ÔN THI ĐẠI HỌC: BẤT ĐẲNG THỨC

hoctoancapba.com
Một hướng chứng minh và phát triển bất đẳng thức
Phần I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bất đẳng thức là một chuyên đề khá rộng và rất khó, là một nội dung quan
trọng thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ hằng năm.
Qua nhiều năm giảng dạy nội dung này cho các đối tượng học sinh khối 10
ôn thi ĐH – CĐ và bồi dưỡng học sinh giỏi thì đa số các học sinh gặp những khó
khăn sau:
+ Không biết phải bắt đầu từ đâu.
+ Phương pháp giải không được tự nhiên, tại sao lại phân tích như thế?
+ Những bước biến đổi linh hoạt, phức tạp và phải đòi hỏi học sinh tư duy
cao.
Để giúp học sinh giải quyết được phần nào khó khăn khi gặp bài toán CM Bất
đẳng thức hoặc tìm GTLN và GTNN của biểu thức, tôi xin trình bày sáng kiến kinh
nghiệm với đề tài “một hướng biến đổi để chứng minh và hướng phát triển Bất Đẳng
Thức”,với hy vọng sau khi học sinh sử dụng phương pháp này thì sẽ giải được một
số bài toán CM Bất đẳng thức và một số bài toán tìm GTLN và GTNN của biểu thức
theo một dạng toán Bất đẳng thức của chuyên đề này.
Mặc dù rất cố gắng song tề tài khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong hội
đồng chuyên môn góp ý.

Ba tơ, Ngày 10 tháng 05 năm 2012.

Nguyễn Đăng Khoa.
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 1 Gv: Nguyễn Đăng Khoa
hoctoancapba.com
Một hướng chứng minh và phát triển bất đẳng thức
Phần II. NỘI DUNG
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
1.1. Định nghĩa bất đẳng thức:
Cho 2 số thực a và b. Các mệnh đề “a > b” , “

a b
≥
”, “a < b”, “
a b
≤
” được
gọi là những bất đẳng thức.
1.2. Các tính chất:
a b
a c
b c
>

+ ⇒ >

>

+ Nếu c > 0 thì a > b
⇔
ac > bc
+ Nếu c < 0 thì a > b
⇔
ac < bc
+
a b a c b c
> ⇔ + > +
1.2.1. Các hệ quả:
+
a b
a c b d

c d
>

⇒ + > +

>

+
a c b a b c+ > ⇔ > −
+
0
0
a b
ac bd
c d
> ≥

⇒ >

> ≥

+
0a b> ≥
và
n n
n N a b
+
∈ ⇒ >
+
0a b a b> ≥ ⇔ >

+
3 3
a b a b> ⇔ >
1.2.2. Kết quả thường dùng:
+
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
1.2.3. Bất đẳng thức cô – si:
Cho n số không âm: a
1
,a
2
…a
n
ta có:
1 2 1 2

n
n n
a a a n a a a+ + + ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a
1
=a
2
=…=a
n
.
2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Giả sử ta có bài toán sau:
Bài toán 1: Với

, , 0a b c∀ >
CMR:
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 2 Gv: Nguyễn Đăng Khoa
hoctoancapba.com
Một hướng chứng minh và phát triển bất đẳng thức
Ta biết bài toán này có nhiều cách giải:
*Cách 1: Dùng phương pháp hàm số.
* Cách 2 Cộng vào hai vế một lượng rồi dùng bất đẳng thức cô – si.
+ Nếu theo cách 1 thì cũng cố cho học sinh kiến thức hàm số, nhưng theo cách này
không áp dụng được cho học sinh khối lớp 10 vì chưa đủ kiến thức để giải quyết.
+ Nếu theo cách 2 thì cũng cố cho học sinh kiến thức Bất đẳng thức Cô-Si, nhưng
lời giải thiếu tự nhiên, bởi vì theo cách này thì phải cộng vào một lượng, Chỉ có
những học sinh giỏi mới thấy được lượng này. Hoctoan capba.com
Qua khảo sát học sinh về phần bất đẳng thức ở một số lớp của trường trong năm
học 2010-2011 thu được mẫu thống kê sau:
Lớp
Năm học
10A1 10A3 Ôn thi ĐH-
CĐ
Bồi dưỡng
HSG
Kết quả 1/45 0/38 3/14 1/3
Nếu ta hướng dẫn học sinh giải bài toán theo hướng khác thì bài toán trở nên đơn

giản và lời giải tự nhiên hơn.Sau đây tôi trình bày một biện pháp để thực hiện điều
đó.
3. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH
Ta đã biết BĐT Bunhacôpxki áp dụng cho các số thực: a
1
,a
2
,…,a
n
và b
1
,b
2
,…

,b
n
như sau:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
(1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :
1 2
1 2

n
n

a
a a
b b b
= = =

Với
1 2
, , , 0
n
b b b >
.Áp dụng BĐT (1) ta có:
2
2
1 2
1 2 1 2
1 2
( )
n
n n
n
a
a a
a a a b b b
b b b
 
+ + + = + + + ≤
 ÷
 ÷
 

( )
2
2 2
1 2
1 2
1 2

n
n
n
a
a a
b b b
b b b
 
≤ + + + + + +
 ÷
 
Từ đó suy ra BĐT:
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
( )


n n
n n
a a a a

a a
b b b b b b
+ + +
+ + + ≥
+ + +
(2)
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 3 Gv: Nguyễn Đăng Khoa
hoctoancapba.com
Một hướng chứng minh và phát triển bất đẳng thức
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
Nếu đặt
1 1 1 2 2 2
0, 0, , 0
n n n
b a c b a c b a c= > = > = >
thì từ BĐT (2) ta có BĐT:
2
1 2
1 2
1 2 1 1 2 2
( )

n n
n n n
a a a a
a a
c c c a c a c a c
+ + +
+ + + ≥
+ + +
(3). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: c
1
=c
2
=…=c
n
.
Lời giải bài toán 1:
Áp dụng BĐT (2), ta có:
2 2 2 2
( )
2( ) 2
a b c a b c a b c
b c c a a b a b c
+ + + +
+ + ≥ =
+ + + + +
(*). (đpcm)
Tiếp tục tìm hiểu một số bài toán sau:
Bài toán 2: Cho a,b,c là ba số thực dương CMR:

2 2 2
( ) ( ) ( )
4( )
a b b c c a
a b c
c a b
+ + +
+ + ≥ + +
Phân tích:
+ VT của bài toán là tổng của các phân thức, trong mỗi phân thức thì tử
thức là bình phương của một biểu thức.
+ Dấu BĐT trong bài toán cùng chiều với dấu BĐT (2).
Áp dụng BĐT (2) ta được :
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 4( )
4( )
a b b c c a a b c
a b c
c a b a b c
+ + + + +
+ + ≥ = + +
+ +
. (đpcm)
Như vậy nếu dùng BĐT(2) thì lời giải tự nhiên,ít sử dụng đến những kiến
thức toán học và làm cho học sinh dễ hiểu hơn.
Bài toán 3: CMR với a,b,c là ba số thực dương, ta có:
2 2 2
3( )
2( )
a b c ab bc ca

b c c a a b a b c
+ +
+ + ≥
+ + + + +
.
Phân tích:
+ VT của bài toán là tổng của các phân thức, trong mỗi phân thức thì tử
thức là bình phương của một biểu thức.
+ Dấu BĐT trong bài toán cùng chiều với dấu BĐT (2).
+ Tổng các biểu thức ở mẫu của VT bằng biểu thức ở mẫu của VP.
Áp dụng BĐT (2) ta được:
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 4 Gv: Nguyễn Đăng Khoa
hoctoancapba.com
Một hướng chứng minh và phát triển bất đẳng thức
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 2
2( ) 2( )
a b c a b c a b c ab bc ca
b c c a a b a b c a b c
+ + + + + + +
+ + ≥ =
+ + + + + + +
Mà ta biết
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
Nên suy ra:
2 2 2
3( )
2( )
a b c ab bc ca

b c c a a b a b c
+ +
+ + ≥
+ + + + +
(đpcm)
Tương tự như bài toán 2, nếu cho thêm giả thiết: abc = 1 thì ta có bài toán
sau:
Bài toán 4: Cho a,b,c là 3 số thực dương và abc = 1.
CMR:
2 2 2
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
(IMO – 1995)
Lời giải:
Ta có
2 2 2 2
3
( ) ( ) 3 3
2( ) 2 2 2
a b c a b c a b c abc
b c c a a b a b c
+ + + +
+ + ≥ = ≥ =
+ + + + +
(đpcm)
Bài toán 5: Cho a,b,c là 3 số thực dương, CMR:

2 2 2 2 2 2
a b b c c a
a b c
a b b c c a
+ + +
+ + ≥ + +
+ + +
.
Đối với bài toán thì hơi khác hơn , phải biến đổi một tí mới dùng được
BĐT (2)
Lời giải:
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a a b a b b c b c c a c a
+ + +
+ + = + + + + +
+ + + + + + + + +
2
4( )
4( )
a b c
a b c
a b c
+ +
≥ = + +
+ +
(đpcm)
Bài toán 6: Cho các số a, b, c, p, q >0 CMR:
3a b c

pb qc pc qa pa qb p q
+ + ≥
+ + + +
Lời giải:
Ta có:
2 2 2
a b c a b c
pb qc pc qa pa qb apb aqc bpc bqa cpa cqb
+ + = + + ≥
+ + + + + +
3( ) 3
( )( )
ab bc ca
p q ab bc ca p q
+ +
=
+ + + +
(đpcm)
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 5 Gv: Nguyễn Đăng Khoa
hoctoancapba.com
Một hướng chứng minh và phát triển bất đẳng thức
Nhận xét: Qua những bài toán trên, ta thấy: Nếu gán a
1
,a
2
,a
3
và b
1
,b

2
,b
3
trong BĐT (2) bởi những biến số và biến đổi thông qua một vài bất đẳng thức
thì ta được những bai toán khác. Vậy đây cũng là hướng để sáng tác BĐT.
Chẳng hạn, nếu gán
2 2 2
1 2 3
, ,
a b c
a a a
b c a
= = =
và
1 2 3
, ,b c a b a b b b c= + = + = +
vào
BĐT(2) thì ta được bài toán sau:
Bài toán 7: Cho 3 số a,b,c > 0. CMR:
4 4 4
2 2 2
1
( )
( ) ( ) ( ) 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥ + +
+ + +
Nếu gán

3 3 3
1 2 3
, ,
a b c
a a a
b c a
= = =
và
1 2 3
( ), ( ), ( )b b a c b c b a b a b c= + = + = +
vào
BĐT ta được bài toán sau:
Bài toán 8: Cho 3 số thực a,b,c >0 CMR:
6 6 6
3 3 3
1
( )
( ) ( ) ( ) 2
a b c
ab bc ca
b a c c a b a b c
+ + ≥ + +
+ + +
Nhận xét:
Như vậy theo cách này ta sẽ sáng tác được những BĐT khó hơn, nhiều
biến hơn và có thể giải quyết được bài toán giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Xét bài toán 9: Cho 3 số a,b,c > CMR:
3
2
a b c

b c c a a b
+ + ≥
+ + +
(BĐT Nesbit)
Lời giải: BĐT
⇔
3 9
1 1 1 3
2 2
a b c
b c c a a b
+ + + + + ≥ + =
+ + +

1 1 1 9
( )( )
2
a b c
b c c a a c
⇔ + + + + ≥
+ + +
Mà
1 1 1 9
( )
2( )b c c a a c a b c
+ + ≥
+ + + + +
(*)
Từ đó suy ra
1 1 1 9

( )( )
2
a b c
b c c a a c
+ + + + ≥
+ + +
(đpcm)
Những khó khăn của học sinh:
+ Tại sao phải cộng vào 2 vế cho 3 và phân tích như thế.(đòi hỏi học
sinh phải tư duy, các bước biến đổi linh hoạt)
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 6 Gv: Nguyễn Đăng Khoa
hoctoancapba.com
Một hướng chứng minh và phát triển bất đẳng thức
+ Phải CM BĐT (*) thì mới suy được kết quả.
Nếu dùng BĐT (3) thì kết quả như thế nào?
Ta có:
2 2 2 2
( ) 2 2 2
2( ) 2( )
a b c a b c a b c ab bc ca
b c c a a b ab bc ca ab bc ca
+ + + + + + +
+ + ≥ =
+ + + + + + +
Mà
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +

Vậy
3( ) 3

2
a b c ab bc ca
b c c a a b ab bc ca
+ +
+ + ≥ =
+ + + + +
(đpcm)
Bài toán 10: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR
3
a b c
b c a c a b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
Ta có
a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ − + − + −
2 2
2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2( ) ( )
a b c a b c
a b c a b c a b c a b c ab bc ca a b c
+ + + +
≥ =
+ − + + − + + − + + − + +
2 2 2
2 2 2 3( )
3

2 2 2 ( )
a b c ab bc ca ab bc ca
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
+ + + + + + +
≥ ≥ =
+ + − + + + +
Như vậy nếu dùng BĐT(3) thì lời giải tự nhiên,ngắn gọn và dễ hiểu hơn.
Nhận xét: Từ BĐT (3) bằng cách gán a
1 ,
a
2 ,
a
3
và c
1 ,
c
2 ,
c
3
bởi những biểu
thức ta sẽ được những bài toán mới. Chẳng hạn:
- Nếu gán: a
1
= a, a
2
= b, a
3
= c và
1
( )c bc c a= +

,
2
( )c ac a b= +
,
3
( )c ab b c= +

thì ta được bài toán sau:
Bài toán 11: Cho 3 số a,b,c > 0 CMR
2
27
( ) ( ) ( ) 2( )
a b c
bc c a ca a b ab b c a b c
+ + ≥
+ + + + +
(MO – Romanian 2004)
Nếu gán
1 2 3
1 1 1
, ,a a a
a b c
= = =
và
1 2 3
( ), ( ), ( )c a b c c b c a c c a b= + = + = +
, trong đó
a,b,c >0 và abc = 1 thì ta có bài toán sau:
Bài toán 12: Cho 3 số a, b, c >0 và abc = 1. Tìm GTNN của biểu thức.
2 2 2

1 1 1
( ) ( ) ( )
P
a b c b c a c a c
= + +
+ + +
( MO – USA)
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 7 Gv: Nguyễn Đăng Khoa
hoctoancapba.com
Một hướng chứng minh và phát triển bất đẳng thức
- Nếu gán:
1 2 3
, ,a bc a ac a ab= = =
và
2 2
1
c a b a c= +
,
2 2
2
c b a b c= +
,
2 2
3
c c a c b= +

(a,b,c >0) thì ta được bài toán:
Bài toán 13: Cho 3 số a , b, c > 0 CMR:
2 2 2 2 2 2
2

bc ac ab bc ca ab
a b a c b a b c c a c b
+ +
+ + ≥
+ + +
Từ bài toán 13, nếu ta thêm giả thiết: abc = 1 ta có bài toán sau:
Bài toán 14: Cho 3 số a, b, c > 0 và abc = 1 Tìm GTNN biểu thức
2 2 2 2 2 2
bc ac ab
P
a b a c b a b c c a c b
= + +
+ + +
( ĐH NN1 – 2000)
Làm tương tự, ta sẽ có được những BĐT khác và hay.
4. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:
hoctoancapba.com Qua nhiều năm giảng dạy tôi thấy, nếu dùng BĐT (2) và BĐT
(3) trong đề tài thì học sinh dễ nhận thấy dạng biểu thức cần biến đổi và giải được
một số bài toán bất đẳng thức cũng như bài toán GTLN,GTNN của biểu thức.
Một số kết quả thu được trong năm học 2011-2012:
Lớp
Năm học
10A1 10A4 Ôn thi ĐH-
CĐ
Bồi dưỡng
HSG
Kết quả 19/46 05/36 7/12 3/3
5. TIỂU KẾT:
Bất đẳng thức là một chuyên đề rất khó, rất quan trọng và lượng bài tập phong
phú, nhưng nếu gặp bất đẳng thức của các biểu thức phân thì sử dụng BĐT (2) và (3)

tỏ ra hiệu quả vì có thể bỏ qua một vài bước biến đổi phức tạp, đồng thời dễ nhận
thấy được biểu thức cần biến đổi.
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 8 Gv: Nguyễn Đăng Khoa
hoctoancapba.com
Một hướng chứng minh và phát triển bất đẳng thức
Phần III. KẾT LUẬN
Khi nói về Toán học là nhắc đến tính tư duy,suy luận logic . Chính vì vậy khi
giảng giải một bài toán giáo viên phải theo quy luật này thì học sinh mới thấy được
cái hay, cái đẹp trong toán từ đó mới kích thích sự say mê tim tòi, hứng thú cho học
sinh, tạo cho các em có tính tự học cao.
Trong quá trình tự học, nghiên cứu tìm tòi qua sách báo tôi đúc kết được cho
mình một hướng giải bài toán Bất đẳng thức, trong hai năm học qua tôi đã giang dạy
theo cách này thì thấy rất hiệu quả, học sinh chủ động tiếp thu kiến thức có nhiều em
giải được những bài toán dạng này. Mặc khác, ta còn hướng dẫn cho học sinh biết
cách sáng tạo những bất đẳng thức mới, hay và khó. Cần nhấn mạnh cho học sinh
biết đối với dạng toán nào thì sử dụng được hai BĐT (2) và (3).
Với khuôn khổ của đề tài tôi xin trình bày một khía cạnh để chứng minh BĐT. Rất
mong được hội đồng chuyên môn nhà trường góp ý bổ sung để đề tài hoàn thiện
hơn, có khả năng triển khai áp dụng áp dụng ôn thi ĐH – CĐ và bồi dưỡng HSG
trong những năm tiếp theo đạt kết quả tốt hơn.
Xin chân thành cám ơn!
Quảng Ngãi, Ngày 10 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện
Nguyễn Đăng Khoa
BÀI TẬP THAM KHẢO
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 9 Gv: Nguyễn Đăng Khoa
hoctoancapba.com
Một hướng chứng minh và phát triển bất đẳng thức
[1] Phan Huy Khải, 10.000 bài toán sơ cấp- Bất đẳng thức, NXB Hà Nội
(1198).

[2] Trần Văn Kỷ, Chọn lọc 394 bài toán Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất.
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 10 Gv: Nguyễn Đăng Khoa
hoctoancapba.com
Một hướng chứng minh và phát triển bất đẳng thức
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 11 Gv: Nguyễn Đăng Khoa