De thi cao hoc toan DHSP Hue

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:………………………………
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:………………………………

KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2)
Môn thi: GIẢI TÍCH
(Dành cho cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1.
a. Cho dãy số thực





. Chứng minh rằng nếu chuỗi








hội tụ tại 

thì nó sẽ hội tụ tại mọi 

.
b. Cho chuỗi hàm



















 Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm



.
 Tính tổng của chuỗi hàm



.
Câu 2.
Cho




là một không gian mêtric. Trên  ta định nghĩa















a. Chứng minh rằng 

là một mêtric trên .
b. Chứng minh rằng



là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi





cũng là một không gian mêtric đầy đủ.
Câu 3.
Cho  là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường cơ sở và

là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện: với mỗi dãy





 hội tụ về
 thì dãy 






bị chặn. Chứng minh rằng  là ánh xạ tuyến tính liên tục.
Câu 4.
Xét không gian Hilbert phức 

gồm tất cả các dãy số phức 





sao cho
 







 với tích vô hướng














.
Giả sử





là một dãy số phức bị chặn. Cho 




xác định bởi

















a. Chứng minh rằng  là toán tử tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của .
b. Chứng minh rằng nếu





là dãy số thực thì  là một toán tử tự liên hiệp.

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 2 NĂM 2009
Câu 1. (4đ)
a. Ta có




















Nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Abel tại mọi 


a. Ta có 










 nên ta chỉ cần xét chuỗi trong



. Với bất kỳ


 

ta có






























.
Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi  và hội tụ đều trên các khoảng




















.
Do 




 khi  nên chuỗi không hội tụ đều trên khoảng




b. Chú ý












Do đó
































Vậy




























Câu 2. (2đ)
a. (1đ) Kiểm tra 2 tiên đề đầu tiên về mêtric (0,5đ)
Tiên đề còn lại chứng minh dựa vào hàm








đơn điệu tăng trên






. (0,5đ)
b. (1đ)




cơ bản trong









cơ bản trong




(0,5đ)




cơ bản trong








cơ bản trong




(0,5đ)

Câu 3. (2đ) Giả sử  không bị chặn trên mặt cầu đơn vị 






khi đó tồn tại
trên  dãy




mà







. Khi đó dãy 






hội tụ về 0 nhưng






















Trái giả thiết.
Câu 4. (2đ)
a. Kiểm tra tính tuyến tính của  . (0,5đ)









ta có




























Vì dãy





bị chặn nên 





. Do đó




















Vậy  liên tục và




Xét dãy 





 ta có





















nên








. Suy ra










b. (1đ) 








ta có
























Vì 

là số tực nên tổng của chuỗi này là một số thực. Vậy toán tử  là tự liên hợp.