đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 7
Năm học 2005-2006
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tính
101.96
1
16.11
1
11.6
1
6.1
1
++++
Bài 2. Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho:
5
1
y
1
x
1
=+
Bài 3. Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140
và 7
Bài 4. Tìm x, y thoả mãn:
4x3y2x1x +++
=
3
Bài 5. Cho tam giác ABC có góc ABC = 50
0
; góc BAC = 70
0
. Phân giác trong góc
ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 40
0
. Chứng minh: BN =
MC.
Hớng dẫn chấm ôlim pic
Môn toán lớp 7
năm học 2005-2006
Bài 1 . (4 điểm)
Tính
101.96
1
16.11
1
11.6
1
6.1
1
++++
=
)
101
1
96
1
11
1
11
1
6
1
6
1
1
1
(
5
1
+++
(2đ)
=
101
20
101
100
.
5
1
)
101
1
1
1
(
5
1
==
(2đ)
Bài 2 . (4 điểm)
Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho:
5
1
y
1
x
1
=+
Do vai trò của x và y nh nhau nên giả sử x
y ta có: (0,5đ)
5ynờn
5
1
y
1
><
x
y
1 nên
y
1
x
1
(1đ)
y
2
y
1
y
1
y
1
x
1
5
1
=++=
(1đ)
=>
10y610y
5
1
y
2
(0,5đ)
Với y = 6 => x = 30; y=7; 8; 9 thì giá trị của x không nguyên
y = 10 => x = 10 (0,5đ)
Vậy các giá trị x, y cần tìm là: x = 30, y = 6
x = 10, y = 10
x = 6, y = 30 (0,5đ)
Cách khác:
5
1
y
1
x
1
=+
=>
5
1
xy
yx
=
+
=> xy - 5x - 5y = 0
=> xy - 5x - 5y + 25 = 25 => (x - 5)(y - 5) = 25 =>
x - 5 = 25 => x = 30, y = 6
x - 5 = 5 => x = 10, y = 10
x - 5 = 1 => x = 6, y = 30
Bài 3 . (4 điểm)
Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7
Gọi 2 số cần tìm là x và y ta có:
20 (x + y) = 140 (x - y) = 7 xy (1đ)
=>
x3
xy
y4
xy
3
y
4
x
17
yxyx
17
yxyx
20
xy
1
yx
7
yx
====
++
=
+
++
==
=
+
=> (2đ)
3x = 20 => x =
3
2
6
; 4y = 20 => y = 5
Vậy các số cần tìm là :
3
2
6
và 5 (1đ)
Bài 4 . (4 điểm)
Tìm x, y thoả mãn:
4x3y2x1x +++
=
3
Đặt A =
4x3y2x1x +++
Với mọi y:
+ Xét x
4 ta có A > 3 => Không thoả mãn (1đ)
+ Xét x
1 ta có A > 3 => Không thoả mãn (1đ)
+ Xét 1 < x < 2 ta có A = x - 1- x + 2 +
3y
- x + 4
= - x + 5 +
3y
>3 => Không thoả mãn (0,5đ)
+ Xét x = 2 ta có A =
423y2212 +++
= 3 => y = 3 (0,5đ)
+ Xét 2 < x < 4 ta có A = x - 1+ x - 2 +
3y
- x + 4
= x + 1 +
3y
> 3 => Không thoả mãn (0,5đ)
Vậy khi x = 2, y = 3 thoả mãn đẳng thức trên. (0,5đ)
Bài 5 . (4 điểm)
Cho tam giác ABC có góc ABC = 50
0
; góc BAC = 70
0
. Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên
MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 40
0
. Chứng minh: BN = MC.
MNB =
MCB +
NBC Góc ngoàI của
NBC.
= 30
0
+ 10
0
= 40
0
=>
MNB cân tại M (1đ)
Từ M vẽ MH
BC ta có MH =
2
1
MC (1) (1đ)
Từ M vẽ MK
BN => BK = KN =
2
1
BN (2) (1đ)
MKB =
BHM (
vuông có cạnh huyền và góc nhọn bằng nhau)
=> MH = KB (3) (0,5đ)
Từ (1), (2) và (3) => BN = MC (ĐPCM) (0,5đ)
đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 7
Năm học 2006-2007
(Thời gian làm bài 120 phút)
A
M
B
C
N
K
H
70
0
50
0
10
0
30
0
30
0
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:
a)
1
.16 2
8
n n
=
; b) 27 < 3
n
< 243
Bài 2. Thực hiện phép tính:
1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
+ + + +
Bài 3. a) Tìm x biết:
2x3x2 +=+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x +
Khi x thay đổi
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối
diện nhau trên một đờng thẳng.
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia
MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I
vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC
Đáp án toán 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a)
1
.16 2
8
n n
=
; => 2
4n-3
= 2
n
=> 4n 3 = n => n = 1
b) 27 < 3
n
< 243 => 3
3
< 3
n
< 3
5
=> n = 4
Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm)
1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49)
( ).
5 4 9 9 14 14 19 44 49 12
+ + + + +
+ + + +
=
1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9
( ).
5 4 49 89 5.4.7.7.89 28
+
= =
Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a) Tìm x biết:
2x3x2 +=+
Ta có: x + 2
0 => x
- 2.
+ Nếu x
-
2
3
thì
2x3x2 +=+
=> 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2
x < -
2
3
Thì
2x3x2 +=+
=> - 2x - 3 = x + 2 => x = -
3
5
(Thoả mãn)
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x +
Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006
x
2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013
Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006
x
2007
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối
diện nhau trên một đờng thẳng. (4 điểm mỗi)
Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên
một đờng thẳng, ta có:
x y =
3
1
(ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)
và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
Do đó:
33
1
11:
3
1
11
yx
1
y
12
x
1
12
y
x
==
===>=
=> x =
11
4
x)vũng(
33
12
==>
(giờ)
Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một
đờng thẳng là
11
4
giờ
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia
MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I
vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm
mỗi)
Đờng thẳng AB cắt EI tại F
ABM =
DCM vì:
AM = DM (gt), MB = MC (gt),
ã
AMB
= DMC (đđ) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID
AC
Và FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) =>
CAI =
FIA (AI chung)
=> IC = AC = AF (3)
và E FA = 1v (4)
Mặt khác EAF = BAH (đđ),
BAH = ACB ( cùng phụ ABC)
D
B
A
H
I
F
E
M
=> EAF = ACB (5)
Từ (3), (4) và (5) =>
AFE =
CAB
=>AE = BC
đề thi Ô-lim -pic huyện Năm học 2007-2008
Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tính tổng: S =
5 13 25 41 181
1.2 2.3 3.4 4.5 9.10
+ + + +
Bài 2. Tìm giá trị x, y nguyên dơng trong biểu thức sau:
1 1 1 1
2x 2y xy 2
+ + =
Bài 3. Tìm x biết: a)
3 1 3 = x x
; b)
1 1
x x
5 5
=
Bài 4. Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của một
trờng THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B; 7B và 7
C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng đợc của các lớp.
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác
vuông cân ACD (
ã
0
ADC 90=
), trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác vuông
cân BDE (
ã
0
BDE 90=
). Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA cắt đờng
thẳng BD tại M. Chứng minh: DF = DM
Hớng dẫn thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 7 Năm học 2007-2008
Bài 1. Tính tổng: S
=
5 13 25 41 181
1.2 2.3 3.4 4.5 9.10
+ + + + +
(3,5 điểm)
Giải: Nhận xét: tử số có dạng 2n(n + 1) + 1. Mẫu số có dạng n(n + 1), n
{ }
1; 2; 3; 4; 5; 6;7; 8; 9
Nên
2n(n 1) 1 1 1 1
2 2 ( )
n(n 1) n(n 1) n n 1
+ +
= + = +
+ + +
.Lần lợt thay giá trị n từ 1 đến 9 ta có:
S
= 18 +( 1-
1 1 1 1 1 1
. . .
2 2 3 3 9 10
+ + +
) = 18 + (1 -
1
10
) = 18,9
Bài 2. Tìm giá trị x, y nguyên dơng trong biểu thức sau:
1 1 1 1
2x 2y xy 2
+ + =
(3,5 điểm)
Giải: Giả sử x
y thì
1 1 1 1
,
2x 2y xy y
<
nên
1 1 1 1 2
2 2x 2y xy y
= + + <
=> y < 4. Mặt khác y >
1 xét y
{ }
2; 3
ta đợc y = 2 => x = 4; y = 3 => không có gía trị x thoả mãn
Vậy x = 2 => y = 4 hoặc y = 2 => x = 4
Bài 3. Tìm x biết: a)
3 1 3 = x x
(3điểm)
Giải: Ta có 1 3x 0 => x
1
3
=>
3 3 = x x
. Ta có pt 3 - x = 1 - 3x => x = -1 thoả mãn đ/k bài toán. Vậy x = -1
b)
1 1
x x
5 5
=
(3điểm)
Giải:
1 1
x x
5 5
=
= - (
1
x )
5
=>
1
x 0
5
hay
1
x
5
Vậy với
x
1
5
thoả mãn đ/k bài toán
Bài 4. Trong đợt phát động trồng cây đầu Xuân năm mới, ba lớp học sinh khối 7 của
một trờng THCS đã trồng đợc một số cây. Biết tổng số cây trồng đợc của lớp 7A và 7B;
7B và 7 C; 7C và 7A tỷ lệ với các số 4, 5, 7 . Tìm tỷ lệ số cây trồng đợc của các lớp.
(3điểm)
Giải: Gọi số cây trồng đợc của các lớp là a, b, c. Theo bài ra ta có:
(a + b) : (b + c) : (c + a) = 4 : 5 : 7. Hay:
a b b c c a
k (k Q)
4 5 7
+ + +
= = =
=> a + b = 4k; b + c = 5k; c + a = 7k => a + b + c = 8k => c = 4k ; a = 3k ; b = k => a: b:
c =3 : 1 : 4. Vậy số cây trồng đợc của các lớp 7 tỷ lệ với các số 3, 1, 4
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tam giác
vuông cân ACD (
ã
0
90=ADC
), trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ tam giác
vuông cân BDE (
ã
0
90=BDE
). Đờng thẳng ED cắt đờng thẳng BC tại F, đờng thẳng EA
cắt đờng thẳng BD tại M. Chứng minh: DF = DM (4 điểm)
Giải: +) Xét
CBD và
ADE có:
CD = AD (gt), BD = DE (gt)
ã
ã
CDB ADE=
(cùng phụ
ã
BDA
)
=>
CDB =
ADE (c.g.g) =>
ã ã
CBD AED=
(1)
+) Xét
FDB và
MDE có:
ã
ã
0
FDB MDE 90= =
(gt), BD = ED (gt)
ã ã
CBD AED=
( theo 1)
=>
FDB =
MDE => DF = DM (Đpcm)
Phòng gd-đt đức thọ
đề thi olympic huyện Năm học 2008-2009
M: Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút)
ôn
Bài 1. Xác định hệ số a, b của đa thức f(x) = ax + b; Biết f(1) = -1; f(2) = 2
Bài 2. Cho A =
1x
- (2x 5)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì A = 0
Bài 3. a) Tìm x, y biết: (x 1)
2
+ (y 4 )
2
= 0
b) Tìm x:
1 1
(3 ).4 12,13
4 25
2
3 1 2
( 1 ) :1
7 49 5
x
x
=
+
Bài 4. Một cửa hàng kinh doanh hàng hóa, sau khi mua hàng về họ đã định giá bán, nhng
thấy không ổn, nên họ quyết định giảm giá 15%; Vẫn không bán đợc, nên đã giảm giá
Bài 5. Cho tam giác đều ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM =
1
3
AB, trên cạnh
tiếp 10% giá mới thì bán hết số hàng, tính ra vẫn lãi 7,1%. Tính tỷ số giá định bán với giá
nhập vào.
BC lấy điểm N sao cho BN =
1
3
BC, AN cắt CM tại K.
a) Tính góc NKC.
A
B
C F
D
E
M
b) Vẽ đờng cao CH của tam giác ABC cắt MN tại O. Chứng minh BO vuông góc với
MC
Hết
đáp án thi olympic huyện Năm học 2008-2009
Môn: Toán lớp 7
Bài 1. a) Tìm x, y biết: (x 1)
2
+ (y 4 )
2
= 0
Giải: (x 1)
2
+ (y 4 )
2
= 0 <=> (x 1)
2
= 0 và (y 4 )
2
= 0 <=> x = 1 và y = 4
b) Tìm x:
1 1
(3 ).4 12,13
4 25
2
3 1 2
( 1 ) :1
7 49 5
x
x
=
+
Giải: Tìm x:
1 1
(3 ).4 12,13
4 25
2
3 1 2
( 1 ) :1
7 49 5
x
x
=
+
=>
13 101
( ). 12,13
4 25
2
10 50 2
( ) :
7 49 5
x
x
=
+
=>
1313 101
. 12,13
100 25
2
49 49 10 2
. .
50 50 7 5
x
x
=
+
=>
101
1 .
25
2
49
. 1
50
x
x
=
=>
25 101. 49. 50
2.
25 50
x x
=
=> 25 - 101.x = 49.x 50 => 49.x 50 + 101.x = 25
=> 150.x -50 = 25 => 150.x =75 x =
1
2
Bài 2. Một cửa hàng kinh doanh hàng hóa, sau khi mua hàng về họ đã định giá bán, nhng
thấy không ổn, nên họ quyết định giảm giá 15%, vẫn không bán đợc, nên đã giảm giá tiếp
10% giá mới thì bán hết số hàng, tính ra vẫn lãi 7,1%. Tính tỷ số giá định bán với giá nhập
vào.
Giải: Gọi giá nhập vào là a, giá định bán là b; Ta có: Sau khi giảm giá lần thứ nhất giá bán
còn lại là
15 85
. .
100 100
b b b =
; Sau khi giảm giá lần thứ hai giá bán là
85 85 10 765
. . . .
100 100 100 1000
b b b =
.
Nhng sau khi bán lãi 3.5% nên ta có: a +
7,1 765
. .
100 1000
a b=
=>
107,1 765
. .
100 1000
a b=
=>
107,1 1000
.
100 765
b
a
= =
1,4
Bài 3. Xác định hệ số a, b của đa thức f(x) = ax + b; Biết f(1) = -1; f(2) = 2
Giải: Khi f(1) = -1 ta có -1 = a + b; Khi f(2) = 2 ta có 2 = 2a + b; => a = 3, b = - 4
Bài 4. Cho A =
1x
- (2x 5)
Giải:
c) Rút gọn biểu thức A
Nếu
1 thì A = x - 1 - 2x + 5 = -x + 4
Nếu x< 1 thì A = - x + 1 - 2x + 5 = - 3x + 6
d) Với giá trị nào của x thì A = 0
Trờng hợp thứ nhất:
x 4 0
x 1
ỡ
- + =
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
<=>
x 2
x 1
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
ù
ợ
Thỏa mãn
Trờng hợp thứ hai:
3x 6 0
x 1
ỡ
- + =
ù
ù
ớ
ù
<
ù
ợ
<=>
x 2
x 1
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
<
ù
ợ
Không thỏa mãn
Vậy khi A = 0
Bài 5 . Cho tam giác đều ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM =
1
3
AB, trên cạnh
BC lấy điểm N sao cho BN =
1
3
BC, AN cắt MN tại K.
b) Tính góc NKC.
c) Vẽ đờng cao CH của tam giác ABC cắt MN tại O. Chứng minh BO vuông góc với
MC
Giải:
a)
D
ABN =
D
CAM vì
AB = CA (gt), BN = AM = 1/3 AB
ã
ã
0
ABN CAM 60= =
(gt) =>
ã
ã
BAN ACM=
ã
ã
0 0
AMC MCA 60 180+ + =
(Xét
D
AMC)
=>
ã
ã
ã
0 0
AMK BAK 120 MAK 60+ = ị =
(Xét
D
AMK)
=>
ã
0
NKC 60=
(Đpcm)
b) Gọi I là trung điểm của BM ta có: BI = IM = MA = BN
=>
D
BNI cân mà
ã
0
NIB 60=
(gt) => IN = IM và
ã
0
INB 60=
=>
D
INM cân =>
ã
ã
0
INM IMN 30= =
=>
ã
0
MNB 90=
=> O là trực tâm tam giác BMC suy ra BO
^
MN (Đpcm)
A
B
C
M
K
N
H
A
B
C
M
N
H
O
I