(a ≠ 0) có đồ thị (P).
a) Xác định a biết (P) đi qua A(-3; 12)
b) Với a vừa tìm được:
b
1
) Vẽ đồ thị (P).
b

2
) Tìm các điểm B, C thuộc (P) có hoành độ lần lượt là:
1
2
−
và 2.
b
3
) Các điểm sau có thuộc (P) hay không?

( )
1 2
;
2 3
D , E 6; 48
 
 ÷
 
Bài 2: Cho hàm số:
2
3
2
y = f(x) = x
−
có đồ thị (P) và hàm số:
2
1
y = x
2
−

có đồ thị (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
c) Không tính, hãy so sánh:
c
1
) f(-2) và f(-3) c
2
)
(1 2)f
−
và
( 3 2)f
−
Bài 3: Cho hàm số: y = (m
2
- 4)x
2
.
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x < 0.
b) Vẽ đồ thị hàm số trên với
3
2
m
−
=
.
c) Với m cho ở câu b), hãy tìm GTLN, GTNN của hàm số với -3 ≤ x ≤ 1
Bài 4: Cho hàm số: y = ax
2

(a ≠ 0) có đồ thị (P).
a) Tìm a biết (P) đi qua
4
( 2; )
3
M − −
.
b) Với a vừa tìm được, hãy:
b
1
) Tìm giá trị của y biết x = -3.
b2) Tìm giá trị của x biết y = 13.
b3) Tìm các điểm A thuộc (P) có tung độ gấp đôi hoành độ.
Bài 5: Cho hàm số:
2
1
2
y = x
−
có đồ thị (P).
a) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt bằng -1 và 2.
b) Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ
tiếp điểm.
Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x
2
có đồ thị (P).
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0.
b) Với m = - 2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x - 3.
20

C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x - 3. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết:
a) (d): y = 4x - 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 2x - 1; (P): y = x
2
.
Bài 8:
8.1) Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt:
a) (d): y = 3x - 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = - 4x + 3; (P): y = 4x
2
.
8.2) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trường hợp trên.
Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax
2
và hai đường thẳng sau:
(d
1
):
4
1
3
y x
= −
(d

2
): 4x + 5y - 11 = 0
a) Tìm a biết (P), (d
1
), (d
2
) đồng quy.
b) Vẽ (P), (d
1
), (d
2
) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm được.
c) Tìm tọa độ giao điểm còn lại của (P) và (d
2
).
d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với (d
1
).
Bài 10: Cho Parabol (P):
2
1
2
y x
=
và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng - 2.
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dương.
d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x
1

≠ x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
1 1 1
2x x
+ =
Bài 11: Cho hàm số: y = ax
2
có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P).
Bài 12: Cho hàm số:
2
1
2
y x
=
có đồ thị (P) và đường thẳng (d):
3
2
2
y x= −
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (d) và (P). Tính chu vi ∆AOB.
c) Tìm tọa độ điểm C thuộc Ox để chu vi tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 13: Cho Parabol (P): y = ax
2

.
a) Tìm a biết (P) đi qua điểm A thuộc đường thẳng (d):
1 1
4 2
y x= +
có hoành độ
bằng 2.
b) Tìm giao điểm B còn lại của (d) và (P).
c) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB của (P) để diện tích ∆ABC đạt giá trị lớn nhất.
Bài 14: Cho hàm số:
2
1
2
y x
=
có đồ thị (P).
a) Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2.
b) Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với AB.
Tìm tọa độ tiếp điểm.
21
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
d) Tìm điểm C thuộc cung AB của (P) sao cho tam giác ABC cân tại C.
Bài 15: Cho hàm số:
2
1
4
y x
= −
có đồ thị (P) và đường thẳng (d):

1
3
2
y x= −
.
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với (P) trong các trường hợp
sau:
c
1
)
1
( ;1)
2
M
c
2
) M(-1;1)
Bài 16: Cho hàm số:
2
1
2
y x
=
có đồ thị (P).
a) Chứng minh đường thẳng (d): y = 2x - 2 luôn tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp
điểm.
b) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ.
c) Tìm m để đường thẳng (d’): y = 3mx - 2 luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

d) Tìm những điểm thuộc (P) cách đều hai trục tọa độ.
CHỦ ĐỀ 5: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy)
Bài 1:
Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ.
Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.
Bài 2: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước.
Sau khi được
3
1
quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng
đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người
đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
Bài 3:
Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại
ngược từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính
khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc
riêng của canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau.
Bài 4:
Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuôi
dòng sông nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận
tốc khi ngược dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng.
Dạng 2: Toán làm chung - làn riêng (toán vòi nước)
Bài 1:
Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Ngừoi thứ
nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được ắ
công việc. Hỏi một làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bài 2:

22
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được
5
4
hồ. Nếu vòi A chảy trong 3
giờ và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được
2
1
hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi
chảy trong bao lâu mới đầy hồ.
Bài 3:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một
mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi
chảy một mình đầy bể?
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
Bài 1:
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I
vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong
tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?.
Bài 2:
Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm
nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000
người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?
Dạng 4: Toán có nội dung hình học.
Bài 1:
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn
(thuộc đất trong vườn) rộng 2 m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong
vườn để trồng trọt là 4256 m
2

.
Bài 2:
Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện
tích tăng 500 m
2
. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm
600 m
2
. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
Bài 3:
Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích
tam giác tăng 50 cm
2
. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm
2
.
Tính hai cạnh góc vuông.
Dạng 5: Toán về tìm số.
Bài 1:
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số
hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
Bài 2:
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số
cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3.
Bài 3:
Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số
bằng
4
1
. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng

24
5
. Tìm phân
số đó.
Bài 4:
23
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào
cả tử và mẫu, phân số tăng
2
3
. Tìm phân số đó.
MỘT SỐ BÀI LÀM THÊM
Bài 1: Một mô tô đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu vận tốc xe tăng 3km/h thì
đến B sớm 2h. Nếu vận tốc xe giảm 3km/h thì đến B chậm 3h. Tính quãng đường AB?.
Bài 2: Có 2 đội công nhân sửa đoạn đường dài 10km. Nếu làm riêng thì thời gian đội 1
làm nhiều hơn đội 2 là 1ngày. Hỏi trong 1 ngày mỗi đội làm được bao nhiêu km đường?
Biết rằng cả 2 đội làm được 4,5km trong 1 ngày.
Bài 3: Lúc 7 giờ có 1 xe đạp đi từ A dến B, 8 giờ 30 phút có một xe mô tô đi từ B đến
A. Một lúc sau họ gặp nhau rồi tiếp tục cuộc hành trình của mình. Nửa giờ sau khi gặp
nhau người đi mô tô về đến A và 2 giờ sau xe đạp về đến B. Hỏi mỗi người đi hết quãng
đường AB mất bao lâu?.
Bài 4: Hai vật A và B chuyển động đều trên hai cạnh góc vuông hướng về đỉnh góc
vuông. Khi chưa chuyển động vật A và B cách đỉnh góc vuông lần lượt là 60m và 80m.
Khi cho hai vật chuyển động cùng một lúc, sau 3 giây thì khoảng cách giữa hai vật là
70m; sau 2 giây tiếp theo thì khoảng cách giữa hai vật giảm đi 20m. Tính vận tốc mỗi
vật theo m/s?.
Bài 5:
Hai người cùng làm chung một công việc trong 4 giờ thì hoàn thành 2/3 công việc.
Nếu để mỗi người làm riêng, thì người thứ nhất làm xong công việc trước người thứ hai

là 5 giờ. Hỏi để làm xong công việc thì mỗi người phải làm trong bao lâu?
Bài 6:
Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi lại chạy ngược dòng từ B về A mất tất cả 4
giờ. Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng? Biết rằng quãng sông AB dài 30km và vận
tốc dòng nước là 4km/h.
Bài 7:Một giải bóng đá được tổ chức theo thể thức “đấu vòng tròn” một lượt tức là mỗi
đội được đấu với một đội khác một lần để xếp hạng. Có tất cả 15 trận đấu. Hỏi có bao
nhiêu đội thi đấu bóng đá?
Bài 8:Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số
của nó thì được thương là 4 và dư là 3; còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số của
nó thì được thương là 3 và dư là 5.
Bài 9: Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có
một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B ca nô trở về bến A ngay và
gặp bè khi bè đã trôi được 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết thời gian ca nô đi cho
đến khi gặp bè là 2 giờ 40 phút.
Bài 10: Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30km/h. Sau đó một thời gian một xe con
cũng xuất phát từ A với vận tốc 40km/h và nếu không có gì thay đổi thì đuổi kịp ô tô tải
tại B. Nhưng khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng vận tốc thành 45km/h
nên sau đó 1 giờ thì đuổi kịp ô tô tải. Tính quãng đường AB?
Bài 11 : Hai canô cùng khởi hành đi từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngược
chiều nhau. Sau 1h40 phút thì hai canô gặp nhau . tính vận tốc thực của mỗi canô, biết
rằng vận tốc của canô đi xuôi dòng thì lớn hơn vận tốc của canô đi ngược dòng là 9
km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h .
24
C¸c chuyªn ®Ò «n thi vµo 10
Bài 12: Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1 cm Nếu tăng chiều dài
thêm
1
4
của nó thì diện tích của hình chữ nhật đó tăng lên 3 cm

2
. Tính diện tích hình
chữ nhật lúc đầu?
Bài 13: Trên một đoạn đường AB, một xe đạp đi từ A cùng một lúc với một Ôtô đi từ B
và đi ngược chiều nhau . Sau 3 giờ hai xe gặp nhau và tiếp tục đi thì Ôtô đến A sớm hơn
xe đạp đến B là 8 giờ . Hỏi thời gian mỗi xe đi hết quãng đường AB .
Bài 14: Chia một số có hai chữ số cho tổng hai chữ số của nó được thương là 6 và dư là
2 . Nếu chia số đó cho tích hai chữ số của nó thì được thương là 5 và dư là 2. Tìm số đó
?
Bài 15: Hai đội cùng làm việc trong 12 giờ thì xong một công việc . Nếu để riêng đội
thứ nhất làm một nữa công việc rồi nghỉ, đội thứ hai làm tiếp cho đến lúc hoàn thành
công việc thì thời gian tổng cộng là 25 giờ. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì hoàn thành
công việc trong bao lâu?
Bài 16: Hai địa điểm A,B cách nhau 60 km. Người đi xe đạp khởi hành từ A đến B, rồi
quay về A như vận tốc ban đầu ; nhưng sau khi đi từ B được 1 giờ thì nghỉ mệt 20 phút
rồi đi tiếp về A với vận tốc tăng thêm 4 km/h. Tính vận tốc ban đầu, biết thời gian đi và
về như nhau.
CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Dạng 1: Phương trình có ẩn số ở mẫu.
Giải các phương trình sau:
1t
5t2t
t
1t
t
c)
12x
3x
3
x

12x
b)
6
1x
3x
2x
x
a)
22
+
+
=+
−
−
+
=+
−
=
−
+
+
−
Dạng 2: Phương trình chứa căn thức.



=
≥
⇔=




=
≥≥
⇔=
2
BA
0B
BALo¹i
BA
0)(hayB 0A
BALo¹i
Giải các phương trình sau:
25