Khai thác bài toán hình học THCS

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nói
riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ
khác nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú vị. trhong dạy học toán, khi
truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp
cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan trọng là
vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học. Đây là một hoạt
động mà theo tôi, thông qua đó rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo, lòng yêu
thích môn học, dạy cho học sinh phương pháp tự học. Đó là nhiệm vụ quan
trọng của người giáo viên đứng lớp.
Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác
một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống
bài tập từ cơ bản đến nâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể
thiếu đối với người giáo viên.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là đưa ra một số phương hướng trong việc
khai thác một số bài toán hình học trong sách giáo khoa. Qua việc khai thác bài
toán rèn cho học sinh tư duy sáng tạo, thấy được vai trò của Toán học với thực
tế cuộc sống.
3. Thời gian, địa điểm nghiên cứu
Thời gian: Từ tháng 12 năm 2013 đến tháng 12 năm 2014.
Địa điểm: Tại trường THCS thị trấn Tiên Yên.
4. Đóng góp mới về lí luận, thực tiễn
Qua những bài toán tôi nghiên cứu sẽ là một tư liệu giảng dạy hữu ích cho
các đồng nghiệp cùng giảng dạy bộ môn Toán.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thành đề tài trên, tôi chủ yếu dung phương pháp tự đọc các bài
toán trong SGK rồi tìm tòi, suy nghĩ hướng khai thác bài toán.
1
II. PHẦN NỘI DUNG

1. Chương 1: TỔNG QUAN
1.1 Cơ sở lí luận
Căn cứ nhiệm vụ trọng tâm năm học 2014 – 2015 của BGD&ĐT tiếp tục
đổi mới phương pháp giảng dạy.
Căn cứ kế hoạch năm học 2014 – 2015 của trường THCS thị trấn Tiên
Yên về phương pháp dạy và học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo
của học sinh; tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng vào giải
quyết các vấn đề thực tiễn. Đa dạng hóa các hình thức học tập, chú trọng các hoạt
động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học của học sinh.
1.2 Cơ sở thực tiễn
Đề tài về khai thác bài toán hình học trong SGK đã được nhiều đồng
nghiệp đề cập tới và đăng trên trang webside: giaoan.violet.vn. Tôi cũng đã đọc
các tài liệu đó để tham khảo nhưng chưa thấy đề tài nào đề cập tới những bài
toán mà tôi trình bày trong phần nội dung của đề tài này. Đó là cơ sở thực tiễn
để tôi mạnh dạn chọn đề tài để nghiên cứu.
2. Chương II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.1 Thực trạng
Để có hướng khai thác bài toán hay, đem lại hứng thú học tập cho học
sinh đòi hỏi người giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian chuẩn bị cho tiết dạy,
phải tìm tòi, suy nghĩ và đọc nhiều tài liệu. Đó là lý do khai thác bài toán trong
SGK trong giờ lên lớp còn được giáo viên sử dụng tương đối ít, đặc biệt là với
những đồng chí chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy.
2.2 Đánh giá thực trạng
Để học sinh hứng thú hơn với bài giảng, làm cho bài giảng có chiều sâu về kiến
thức, học sinh nhớ kiến thức học được một cách dài lâu không phải tiết dạy nào
cũng phải khai thác được kiến thức và vận dụng thực tế. Do đó ta cần phối hợp
nhiều phương pháp và sử dụng các phương pháp một cách linh hoạt, hợp lý để
đáp ứng yêu cầu đặt ra.
2
2.3 Một số kinh nghiệm khai thác bài toán hình học THCS

Bài 1: ( Bài toán ban đầu ) Cho tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?
(Bài 48 trang 93 sgk Toán 8 tập 1)
Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác, ta sẽ chứng minh được tứ giác
EFGH là hình bình hành
• Bài toán khai thác:
Cho tam giác ABD. C là điểm nằm trong tam giác ABD. Gọi E,F,G,H thứ tự là
trung điểm của AB,BC,CD,DA.
Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?
LỜI GIẢI
Xét tam giác ABC có E , F lần lượt là
trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC
nên EF là đường trung bình của tam giác
ABC => EF//AC và EF = 1/2AC
Chứng minh tương tự có: HG//AC và HG
= 1/2AC
Do đo EF//HG và EF = HG nên tứ giác
EFGH là hình bình hành.
• Nhận xét: Bài toán ban đầu được thay đổi GT từ tứ giác ABCD
thành tam giác ABD và thay đổi cách chọn các trung điểm ta được bài toán mới
với cách chứng minh tương tự sẽ giúp khắc sâu kiến thức cho học sinh.
3
Bài 2: ( Bài toán ban ban đầu )
Cho hình thang ABCD (AB//CD).
M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh bên AD, BC. Ta đã có các kết
quả đã được chứng minh như sau:
MN // AB // CD
và MN = 1/2(AB+CD)
• Khai thác bài toán

Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M và N là các trung điểm của các cạnh AD, BC
tương ứng. Chứng minh rằng nếu MN = 1/2(AB+CD) thì ABCD là hình thang.
LỜI GIẢI
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AD
Ta có MK là đường trung bình của tam giác ACD
MK//CD và MK =
2
1
CD
Ta có: KN là đường trung bình của tam
giác ABD
 KN//AB và KN =
2
1
AB
 MK + KN =
2
1
(AB + CD)
Theo GT thì
2
1
(AB + CD) = MN => MK + KN = MN
Do đó K nằm trên đoạn thẳng MN => AB//KN//MN//CD
Vậy ABCD là hình bình hành.
• Nhận xét: Bài toán khai thác chính là bài toán đảo của bài toán
ban đầu.Việc làm quen với chứng minh định lý đảo sẽ rèn luyện tư duy logic cho
học sinh.
4
Bài 3: ( Bài toán ban đầu ) Cho hình vẽ. Trong

đó ABCD là hình vuông. So sánh diện tích của
tứ giác OFCE với diện tích của hình vuông
ABCD
LỜI GIẢI
Ta thấy Tứ giác OFCE là hình vuông. Nếu gọi cạnh hình vuông ABCD có độ
dài là a thì S
OFCE
=
4
2
a
=> S
OFCE
=
4
1
S
ABCD
• Khai thác bài toán:
Cho hình vuông ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a. Một góc vuông xOy có tia
Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F. Tính diện tích tứ giác OEBF
(Bài 43 trang 133 SGK toán 8 tập 1)
LỜI GIẢI
Kẻ OK ⊥ AB và OH ⊥ BC
Vì KOHB là hình vuông nên:
·
·
0
O 90K E EOH+ =
Vì

·
0
EOF 90=
nên
· ·
0
O 90F H EOH+ =
Do đó
·
·
O OF H K E=
 Hai tam giác vuông KOE và HOF bằng nhau
 S
KOE
= S
HOF
 Mà S
OEBF
= S
KOHB
+ S
HOF
- S
KOE
= S
KOHB
=
1
4
S

ABCD
• Nhận xét: bài toán ban đầu là trường hợp đặc biệt của bài toán sau
khi khai thác. Qua việc giải hai bài toán trên giúp học sinh có cái nhìn tổng
quát hơn.
5
Bài 4: (Bài toán ban đầu )
Cho một hình chữ nhật và một hình vuông có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện
tích lớn hơn ? ( bài 36 trang 129 sgk toán 8 tập 1)
Giả sử hình thoi ABCD và hình vuông MNPQ có cùng cạnh là a
Khi đó : S
ABCD
= a.HB. Tam giác CBH là tam giác vuông, cạnh CB là cạnh
huyền nên BH < BC => a.BH < a.BC
Mà: a.BC = a.a = a
2
= S
MNPQ
=> S
ABCD
< S
MNPQ
Vậy bài toán được chứng minh
• Khai thác bài toán:
Cho một hình chữ nhật và một hình vuông có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện
tích lớn hơn ?
LỜI GIẢI
Giả sử một hình chữ nhật có chu vi là 2(a+b) và một hình vuông có chu vi là 4c
với ( a > b > 0, c > 0) và 2(a+b) = 4c => a + b = 2c.
Ta sẽ chứng minh a.b < c
2

Thật vậy: a + b = 2c => (a+b)
2
= 4c
2
=> a
2
+ 2ab + b
2
= 4c
2
=> a
2
– 2ab + b
2
= 4c
2
– 4ab => (a – b)
2
= 4(c
2
– ab)
Vì (a – b)
2
> 0 do a > b nên c
2
> ab
6
Vậy một hình chữ nhật và một hình vuông có cùng chu vi thì diện tích hình
vuông lớn hơn.
• Ứng dụng thực tế:

Khi xây dựng các bể chứa nước, nếu cùng một lượng gạch mà ta xây bể hình
chữ nhật thì sẽ chứa được ít nước hơn là xây bể hình vuông. Nếu với lượng gạch
đó mà xây bể hình lập phương sẽ có thể tích lớn nhất, đựng được nhiều nước
nhất.
Khi xây chợ, nếu có điều kiện phù hợp về mặt bằng, người ta thường xây chợ
hình vuông, không xây hình chữ nhật để vừa tiết kiệm vật liệu vừa tận dụng tối
đa đa diện tích sử dụng. Các siêu thị như BiC, Metro ở Hạ Long Chợ Tiên Yên
là những ví dụ điển hình.
• Nhận xét: Qua việc giải một bài toán trong SGK, khi ta xem xét bài
toán ở trường hợp khác cho ta một lời giải rất hay, củng cố được cả kiến thức
về hình học và đại số. Ngoài ra kết quả của bài toán còn cho học sinh thấy được
mối liên hệ gần gũi giữa toán học và cuộc sống.
7
Bài 5: (Bài toán ban đầu): Ta có định lý: Trong một tam giác, ba đường cao
đồng quy.
• Khai thác bài toán:
Bài 5.1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A. M là một điểm trên đoạn AC.
Kẻ CK vuông góc với BM tại K, MH vuông góc với BC tại H. HM và CK cắt
nhau tại E. Chứng minh B, A, E thẳng hàng.
LỜI GIẢI
Xét tam giác BMC có: MH và CK là hai đường cao cắt nhau tại E => E là trực
tâm của ta giác BMC. Vì BA ⊥ MC nên BA là đường cao thứ 3 của tam giác
BMC nên BA phải đi qua E. Vậy B, A, E thẳng hàng.
Bài 5.2: Cho đường nửa đường tròn (O) đường kính BC. Gọi A và K là hai
điểm thuộc nửa đường tròn. ( A và K không trùng với B, C). Gọi M là giao điểm
của AC và BK. Gọi H là hình chiếu của M trên BC. Chứng minh: MH, KC, AB
đồng quy.
8
LỜI GIẢI
Các góc BAC, BKC là các góc vuông vì đều là góc nội tiếp chắn nửa đường

tròn. Lại có MH ⊥ BC theo gt
 các đường thẳng MH, KC, AB đều là đường cao của tam giác BMC nên
MH, KC, AB đồng quy.
• Nhận xét: Hai bài toán trên đều dựa vào một định lý: trong một
tam giác ba đường cao đồng quy. Học sinh thường chỉ nhớ định lý trong trường
hợp tam giác nhọn khi ba đường cao cắt nhau tại một điểm nằm trong tam giác.
Với cách khai thác bài toán trên, ngoài việc giúp học sinh rèn luyện sự sáng tạo
còn giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về định lý về ba đường cao của một tam
giác.
9
Bài 6: (Bài toán ban đầu)
Ví dụ 1 và Ví dụ 2 trong SGK toán 9 tập 1 trang 73: Tính các tỉ số lượng giác
của góc các góc 45
0
; góc 60
0
LỜI GIẢI
Tính các tỉ số lượng giác của góc 45
0
Trong hình vẽ phía trên có
Sin45
0
= sinB =
2
2
2
AC a
BC
a
= =

Tương tự tính được các tỉ số lượng giác khác dựa vào tam giác vuông cân ABC
Để tính các tỉ số lượng giác của góc 60
0
SGK sử
dụng tam giác ABC như hình vẽ dưới
Sin60
0
=
3 3
2a 2
AC a
BC
= =
. Tương tự tính được các tỉ
số lượng giác khác.
• Khai thác bài toán:
Tính cá tỉ số lượng giác của góc
0
15
α
=
mà không dùng máy tính bỏ túi hoặc
bảng số.
10
LỜI GIẢI
Xét tam giác cân ABC cân tại A có AB = 2 và
µ
0
30A =

Hạ BE ⊥ AC (E thuộc AC).
Trong tam giác vuông ABE cạnh BE đối diện với góc
30
0
nên BE = AB/2 = 1
Và sử dụng định lý Py – ta – go tính được
E 3A =
=>
2 3EC = −
Vì Tam giác EBC vuông nên
·
µ
µ
0 0
90 15
2
A
EBC C= − = =
Do đó: Tan15
0
= tan
·
EBC
=
2 3
EC
BC
= −
Vậy Tan15
0

=
2 3−
Với góc nhọn α ta góc:
Sử dụng định lý Py-ta-go tính được:
2 2
8 4 3 2 2 3BC BE EC= + = − = −

Do đó:
·
0
2 3
Sin15 sin
2
EC
CEB
BC
−
= = =
;
·
0
1 2 3
15
2
2 2 3
BE
Cos CosCEB
BC
+
= = = =

−
Nhận xét: Tam giác vuông được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán
lượng giác. Tuy nhiên một số bài toán liên quan đến tỉ số lượng giác như trên
lại được hỗ trợ đắc lực bởi tam giác cân.
11
Bài toán 7 (Bài toán ban đầu)
Cho tam giác cân ACB (AB = AC). Gọi M là trung điểm của đường cao AH, gọi
D là giao điểm của canh AB với đường cao CM. Chứng minh
1
D .
3
A AB=

(SBT Toán 8 )
LỜI GIẢI
Tam giác ABC cân => AB = AC, lại có AH là đường cao => BH = CH
Gọi E là trung điểm của BD, ta có: EH là đường trung bình của tam giác BDC
=> EH // DC
Trong tam giác AEH:
AM = MH, MD // EH => MD là
đường trung bình của tam giác AEH
=> AD = DE
Vậy ta được: AD = DE = EB hay
1
D .
3
A AB=
• Khai thác bài toán
Nhận xét 1: Dữ kiện “đường cao AH” được sử dụng để có BH = HC mà
không cần đến điều kiện

·
0
90AHC =
. Nếu thay dữ kiện này bởi “trung tuyến
AH” thì ta có bài toán mới, khi đó điều kiện tam giác ABC cân không còn cần
thiết. Ta có:
Bài 7.1: Cho tam giác ABC, trung tuyến AH, gọi M là trung điểm của AH, D là
giao điểm của AB và CM. Chứng minh
1
D .
3
A AB=
LỜI GIẢI
12
Tương tự bài toán ban đầu: Ta cũng có EH là đường trung bình của tam giác
BCD, DM là đường trung bình của tam giác AEH => BE = ED = DA => đpcm
• Xét bài toán đảo của bài toán 7.1, ta có:
Bài 7.2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AH. Gọi D là điểm thuộc cạnh AB sao
cho
1
D .
3
A AB=
. Gọi M là giao điểm của CD và AH. Chứng minh M là trung
điểm của AH.
LỜI GIẢI
Kẻ EH //CD (
E AB∈
), trong tam giác BCD ta có EH là đường trung bình
=> BE = ED

Theo giả thiết
1
D .
3
A AB=

=> AB = 3.AD (*)
Mà AD = AB – DB = AB – 2ED thế
vào (*) ta được:
AB = 3(AB – 2ED) => 6ED = 2AB
=> AB = 3ED (**)
Từ (*) và (**) ta được AD = ED
Trong tam giác AEH có AD = ED, DM//EH nên MA = MH
Vậy M là trung điểm của AH
Nhận xét 2: Từ kết quả của bài toán 7.2 trên ta thấy:
+ Nếu lấy điểm D trên AB sao cho
1
D .
3
A AB=
thì CD đi qua trung điểm của AH
+ Nếu lấy điểm K trên AC sao cho
1
K .
3
A AB=
thì BK đi qua trung điểm của AH
Từ đó ta có bài toán:
13
Bài 7.3: Cho tam giác ABC, trung tuyến AH. Các điểm D, K theo thứ tự thuộc

các cạnh AB, AC sao cho
1 1
AD ,
3 3
AB AK AC= =
. Chứng minh rằng các đường
thẳng AH, CD, BK đồng quy
LỜI GIẢI
Chọn điểm E là trung điểm của đoạn thẳng BD, điểm Q là trung điểm của đoạn
thẳng KQ
Gọi M là giao điểm của AH và BK, ta có: HQ // BK
Xét tam giác AMQ có:
AK = KQ và KM // HQ => M là trung điểm của AH
Chứng minh tương tự ta có CD cũng đi qua trung điểm M của AH
Vậy AH, BK, CD đồng quy.
14
2.4 Kết quả nghiên cứu
Trên cơ sở các ví dụ điển hình đã nêu, trong thực tế tiết dạy còn nhièu bài
toán có thể khai thác được sao cho phù hợp với năng lực của học sinh. Thông
qua việc khai thác bài toán như vậy sẽ rèn cho học sinh các thao tác tư duy: phân
tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa…
Kết quả nghiên cứu trên là rất có đối với giáo viên giảng dạy Toán ở
trường THCS trong việc dạy học hình học.
2.5 Bài học kinh nghiệm
Trong quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi đã tìm tòi và học tập
được nghiều kinh nghiệm khai thác bài toán cho bản than từ các đồng nghiệp và
nhiều nguồn tài liệu khác nhau. Cũng có những bài tự bản thân phải thử tìm tòi
suy nghĩ hướng khai thác. Đó là một trải nghiệm rất bổ ích cho việc tu dưỡng
chuyên môn, nghiệp vụ.
PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

1. Kết luận:
Về phương pháp nghiên cứu: Chỉ dựa trên kinh nghiệm của bản thân và
một số tài liệu tham khảo nên chắc chắn còn nhiều bài tập với nhiều hướng khai
thác hay nữa bản thân tôi chưa thể đề cập tới trong đề tài này.
Về nội dung nghiên cứu: Trong chương trình Toán THCS còn nhiều mảng
kiến thức, nhiều bài tập có thể khai thác hoặc tích hợp liên môn.Vì phạm vi của
đề tài là khá rộng nên tôi chỉ chọn được một số ví dụ điển hình.
2. Kiến nghị
15
Để các đồng chí giáo viên có thể trao đổi, học hỏi kinh nghiệm trong
việc khai thác bài toán hình học THCS, tôi mong muốn được PGD tổ chức
một chuyên đề riêng bàn về khai thác bài toán hình học trong năm học sắp
tới.
Tiên Yên, ngày… tháng … năm 2014
Người viết
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA NHÀ TRƯỜNG
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
16
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA BAN TỔ CHỨC HỘI THI
GIÁO VIÊN DẠY GIỎI
…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
17
18
19