Cách giải các bài toán tích phân hàm số dạng đặc biệt

Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Bài tập Tích phân
TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và
f x f x x
4
( ) ( ) cos+ − =
với mọi x
∈
R.
Tính:
I f x dx
2
2
( )
π
π
−
=
∫
.
•
Đặt x = –t
⇒

f x dx f t dt f t dt f x dx
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( )( ) ( ) ( )
π π π π
π π π π
−

−
− −
= − − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
⇒

f x dx f x f x dx xdx
2 2 2
4
2 2 2
2 ( ) ( ) ( ) cos
π π π
π π π
− −
−
 
= + − =
 
∫ ∫ ∫

⇒

I
3
16
π
=

Chú ý:
x x x

4
3 1 1
cos cos2 cos4
8 2 8
= + +
.
Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và
f x f x x( ) ( ) 2 2cos2+ − = +
, với mọi x
∈
R.
Tính:
I f x dx
3
2
3
2
( )
π
π
−
=
∫
.
•
Ta có :
I f x dx f x dx f x dx
3 3
0
2 2

0
3 3
2 2
( ) ( ) ( )
π π
π π
− −
= = +
∫ ∫ ∫
(1)
+ Tính :
I f x dx
0
1
3
2
( )
π
−
=
∫
. Đặt
x t dx dt= − ⇒ = −
⇒

I f t dt f x dx
3 3
2 2
1
0 0

( ) ( )
π π
= − = −
∫ ∫
Thay vào (1) ta được:
( )
I f x f x dx x x dx
3 3 3
2 2 2
0 0 0
( ) ( ) 2 1 cos2 2 cos
π π π
 
= − + = + =
 
∫ ∫ ∫
xdx xdx
3
2 2
0
2
2 cos cos
π π
π
 
 
= −
 
 
 

 
∫ ∫
x x
2
0
3
2
2 sin sin 6
2
π
π
π
 
 
= − =
 
 
 
 
Câu 3.
x
I dx
x x
4
2
4
sin
1
π
π

−
=
+ +
∫
Trang 43
Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng
•

I x xdx x xdx I I
4 4
2
1 2
4 4
1 sin sin
π π
π π
− −
= + − = −
∫ ∫
+ Tính
I x xdx
4
2
1
4
1 sin
π
π
−
= +

∫
. Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được
I
1
0=
.
+ Tính
I x xdx
4
2
4
sin
π
π
−
=
∫
. Dùng pp tích phân từng phần, ta tính được:
I
2
2
2
4
π
= − +
Suy ra:
I
2
2
4

π
= −
.
Câu 4.
( )
( )
5
2
3 2 1
1 1
x
x
e x x
I dx
e x x
− + −
=
− + −
∫
•

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
5 5 5 5
2 2 2 2
3 2 1 1 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1 1
− + − − + − + − −
= = = +
− + − − + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫
x x x x
x x x
e x x e x x e x e x
I dx dx dx dx
e x x e x x e x x
( ) ( )
5 5
2 2
5
2 1 2 1
3
2
1( 1 1) 1( 1 1)
− −
= + = +
− − + − − +
∫ ∫
x x
x x
e x e x
x dx dx
x e x x e x
Đặt
( )
2 1

1 1
2 1
−
= − + ⇒ =
−
x
x
e x
t e x dt dx
x
5
2
5
2 1
5
2
2
1
2 1
2 2 1
3 3 2ln 3 2ln
1
1
+
+
+
+
⇒ = + ⇒ = + = +
+
+

∫
e
e
e
e
I dt I t
t e
e
Câu 5.
x
I dx
x x x
2
4
2
0
( sin cos )
π
=
+
∫
.
•

x x x
I dx
x
x x x
4
2

0
cos
.
cos
( sin cos )
π
=
+
∫
. Đặt
x
u
x
x x
dv dx
x x x
2
cos
cos
( sin cos )

=



=

+



⇒

x x x
du dx
x
v
x x x
2
cos sin
cos
1
sin cos

+
=



−

=

+

⇒

x dx
I dx
x x x x
x

4
4
2
0
0
cos ( sin cos )
cos
π
π
= − +
+
∫
=
4
4
π
π
−
+
.
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.

Trang 44