Bổ chính trường định xứ điện tích – điện tích của khí điện tử hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN







DƯƠNG QUANG HIỀN




BỔ CHÍNH TRƯỜNG ĐỊNH XỨ
ĐIỆN TÍCH – ĐIỆN TÍCH CỦA KHÍ
ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01




LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN QUỐC KHÁNH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2012

LỜI CẢM ƠN






Tôi chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc bộ môn vật lý lý thuyết và vật lý
toán, đã truyền đạt những kiến thức quý báu trong khoa học cũng như trong cuộc
sống. Hành trang quý giá đó giúp tôi tự tin hơn trên con đường vươn tới thành công
của mình.


Tôi chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh, vì thầy đã tạo điều kiện
tốt để tôi có thể hoàn thành luận văn này.


Tôi gửi lời cảm ơn đế
n những người bạn góp ý giúp tôi hoàn thành luận văn
cũng như giúp đỡ tôi trong lúc khó khăn.

Dương Quang Hiền



MỤC LỤC


LỜI CẢM ƠN ………………………………………………….…………………i
Mục lục ……………………………………………………….…………………ii
Những kí hiệu ………………………………………………….……………… iii
Danh mục bảng và hình vẽ…………………………………….…………… … iv
MỞ ĐẦU ………………………………………………………… …… 1
Chương I
Hình thức luận điện môi ………………………………………….………………….3
1.1. Hàm điện môi …………………………………………….……………… 3
1.2. Phản hồi mật độ, thừa số cấu trúc và hàm tương quan cặp .……………… 7
1.3. Trường định xứ ……………………………………….………………… 10
Chương II
Bổ chính trường định xứ tĩnh………………………………….………………… 13
2.1. Thừa s
ố điện tích điện – điện tích của trường định xứ ………………… 13
2.1.1. Cơ sở lý thuyết ……………………………………….……………13
2.1.2. Kết quả tính toán G
+
(q) ……………………………….……… ….17
2.1.3. Nhận xét …………………………………………… ……………18
2.2. Nhân tương quan – trao đổi ………………………………………………18
2.2.1. Cơ sở lý thuyết ……………………………………….……………18

2.2.2. Kết quả tính toán K
xc
………………………………… ………… 20
2.2.3. Nhận xét ……………………………………………… ………….21
2.3. Tóm tắt ………………………………………………………… …………21
Chương III
Thế tương quan – trao đổi và bổ chính trường định xứ động của khí điện tử hai
chiều… …… ………………………………………………………… …………22
3.1. Dẫn nhập ……………………………………………………… …………22
3.2. Các tính chất của nhân tương quan – trao đổi ………………….…………26
3.3. Công thức nội suy trong trường hợp hai chiều ………………… ……… 29
3.4. Mối quan hệ giữa thành phần dọc và thành phần ngang của nhân ở tần số
thấp… 31
3.5. Đánh giá phần ả
o của nhân tương quan – trao đổi ở tần số thấp ……… 34
3.6. Bổ chính trường định xứ động ………………………………… ……… 40
3.7. Kết quả tính toán và nhận xét về phần thực, ảo của
(
)
,LT
xc
f
ω
và bổ chính
trường định xứ G
+
(q) …………………………………………… ……….40
3.7.1. Kết quả tính toán ………………………………………… ………40
3.7.2. Nhận xét ………………………………………………… ……….43
3.8. Tóm tắt …………………………………………………………… …… 44

KẾT LUẬN… ……………………………………………………………… ….…45
TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………… … 46
PHỤ LỤC A ………………………………………………………………… ……48


Phương pháp NCT trong việc tính phần thực và phần ảo của
(
)
,LT
xc
f
ω
……… … 48
PHỤ LỤC B…………………………… ………………………………………….49
Giải hệ phương trình…………………… …………………………………………49
B.1. Giải hệ đối với thành phần dọc … ……………………………………… 49
B.2. Giải hệ đối với thành phần ngang ……………………………………… 50










BẢNG KÍ HIỆU

KK Krame – Krögnig
RPA Gần đúng pha ngẫu nhiên (Random phase approximation)
NCT Nífosi – Conti – Tosi
HKS Hohemberg – Kohn – Sham
EG Khí điện tử (Electron gas)
DFT Lý thuyết hàm mật độ (Density functional theory)
DMC Phương pháp gieo điểm Monte Carlo (The diffusion Monte Carlo)
STLS Singwi, Tosi, Land, and Sjölander
TDDFT Lý thuyết hàm mật độ phụ thuộc thời gian (The time – dependent
density funtional theory)
ALDA Gần đúng đoạn nhiệt định xứ (Adiabatic local density
approximation)
GK Gross – Kohn
LDA Local density approximation
L Thành phần dọc (Longitudinal)
T Thành phần ngang (Transverse)
RA Richardson – Ashcroft
SLFF Bổ chính trường định xứ tĩnh (Static local – field factor)

k
r
Vectơ sóng
ω Tần số sóng

ρ
Mật độ điện tích
n Mật độ hạt

s
r

Bán kính mật độ

ζ
Độ phân cực

ε
Năng lượng

c
ε
Năng lượng tương quan

χ
Hàm phản hồi (hàm phân cực)
V Thế Coulomb

G
+
Bổ chính trường định xứ

x
c
K
Nhân tương quan trao đổi

L
x
c
f
Thành phần dọc của nhân tương quan trao đổi

T
x
c
f
Thành phần ngang của nhân tương quan trao đổi




Danh mục bảng và hình vẽ


Hình 2.1. Thừa số trường định xứ
(
)
Gq
+
ứng với mỗi giá trị r
s
được tính theo
phương trình (2.14). ……… … …………………………………… 17
Hình 2.2. Thừa số trường định xứ G
+
(q) từ phương trình (2.14) cho những giá trị
khác nhau của r
s
…………………… ……………………………………18
Hình 2.3.
Nhân tương quan – trao đổi K

xc
ứng với mỗi giá trị r
s
được tính theo phương
trình (2.16)……………………………. ……………………………………….20
Hình 2.4. Nhân tương quan – trao đổi K
xc
từ phương trình (2.16) ứng với những giá
trị r
s
……………………………… …………………………………….21
Hình 3.1. Chứng minh
(
)
./20kpk
−
≈
rur r
cho những kích thích điện tử - lỗ trống, điều
này giải thích sự triệt tiêu thành phận dọc của dòng
()
j
k
rr
ở tần số
thấp…………………………………………………… ………… 32
Hình 3.2. Giản đồ trực tiếp bậc 0 D1 và D2 của hàm phản hồi 4 – điểm. ……… 33
Hình 3.3. Giản đồ trao đổi bậc 0 EX1 và EX2 của hàm 4 – điểm ……………… 34
Hình 3.4. Phần ảo và phần thực của
(

)
,LT
xc
f
ω
theo ω, trong hai chiều, ở các giá trị r
s

trong hệ đơn vị Ry/n. Đường nét đứt là kết quả tính toán của NCT … 43
Hình 3.5. Bổ chính trường định xứ tĩnh G
+
(q) trong hai chiều ở các giá trị r
s
trong
hệ đơn vị Ry/n. Đường nét đứt là kết quả của nhóm DPGT.……………43
Hình 3.6. Bổ chính trường định xứ động G
+
(q,ω) trong hai chiều ở r
s
= 3.0, q = 1.1
và q = 2.1 trong hệ đơn vị Ry/n………… ………………………………43
Hình B.1. Biểu diễn hàm
(
)
2
L
f
Γ
theo
2

L
Γ
tại r
s
= 1 ………………………………50
Hình B.2. Biểu diễn hàm
(
)
2
T
f
Γ
theo
2
T
Γ
tại r
s
= 1 ………………………………50
Bảng I. Các thông số cho thành phần dọc
(
)
L
xc
f
ω
(phương trình 3.23) trong 2
chiều………………………………………… …………………………30
Bảng II. Các thông số cho thành phần ngang
(

)
T
xc
f
ω
(phương trình 3.23) trong 2
chiều……………………………………… ……………………………31






MỞ ĐẦU


Dương Quang Hiền

1
MỞ ĐẦU


Chất lỏng điện tử, là mô hình đặt ra bởi các nhà vật lý lý thuyết, như một công
cụ phục vụ cho các nghiên cứu liên quan tới các tương tác giữa các electron. Đặc
biệt cho trường hợp khảo sát các tính chất của kim loại như canxi, nhôm Ý tưởng
chính của mô hình là các ion tại nút mạng tinh thể bị nhòe đi, tạo thành một phông
dương tĩnh đồng nhất. Khi electron di chuyển trong môi trường này, sẽ duy trì điện
tích trung hòa. Nếu không xét đến tươ
ng tác Coulomb giữa các electron, hệ điện tử
lúc này là hệ khí điện tử tự do (khí Fermi). Ngược lại, khi tương tác giữa các điện tử

được tính đến, bài toán trở thành bài toán hệ nhiều hạt thông thường. Các nghiên
cứu hiện đại gần đây, chứng tỏ rằng mô hình khí điện tử hai chiều (2DEG) có thể
mô hình hóa các bài toán liên quan đến bán dẫn, grapheme, ống carbon kích thước
nano, máy tính lượng tử, transistor đơn điện tử…
Trong mô hình 2DEG, đ
iện tử di chuyển tự do trong hai chiều nhưng bị cầm tù
bởi chiều thứ ba. Điều này dẫn đến năng lượng bị lượng tử hóa khi di chuyển trên
chiều này. Nhưng phần lớn chúng có thể bỏ qua trong hầu hết các trường hợp. Việc
mô hình hóa một bài toán đã khó, nhưng giải những bài toán liên quan đến mô hình
để tìm các tính chất của hệ thì càng phức tạp. Đặc biệt là bài toán hệ nhiều hạ
t. Một
trong những phương pháp chúng tôi quan tâm là DFT và TDDFT. Lý thuyết phiếm
hàm mật độ (DFT) và phiếm hàm mật độ phụ thuộc vào thời gian (TDDFT) là lý
thuyết lượng tử áp dụng trong vật lý và hóa học nhằm khảo sát các tính chất động
lực học của hệ nhiều hạt chịu tác động của thế không phụ thuộc và phụ thuộc vào
thời gian (như điện trường hoặc từ trường ). Ảnh hưở
ng của các loại thế này lên
điện tử hoặc chất rắn có thể nghiên cứu bằng TDDFT, thông qua việc tính toán các
đại lượng như phổ trạng thái năng lượng kích thích, đặc tính phản hồi phụ thuộc vào
tần số hoặc phổ hấp thụ photon. TDDFT là một lý thuyết mở rộng của DFT (lý
thuyết phiếm hàm mật độ). Ý tưởng chính của lý thuyết phiếm hàm mật độ dựa trên
giả thuyế
t hàm sóng thì tương đương với sự biến thiên của mật độ điện tích. Sau đó
thiết lập thế hiệu dụng cho một giả hệ không tương tác mà mật độ tương tự như một
hệ bất kỳ tương tác thông thường. Tuy nhiên, xây dựng giả hệ như vậy cho lý thuyết
hàm mật độ phụ thuộc vào thời gian phức tạp hơn rất nhiều, nguyên nhân là giá trị
c
ủa thế hiệu dụng trong trường hợp này tại một thời điểm, phụ thuộc vào mật độ tất
cả các thời điểm trước đó. Hàm thế hiệu dụng trong TDDFT bao gồm thế tương tác
ngoài, thế Hartree và thế tương quan trao đổi (exchange – correlation potential).

Trong đó, thành phần thế tương quan trao đổi, ký hiệu là V
xc
, là một hàm số của


MỞ ĐẦU


Dương Quang Hiền

2
mật độ trạng thái phụ thuộc vào thời gian và trạng thái ban đầu của hệ. Chính sự
phụ thuộc phức tạp này, thành phần V
xc
cần một phép tính gần đúng thích hợp.
Thông qua phép biến đổi Fourier, bài toán V
xc
được chuyển về bài toán đánh
giá nhân tương quan trao đổi của khí điện tử đồng nhất. Đây là một vấn đề khó khăn
và sử dụng nhiều công cụ tính toán phức tạp cả về giải tích lẫn giải số.
Luận văn này đặt ra mục đích trình bày tổng quan quá trình tính toán gần đúng
đại lượng nhân tương quan trao đổi cho hai trường hợp cụ thể:
Đầu tiên, chúng tôi tìm hiểu biểu thứ
c giải tích cho trường trung bình đối xứng spin
G
+
(q) của của trường định xứ tĩnh nhờ vào việc xấp xỉ với dữ liệu mô phỏng Monte
Carlo sẵn có cho trường hợp hệ khí điện tử thuận từ. G
+
(q) là đại lượng cơ bản, dựa

vào nó có thể xác định nhiều tính chất của hệ electron tổng quát. Thêm vào đó, ảnh
Fourier của nhân tương quan trao đổi liên hệ với G
+
(q) thông qua một hệ thức đơn
giản. Kết quả là chúng ta thu được đại lượng nhân tương quan trao đổi dưới dạng
giải tích cho hệ khí điện tử không đồng nhất. Tính toán này đóng vai trò quan trọng
trong các nghiên cứu DFT về các hệ không đồng nhất. Phần chi tiết được trình bày
trong chương II.
Trong chương III, chúng tôi đào sâu hơn vấn đề bằng cách trình bày tính toán
phần ảo nhần tương quan trao đổi (TDDFT) trong hàm phản hồi dòng – dòng dọc
và ngang cho hệ
chất lỏng electron ở bước sóng nhỏ của Zhixin Qian và Giovanni
Vignale [26]. Các tác giả đã thu được một công thức nội suy cho
(
)
,
Im
LT
xc
f
ω
cho cả
hai chiều và ba chiều. Ưu điểm của công thức nội suy này nằm ở việc tính đến đóng
góp của thành phần 2 – plasmon của phổ kích thích. Ngoài ra, phần tính toán số cho
cả phần thực và phần ảo của nhân tương quan trao đổi tại mật độ điện tích đặc trưng
cũng được thực hiện và so sánh với một số phương pháp gần đúng khác. Qua việc
phân tích kỹ đặ
c tính giải tích và bổ sung vào các giá trị tính số, chương III làm rõ
hơn kết quả của tác giả.
Tên của Luận văn là “Bổ chính trường định xứ điện tích – điện tích của khí

điện tử hai chiều”, ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm ba chương.
Chương I: Giới thiệu một số kiến thức cơ sở toán học cần thiế
t
Chương II: Bổ chính trường định xứ tĩnh
Chương III: nhằm ứng dụng kết quả của chương I&II, chúng tôi tiến hành
tính toán thế tương quan trao đổi và bổ chính trường định xứ động. Từ đó, thực hiện
so sánh với kết quả của các phương pháp khác.


Chương II: Bổ chính trường định xứ tĩnh


Dương Quang Hiền

13
Chương II

Bổ chính trường định xứ tĩnh

2.1. Thừa số điện tích – điện tích của trường định xứ

2.1.1. Cơ sở lý thuyết

Trong phần này, chúng ta trình bày biểu thức giải tích của thừa số trường định
xứ G
+
(q) của hệ nhiều hạt, trong phông dương đồng nhất. Sử dụng dữ liệu từ
phương pháp Monte Carlo, mô tả chính xác dáng điệu tiệm cận của G
+
(q) cho cả
trường hợp vector sóng q nhỏ lẫn vector sóng q lớn. Hàm phản hồi điện tích – điện
tích χ
C
(q) của khí điện tử (EG), có thể được biểu diễn thông qua hàm Linhard χ
0
(q),
nhờ bổ chính trường G
+
(q) như sau:

()
0
0
()
()
1 1 () ()
C
q
q

q
vGqq
χ
χ
χ
+
=
−−
(2.1)
Do đó, G
+
(q) là đại lượng cơ bản, để xác định tính chất của hệ nhiều hạt nói
chung. Theo định nghĩa, G
+
(q) thể hiện tác động tương quan – trao đổi giữa lỗ trống
và điện tử trong khí điện tử. Do đó, G
+
(q) là chìa khóa của lý thuyết phiếm hàm mật
độ (DFT) của khí điện tử không đồng nhất [5] và cũng là chìa khóa trong việc
nghiên cứu tính chất của chuẩn hạt trong chất lỏng Fermi [6].
Áp dụng lý thuyết hàm mật độ cho năng lượng của nhân tương quan – trao đổi,
ta có:
()
[]
() ( )
2
,'
'
xc
xc

n
En
Knrr
nr nr
δ
δδ
−≡
rur
r
r
(2.2)
ở đây
n là giá trị mật độ trung bình của EG.
Thừa số trường và nhân tương quan – trao đổi liên hệ trong khai triển Fourier
sau:


() ()
diqr
xc
xc q
K
dre K r vG q
−
+
≡=−
∫
r
r
(2.3)

Ở đây d là số chiều của hệ và
q
v
là khai triển Fourier cho thế tương tác Coulomb
e
2
/r. Trong trường hợp 2 chiều d = 2,
q
v = 2
π
e
2
/r.


Chương II: Bổ chính trường định xứ tĩnh


Dương Quang Hiền

14
Biểu thức tiệm cận chính xác của trạng thái cho ta:

0
lim ( )
q
F
q
Gq A
k

++
→
= (2.4)
với
0
1
(1 )
2
s
A
r
κ
κ
+
=−
(2.5)
Ở đây
2
22/
F
sB
s
kn ra
r
π
=== là số sóng Fermi,
2
2
s
B

ra
π
= là thông số mật độ
EG với
2
2
1
B
a
me
==
h

là bán kính Bohr,
4
0
/2
s
r
κπ
=
là hệ số nén của khí thực và
κ
là
hệ số nén của hệ tương tác.
Bằng cách sử dụng định nghĩa của nhiệt động lực học của
κ
, chúng ta có thể
viết:

(
)
(
)
2
4
0
2
21
1
8
cs cs
ss
sss
rr
rr
rrr
εε
κ
κπ
⎡
⎤
∂∂
=− − −
⎢
⎥
∂∂
⎣
⎦
(2.6)

với
(
)
cs
r
ε
là năng lượng tương quan – trao đổi mỗi hạt.
Theo phương pháp Quantum Monte Carlo cho năng lượng ta có:

(
)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
6
24
01 2
,1,
s
r
cs xs s s s
re r rr r

β
ε
ζεζααζαζ
−
=− + + + (2.7)
với
NN
N
ζ
↑↓
−
=
,

()
() () ()
6
24
33
,,1 ,0
8 128
xs xs xs
rr r
εζεζ ζ ζε
⎛⎞
=−++
⎜⎟
⎝⎠

và

() ()()
3/2 3/2
,221 1 /3
x
ss
rr
ε
ζζζπ
⎡⎤
=− + + −
⎣⎦

Mặt khác ta có mối liên hệ của trường :

(
)
(
)
0
,0 ,
scs
rr
αε
= (2.8)
với
()
()
23
00000
3/2 2 3

00 0 0
1
ln 1
ssss
ss s s
rABrCrDr
Er Fr Gr Hr
α
⎛⎞
=+ + + +
⎜⎟
+++
⎝⎠

trong đó:


Chương II: Bổ chính trường định xứ tĩnh


Dương Quang Hiền

15

00 0 0
2
000 000
0.1925, B 0.0863136, C 0.0572384, E 1.0022
0.02069, G 0.33997, H =1.747 10 , D
=1.3386

A
FAH
β
−
=− = = =
=− = × =−


()
(
)
2
1
2
0
,
2
cs
s
r
r
ζ
εζ
α
ζ
=
∂
=
∂

()
(
)
4
2
4
0
,
2
cs
s
r
r
ζ
εζ
α
ζ
=
∂
=
∂

Từ đó ta có:

(
)
(
)
()

0
2
22
00
1
22 2
0
,,2
ss
cc s
s
sss s
rr
r
rrr r
ζ
ζ
αα
εε ε
α
ζ
=
=
∂∂
∂∂ ∂
== =
∂∂∂ ∂ ∂
(2.9)
Kết hợp (2.6), (2.7), (2.8) và (2.9) ta được:

(
)
(
)
() ()
2
34
0
2
2
34
00
2
2
1
88
2
=1
88
cs cs
ss s
ss
s
s
ss s
ss
rr
rr r
rr
rr

rr r
rr
εε
κ
κπ
αα
π
∂∂
=− − +
∂∂
∂∂
−− +
∂∂
(2.10)
Giới hạn tiệm cận G
+
(q) chỉ cho giá trị chính xác khi q lớn [7], [8]:

0
lim ( )
q
F
q
Gq C B
k
+
++
→
=
+ (2.11)

Ở đây C
+
tỉ lệ với sự sai khác trong động năng giữa khí thực và khí lý tưởng,

[]
0
2
()
2
22
s
Fscs
s
tt r
d
Ck rr
edr
ε
π
+
−
==− (2.12)
và B
+
= 1 – g(0) với g(0) là giá trị của hàm tương quan cặp ở r = 0. Do đó g(0) được
biểu diễn dưới dạng đơn giản:

()
2
1/2

0
1 1.372 0.083
s
s
g
rr
=
++
(2.13)
Chúng ta làm cho những giá trị thu được của G
+
(q), bằng phương pháp DMC
(The diffusion Monte Carlo), giống như phương pháp phân tích cho K
xc
và

K
xc
.
Công thức cho G
+
(q) được viết:


Chương II: Bổ chính trường định xứ tĩnh


Dương Quang Hiền

16

()
()
2
2
2
/10
/10
/4
2
/10
+
() 1
1/
+C (1 ) ( )
s
s
s
r
r
q
r
q
q
e
Gq Aq e e
Ae q B
qe Pqe
α
+

−
++
++
−
−
+
⎡
⎤
⎢
⎥
=+−
⎢
⎥
+
⎢
⎥
⎣
⎦
−+
(2.14)
với
F
= q/k q và
2468
2468
()
P
qgqgqgqgq
+
=+++.

Có một vài nhận định được đưa ra để đánh giá sự phù hợp vật lý của những kết
hợp trong phương trình (2.14). Thứ nhất, hình thức hàm của chúng ta thể hiện chính
xác dáng điệu tiệm cận, đã giới thiệu trong các phương trình (2.4) và (2.11). Thứ
hai, thừa số mũ
/10
s
r
e
đảm bảo rằng G
+
(q) sẽ tiệm cận một cách nhanh chóng như đã
đề cập ở phương trình (2.11), đây là một thực tế phát sinh từ dữ liệu DMC ở r
s
= 10.
Thứ ba, ở giới hạn mật độ cao (r
s
→0), phần trong dấu ngoặc vuông dần về thành
phần hai chiều Hubbard, trong khi phần thứ 2 và phần thứ 3 dần về 0. Cuối cùng, đa
thức bậc cao P
+
(q), dùng để tái cung cấp cấu trúc đa dạng ở trạng thái có số sóng
trung gian, G
+
(q) khi xem xét trường hợp ba chiều.
Chỉ có 3 tham số độc lập, được chứa trong số hạng cuối của phương trình
(2.14) và được điều chỉnh để giảm thiểu sự sai khác so với kết quả số của DMC.
Thực tiễn tính toán cho thấy các hệ số trong P
+
(q) nên lấy các giá trị liên tục nằm
trong miền

010
s
r≤≤ . Vì vậy có những đề xuất sau:

()
()
()
() ()
() () ()
()
()
0.9218
0.9218
2
2
5/2 3
4
2
6
2
8
0.1598 0.8931 /10
10.8793 /10
( ) 0.5824 /10 0.4272 /10
( ) 0.296 /10 1.003 /10 0.9466 /10
( ) 0.0585 /10
( ) 0.0131 /10
s
s
s

ss s
ss s s
ss
ss
r
r
r
gr r r
gr r r r
gr r
gr r
α
+
+
=
+
=−
=− +
=−
=
(2.15)







Chương II: Bổ chính trường định xứ tĩnh

Dương Quang Hiền

17
2.1.2. Kết quả tính toán G
+
(q)




Hình 2.1. Thừa số trường
(
)
Gq
+
ứng với mỗi giá trị r
s
được tính theo phương
trình (2.14)


Chương II: Bổ chính trường định xứ tĩnh


Dương Quang Hiền

18

Hình 2.2. Thừa số trường G

+
(q) từ phương trình (2.14) cho những giá trị khác
nhau của r
s
.
2.1.3. Nhận xét
Trong hình 2.2, khi vẽ đồ thị cho thừa số trường G
+
(q) từ phương trình (2.14),
ứng với các giá trị r
s
. Sự tăng lên của các giá trị, từ vùng có r
s
nhỏ đến vùng có r
s

lớn là rõ ràng. Đỉnh cao nhất trong G
+
(q) xảy ra ở r
s
= 5, là do số hạng C
+
(r
s
). Đây
là hàm đồng biến đến
3.5
s
r ≈ , đạt cực đại và bắt đầu giảm. Do đó, giá trị của C
+

ở r
s

= 5 lớn hơn ở r
s
= 10.
Như vậy, kết quả này so với kết quả Hubbard trước đây đã công bố trên một số
bài báo của nhóm S.Dar Sarma [26] thì kết quả này cho giá trị khá tương đồng trên
đoạn 0 đến 1 của q/k
F
. Nhưng từ giá trị từ 1 trở lên thì cho kết quả lớn hơn kết quả
Hubbard [26] rất nhiều. Dù thế, sử dụng kết quả này để tính tần số plasmon thì thu
được kết quả khá tốt so với các phép đo thực nghiệm của tần số plasmon trong thời
gian gần đây. Bênh cạnh đó, sử dụng kết quả này để tính toán điện trở suất cũng thu
được kết qu
ả khá tốt so với phép đo thực nghiệm.
2.2. Nhân tương quan – trao đổi

2.2.1. Cơ sở lý thuyết

Ký hiệu K
xc
(r) là nhân tương quan trao đổi. Từ phương trình (2.3) và (2.14),
biểu thức của K
xc
(r) trong không gian thực thu được như sau:


Chương II: Bổ chính trường định xứ tĩnh

Dương Quang Hiền

19

()
(
)
(
)
() ()
22
2
/10
+
12
2
4
/4
34 5,22
1
exp -B /
()
(, )
s
FF
r
F
xc
FF

kr kr
nn F
n
kr Ae
r
Kr M M
kkr
Me Me M F kr
δ
α
+
−−
+
=
⎡
⎤
⎣
⎦
=+
++ +
∑
r
(2.16)
với
()
12
/10
34
M 4 2 / , M 2 2 /
M421 /, M2/

s
ss
r
s
s
Cr Br
A
er Cr
π
++
++
=− =−
=− − =

và
3/2
5,2n
M2/
ns
g
r=−
Hàm F
n
(α,x) được cho bởi:

2
0
0
2
(1 ) / 2

11
(,) ( )
111
= ;1;
2224
ny
n
n
Fx dyyJxye
nnx
F
α
α
α
α
∞
−
−+
=
⎛⎞
++
⎛⎞
Γ−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∫
(2.17)
với Г(z) là hàm Euler Gamma và F

1
(a;b;z) là hàm Kumer. Thực tế hàm F
n
(α,x) có
thể thu được từ biểu thức truy hồi:

2
(,)
(,)
n
n
dF x
Fx
d
α
α
α
+
=− (2.18)

()
2
22
22
8
201
5/2
(,) 4
16 8 8
x

xx
Fx xI xI e
α
π
αα
ααα
−
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
=−+
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
(2.19)
với I
n
(z) hàm Bessel biến đổi bậc n.