Chuyên đề hình chóp góc và khoảng cách

N
A
A'
H
O
( )
( ')
CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP
CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP
GÓC – KHOẢNG CÁCH
Quan hệ song song – vuông góc là một mảng vô cùng quan trọng trong chương trình
hình học không gian nói chung và trong những bài toán có liên quan đến hình chóp nói riêng. Và
một trong những ứng dụng quan trọng nhất của quan hệ song song – vuông góc trong việc giải các
bài toán hình học không gian cũng như các bài toán có liên quan đến hình chóp là tìm góc và
khoảng cách.Ta đến với những bài toán sau:
Bài 1:∆∆′′∆∆′′∈∆′∈
∆ !"#∆′$%&&'∆∆′()*+
+′,-+&.γ-∆∠++′-α∠+′′-β/0123αβγ
Gii :
450⊥∆′′⊥∆′∈
⇒′⊂
4′&&%+′&&+,
+′′⊥⇒+′+&&′,
⇒+′+,′067
,-+&+′′⊥′,
.+,-8/
′
9
-′+
9
:+

9
-′,
9
;+,
9
:,
9
;+,
9

-′,
9
:,
9
⇒′⊥,
4<=>?@)γ-∠+,/A !+′+B
+′+
9
-′
9
;,
9
-+′
9
;+
9
:9+′+Cα
+′-β8
,-γ8
+′-

C
x
β
S
A
B
C
F
E
I
+-
C
x
γ
⇒8
9

9
β;
9
γ-8
9
9 9
D D C
9
C C C C
α
β γ β γ
 
+ −

 ÷
 
⇔
9
β;
9
γ-9;
9
β;
9
γE
C
9
C C
α
β γ
⇔Cα-CβC
Bài 2:">3FG+HIJ?H∆GKAIGLCM-
9FGG-9FNOFP⊥FQ⊥G+RB
F⊥PQJ
S
S
  
D
  
SCI EB
SCA AB
+ =
Gii :
4/F

9
-G
9
:FG
9
-SF
9
:FG
9
F
9
-
9
:F
9
-SFG
9
:F
9
⇒F-FG⇒-G
4FP-
SC SA
AC
FQ-
SC SB
AB
⇒FP-FQ
/TU@>=>C@ABPQ&&GF⊥FGVPQ⊥F
4/B
9

9
9
SC
EF CE SC
AC
AB CA AC AC
= = =
+WXBG-
9
F>∆FGU
-
9
9

⇒PQ-
9 9
9
9

9
SC SC
AC AC
=
Y*B
D
9
SA
AC
=
⇒∠F-

Z
π
⇒
Z
C C
9 Z [ 9
CS
AC
π π π
 
= − = =
 ÷
 
F-
9 9
AC SA−
-
ZSA
-
[
9
AB
<BPQ-
9 Z [
  
9 9 9
AB
-
Z
S

AB
⇒
Z
S
EF
AB
=
D
B C
A D
S
M
N
4FK-
D
[
9
[
[
9
AB
SI
SC
AB
= =
F-
Z
Z
Z
SA SA

SC
SA
= =
⇒
S
S
 D
 S
SCI
SCA
=
9
4/TD9C@AB
S
S
   D Z
D
   S S
SCI EB
SCA AB
+ = + =
 
Bài 3:/AG<0*Y?@+,∈G<.
+-8,-@/AV⊥G<?@F/08@IB
F+F,-
S
π
JF+F+,-
9
π

Gii :
+⊥F,⊥F⇒∠+,-F+F,
F-F+∩F,
.IF+F,-
S
π
0B
C+,-
9 9 9
9
9 9 
AM AN MN
AM AN
+ −
=

⇔
9 9 9 9
9     a a x a a y+ − + −
-
9
;:8
9
;
9
;:@
9
:8
9
;@

9

⇔9\
9
;:8
9
]\
9
;:@
9
]-\S
9
:98;@]
9
⇔
S
;
9
\9
9
:98;@;8
9
;@
9
];
9
;8
9
:98
9

;@
9
:9@-9\9
9
:8;@]
9

⇔
S
;9
S
:9
Z
8;@;
S
;
9
8
9
;@
9
;S
9
8@:9
Z
8;@;8
9
@
9
:98@8;@-^

S
:^
Z
8;@
;9
9
8
9
;@
9
;S
9
8@
⇔8
9
@
9
;S
Z
8;@-98@8;@;S
S
JLCMF+⊥F+,
<_,+′⊥F++′∈F+/B

`
`  
   
NM SM
NM SAM
SM SAM SMN

⊥

⇒ ⊥

= ∩

⇒,+′⊥F
+WXBF⊥G<⇒F⊥,+
<B+≡+′
⇒+,⊥F+
D C
A B
S
E
H
I
K
⇒+,⊥+
57@IF+⊥F+,0 LB+
9

;+,
9
-,
9
⇔
9
;:8
9
;8

9
;@
9
-
9
;:@
9
⇔98
9
-98:9@
⇔8
9
-8:@
Bài 4:0 FG<F⊥G<F-
9
G<0*
<G-9<-<-
/aFGGF
J/aFGF<
Gii :
4b G<
;c-&G
⇒c<0∆cGXU
⇒∠G-
9
π
@⊥G
• /TL@d>=>)BFG-
[


• G--
9
F<-
Z
⇒F-9
⇒F
9
;G
9
-FG
9

⇒F⊥G
• <BFG-∠F-
S
π

;N-&FG
K-&F

 
SC CB
CB SAC
AC CB
⊥

⇒ ⊥

⊥


⇒K⊥GK⊥F⇒
K⊥FG
⇒K⊥FG⇒FG⊥KN
N⊥FG
⇒NK⊥FG⇒FG-∠NK
<=?@BK-
N-
99 9 Z

Z
[
a a
a
a
=

  9 Z
Z
[
SI KI SI BC a a
KI a
SB BC SB
a
= ⇒ = = =
⇒K
9
;NK
9
-
9

;
9
Z
a
-
9
S
Z
a
-N
9
⇒∆NK*K
⇒CNK-
Z
9
9 Z
Z
AI a
AK
a
= =
⇒∠NK-
Z
π
4/A F<>_!2#F'F<*P
⇒
  
SC CE
SCB SCD
SC CB

⊥

⇒

⊥

-∠PG
;FPF<-F
9
⇒FP-
9
S
Z
a
a
-
S Z
Z
a
⇒<P-
Z
Z
⇒P
9
-<PFP-
9
S Z Z S

Z Z Z
a a a=

;
9 9 9
e
9 9
[ C
9  Z
Z
BD a
SD SB BD
SB a ESB
SD SB
SD a

=

+ −

= ⇒ = =


=


⇒GP
9
-FP
9
;FG
9
:9FPFGCPFG

-
D[
Z

9
;[
9
:9
9
9 9 S Z 9
  [
Z Z Z
a a a=
⇒CPG-
9 9 9
9 
CE CB EB
CE CB
+ −
-
9 9 9
S 9
9
[
Z Z
Z
9 Z
9  9
Z
a a a

a a
+ −
=
⇒∠PG-AC
[
Z
Bài 5:∆FGf0G<*gA9 !
#+AI<
/0>F+
J !2GHIJ?W0AVF<bXhXAh
#?Ih>36G<Jdd>36
0 0
Gii :
D C
BA
S
O
E
P
Q
P'
Q'
M
iAIG
⇒Fi⊥G
+
FG∩G<-G
⇒Fi⊥G<
⇒Fi⊥GG⊥G
⇒G⊥FG

PAIG
⇒P-+-FP-
e
9
a
+-P-
9
a
⇒+P0J0
⇒+&&P
⇒∠+F-∠PF
⇒C+F-
9 9 9
9 
AE SA SE
AE SA
+ −
-
9
e
e
e
9 
9
a
a a
=
⇒C+F-
9 e
e

<=?@Fi-
Z
9
a
/B5
F+
-
D
Z
FiF
+
-
D
[
Fi<+-
D Z
  
[ 9 9
a a
a
-
Z
Z
9S
a
+WXB
( ) ( )

D
 C   

[
S AMC
V SA MC MC SA d SA MC=
5
F+
-
D
[
F+C+F>F+
⇔
Z
Z
9S
a
-
D e 9 e
     
[ 9 e
a
a d SA MC
⇔>F+-
Z
S
a
J
;/d>360 0
<_%&&<%∈F
⇒%&&G
<=?@%Gd>3#0 FG<
;/A !FG>_%%′&&Fi

⇒%%′⊥G<
<_′⊥G<′∈G<
⇒′%′G-%G&G<
;/Bi<-F<&G<
⇒′∈i<%′∈i
;.F-8j≤8≤F<-
9a
9
SP x
SD
a
=
⇒
`
`
9
SP x OP
PD P D
a x
= =
−
⇒
`
9
OP SP x
OD SD
a
= =
⇒i′-
9

9

S
9
x a
a
a
+
` `
9
OP OQ x
OD OA
a
= =
⇒
9
`
S
x
OQ =
& &
` `& &
` `   &  
PQ AD
P Q AD
P Q ch PQ ABCD

⇒

=


⇒′%′⊥G⇒′%′-
9 9
e 9
^ ^ 9
x x x
− =
⇒F
k%kG
-
D
9
%′G′%′;G-
D
9
9 9
9 S 9
a x x
a
  
+ +
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
-
9
D 9
S 9
x
a

 
+
 ÷
 ÷
 
;
9
SP PQ x
SD AD
a
= =
⇒%-
9
9
x
;
D D
D
` 9
D
9 9
QQ AQ SA AQ SQ x a x
SH SA AQ AQ
a x a
− −
−
   
+ −
 
= = = = + =

 ÷  ÷
 ÷
−
 
   
⇒%%′-
9
 [
S
a x−
<%%′⊥%′G
⇒%G-
( )
9
9
9 9
9 Z
` ` 9
9 S ^
a x
Q B QQ a x
 
+ = + + −
 ÷
 ÷
 
-
9 9
9 9
9 Z Z 9 Z

S S ^ S S ^
a ax x
a ax x+ + + − +
-
9
9
9
9 9
a x
a x− +
⇒F
%G
-
9
9
D 9 9
9 9 9 9
a x x
a x a
 
− + +
 ÷
 ÷
 
⇒CG<-
9 9 9
9
9
D D 9
9

9 9
9 9 9
9 9
x
a
a x
a x a a x x
a x
+
+
=
− +
− +
.l8-
9 9
9
9 9
a x
a a x x
+
− +
∀8∈\m
9
]
bl′8-
( )
9
9 9 9 9
[ Z 9
9 9 9 9

a xa
a ax x a a x x
−
− + − +
nj∀8∈\m
9
]
57@8l8-9l8-D
Bài 6:0 XFGfX@Xf*
α
6JV
X@
ϕ
6JV
/01236
α

ϕ

GiiB
;KAIG
FK G FK G
K G FK FGG
⊥ ⊥
 
⇒ ⇒
 
⊥ ∠ = ∠ = α
 



;<_Go
⊥
F
o F
∈

/>=>C@AB
o F
⊥
F@AB
Go F
Go FGF
⊥


∠ = ∠ = ϕ

;Go
⊥
F
Ko F
GoK FKFG
Go F
9
⇒ ⊥

ϕ
⇒ ∠ = ∠ =


⊥

<Go-oKAIGV
Go
GoK
9
∠
∠ =

;c-
F G

⇒
cU
GV
9
D D Z D Z Z D 
FcK  cK    
9 9 9 9 9 9 Z ^
F
FK
= = α = α = α
∆
;
9 9 9
9 9 9 9
D D GK D   D   S
GoF Fc c   
9 9 C GoK 9 D9 Z D9
9C SC

9 9
F
FG
α +
= = + = α + =
ϕ ϕ
∆
;
FK G K F FK
⊥ ⇒ =
C FGFK C GoK C
9
F F F F
FK FG FG FG
ϕ
⇒ = ∠ = =
∆ ∆ ∆ ∆
9 9 9
   S
 C
^ D9 9
SC
9
α + ϕ
⇒ α =
ϕ
9
9 9
 S
 

Z 9
α + ϕ
⇔ α =
9 9 9 9
9
S
Z   S 
9
Z D
9
ϕ
⇔ α = α + ⇔ α =
ϕ
−
Bài 7B0 "XfX@0G<*
Fc- !2G<# !F<
/ap3IaW1>3)Jq
ϕ
#
ϕ
6
JVX@
GiiB
;+,( )AI<G
F, <
F,+ FGG<
+, <
⊥

⇒ ⇒ ∠ = ∠ = ϕ


⊥

;<_<P
⊥
F
H
A B
D C
S
M
N
E
/B
G< Fc
G< Fc
c G<
⊥

⇒ ⊥

⊥

G< F
G<P F G<P F<  @ G<P 
⇒ ⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ≡
;5-5
FG<
5

D
-5
PG<
5
9
 ($*
bB
D D
FG<
5 5
D P
5 95 9 F
= =
/B

9 9 9 9 9
9 9
D  D 
F F, , ,c  , D C D
9 9C
C F,+ C
= + = + = + = ϕ +
ϕ
ϕ
G<P
⊥
F
GP F
⇒ ⊥
9

9
9
9 9 9
9
9
D D
GPF F,G GPF F,G
FG
9 9
 D

F,G 
9 C
GP
F
 D
D C
D
9 C
 C
P G GP 
D C
D C
F
= = ⇔ =
ϕ
⇒ = = =
+ ϕ
+
ϕ

ϕ
⇒ = − = − =
+ ϕ
+ ϕ
∆
F@AB
9
9
D
9
9
9
D D
D 9
C
D C
5
D C

5 9
D C
D C
9C
5 5
C
5 5 5
ϕ
+ ϕ
ϕ
= =

+ ϕ
+ ϕ
ϕ
⇒ = ϕ =
−
Bài 8B"067G<#G-G-J/AV
!# !G<*AIiG?@IF
CFi-J/AVG?@G+-8AV<?@<,-@
+ G, <
∈ ∈
/012368@JCB
( ) ( )
( ) ( )
D
 Fi+ F+,
J Fi, F+,
⊥
⊥
9AIF+%AIi,/0fW3I
%->F+i,
LB
DLCMB
( ) ( )
Fi+ F+,
⊥
<_,+k
⊥
F++k
∈
F+

/B
( ) ( )
,+ ` F+
,+ ` Fi,
F+ Fi, F+,
⊥


⇒ ⊥

= ∩


,+` Fi
⇒ ⊥
+WXBFi
( )
G< Fi ,+
⊥ ⇒ ⊥
<B+
≡
+k
( )
+, Fi+ +, i+
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
57@I
( ) ( )
Fi, F+,
⊥
0 L

9 9 9
OM MN ON+ =
D
/G+-8
⇒
+-J:8
<,-@
⇒
<,-:@
( ) ( )
9 9 9
9 9 9
9 9
9
9
9 9
9 9 9 9 9 9 9
9
 
S
9 9 S 9  9
S S
BN b a y
AN b y
MN b x a y
a
OM x
BN N AB b a y y a
ON
⇒ = + −

= +
= − + −
= +
+ − + − + −
⇒ = =
57@rDB
( ) ( )
9 9 9 9 9
9 9
9
9 9
S 9  9
S S
9 9
b a y y a a
x b x a y
bx ay x a
+ − + −
= + + − + −
⇔ + = +
57@fW3IFi+F+,B
9 9
9 9bx ay x a+ = +
J7 7AVfW3IFi,
⊥
F+,i,
⊥
+,
NB
9 9 9

9@ 9J  9J8 Z@
+ + = +
9%->F+i,
% F+
% i,
⊥

⇔

⊥

D
/B

( )
( )
9
9 9 9
9
9
9
9 9 9
9 9 9 9 9
9
9 9 9 9 9 9
9
9 9 9
9 9
SJ 9  @ 9@ 
i,

i%
S D[
SJ 9  @ 9@ 
F% i% Fi  J
D[

F+ Fi i+  J 8
S

 J 8
S
i F
S
+ − + −
= =
+ − + −
= + = +
= + = + +
+ +
⇒ = =
/TDB
( ) ( )
9 9 9 9 9
9 9 9 9 9
9 9
9 9 9 9 9 9
9 9 9 9
9 9
9 9 9 9 9
% F% F i i%

F% i% F i 9i
SJ 9  @ 9@  SJ 9  @ 9@ 
S J  S8
 J
D[ D[ ^
9 J 9J 9@ 8 9@
= − = −
⇒ + = + =
+ − + − + − + −
+ +
⇒ + + =
⇔ + + = +
57@fW3I%WLX6i,F+B
9 9 9 9 9
9 J 9J 9@ 8 9@+ + = +
GsB0 FG<#X@G<0*F-
 [
9

 !2#F'X*FFGF<()*kGk<k
/a6k<k<
LB
;
P `<` < `P F= ∩ ⇒ ⊥
<_<N
⊥
F
( )
N F∈


<N & &`P
`<`< `P< <N < <N
⇒
⇒ ∠ = ∠ = ∠ = ∠

F <
< F< < F<
< <
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


+
`P F
⊥
VC@AB
F<V
t>*#
P`V
`P `
F< <
⇒ =
D
k
⊥
F
9 9 9

9 9
9 9
  9 9 DS
` 
F u
Z
F 
 9
9
⇒ = = = =
+
+
/TDBkP-
9 9
9 9
9 DS Z
  
F<` ` F < 9 Ze
u 9

< <  u
+
+
= = =

9 9 9 9
^ 9j
P ` `P   9
u u
< D <N N

> <N & &P`
P 9 P` `
Ze
<N 
u
DS
N 
u
⇒ = + = + =
⇒ = = =

=


⇒


=


CF-
  9 9 u
F u
DS

9
= =

9 9 9
9 9

9
N N  9NCF
9 DS 9 u
 9 9 9 
u u u
^

u
9 DS
N 
u
⇒ = + −
= + −
=
⇒ =
;C<N
9 9 9
9 9 9
e ^
  
< <N N 9 Ze
u u
9<<N Ze
Ze
9 
u
+ −
+ −
= = =
9 Ze

<N AC
Ze
⇒ ∠ =
Bài 10:0 FG<#G<0*

G< [j∠ =
iIG<JdFi
⊥
G<
Fi-
Z

S

bXhaWLX6FG<
J/a6FGF<
LB
%i>_!>
⊥
<'<G()*Ko
;<_Kc
⊥
Fo
c Fo
∈


Fi G<
G FKo
Ko G

⊥

⇒ ⊥

⊥


Kc G⇒ ⊥

Kc FG Kc FG⇒ ⊥ ⇒ ⊥
<&&G
Kc <
⇒ ⊥
57@Kc-><FG
<=?@iK-io-
Z

S
<_Q0diAVFo>=>C@A)BiQ-
Z

^
F@ABKc-9iQ-
Z

S
J%F>_!>&&<&&G>-
( ) ( )
F< FG∩


( )
FK < FK >
FKo < > > & &< & &G
Fo < Fo >
KFo F<FG
⊥ ⊥
 
⊥ ⇒ ⇒
 
⊥ ⊥
 
⇒ ∠ = ∠

/>=>)B
Ko-9iK-
Z

9


9 9 9 9
s Z Z
FK Fo Fi iK   
D[ D[ 9
= = + = + =

FKo⇒V
f

KFo [j⇒ ∠ =

57@6F<FG

KFo [j∠ =
,78BvJX@IaH>WLX6*<FG
$ICB
;

G< [j∠ = ⇒

G<V
f*

9
Z
F 
S
G<
⇒ =
∆
Fi
G<⊥
F@AB5
FG<
-
9 Z
G<
D D Z Z Z
FiF   
Z Z S S D[
= =

V
D
;+WXB
5
FG<
-
D
FG<><FGC <FG
[
∠
/AB
FG-
9 9 9 9
s D DZ
iG Fi   
D[ S S
+ = + =
F-
9 9 9 9
s Z 9D
i Fi   
D[ S S
+ = + =
<&&G
⇒

<FG GFG FG∠ = ∠ = ∠

9 9 9
9 9 9

DZ 9D
  
FG G F DZ
D[ D[
CFG
9FGG DZ
DZ
9 
S
9 Zs
CFG
DZ
+ −
+ −
= = =
⇒ =
F@AB5
FG<
-
9
Z
 >FG<
D9
9
;/TD9C@A)B><FG-
Z

S
GXWWp8@26 *Wd"wJLp$x
"H'6Wd"yC_*A3JdzJI"

Bài 11:0 FGX@X*G-G-9
<_Fc#G*cC
 [
c  Fc 
Z Z
= =
Ko()AI
GF
 β
 !2Go
# !FcK
/a6
 β
G
LB
;<=?@-
Z


G [j∠ =
NAIc
F@ABN

D Z N Z
   GN GN Zj
Z Z G Z
= = ⇒ = = ⇒ ∠ =
D
;,AIFK{ >|h}+rrCXKF
JIG,+B


GK + ,F D +F
  D   D D
9
G +F ,K +
+F
9
+
= ⇒ − =
⇒ = −
/I+o{ >|ha+rrCXFJI/+
oB
/ + oF +F
  D  9  D D
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BÀI TẬP TỰ LUYỆN
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
NHỮNG BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN TRONG HÌNH
CHÓP
Bài 1:0 FG<X@0J0+AIF !
2+CC#G<PQ()I#X*FGF</0pC1
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D
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D
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9 9
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Bài 4:0 "XfFG<*X@<_
 
α
2#F'FGFF<()*Gkk<k
  LLfW30IkHIH*FƒN
J •@aIa0 FGkk<k
 8L@AA) XGkk<kXfƒ
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