Khai thác bài toan hình học ở SGK

I. đặt vấn đề
Qua thực tiễn dạy Toán lớp 9 THCS, dạy ôn thi tốt nghiệp THCS, tham
gia chấm thi học sinh giỏi cũng nh chấm thi tốt nghiệp THCS. Bản thân tôi
nhận thấy phần Hình học lớp 9, chơng III Góc với đờng tròn có vai trò quan
trọng trong các đề thi.
Không phải ngẫu nhiên mà các đề thi tốt nghiệp môn toán THCS ở khắp
cả nớc phần hình học thờng có nội dung liên quan đến chơng Góc với đờng
tròn cũng nh các đề thi của Trờng chuyên lớp chọn cũng vậy. Đó là bởi vì các
bài tập của chơng góc với đờng tròn đòi hỏi học sinh phải huy động, vận dụng
hầu hết các kiến thức hình học đã đợc học ở cấp THCS vào làm bài.
Chính vì phải vận dụng kiến thức tổng hợp để giải nên đối với phần lớn
học sinh các bài toán hình học thờng là khó. Qua các đợt chấm thi học sinh
giỏi, chấm thi tốt nghiệp tôi nhận thấy có những bài toán khá đơn giản mà học
sinh không làm đợc hoặc làm không chính xác.
Nguyên nhân dẫn đến các hạn chế của học sinh
- Do tâm lý học sinh thờng nghỉ các bài toán hình học tổng hợp thuộc loại
khó
- Học sinh không phát hiện thấy sự liên quan giữa bài toán hình học tổng
hợp và bài toán hình học cơ bản ở SGK
- Giáo viên cha có phơng pháp dạy cũng nh định hớng để học sinh vận
dụng các bài toán cơ bản đã biết vào làm bài
II. Giải quyết vấn đề
Đứng trớc thực trạng nh vậy, bản thân tôi trăn trở, băn khoăn rất nhiều
và thiết nghĩ phải tìm ra biện pháp khắc phục những hạn chế đáng tiếc đó nên
tôi đã chọn phơng pháp Xâu chuổi, khai thác và phát triển các bài toán
hình học cơ bản ở sách giáo khoa
Các biện pháp đã thực hiện
- Hớng dẫn học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải tốt các bài tập cơ
bản trong sách giáo khoa
- Từ bài toán cơ bản trong sách giáo khoa khai thác, phát triển thành bài
toán tổng hợp

- Chú trọng nhắc nhở phơng pháp Tơng tự đối với học sinh
- Hớng dẫn học sinh liên hệ vận dụng phơng pháp Tơng tự giữa bài
toán cơ bản và bài toán tổng hợp
Ví dụ: Bài toán 1.
(Bài 19, trang 82. SGK Thí điểm Toán 9, T
2
)
Cho (o), đờn kính AB, S là một điểm cố định nằm bên ngoài đờng tròn. SA và
SB lần lợt cắt đờng tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN.
Chứng minh rằng SH vuông góc với AB
Nhận xét 1:
Việc chứng minh bài toán này khá đơn giản. Giáo viên
chỉ cần gợi ý qua hai câu hỏi
?

ANB và

AMB có gì đặc biệt
? Điểm A có quan hệ nh thế nào với SBH hoặc (Điểm
H có quan hệ nh thế nào với SBA, tuỳ vào hình vẽ)
Lời bình:
1

N
B
A
S
H
M
(H

1.a
)
Nếu bài toán này chỉ dừng lại ở đây thì thật là đáng tiếc,
ta có thể phát triển nó thành bài toán tổng hợp
và xâu chuổi bài toán này với các bài toán khác
VD: Ta đặt thêm câu hỏi. Chứng minh: SN.SB = SA.SM
Học sinh dễ dàng chứng minh đợc SAN SBM và rút ra kết luận
SN.SB = SA.SM
Nhận xét 2:
Từ kết quả SAN SBM => SN.SB = SA.SM, nếu ta chứng minh
SAB SNM => SN.SB = SA.SM, ta có thể liên hệ với bài tập 18 (Trang
79 SBT Toán 9 T
2
)
Cho (o) và một điểm M cố định không nằm trên đờng tròn. Qua M vẽ một cát
tuyến bất kỳ cát đờng tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi
Nhận xét 3:
Việc chứng minh bài toán này không khó ta chỉ việc xét 2 trờng hợp
TH
1
: Điểm M nằm ngoài đờng tròn (H
1
)
Ta kẽ thêm cát tuyến MCD và đa về bài toán của nhận xét 3
Khi đó tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến MAB
TH
2
: Điểm M nằm trong đờng tròn (H
2
)

Ta kẽ thêm cát tuyến MCD và đa về
xét các tam giác đồng dạng
Khi đó tích MA.MB không phụ thuộc
vào vị trí cát tuyến MAB
Nhận xét 4:
Từ kết quả của bài tập 18 với TH
1
, nếu
cát tuyến MCD trùng với tiếp tuyến MT
ta có MT
2
= MA.MB (H
3
)
Ta quay lại từ
(Bài 19, trang 82. SGK Thí điểm Toán 9, T
2
)
Kết hợp với tính chất tứ giác nội tiếp ta sẽ
khai thác tiếp bài toán
Nếu gọi giao điểm của MN với AB là P.(H
1.b
)
Chứng minh: PM.PN = PA.PB
Việc chứng minh đẳng thức PM.PN = PA.PB khá dẽ dàng
Nhng ta có thêm nhận xét ANBM nội tiếp đờng tròn thì
PM.PN = PA.PB (Với P = MN

AB)
L u ý: Đây cũng là một phơng pháp chứng minh tứ giác

nội tiếp khá hiệu quả ngoài phơng pháp chứng minh tổng
hai gócđối diện bằng 180
0
Tổng hợp kết quả trên ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát
Cho tứ giác ANBM. AB cắt MN tại P, BN cắt AM tại S. Chứng minh rằng các
kết luận sau là tơng đơng
a, ANBM nội tiếp đờng tròn
b,

ABN =

AMN
c,

NAM +

MBN = 180
0
d, SN.SB = SM.SA
e, PN.PM =PA.PB
Chú ý: Bài toán này có thể áp dụng đợc rất nhiều nên giáo viên có thể hớng
dẫn học sinh giải chi tiết và ghi nhớ
2
S
S
S

o
A

M
C
B
D
(H
1
)
o
D
B
A
M

C
(H
2
)

o
A
M
B
T
(H
3
)

N
B
A

S
H
M
(H
1.b
)
P
Ta tiếp tục quay lại (Bài 19, trang 82. SGK Thí điểm Toán 9, T
2
)
Gọi giao điểm của đờng thẳng AB với SH là I. Chứng minh
a, Tứ giác SNAI nội tiếp
b,

SNI =

SHB
c, Gọi Q là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác SNAI. Chứng minh QN là
tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác IBH
Nhận xét 5:
Bài toán này là bài toán mở rộng nên có những câu kiến thức đòi hỏi nhiều
hơn nhng nó phát triển trên nền cái đã biết nên học sinh sẽ ghi dễ hơn
Hớng dẫn giải (H
4
)
Câu a, ta có

SNA =

SIA = 90

0
=> SNAI nội tiếp,
đờng tròn đờng kính SA
Câu b,

SNI =

SHB (Cùng bù

INB,vì INBH nội tiếp)
Câu c, IBH nội tiếp đờng tròn đờng kính BH,
gọi K là trung điểm của BH ta có

NSQ =

SNQ ( QSN cân tại Q)

BNK =

NBK ( KNB cân tại K)
Mà

NSQ +

NBK = 90
0
( SMB vuông tại M)
=>

QNS +

KNB =

NSQ +

NBK = 90
0
=>

QNK = 90
0
Hay QN là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp IBH
Lu ý : Bằng cách tơng tự ta cũng chứng minh đợc QI là tiếp tuyến của đờng
tròn ngoại tiếp IBH, đờng tròn ngoại tiếp INBH
Bài toán 2.
(Bài 22, trang 82. SGK Thí điểm Toán 9, T
2
)
Cho (o) đờng kính AB. vẽ tiếp tuyến của đờng tròn tại A. Lấy điểm M bất kỳ
trên đờng tròn rồi vẽ BM cắt tiếp tuyến tại C.
Chứng minh rằng CA
2
= CB.CM
Hớng dẫn giải. (H
5
)
Bài toán này rất đơn giản, ta có thể áp dụng hệ thức
lợng trong tam giác vuông cho BAC với đờng
cao AM, hoặc có thể chứng minh BAC AMC
từ đó rút ra kết luận CA

2
= CB.CM
Nhận xét: Bài toán này rất đơn giản nhng nó lại có thể áp dụng vào giải các
bài tập khác
Sau khi tìm hiểu, thu thập và liệt kê tôi phát hiện thấy có rất nhiều bài
toán Hình học có thể áp dụng kết quả của bài toán 1, bài toán 2 và các bài
toán phát triển của hai bài toán trên để giải. Sau đây là một trong số các bài
tập đó
Bài 1: Cho điểm P nằm ngoài (o), vẽ hai tiếp tuyến PA và PB. PO cắt AB tại
H, qua H vẽ dây CD. Chứng minh
a, CH.DH = HP.HO
b, Tứ giác POCD nội tiếp đờng tròn
(Đề thi học sinh giỏi Huyện năm học 2003-2004
Phòng GD - ĐT Đức Thọ)
Định h ớng giải: (H
6
)
Câu a, ta áp dụng bài tập 18 và bài tập 19
Câu b, ta áp dụng kết quả của bài toán tổng quát
3

N
B
A
S
H
M
(H
4
)

P
I
K
Q
o

C
M
A
B
(H
5
)
S
o

PH
A
B
(H
6
)
D
C
Bài 2: Cho nữa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 4 cm. Từ trung điểm C của
AO, vẽ tia Cx vuông góc với AO. Cắt nữa (O) tại D. Gọi E là điểm chính giữa
cung BD; F là giao điểm của AE và CD
a, Chứng minh tứ giác CFEB nội tiếp
b, Tính AD
c, Gọi giao điểm của AE với OD là I. Chứng minh đờng thẳng EO là

tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp FCI
(Đề thi tốt nghiệp THCS năm học 2003-2004. Sở GD-ĐT Hà Tĩnh)
Định h ớng giải: (H
7
)
Câu a, b, ta dễ dàng chứng minh và tính đợc
Câu c, ta áp dụng bài toán phát triển của bai toán 1
Bài 3: Trên đờng tròn (O;R) đờng kính AB, lấy hai
điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B
(hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AB cắt BE tại C; AE cắt BM tại D.
a, Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB.
b, Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA.
c, Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đờng tròn (O) cắt nhau tại một
điểm nằm trên đờng thẳng CD.
d, Cho biết

BAM = 45
0
và

BAE = 30
0
. Tính diện tích tam giác ABC theo R.
(Đề thi tốt nghiệp THCS năm học 2003-2004. Sở GD-ĐT TP. Hồ Chí Minh)
Định h ớng giải: (H
8
)
Câu a, MCED nội tiếp đờng tròn đờng kính CD
Gọi K là trung điểm của CD
Câu b, HDEB nội tiếp, ta áp dụng

kết quả bài toán tổng quát
Câu c, Gọi K là trung điểm của CD ta có KM và KE là
tiếp tuyến của đờng tròn (o). Kết quả bài toán mở rộng
Câu d, áp dụng tỷ số lợng giác và giải thiết ta sẽ tính đợc
Bài 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB và điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn
(M

A;B ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn, vẽ tiếp tuyến Ax.Tia
BM cắt A x tại N; tia phân giác góc NAM cắt nửa đờng tròn tại I, cắt BN tại E; Tia
BI cắt AN tại F. Đờng thẳng AB cắt đờng thẳng EF tại K, AM cắt IB tại Q. Chứng
minh:

a, AN
2
=MN.NB
b, Tam giác ABE cân
c, FB vuông góc với NK
d, Tứ giác AFEQ là hình thoi
Định h ớng giải: (H
9
)
Câu a, áp dung kết quả bài toán phát triển của bài toán 1
Câu b, c, sử dụng các tính chất của góc nội tiếp và cung
bị chắn
4

I
A
B
D

F
E
C
o
(H
7
)
o

M
E
D
C
B
A
H
(H
8
)
A
B
M
N
E
K
F
I
O
x

Q
(H
9
)
Câu d, sử dụng tính chất của góc với đờng tròn và tính
chất của đờng thẳng song song
Bài 5: Từ một điểm M nằm ngoài đờng tròn (o) vẽ cát tuyến MAB tới đờng
tròn (A nằm giữa M và B). Hai tiếp tuyến với (o) tại A và B cắt nhau tại C; MO
cắt đờng tròn đờng kính OC tại H; CH cắt AB tại N; AB cắt OC tại I. Chứng
minh rằng.
a, CN.CH = CI.CO
b, MA.MB = MI.MN
Định h ớng giải: (H
10
)
Sữ dụng kết quả bài tập 18 (SBT)
Ta có: Tứ giác INHO nội tiếp => CN.CH = CI.CO
MA.MB = MH.MO
MH.MO = MI.MN
III. kết luận
Kinh nghiệm này có thể áp dụng vào dạy ở chơng trình hình học lớp 9 ở
tiết 49, 50 Ôn tập chơng III và tiết 67 -> 70 Ôn thi tốt nghiệp môn Hình học.
Tuỳ vào điều kiện cụ thể mà giáo viên phân bố thời gian hợp lý
Sau khi áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy tôi nhận thấy khả năng
giải bài tập hình học của học sinh tốt lên hẳn. Khắc phục đợc những hạn chế
và sai sót đáng tiếc, các em biết phân tích bài toán và liên hệ với những bài
toán cơ bản đã giải và áp dụng vào bài giải của mình.
Kinh nghiệm đợc viết ra từ tự học, tự bồi dỡng cũng nh yêu cầu của thực
tiễn, nhng do thời gian và năng lực bản thân có hạn nên sẽ không tránh khỏi
những hạn chế. Rất mong đợc sự góp ý của quý Thầy Cô để kinh nghiệm ngày

càng hoàn thiện và phong phú. Trong những năm tiếp theo tôi sẽ cố gắng khai
thác từ các bài toán cơ bản khác và su tầm các bài toán liên quan để làm tài
liệu giảng dạy, mong nhận đợc sự góp ý bổ sung của tất cả các đồng nghiệp
Tôi xin chân thành cảm ơn !
5
N
H
B
A
M
C
(H
10
)

o
I