. C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN .
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
.1 Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba
vectơ đơn vị
r r ur
, ,i j k
( )
r r r
= = =i j k 1
.
.2
( )
ur ur r r ur
⇔ = + +; ;
1 2 3 1 2 3
a a a a a a i a j a k
; M(x;y;z)⇔
uuur r r ur
= + +OM xi yj zk
.3 Tọa độ của vectơ: cho
r r
( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z
1.
r r
= ⇔ = = ='; '; 'u v x x y y z z
2.
( )
r r
± = ± ± ±'; '; 'u v x x y y z z
3.
r
= ( ; ; )ku kx ky kz
4.
r r
= + +. ' ' 'u v xx yy zz
5.
r r
⊥ ⇔ + + =' ' 'u v xx yy zz 0
6.
r
= + +
2 2 2
u x y z
7.
r r
,u v
cùng phương⇔
r
r r
=[ , ]u v 0
9.
( )
ur r
r r
r r
=
.
.
cos ,
u v
u v
u v
.
.4 TÝch cã híng cho
1 2 3 1 2 3
( ; ; ),b ( ; ; )a a a a b b b= =
r r
2 3 3 1
1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
, ; ; ( ; ; )
b b b b b b
= ∧ = = = − − −
÷
n a b a b a b a b a b a b a b a b
r r r r r
Nếu (P) có cặp vtcp
,ba
r r
(không cùng phương và có giá // (P) hoặc
⊂
(P) )
thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định
,
= ∧ =
p
n a b a b
uur r r r r
.5 Tọa độ của điểm: cho A(x
A
;y
A
;z
A
), B(x
B
;y
B
;z
B
)
1.
uuur
= − − −( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
2.
= − + − + −( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z
3.G là trọng tâm
∆
ABC:x
G
=
+ +
A B C
x x x
3
;y
G
=
+ +
A B C
y y y
3
; z
G
=
+ +
A B C
z z z
3
4. M chia AB theo tỉ số k:
− − −
= = =
− − −
; ; ;
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
1 k 1 k 1 k
Đặc biệt: M là trung điểm của AB:
+ + +
= = =; ; .
A B A B A B
M M M
y
x x y y z z
x z
2 2 2
5. ABC là một tam giác⇔
uuur uuur
∧AB AC
≠
r
0
khi đó S=
uuur uuur
∧
1
AB AC
2
6. ABCD là một tứ diện⇔
uuur uuur
∧AB AC
.
uuur
AD
≠0, V
ABCD
=
( )
uuur uur uuur
∧ ,AC
1
AB AD
6
,
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT
A. Mặt phẳng
Mặt phẳng
α
được xác định bởi: {M(x
0
;y
0
;z
0
),
r
= ( ; ; )n A B C
}. Cã pttq:
hay A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0. D=-(Ax
0
+By
0
+Cz
0
)
một số mặt phẳng thường gặp:
1. a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0;
b/ mặt phẳng (Oxz): y=0;
c/ mặt phẳng (Oyz): x=0.
2. Mpđi qua 3điểm A,B,C: có
r uuur uuur
=
( )
[ , ]
ABC
n AB AC
3.
α
//
β
⇒
uur uur
α β
=n n
4.
α
⊥
β
⇒
uur uur
α β
=n u
vµ ngîc l¹i
5.
α
//d ⇒
uur uur
α
=
d
u u
6. α ⊥ d ⇒
uur uur
α
=
d
n u
.
( )
1;0;0i
r
( )
0;1;0j
r
( )
0;0;1k
r
O
z
x
y
B. Đường thẳng IV.Đường cong
+Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x
0
;y
0
;z
0
),
uur
∆
u
=(a;b;c)}
1. .Phương trình tham số:
= +
= +
= +
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
;
2. .Phương trình chính tắc:
− − −
= =
0 0 0
x x y y z z
a b c
3. Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:
+ + + =
+ + + =
1 1 1 1
2 2 2 2
A x B y C z D 0
A x B y C z D 0
trong đó
ur
= ( ; ; )
1 1 1 1
n A B C
,
uur
= ( ; ; )
2 2 2 2
n A B C
là hai VTPT và VTCP
uur uuruur
∆
= [ ]
1 2
u n n
.
+Chú ý: a/ Đường thẳng Ox:
=
=
y 0
z 0
; Oy:
=
=
x 0
z 0
; Oz:
=
=
x 0
y 0
b/ (AB):
r uuur
=
AB
u AB
; c/ ∆
1
//∆
2
⇒
.
1 2
u k u
∆ ∆
=
uur uur
; d/ ∆
1
⊥∆
2
⇒
.
1 2
u u 0
∆ ∆
=
uur uur
.
C. Góc
Góc giữa 2 đ thẳng
*cos(∆,∆’)=cos
ϕ
=
ur uur
r ur
. '
. '
u u
u u
;
Góc giữa hai mp
*cos(
α
,
α
’)=cosϕ=
ur uur
r ur
. '
. '
n n
n n
;
Góc giữa đ t và mp
*sin(∆,
α
)=sinψ=
ur r
r r
.
.
n u
n u
.
III .KHOẢNG CÁCH
Cho M (x
M
;y
M
;z
M
), (
α
):Ax+By+Cz+D=0,∆:{M
0
(x
0
;y
0
;z
0
),
r
∆
u
},∆’ {M’
0
(x
0
';y
0
';z
0
'),
ur
∆
'u
}
* Kh/ c từ M đến mp(α):
d(M,
α
)=
+ + +
+ +
M M M
2 2 2
Ax By CZ D
A B C
* K/ c từ M đến đ t ∆:
d(M,∆)=
uuuur r
r
[ , ]
1
MM u
u
* K/C giữa hai đường thẳng:
d(∆,∆’)=
r ur uuuuuur
ur ur
[ , ']. '
[ , ']
0 0
u u M M
u u
IV. PH¬ng tr×nh dêng vu«ng gãc chung
•
1 1 1 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2 2 2 2
H(x a h;y b h;z c h) d
KH lµ ® êng vu«ng gãc chung cña d vµ d
K(x a k;y b k;z c k) d
+ + + ∈
+ + + ∈
d
1
d
2
KH.u 0
KH.u 0
=
⇔
=
uuur r
uuur r
•
d d
1 2
1 2
u u u lµ VTCP cña ® êng vu«ng goc chung cña 2 ®t chÐo nhau d vµ d= ∧ ∆
r r r
•
d
1
2 1 1 1
®i qua A=(P) d trong®ã (P) lµ mp ®i qua M(x ;y ;z ) vµ cã c¨p vtcp lµ u vµ u∆
r r
I
•
d
1
1 1 1
d
2
2 2 2
(P) lµ mp ®i qua M(x ;y ;z ) vµ cã c¨p vtcp lµ u vµ u
=(P) (Q) trong ®ã
(Q)lµ mp ®i qua M(x ;y ;z ) vµ cã c¨p vtcp lµ u vµ u
∆
r r
I
r r
V. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S){tâm I(a;b;c),bán kính R}
Dạng 1: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
(S)
Dạng 2: x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0
( )
2 2 2
a b c d 0+ + − >
khi đó R=
+ + −
2 2 2
a b c d
1. d(I,
α
)>R:
α
∩
(S)=∅
2. d(I,
α
)=R:
α
∩
(S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng
α
tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R ( tại M khi đó
uur
α
n
=
uur
IM
)
3. Nếu d(
I
,
α
)<R thì
α
sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của
α
và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r =
α
- ( , )
2 2
R d I
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với
α
. C¤NG TH¦C H×nh häc gi¶I tÝch TRONG KH«NG GIAN .
+H=∆
∩
α
(toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với
α
)