Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai

Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
MỤC LỤC
Trang
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 5
2. Thực trạng 5
Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức
Vi-Ét để giải phương trình bậc hai 6
I. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn 7
II. Lập phương trình bậc hai 8
III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng 10
IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình 11
V. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao
cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số 14
VI. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức
chứa nghiệm 15
VII. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 18
VIII. Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 19
Chương III: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích thực nghiệm 20
2. Nội dung thực nghiệm:
Tiết dạy thực nghiệm 1 21
Tiết dạy thực nghiệm 2 26
3. Kết quả thực nghiệm 30

PHẦN III: KẾT LUẬN 30
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 1Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong giai đoạn hiện nay, khi mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin trên
thế giới đang phát triển mạnh mẽ, nhất là các nước Tư Bản Chủ Nghĩa, nước ta vẫn
đang chú trọng tìm kiếm nhân tài thì thế hệ trẻ, các em học sinh càng phải nổ lực
nhiều trong trong việc tìm kiếm kiến thức, học thật giỏi để bổ sung nhân tài cho đất
nước.
Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ
thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc
tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần
thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực
lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên
tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn
nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh
những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của
học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên của
Tỉnh đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10
THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậc
hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng
về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang.
Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng không
giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách
đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi_ét để giải.
Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em
học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai. Góp

phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tôi chọn đề tài này:
“Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có
ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt
các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài
toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 2Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu cầu
rất quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận
dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm
phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các
em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.
- Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng
dụng hê thức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý.
- Điều tra 20 học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng
cao, mở rộng kiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh
có thể tiếp thu, nâng cao kiến thức.
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
- Nghiên cứu 20 học sinh giỏi khá đang học lớp 9 ở trường THCS Trịnh
Hoài Đức – Huyện Trảng Bom - Đồng Nai.
- Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9,
tìm hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét.
5. Phương pháp nghiên cứu:
Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp

nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp
xếp thành 8 nhóm ứng dụng sau:
 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
 Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .
 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
 Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình
sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu
thức chứa nghiệm.
 Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
 Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
nghiệm.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 3Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
- Phương pháp phỏng vấn, điều tra:
Tôi hỏi điều tra 20 học sinh khá, giỏi sau 2 tiết dạy thực nghiệm với
các câu hỏi sau:
Câu 1: Em có muốn nâng cao kiến thức không ?
Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét
không?
Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ?
Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét. Hãy nhẩm nghiệm của các
phương trình sau:
a/ 4321x
2
+ 21x – 4300 = 0
b/ x

2
+ 7x + 12 = 0
Câu 5: Cho phương
trình: x
2
– 3x +
m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm x
1
, x
2
(x
1
> x
2
). Tính giá
trị biểu thức theo m.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sau khi sắp xếp thành 8 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện
lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên. Có kèm theo 2 giáo án đã
dạy ở sau.

Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 4Lê Thị Hằng Nga
3 3
1 2 1 2
P x x x x= −
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Mục tiêu của giáo dục THCS_theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúp học

sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn
THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đi
vào cuộc sống lao động”.
Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế
theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo
đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động
ngoại khóa.
Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:
- 1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức
Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương
trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- 1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa
học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có
nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và
vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và
hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.
2. Thực trạng :
a. Thuận lợi:
- Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 được 3 năm,
bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học
sinh thi tuyển vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện
đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai”.
- Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.
- Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức.
b. Khó khăn:
- Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương
trình lớp 9 chỉ có 2 tiết ( 1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa
khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét.
- Hầu hết số học sinh của trường là học sinh vùng quê, bố mẹ làm nông

nghiệp. Do đó các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức.
Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽ giúp
các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 5Lê Thị Hằng Nga
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
c. Thực trạng của giáo viên và học sinh xã An Viễn- Trảng Bom-
Đồng Nai:
Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở An viễn
còn có một số mặt đã đạt được và chưa đạt sau:
• Những mặt đã đạt được:
- Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình. Học
sinh nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 98%).
- Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm đã có học sinh
đạt giỏi huyện môn Toán.
- Nhà trướng có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém. Nhờ vậy học
sinh đã có nhiều tiến bộ.
• Những mặt chưa đạt:
- Trường chưa tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh các
khối 6 ; 7 ; 8.
- Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng
cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn
chế.
Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học
sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai:
- Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học
sinh nắm được định lý Vi-ét:
Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
có 2

nghiệm :
Suy ra :
Đặt S và
P lần lượt là
tổng và tích
hai nghiệm
của phương
trình.
Vậy:

- Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức
Vi-ét để giải. Trong đề tài này tôi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau:
 Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .
 Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .
 Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
 Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 6Lê Thị Hằng Nga
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
( ) ( )
( )
1 2
2 2
2

1 2
2 2 2 2
2
2 2 2
4
4
4 4 4 4
b b b b
x x
a a a a
b b
b b ac
b ac c
x x
a a a a a
− + ∆ − − ∆ − −
+ = + = =
− + ∆ − − ∆
− −
− ∆
= = = = =
1 2
b
S x x
a
−
= + =
1 2
.
c

P x x
a
= =
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
 Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình
sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.
 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu
thức chứa nghiệm.
 Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
 Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
nghiệm.
Cụ thể như sau:
I. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.1
2
+ b.1 + c = 0 hay a

+ b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x
1
= 1 và nghiệm kia là x
2
=
b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)
2
+b.(-1)+c = 0 hay a

- b + c
= 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x
1
= -1 và nghiệm kia là x
2
=
Ví dụ:
Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 2x
2
+ 5x + 3 = 0 (1)
b/ 3x
2
+ 8x - 11 = 0 (2)
Giải:
Ta thấy:
Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có một nghiệm x
1
= -1
và nghiệm kia là x
2
=
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có một nghiệm x
1
= 1
và nghiệm kia là x
2
=

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 35x
2
- 37x + 2 = 0
b/ 7x
2
+ 500x - 507 = 0
c/ x
2
- 49x - 50 = 0
d/ 4321x
2
+ 21x - 4300 = 0
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 7Lê Thị Hằng Nga
c
a
c
a
−
3
2
−
11
3
−
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm
còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình:
Ví dụ:
a/ Phương trình x

2
– 2px + 5 = 0 có một nghiệm x
1
= 2, tìm p và nghiệm kia.
b/ Phương trình x
2
+ 5x + q = 0 có một nghiệm x
1
= 5, tìm q và nghiệm kia.
c/ Phương trình x
2
– 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x
2
–qx +50 = 0, biết phương trình
có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải:
a/ Ta thay x
1
= 2 vào phương trình x
2
– 2px + 5 = 0 , ta được:
4 – 4p + 5 = 0
Theo hệ thức Vi-ét : x
1.
x
2
= 5 suy ra: x
2

=
b/ Ta thay x
1
= 5 vào phương trình x
2
+ 5x + q = 0 , ta được:
25+ 25 + q = 0
Theo hệ thức Vi-ét:
x
1.
x
2
= -50 suy ra: x
2
=
c/ Vì vai trò của x
1
, x
2
bình
đẳng nên theo đề bài giả sử: x
1
- x
2
=11 và theo hệ thức Vi-ét: x
1
+ x
2
= 7 ta có hệ
phương trình sau:

Suy ra: q = x
1.
x
2
= 9.(-
2)= -18
d/ Vì vai trò của x
1
, x
2
bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x
1
= 2x
2
và theo hệ
thức Vi-ét: x
1
. x
2
= 50 ta có hệ phương trình sau:
Với thì
Suy ra: S = q = x
1
+
x
2
= 5 + 10 = 15
Với thì Suy ra: S = q =
x
1

+ x
2
= (- 5) + (-10) = -15
II. Lập phương trình bậc hai :
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x
1,
x
2
Ví dụ:
Cho x
1
= 3; x
2
= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Vậy x
1
; x
2
là nghiệm
của phương trình có dạng:
x
2
– Sx + P = 0 x
2
– 5x + 6 = 0
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 8Lê Thị Hằng Nga
1
4

p⇒ =
1
5 5
2x
=
50q⇒ = −
1
50 50
10
5x
− −
= = −
1 2 1
1 2 2
11 9
7 2
x x x
x x x
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 
1 2 2
2 2 2
2 2
1 2 2
2 5
2 50 5

. 50 5
x x x
x x
x x x
= =
 
⇔ = ⇔ = ⇔


= = −
 
2
5x =
1
10x =
2
5x = −
1
10x = −
1 2
1 2
5
. 6
S x x
P x x
= + =


= =


⇔
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
a/ x
1
= 8 và x
2
= - 3
b/ x
1
= 3a và x
2
= a
c/ x
1
= 36 và x
2
= - 104
d/ x
1
= 1+ và x
2
= 1 -
2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa
hai nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ:
Cho phương trình x
2
– 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1

; x
2
. Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
và
Giải:
Theo
hệ thức Vi-
ét, ta có:
Vậy
phương
trình cần lập có dạng:
hay
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x
2
+ 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
. Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
và
(Đáp
số: )
2/ Cho phương trình: x
2
- 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x

2
. Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
và
(Đáp số: )
3/ Cho biết phương trình x
2
- px
+ q = 0 có hai nghiệm dương
x
1
; x
2
mà x
1 <
x
2
. Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : và
(Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Lương Thế Vinh_Đồng
Nai, năm học: 200-2009)
4/ Cho phương trình: x
2
- 2x – m
2
= 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
. Hãy lập
phương trình bậc hai có hai nghiệm y

1
; y
2
sao cho:
a/ và
b/ và
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 9Lê Thị Hằng Nga
22
1 2
1
1
y x
x
= +
2 1
2
1
y x
x
= +
( ) ( )
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 9
3
3 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x

 
+
= + = + + + = + + + = + + = + =
 ÷
 
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
. . . 1 1 2 1 1
2 2
P y y x x x x
x x x x
   
= = + + = + + + = + + + =
 ÷  ÷
   
2
0y Sy P− + =
2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y− + = ⇔ − + =
1 1
2
1
y x
x
= +
2 2

1
1
y x
x
= +
2 2
5 1
0 6 5 3 0
6 2
y y y y+ − = ⇔ + − =
4
1 1
y x=
4
2 2
y x=
2
727 1 0y y− + =
( )
1 2
1x x −
( )
2 1
1x x−
1 1
3y x= −
2 2
3y x= −
1 1
2 1y x= −

2 2
2 1y x= −
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
(Đáp số: a/ ; b/ )
III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm
của phương trình : x
2
– Sx + P = 0 (đk: S
2
- 4P ≥ 0)
Ví dụ:
Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải:
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x
2
+ 3x – 4 = 0
giải phương trình trên ta được x
1
= 1 và x
2
= - 4
Vậy nếu a = 1 thì b = - 4
nếu a = - 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3 và P = 2
b/ S = -3 và P = 6
c/ S = 9 và P = 20

d/ S = 2x và P = x
2
– y
2
Bài tập nâng cao:
Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9 và a
2
+ b
2
= 41
b/ a - b = 5 và a.b = 36
c/ a
2
+ b
2
=61 và a.b = 30
Hướng dẫn:
a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức
Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
Từ
Suy ra:
a, b là
nghiệm của phương trình có
dạng:
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
Nếu a = 5 thì b = 4
b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b
Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36
Suy ra: a, c là nghiệm

của phương trình có dạng:
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 10Lê Thị Hằng Nga
2 2
4 3 0y y m− + − =
2 2
2 (4 3) 0y y m− − − =
( )
( )
2 2
2
2 2
81
9 81 2 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
− +
+ = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = =
1
2
2
4
9 20 0
5
x
x x
x
=

− + = ⇔


=

1
2
2
4
5 36 0
9
x
x x
x
= −

− − = ⇔

=

Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
Do đó: Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
Nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4
Cách 2: Từ
- Với a + b = -13
và ab = 36, nên a, b là
nghiệm của phương trình :
Vậy a = - 4 thì b = - 9
- Với a + b = 13 và ab = 36,
nên a, b là nghiệm của
phương trình :
Vậy a = 4 thì b = 9

c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
Từ
- Nếu a + b = -11 và ab = 30
thì a, b là hai nghiệm của
phương trình :
Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
- Với a + b = 11 và ab = 30,
nên a, b là hai nghiệm của
phương trình :
Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:
Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến
đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích
hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức.
1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x
1
+ x
2
và x
1.
x
2
Ví dụ 1:
a/
b/
c/
d/
Ví dụ 2:
Ta biến đổi
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 11Lê Thị Hằng Nga

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 4 169a b a b ab a b a b ab− = + − ⇒ + = − + =
( )
2
2
13
13
13
a b
a b
a b
+ = −

⇒ + = ⇒

+ =

1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
= −

+ + = ⇔


= −

1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
=

− + = ⇔

=

( )
2
2 2 2 2 2
11
61 2 61 2.30 121 11
11
a b
a b a b a b ab
a b
+ = −

+ = ⇒ + = + + = + = = ⇒


+ =

1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
= −

+ + = ⇔

= −

1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
=

− + = ⇔


=

( )
( )
2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2x x x x x x x x x x x x+ = + + − = + −
( )
( )
( ) ( )
2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x x x x x x x
 
+ = + − + = + + −
 
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2x x x x x x x x x x x x x x
 
+ = + = + − = + − −
 
1 2

1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
+
+ =
1 2
?x x− =
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 4 4x x x x x x x x x x x x x x x x− = − + = + + − = + −
( )
2
1 2 1 2 1 2
4x x x x x x⇒ − = ± + −
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
Bài tập áp dụng:
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
a/
( HD )
b/
(HD )
c/
( HD )
d/
( HD )
e/

f/
g/
h/
2/ Không giải
phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ :
Cho phương trình: x
2
- 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/
b/
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
a/
b/
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x
2
- 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ (Đáp án: 46)
b/ (Đáp án: )
2/ Cho phương trình: 8x
2
- 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ (Đáp án: 65)
b/ (Đáp án: )
3/ Cho phương trình: x
2
- 14x + 29 = 0, Không giải phương trình,
hãy tính:

a/ (Đáp án: 138)
b/ (Đáp án: )
4/ Cho phương trình: 2x
2
- 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 12Lê Thị Hằng Nga
2 2
1 2
?x x− =
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
x x x x x x− = − + =
3 3
1 2
?x x− =
( )
( )
( ) ( )
2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x x x x x
 
− = − + + = − + − =
 
4 4
1 2
?x x− =

( ) ( )
4 4 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x x x x x− = + − =
6 6
1 2
?x x+ =
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
6 6 2 2 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
x x x x x x x x x x+ = + = + − + =
6 6
1 2
?x x− =
7 7
1 2
?x x+ =
5 5
1 2
?x x+ =
1 2
1 1
?
1 1x x
+ =
− −
2 2
1 2
x x+

1 2
1 1
x x
+
1 2
1 2
8
. 15
S x x
P x x
= + =


= =

( )
( )
2
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 8 2.15 34x x x x x x x x x x x x+ = + + − = + − = − =
1 2
1 2 1 2
1 1 8
18
x x
x x x x
+
+ = =
( )

2
2 2
1 2
x x+
1 2
2 1
x x
x x
+
34
15
2 2
1 2
x x+
1 2
1 1
x x
+
9
8
2 2
1 2
x x+
1 2
1 1
x x
+
14
29
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin

a/ (Đáp án: 1)
b/ (Đáp án: )
c/ (Đáp án: 3)
d/ (Đáp án: 1)
5/ Cho phương trình: x
2
- 4x + 8 = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2 .
Không giải
phương trình, hãy tính:
(HD: )
6/ Cho phương trình: x
2
-
3x + m = 0, với m là tham số,
có 2 nghiệm x
1
, x
2
(x
1
> x
2
). Tính giá trị biểu thức : theo m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)
V. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :
Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x
1
và
x
2
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x
1
+ x
2
và P = x
1
. x
2
theo tham số.
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x
1
và x
2
. Từ đó đưa
ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x
1
và x
2
.
Ví dụ 1 :
Cho phương trình: (m - 1)x
2
– 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x
1

và x
2
. Lập hệ
thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
và x
2
của phương trình sao cho chúng không phụ
thuộc vào m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x
1
và x
2
thì:
Theo hệ
thức Vi-ét,Ta
có:
Rút m từ (1), ta có:
Rút m từ (2), ta có:
Từ (3) và (4), ta có:
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 13Lê Thị Hằng Nga
2 2
1 2
x x+
1 2
2 1
1 1
x x
x x

+
+ +
5
6
1 2
1 1
x x
+
1 2
1 2
1 1x x
x x
− −
+
3
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
5 5
x x x x
Q
x x x x
+ +
=
+
( )
( )
( )

( )
2
2
2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
3 3
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
6. 4 3 2.8
6 2
6 10 6 17
5 5 80
5 2
5.8 4 3 2.8
x x x x
x x x x
Q
x x x x
x x x x x x
−
+ −
+ +
= = = =
+
   
+ −
−
 

 
 
3 3
1 2 1 2
A x x x x= −
( ) ( )
2
1
1
1 0 1
4
' 0 5 4 01 4 0
5
m
m
m m
mm m m
m
≠

≠

− ≠ ≠
 
 
⇔ ⇔ ⇔
   
∆ ≥ − ≥− − − ≥
≥


 
 

1 2
1
1
y x
x
= +
1 2
1 2
2 2
2 1 (3)
1 2
x x m
m x x
= + − ⇔ − =
− + −
1 2
1 2
3 3
1 1 (4)
1 1
x x m
m x x
= − ⇔ − =
− −
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
Ví dụ 2 :
Gọi x

1
và x
2
là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x
2
– 2mx + m - 4 = 0. chứng
minh rằng biểu thức A = 3(x
1
+ x
2
) + 2 x
1
x
2
- 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x
1
và x
2
thì:
Theo hệ
thức Vi-ét,Ta
có:
Thay vào biểu thức A, ta có:
A = 3(x
1
+
x
2

) + 2 x
1
x
2
– 8
=
Vậy A = 0 với mọi và .
Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x
2
– (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x
1
và x
2
. Hãy lập
hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
và x
2
của phương trình sao cho x
1
và x
2
độc lập
đối với m.
Hướng dẫn:
- Tính  ta được: = (m - 2)
2
+ 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm

phân biệt x
1
và x
2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta
biến đổi được : độc lập đối với
m.
2/ Cho phương trình: x
2
+ (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x
1
và x
2
. Hãy
tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
và x
2
của phương trình sao cho x
1
và x
2
không phụ thuộc giá trị của m.
Hướng dẫn:
- Tính  ta được: = 16m
2
+ 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x
1
và x

2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta
biến đổi được : không phụ
thuộc giá trị của m.
VI. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 14Lê Thị Hằng Nga
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3
2 1 3 2 3 2 8 0
2 1
x x x x x x x x
x x x x
= ⇔ − = + − ⇔ + + − =
+ − −
( ) ( )
2
1
1
1 0 1
4
' 0 5 4 0
1 4 0
5
m
m
m m
m
m m m

m
≠

≠

− ≠ ≠
 
 
⇔ ⇔ ⇔
   
∆ ≥ − ≥
− − − ≥
≥

 
 

1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
S x x
m
m
P x x
m


= + =


−

−

= =

−

2 4 6 2 8 8( 1) 0
3. 2. 8 0
1 1 1 1
m m m m m
m m m m
− + − − −
+ − = = =
− − − −
1m ≠
4
5
m ≥
( )
1 2 1 2
2 5 0x x x x+ − − =
( )
1 2 1 2
2 17 0x x x x+ + + =

Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
nghiệm:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x
1
và
x
2
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương
trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần
tìm.
Ví dụ 1 :
Cho phương trình: mx
2
– 6(m -
1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của
tham số m để 2 nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn hệ thức:
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x
1
và x
2
thì:
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
Vì (giả thiết)

Nên ( thỏa
mãn)
Vậy với m = 7 thì phương
trình đã cho có 2 nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn hệ thức:
Ví dụ 2 :
Cho phương trình: x
2
–
(2m + 1) x + m
2
+ 2 = 0. Tìm
giá trị của tham số m để 2 nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn hệ thức:
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x
1
và x
2
thì:
Theo hệ thức Vi-ét,Ta
có:
Vì (giả
thiết)

Nên
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 15Lê Thị Hằng Nga
1 2 1 2
x x x x+ =
( ) ( )
( )
2
2 2
0
0
1 0
' 9 2 1 9 27 0
' 0
' 3 21 9 3 0
m
m
m
m m m
m m m
≠
≠


− ≠

 
⇔ ⇔
  
∆ = − + − + ≥
∆ ≥

 
∆ = − − − ≥



 


( )
0
0
' 9 1 0
1
m
m
m
m
≠

≠


⇔ ⇔
 
∆ = − ≥
≥ −



1 2

1 2
6( 1)
9( 3)
.
m
S x x
m
m
P x x
m
−

= + =



−

= =


1 2 1 2
x x x x+ =
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 3 21 7
m m
m m m m
m m
− −
= ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =

1 2 1 2
x x x x+ =
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
'∆ =
( )
( )
2
2
7
' 2 1 4 2 0
4
m m m∆ = + − + ≥ ⇔ ≥
1 2
2
1 2
2 1
. 2
S x x m
P x x m
= + = +



= = +


( )
1 2 1 2

3 5 7 0x x x x− + + =
( )
( )
2
2( )
3 2 5 2 1 7 0
4
( )
3
m TM
m m
m KTM
=


+ − + + = ⇔

=

Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
Vậy với m = 2 thì
phương trình có 2
nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn hệ thức:
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: mx
2

+2 (m - 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn hệ thức:
2/ Cho phương trình: x
2
+ (m - 1)x + 5m - 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn hệ thức:
3/ Cho phương trình: 3x
2
- (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn hệ thức:
Hướng dẫn:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1 và
VD2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm và
tích nghiệm nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số
m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn
như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho

biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đó vận dụng
tương tự cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2.
Bài 1:
ĐKXĐ:
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
Theo đề bài ta có:
Suy ra:
Thế (1) vào (2) ta
đưa về phương trình:
m
2
+ 127m - 128 = 0m
1
= 1 ; m
2
= -128 .
Bài 2:
ĐKXĐ:
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:
Theo đề bài ta có:
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 16Lê Thị Hằng Nga
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
1 2
2 0x x− =
1 2
4 3 1x x+ =
1 2
3 5 6x x− =

1 2
x x+
1 2
x x
1 2
x x+
1 2
x x
16
0;
15
m m≠ ≤
( )
( )
1 2
1 2
4
1
7
.
m m
S x x
m
m
P x x
m

− −
= + =




+

= =


( ) ( )
1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1
2 0 2 3 2 6 2 3x x x x x x x x x x x x x− = ⇔ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
( )
( ) ( )
2
1 2 2
1 2 1 2
1 2 1
3
2 9 2
2 3
x x x
x x x x
x x x
+ =


⇔ + =

+ =



⇒
11 96 11 96m− ≤ ≤ +
( )
1 2
1 2
1
1
. 5 6
S x x m
P x x m
= + = −


= = −

( )
( )
1 1 2
1 2
2 1 2
1 3
4 3 1
4 1
x x x
x x
x x x

= − +

+ = ⇔


= + −


( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
1 3 . 4 1
7 12 1 2
x x x x x x
x x x x x x
   
⇒ = − + + −
   
⇔ = + − + −
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
Thế (1) vào (2) ta đưa về
phương trình: 12m(m – 1) =
0(TMĐK).
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 17Lê Thị Hằng Nga
⇒
0
1
m
m
=

⇔


=

Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
Bài 3:
Vì với mọi
số thực m nên
phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:
Theo đề bài ta có:
Thế (1) vào (2) ta
đưa về phương trình:
(TMĐK).

VII. Xác định dấu các nghiệm của
phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình
có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x
1
x
2
S = x
1
+ x
2
P = x

1
x
2

Điều kiện chung
trái dấu P < 0
 0
 0 ; P< 0
cùng dấu P > 0
 0
 0 ; P > 0
cùng dương + + S > 0 P > 0
 0
 0 ; P > 0 ; S > 0
cùng âm - - S < 0 P > 0
 0
 0 ; P > 0 ; S < 0
Ví dụ :
Xác định tham số m sao cho phương trình: x
2
– (3m + 1) x + m
2
– m – 6 = 0 có
2 nghiệm trái dấu.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:
Vậy với thì phương trình trên
có hai nghiệm trái dấu.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 18Lê Thị Hằng Nga
( ) ( ) ( )

2 2
2
3 2 4.3 3 1 9 24 16 3 4 0m m m m m∆ = − + + = + + = + ≥
( )
( )
1 2
1 2
3 2
3
1
3 1
.
3
m
S x x
m
P x x
−

= + =



− +

= =


( )
( )

1 1 2
1 2
2 1 2
8 5 6
3 5 6
8 3 6
x x x
x x
x x x

= + +

− = ⇔

= + −


( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
64 5 6 . 3 6
64 15 12 36
x x x x x x
x x x x x x
   
⇒ = + + + −
   
⇔ = + − + −

( )
45 96 0m m + =
0
32
15
m
m
=


⇔

= −

±
m
≥
≥
±
±
≥
≥
≥
≥
≥
≥
( )
( )
( )
( ) ( )

2
2
2
2
3 1 4.2. 6 0
7 0
0
2 3
6
0
3 2 0
0
2
m m m
m m
m
m m
P
P m m
P

∆ = + − − − ≥

∆ = − ≥ ∀
∆ ≥



⇔ ⇔ ⇔ − < <
  

− −
<
= − + <

 
= <


2 3m− < <
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin
Bài tập áp dụng:
1/ Xác định tham số m sao cho phương trình: mx
2
– 2(m + 2) x + 3(m - 2) = 0
có 2 nghiệm cùng dấu.
2/ Xác định tham số m sao cho phương trình: 3mx
2
+ 2(2m + 1) x + m = 0 có 2
nghiệm âm.
3/ Xác định tham số m sao cho phương trình: (m - 1)x
2
+2x + m = 0 có ít nhất
một nghiệm không âm.
VIII. Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm:
Ví dụ 1 : Cho phương trình: x
2
+
(2m - 1) x - m = 0. Gọi x
1
và x

2
là
các nghiệm của phương trình. Tìm m để: A = có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Theo hệ thức VI_ÉT,Ta có:
Theo đề bài ta có:
A =
Suy ra:
Ví dụ 2 : Cho phương
trình: x
2
- mx + m - 1 = 0. Gọi x
1
và x
2
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét , Ta có:
Theo đề bài
ta có:
Cách 1:
Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:
Vì
Vậy maxB = 1 m = 1
Với cách thêm, bớt
khác ta lại có:
Vì . Vậy
Cách 2: Đưa về giải
phương trình bậc hai

với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã
sho luôn có nghiệm với mọi m.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 19Lê Thị Hằng Nga
2 2
1 2 1 2
6x x x x+ −
( )
1 2
1 2
2 1
.
S x x m
P x x m

= + = − −


= = −


( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 8 2 1 8 4 12 1 2 3 8 8x x x x x x x x m m m m m+ − = + − = − + = − + = − − ≥ −
3
min 8 2 3 0
2
A m m= − ⇔ − = ⇔ =
( )

1 2
2 2
1 2 1 2
2
2 1
x x
B
x x x x
=
+ + +
1 2
1 2
. 1
S x x m
P x x m
= + =


= = −

( )
( )
( )
1 2 1 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
2 1 3
2 2 2 1

2 1 2 2
2
m
x x x x m
B
x x x x m m
x x
− +
+
= = = =
+ + + + +
+ +
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2 1
1
1
2 2
m m m
m
B
m m
+ − − +
−
= = −
+ +
( )

( )
2
2
2
1
1 0 0 1
2
m
m B
m
−
− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤
+
⇔
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2
2
1 1 1 1
2 2 2 4 4 2
2
1
2 2 2 2
2 2 2
2 2
m m m m m m
m

B
m m
m
+ + − − + + − +
+
= = = −
+ +
+
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
2 0 0
2
2 2
m
m B
m
+
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ −
+
1
min 2
2
B m= − ⇔ = −
Trường ĐHSP Hà Nôi Khoa Toán - Tin

(với ẩn là m và B là
tham số) (*)
Ta có:
Để phương trình trên
(*) luôn có nghiệm với mọi m thì ≥ 0
Hay
Vậy: ;
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x
2
+(4m + 1)x + 2(m – 4)
=0 .
Tìm m để biểu thức
có giá trị nhỏ nhất.
2/ Cho phương trình: x
2
- 2(m
- 1)x – 3 – m = 0 . Tìm m sao
nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn điều kiện có giá trị nhỏ nhất.
3/ Cho phương trình: x
2
- 2(m - 4)x + m
2
– 8 = 0 . Xác định m sao 2 nghiệm x
1
và x

2
thỏa mãn điều kiện :
a/ đạt giá trị lớn nhất.
b/ đạt giá trị nhỏ nhất.
4/ Cho phương trình: x
2
- (m
– 1)x - m
2
+ m – 2 =0 . Với giá trị
nào của m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
5/ Cho phương trình: x
2
+(m +
1)x + m =0 . Xác định m để biểu
thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Chương III: Thực nghiệm sư phạm
1. Mục đích thực nghiệm:
- Giúp học sinh hiểu và nắm được định lý Vi_ét, biết ứng dụng hệ thức
Vi_ét để giải các dạng bài toán : nhẩm nghiệm của phương trình bậc
hai một ẩn ; tìm hai số biết tổng và tích của chúng ; tính giá trị của các
biểu thức nghiệm…
- Tìm hiểu ý thức tự học ở học sinh, giúp học sinh thấy được sự cần
thiết phải tham khảo thêm tài liệu, sách tham khảo,…
- Giúp học sinh tự tin hơn khi giải bài toán bậc hai, nhất là trong các kỳ
thi tuyển.
2. Nội dung thực nghiệm:
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 20Lê Thị Hằng Nga
2
2

2 1
2 2 1 0
2
m
B Bm m B
m
+
= ⇔ − + − =
+
( )
2
1 2 1 1 2B B B B∆ = − − = − +
( ) ( )
2 2
1 2 0 2 1 0 2 1 1 0B B B B B B− + ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ + − ≤
1
2 1 0
2
1 0 1
1
1
2
2 1 0 1
2
1 0
1
B
B
B B
B

B
B
B
B


≤ −



+ ≤






− ≥ ≥

 

⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤


+ ≥
 

≥ −






− ≤





≤


max 1 1B m= − ⇔ =
1
min 2
2
B m= − ⇔ = −
( )
2
1 2
A x x= −
2 2
1 2
10x x+ ≥
1 2 1 2
3A x x x x= + −
2 2
1 2 1 2
B x x x x= + −
2 2

1 2
C x x= +
2 2
1 2
D x x= +
Trường ĐHSP Hà Nơi Khoa Tốn - Tin
Tiết dạy thực nghiệm 1:
§6. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. MỤC TIÊU:
 Giúp học sinh nắm vững hệ thức Vi-ét.
 Vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-ét như:
- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a+b+c=0;
a – b + c = 0 hoặc trường hợp tổng và tích hai nghiệm là những số nguyên
với giá trò tuyệt đối không quá lớn.
- Tìm được hai số biết tổng và tích của chúng.
II. CHUẨN BỊ:
• GV: Giáo án, SGK, Bài tập in ở phiếu học tập để phát cho học sinh.
• HS: MTBT, Bài soạn, bảng nhón, bảng con.
III. TIẾN HÀNH:
A. Ổn đònh lớp , kiểm tra sĩ số HS:
B. Kiểm tra bài cũ:
HS1: Giải các phương trình sau:
a/ 2x
2
-5x + 3 = 0
b/ 3x
2
+ 7x + 4 = 0
HS2: Tìm tổng S và tích P hai nghiệm của phương trình: 35x
2

- 37x + 2 = 0
Gi ải:
Suy ra: phương trình có hai nghiệm:
Vậy:

GV: gọi HS nhận xét bài
làm của các bạn.
GV: Bài làm của bạn
đúng rồi nhưng còn có cách khác nhanh hơn, bạn nào biết làm cách nhanh hơn
khơng?
HS: lên làm (hoặc khơng có ai lên)
GV: Cả hai bài làm trên đều có thể nhẩm nghiệm x
1
; x
2
mà khơng cần tính .
Hơn nữa, ta còn có thể tính tổng S và tích P hai nghiệm của phương trình mà
khơng cần tìm nghiệm của phương trình đó. Tất cả các em sẽ biết sau khi ta
học bài này.
GV: Giới thiệu về nhà tốn học Vi_ét, người đã phát hiện ra mối quan hệ giữa
các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai, nay dược phát biểu thành 1
định lý mang tên ơng. Hơm nay ta sẽ học định lý Vi-ét và vận dụng nó vào giải
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 21Lê Thị Hằng Nga
( )
2
37 4.35.2 1089 0∆ = − − = >
1 2
37 1089 37 1089 2
1;
2.35 2.35 35

x x
+ −
= = = =
1 2
1 2
2 37
1 ;
35 35
2 2
. 1.
35 35
S x x
P x x
= + = + =
= = =
Trường ĐHSP Hà Nơi Khoa Tốn - Tin
bài tập.
C. Nội dung bài mới
Hoạt động GV: Hoạt động học sinh Nội dung:
• Hoạt động1: Đi đến hệ thức Vi-ét: (12’)
Cho phương trình:
ax
2
+bx +c = 0 (a0)
Nêu công thức nghiệm
tổng quát khi  > 0.
?1: Yêu cầu học sinh hoạt
động cá nhân theo phân
công 2 học sinh làm bài
tại bảng.

?Vậy nếu phương
trình bậc hai ax
2
+bx +c =
0 (a0) có hai nghiệm
phân biệt, ta có điều gì?
Đònh lý Vi- ét
- Hệ thức trên thể hiện
mối liên hệ giữa các
nghiệm và các hệ số của
phương trình.
?Hãy xét xem nếu phương
trình có nghiệm kép thì
công thức trên còn đúng
không?
? Từ nay nếu gặp u cầu
như BT ở KTBC thì các em
có làm cách đó khơng?
-HS1:


-HS2:



Hs trả lời.
Hs trả lời: nếu phương
trình có nghiệm kép thì
công thức trên vẫn đúng.
1. Hệ thức Vi-ét

Cho phương trình:
ax
2
+bx +c = 0 (a0)
khi >0 ta có:






Định lý:
Nếu x
1
, x
2
là hai
nghiệm của phương trình
ax
2
+bx+c=0 (a0) thì:
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 22Lê Thị Hằng Nga
⇒
≠
≠
c
a
=
( )
2 2

2
4
4
b b ac
a
− −
=
( )
( )
2
2
2
4
b
a
− − ∆
=
( ) ( )
1 2
.
2
b b
x x
a
− + ∆ − − ∆
=
b
a
−
=

2
2
b
a
−
=
1 2
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
+ = +
a2
b
x
a2
b
x
2
1
∆−−
=
∆+−
=






=
−
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
≠
c
a
=
( )
2 2
2
4
4
b b ac
a
− −
=
( )
( )
2
2
2
4

b
a
− − ∆
=
( ) ( )
1 2
.
2
b b
x x
a
− + ∆ − − ∆
=
b
a
−
=
2
2
b
a
−
=
1 2
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
+ = +

≠
Trường ĐHSP Hà Nơi Khoa Tốn - Tin
GV gọi 2 Hs lên làm 2 câu
bài tập
-khơng cần làm cách đó
vì theo Định lý Vi-ét ta
có:
Hs hoạt động cá nhân
trả lời
a/ x
1
+x
2
= 9/2
x
1
.x
2
= 1
b/ x
1
+x
2
= 2
x
1
.x
2
= 1/3
Bài tập:

Cho phương trình:
a/ 2x
2
– 9x +2 = 0
b/ -3x
2
+ 6x -1 = 0
Biết rằng hai phương trình
trên có nghiệm, hãy tính
tổng và tích các nghiệm
của chúng?
• Hoạt động2: Ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của pt bậc hai: (10’)
-Nhờ đònh lý Vi-et nếu đã
biết một nghiệm của
phương trình bậc hai, ta có
thể suy ra nghiệm kia.
-Chia cho HS hoạt động
nhóm theo tổ làm ?2 ; ?3:
(sgk/51)
- nhận xét bài làm của các
tổ và hỏi thêm:
-các em có nhận xét gì sau
hai bài tập trên khơng?
-GV HD HS đi đến tổng
qt
-Hoạt động nhóm thực
hiện - tổ 1 và tổ 3 làm ?
2
- tổ 2 và tổ 4 làm ?3
-treo bảng nhóm cùng

nhau nhận xét
-HS trả lời
?2: a/ a = 2; b =-5; c = 3
b/ Thay x = 1 vào phương
trình:
2.1
2
-5.1+3 = 0
x = 1 là một
nghiệm của phương trình.
c/Theo Viét x
1
.x
2
= c/a;
x
1
= 1 x
2
= c/a = 3/2
?3: Tương tự
• Tổng qt:
* Nếu phương trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (a0)
có a + b + c = 0 thì
phương trình có một
nghiệm x
1

= 1, còn
nghiệm kia x
2
=
* Nếu phương trình:
ax
2
+bx +c = 0 (a0)
có a - b + c = 0 thì
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 23Lê Thị Hằng Nga
1 2
1 2
37
35
1
.
35
b
x x
a
c
x x
a
−

+ = =





= =


⇒
⇒
≠
a
c
≠
a
c
Trường ĐHSP Hà Nơi Khoa Tốn - Tin
-Gọi 2 HS lên bảng làm ?4
và 1 HS lên tìm nghiệm của
pt ở phần KTBC
- GV gọi 4HS lên bảng làm
bài tập 26
-Hs hoạt động cá nhân ?
4
-HS1: làm câu a
-HS2: : làm câu b
-HS3: pt: 35x
2
- 37x + 2
= 0
Ta có a + b + c = 0
x
1
=1; x
2

= 2/35
- 4HS lên bảng làm, còn
lại làm vào vở.
phương trình có một
nghiệm x
1
=-1 còn nghiệm
kia x
2
= -
?4
a/ Ta có: a + b + c =
-5+3+2= 0 x
1
=1; x
2
= -2/5
b/ Ta có: a- b+c=2004-
005+1=0 x
1
= -1; x
2
=
-1/2004
• Hoạt động 3: Ứng dụng hệ thức Vi-ét để tìm hai số biết tổng và tích của
chúng: (12’)
-Giả sử 2 số cần tìm có:
tổng S= x
1
+ x

2
và tích
P=x
1
.x
2
- Tìm hai số x
1
, x
2
như thế
nào?
-Yêu cầu học sinh nghiên
cứu Ví dụ 1 SGK trang 52
- Gọi một số là x, hãy tìm
số kia theo S và x?
- Hãy lập phương trình dựa
vào tích P
-Nếu thì pt có nghiệm, các
nghiệm chính là 2 số cần
tìm.
?5 SGK tr 52:
Ví dụ 2 SGK trang 52
Bài 28a SGK tr 52:
u+v= 32; u.v= 231
-Đọc ví dụ SGK tr 52.
-Một số là x,
số kia là S–x
P= x.(S-x)
Làm ?5 vào phim.

- đĐọc kỹ VD 2 ở SGK.
Hs hoạt động cá nhân
2.Tìm hai số biết tổng và
tích của chúng:


Nếu hai số có tổng bằng
S và tích bằng P thì hai số
đó là 2 nghiệm của
phương trình:
X
2
– SX + P = 0
Điều kiện để có hai số là
S
2
– 4P 0
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 24Lê Thị Hằng Nga
⇒
⇒
⇒
2
4 0S P∆ = − ≥
2
2
.
0
P S x x
x Sx P
⇔ = −

⇔ − + =
≥
Trường ĐHSP Hà Nơi Khoa Tốn - Tin
Tìm u và v bài tập 28 tại bảng +
phim.
D. Củng cố:2 phút
- Nhắc lại hệ thức Viét, công thức nhẩm nghiệm.
- Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
E. Dặn dò về nhà: 2 phút
- Về nhà học thuộc hệ thức Vi ét và xem lại các ứng dụng đã học.
- làm bt 27; 29 ; 32 trang 54 sgk
- Chuẩn bị các bài tập 30,31, 33 trang 54 sgk
GV: Ngồi các ứng dụng đã học, ta còn các ứng dụng:
 Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.
 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này khơng phụ thuộc vào tham số.
 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm.
 Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.
 Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.
GV: về nhà các em nên đọc sách tham khảo để biết cách giải các bài tốn bậc hai
có ứng dụng hệ thức Viét, cơ cụng sẽ chọn một số bài hướng dẫn các em làm ở tiết
học bồi dưỡng, nâng cao kiến thức.
Trịnh Hồi Đức, ngày 13 tháng 9 năm 2010
Chữ ký Ban Giám Hiệu: Người dạy:
Lê Thị Hằng Nga.
Đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm 25Lê Thị Hằng Nga