Giải phương trình vi phân

Tích phân trực tiếp phương trình vi phân dao động
của kết cấu theo mô hình đàn hồi – dẻo lý tưởng
Nguyễn Tiến Chương
1
,

Nguyễn Hải Quang
2
,
1
Trường đại học Kiển Trúc Hà Nội
2
Trường Cao đẳng Xây dựng Công trình Đô thị
Abstract
This paper presents a new modification of the Newmark method for numerical
evaluation of elasto-plastic stiffness dynamic equations of structure.
1. Mở đầu
Tính toán dao động kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến hệ
phương trình vi phân thường:
t
pkuucum =++

(1)
Trong đó:
u
là véc tơ chuyển vị nút;
k
là ma trận độ cứng;
m
là ma trận khối
lượng quy đổi;

c
là ma trận cản quy đổi;
t
p
là véc tơ tải trọng nút quy đổi.
Trường hợp kết cấu làm việc trong trạng thái đàn hồi – dẻo, các ma trận
m
,
c
,
k
và véc tơ tải trọng nút
t
p
trong (1) là các đại lượng phụ thuộc vào chuyển vị
u
. Hệ
phương trình (1) trong trường này là hệ phương trình vi phân phi tuyến.
Giải hệ phương trình phi tuyến (1) theo phương pháp giải tích gặp khó khăn.
Với khả năng ngày càng mạnh của máy tính điện tử, người ta đã chuyển sang hướng
tính tích phân trực tiếp hệ phương trình vi phân. Các phương pháp gần đúng tính tích
phân trực tiếp loại bài toán này hiện đang được sử dụng nhiều có thể kể đến : phương
pháp sai phân trung tâm, phương pháp Houbolt, phương pháp Newmark, phương pháp
Wilson. Mỗi phương pháp trong số này đều có các mặt mạnh yếu riêng và đã được
nhiều tác giả phân tích [1,2,3].
Trong [1] đã đưa ra thuật toán tính tích phân hệ phương trình (1) bằng cách kết
hợp phương pháp Newmark với phương pháp Newton-Raphson. Cách làm này về sau
đã được nhiều tác giả vận dụng để tính toán các bài toán động lực kết cấu có hiệu quả.
Nét đặc biệt của cách làm này là trong mỗi bước tính tích phân theo thời gian lại phải
giải một hệ phương trình đại số phi tuyến.

Áp dụng các phương pháp này cho phương trình dao động phi tuyến theo mô
hình đàn hồi – dẻo lý tưởng gặp khó khăn khi phải xác định thời điểm hệ thay đổi
trạng thái làm việc từ đàn hồi sang trạng thái chảy dẻo và ngược lại.
Trong bài báo này sẽ đưa ra cách áp dụng phương pháp Newmark để tính tích
phân trực tiếp hệ phương trình vi phân dao động của kết cấu theo mô hình đàn hồi –
dẻo lý tưởng có xét đến sự thay đổi độ cứng của hệ ứng với quá trình tăng tải và giảm
tải theo lý thuyết dẻo.
1
2. Phương pháp tính toán
Để đơn giản ta giả thiết trong khoảng thời gian từ
i
t
đến
1+i
t
các đại lượng
m
,
c
,
k
của hệ không thay đổi, còn véc tơ p thay đổi theo quy luật cho trước và không
phụ thuộc vào u. Giả thiết này thực chất ta sự tuyến tính hóa bài toán trong khoảng
thời gian từ
i
t
đến
1+i
t
. Với giả thiết này, ta có thể áp dụng phương pháp Newmark

cho bài toán tuyến tính.
Giả sử tại thời điểm
i
t
ta có
iii
uuuuuu

=== ,,
, theo phương pháp Newmark,
ta có thể xác định các đại lượng
111
,,
+++
===
iii
uuuuuu

tại thời điểm
1+i
t
như sau:
iii
uuu ∆+=
+1
(2)
iii
uuu

∆+=

+1
(3)
iii
uuu

∆+=
+1
(4)
Các số gia của chuyển vị, vận tốc và gia tốc được xác định như sau
ii
pku
ˆ
ˆ
1
∆=∆
−
(5)
iiii
utuu
t
u










−∆+−∆
∆
=∆
β
γ
β
γ
β
γ
2
1
(6)
( )
iiii
uu
t
u
t
u

ββ
β
2
111
2
−
∆
−∆
∆
=∆

(7)
Trong đó:
ii
ttt −=∆
+1
;
2
1
=
γ
;
β
được lấy trong khoảng
4
1
6
1
≤≤
β
(trường hợp gia tốc không đổi lấy
4
1
=
β
;
trường hợp gia tốc thay đổi tuyến tính lấy
6
1
=
β

);
( )
m
t
c
t
kk
2
1
ˆ
∆
+
∆
+=
β
β
γ
(8)
iiii
uctmucm
t
pp
















−∆++








+
∆
+∆=∆ 1
22
11
ˆ
β
γ
ββ
γ
β
(9)
Trong [1,2,3] cũng chỉ ra rằng phương pháp Newmark ổn định khi số gia thời
gian nằm trong giới hạn:

2
n
Tt
βγπ
2
1
2
1
−
≤∆
(10)
n
T
là chu kỳ dao động riêng của kết cấu.
Phương pháp tính toán trên đây được xây dựng trên cơ sở tuyến tính hóa bài
toán từ thời điểm
i
t
đến thời điểm
1+i
t
. Vấn đề được đặt ra là phải kiểm tra kết quả
tính toán có phù hợp với sự làm việc của kết cấu hay không. Trong phần dưới đây ta sẽ
xem xét phương pháp kiểm tra cho trường hợp mô hình đàn hồi – dẻo lý tưởng.
Trường hợp bài toán được mô hình hóa theo quy luật đàn hồi – dẻo lý tưởng,
đường cong đặc trưng cho quy luật làm việc của kết cấu có thể dẫn đến mối quan hệ lực
- chuyển vị như được thể hiện trên hình 1. Kết quả tính toán phải thỏa mãn quy luật
làm việc này, nghĩa là sau mỗi bước tính toán cần kiểm tra sự làm việc của kết cấu có
tuân theo quy luật như trên hình 1 hay không.
Việc kiểm tra được tiến hành đối với các vị trí trên kết cấu. Bắt đầu từ thời

điểm
i
t
tính đến thời điểm
1+i
t
.Có thể xẩy ra các trường hợp: 1) Trường hợp thứ nhất
tương ứng với các điểm được kí hiệu (1) như trên hình 1; 2) Trường hợp thứ hai tương
ứng với các điểm được kí hiệu (2) như trên hình 1.Căn cứ vào các trường hợp này ta
tiến hành tính toán như sau:
1) Trường hợp (1).
Trường hợp (1) xẩy ra khi tại thời điểm
i
t
thỏa mãn điều kiện
00
fff
i
<<−
. Quá
trình tính toán được thực hiện như trên đây. Bắt đầu với bước thời gian
0
tt
i
∆=∆
(
0
t∆
là
bước thời gian được lựa chọn ban đầu) và nhận đươc trạng thái ứng với

1+i
f
và
1+i
u
.
Nếu
010
fff
i
≤≤−
+
thì kết quả tính toán được chấp nhận. Nếu
01
ff
i
>
+
hoặc
01
ff
i
−<
+
thì giảm bước thời gian (ví dụ chia đôi bước thời gian) để sao cho
010
fff
i
≤≤−
+

. Nếu sau khi giảm bước thời gian vẫn không nhận được
3
f
s
u
f
A
B
C
D
10 10
10
0
A
B
C D
10
10
10
11
1
1 0
-f
0
H×nh 1: M« h×nh øng sö ®µn håi-dÎo
E
E
1
010
fff

i
≤≤−
+
thì tiếp tục quá trình giảm bước thời gian cho đến khi nào nhận được
010
fff
i
≤≤−
+
.
Nếu thỏa mãn điều kiện
f
i
f
ff
ε
≤
−
0
0
hoặc
f
i
f
ff
ε
≤
+
0
0

(
f
ε
≤
là đại lượng được
chọn trước). thì thời điểm
i
t
được xem là thời điểm rẽ nhánh. Kể từ lúc đó kết cấu làm
việc ứng với
0
ff
i
=
hoặc
0
ff
i
−=
như trên hình 1.
2) Trường hợp (2)
Nếu tại thời điểm
i
t
thỏa mãn điều kiện
0
ff
i
=
hoặc

0
ff
i
−=
tức là tương ứng với
trạng thái chảy dẻo. Độ cứng của kết cấu lúc này cần được xác định có tính đến biến
dạng dẻo tại vị trí xem xét. Thực hiện quá trình tính toán như trên đây để nhận được
trạng thái làm việc tại thời điểm
1+i
t
. Có thể xẩy ra một trong hai trường hợp:
0≥∆
ii
fu
hoặc
0<∆
ii
fu
.
Trường hợp
0≥∆
ii
fu
, kết quả tính được xem là phù hợp với quy luật và được chấp
nhận.
Trường hợp
0<∆
ii
fu
, kết quả tính không phù hợp với quy luật và phải được tính

lại. Thời điểm
i
t
được xem là thời điểm giảm tải theo quy luật như trên hình 1. Trong
trường hợp này việc tính toán cho bước thời gian
i
t∆
được thực hiện như đối với
trường hợp (1) trên đây.
3. Ví dụ
Cho hệ có phương trình dao động
tttt
pkuucum =++


Trong đó:
2533,0=m
( )
cmskN /.
2
,
1592,0=c
( )
cmskN /.
,
1=
n
T
( )
s

,
( )
6,0/14,3sin10 tp
t
=
( )
kN

được xác định như hình 2;
Quy luật làm việc của hệ được kiểm soát bằng quan hệ lực – chuyển vị như được thể
hiện trên hình 3;
0
0
=u
,
0
0
=u

.
4
t (s)
p = 10sin(3,14 t /0,6)
t
0,6
10
p (kN)
t
Hình 2: Đồ thị tải trọng
f (kNcm)

s
u (cm)
7,5
0
-7,5
A
B
C
D
E
10 10
10
Hình 3 : Quan hệ f – u
Yêu cầu:
Tính toán dao động của hệ.
Tính toán:
Độ cứng
k
được xác định bằng độ dốc của đường quan hệ lực – chuyển vị như
trên hình 3. Áp dụng cách tính toán trên đây với
001,0==
tf
εε
và
st 1,0
0
=∆
, đã nhận
được kết quả như được thể hiện trên hình 4.
a) Quan hệ

s
f
-
t
b) Quan hệ
u
-
t
c) Quan hệ
s
f
-
u
HÌnh 4: Kết quả tính toán ví dụ
4. Kết luận
Khác với việc áp dụng phương pháp Newmark cho hệ đàn hồi phi tuyến, với hệ
phi tuyến đàn hồi – dẻo cần xét đến độ cứng khác nhau của hệ khi tăng tải và giảm tải.
5
Cách làm như trên đây đã giải quyết cho trường hợp bài toán được mô hình hóa
theo quy luật đàn hồi – dẻo lý tưởng. Có thể mở rộng cho bài toán với các mô hình đàn
hồi – dẻo phức tạp hơn.
5. Tài liệu tham khảo
[1] Chopra A.K. : Dynamics of Structures Theory and Applications to Earthquake
Engineering. Prentice Hall Englewood Cliffs,, New Jersey, 1995.
[2] Bathe K.: Finite Element Procedures. Prentice Hall, New Jersey, 1999.
[3] Wilson E.L. : Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures.
Computers and Structures, Inc. Berkeley, California, 2002.
6