Cách giải các bài toán tích phân dạng hữu tỉ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (87.52 KB, 3 trang )
Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Bài tập Tích phân
TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
Dạng 1: Tách phân thức
Câu 1.
x
I dx
x x
2
2
2
1
7 12
=
− +
∫
•
I dx
x x
2
1
16 9
1
4 3
= + −
÷
− −
∫
=
( )
x x x
2
1
16ln 4 9ln 3+ − − −
=
1 25ln2 16ln3
+ −
.
Câu 2.
dx
I
x x
2
5 3
1
=
+
∫
•
Ta có:
x
x
x x x x
3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
= − + +
+ +
⇒
I x x
x
2
2
2
1 1 3 1 3
ln ln( 1) ln2 ln5
2 2 2 8
1
2
= − − + + = − + +
Câu 3.
x
I dx
x x x
5
2
3 2
4
3 1
2 5 6
+
=
− − +
∫
•
I
2 4 13 7 14
ln ln ln2
3 3 15 6 5
= − + +
Câu 4.
xdx
I
x
1
0 3
( 1)
=
+
∫
•
Ta có:
x x
x x
x x
2 3
3 3
1 1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
− −
+ −
= = + − +
+ +
I x x dx
1
2 3
0
1
( 1) ( 1)
8
− −
⇒ = + − + =
∫
Dạng 2: Đổi biến số
Câu 5.
x
I dx
x
2
4
( 1)
(2 1)
−
=
+
∫
•
Ta có:
x x
f x
x x
2
1 1 1
( ) . .
3 2 1 2 1
′
− −
=
÷ ÷
+ +
⇒
x
I C
x
3
1 1
9 2 1
−
= +
÷
+
Câu 6.
( )
( )
x
I dx
x
99
1
101
0
7 1
2 1
−
=
+
∫
•
( )
x dx x x
I d
x x x
x
99 99
1 1
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 1
2 1
− − −
= =
÷ ÷ ÷
+ + +
+
∫ ∫
x
x
100
100
1 1 7 1 1
1
2 1
0
9 100 2 1 900
−
= × = −
÷
+
Câu 7.
x
I dx
x
1
2 2
0
5
( 4)
=
+
∫
•
Đặt
t x
2
4= +
⇒
I
1
8
=
Câu 8.
x
I dx
x
1
7
2 5
0
(1 )
=
+
∫
•
Đặt
t x dt xdx
2
1 2= + ⇒ =
⇒
t
I dt
t
2
3
5 5
1
1 ( 1) 1 1
.
2 4
2
−
= =
∫
Trang 1
Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng
Câu 9.
I x x dx
1
5 3 6
0
(1 )= −
∫
•
Đặt
dt t t
t x dt x dx dx I t t dt
x
1
7 8
3 2 6
2
0
1 1 1
1 3 (1 )
3 3 7 8 168
3
−
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − = − =
÷
∫
Câu 10.
I dx
x x
4
3
4
1
1
( 1)
=
+
∫
•
Đặt
t x
2
=
⇒
t
I dt
t
t
3
2
1
1 1 1 3
ln
2 4 2
1
= − =
÷
+
∫
Câu 11.
dx
I
x x
2
10 2
1
.( 1)
=
+
∫
•
x dx
I
x x
2
4
5 10 2
1
.
.( 1)
=
+
∫
. Đặt
t x
5
=
⇒
dt
I
t t
32
2 2
1
1
5
( 1)
=
+
∫
Câu 12.
x
I dx
x x
2
7
7
1
1
(1 )
−
=
+
∫
•
x x
I dx
x x
2
7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )
−
=
+
∫
. Đặt
t x
7
=
⇒
t
I dt
t t
128
1
1 1
7 (1 )
−
=
+
∫
Câu 13.
dx
I
x x
3
6 2
1
(1 )
=
+
∫
•
Đặt :
x
t
1
=
⇒
t
I dt t t dt
t t
3
1
6
3
4 2
2 2
1
3
3
1
1
1 1
= − = − + −
÷
+ +
∫ ∫
=
117 41 3
135 12
π
−
+
Câu 14.
x
I dx
x
2
2001
2 1002
1
.
(1 )
=
+
∫
•
x
I dx dx
x x
x
x
2 2
2004
3 2 1002 1002
1 1
3
2
1
. .
(1 )
1
1
= =
+
+
÷
∫ ∫
. Đặt
t dt dx
x x
2 3
1 2
1= + ⇒ = −
.
Cách 2: Ta có:
x xdx
I
x x
1
2000
2 2000 2 2
0
1 .2
2
(1 ) (1 )
=
+ +
∫
. Đặt
t x dt xdx
2
1 2= + ⇒ =
⇒
t
I dt d
t t
t t
1000
2 2
1000
1000 2 1001
1 1
1 ( 1) 1 1 1 1
1 1
2 2
2002.2
−
= = − − =
÷ ÷
∫ ∫
Câu 15.
x
I dx
x
2
2
4
1
1
1
+
=
+
∫
•
Ta có:
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
. Đặt
t x dt dx
x
x
2
1 1
1
= − ⇒ = +
÷
⇒
dt
I dt
t t
t
3 3
2 2
2
1 1
1 1 1
2 2 2 2
2
= = −
÷
− +
−
∫ ∫
t
t
3
1 2 1 2 1
.ln ln
2
2 2 2 2 2 2 1
1
− −
= =
÷
÷
+ +
Trang 2
Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Bài tập Tích phân
Câu 16.
x
I dx
x
2
2
4
1
1
1
−
=
+
∫
•
Ta có:
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
−
−
=
+
+
. Đặt
t x dt dx
x
x
2
1 1
1
= + ⇒ = −
÷
⇒
dt
I
t
5
2
2
2
2
= −
+
∫
.
Đặt
du
t u dt
u
2
2 tan 2
cos
= ⇒ =
;
u u u u
1 2
5 5
tan 2 arctan2; tan arctan
2 2
= ⇒ = = ⇒ =
⇒
u
u
I du u u
2
1
2 1
2 2 2 5
( ) arctan arctan2
2 2 2 2
= = − = −
÷
∫
Câu 17.
x
I dx
x x
2
2
3
1
1
−
=
+
∫
•
Ta có:
x
I dx
x
x
2
2
1
1
1
1
−
=
+
∫
. Đặt
t x
x
1
= +
⇒
I
4
ln
5
=
Câu 18.
x
I dx
x
1
4
6
0
1
1
+
=
+
∫
•
Ta có:
x x x x x x x x
x x x x x x x x
4 4 2 2 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
1 ( 1) 1 1
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
+ − + + − +
= = + = +
+ + + − + + + +
⇒
d x
I dx dx
x x
1 1
3
2 3 2
0 0
1 1 ( ) 1
.
3 4 3 4 3
1 ( ) 1
π π π
= + = + =
+ +
∫ ∫
Câu 19.
x
I dx
x
3
2
3
4
0
1
=
−
∫
•
x
I dx dx
x x x x
3 3
2
3 3
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
ln(2 3)
2 4 12
( 1)( 1) 1 1
π
= = + = − +
÷
− + − +
∫ ∫
Câu 20.
xdx
I
x x
1
4 2
0
1
=
+ +
∫
.
•
Đặt
t x
2
=
⇒
dt dt
I
t t
t
1 1
2 2
2
0 0
1 1
2 2
6 3
1
1 3
2 2
π
= = =
+ +
+ +
÷
÷
∫ ∫
Câu 21.
x
I dx
x x
1 5
2
2
4 2
1
1
1
+
+
=
− +
∫
•
Ta có:
x
x
x x
x
x
2
2
4 2
2
2
1
1
1
1
1
1
+
+
=
− +
+ −
. Đặt
t x dt dx
x
x
2
1 1
1
= − ⇒ = +
÷
⇒
dt
I
t
1
2
0
1
=
+
∫
. Đặt
du
t u dt
u
2
tan
cos
= ⇒ =
⇒
I du
4
0
4
π
π
= =
∫
Trang 3
