BỒI DƯỠNG THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN máy TÍNH điện tử

TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
DẠNG 1.TÍNH GÍA TRỊ BIỂU THỨC.
1. Kiến thức cần nhớ
- Hằng đẳng thức đáng nhớ
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Tính kết quả đúng của tích sau: M = 2222255555 . 22222666666
Hướng dẫn:
Đặt: A = 22222, B = 55555, C = 66666
Ta có:
( ) ( )
5 5 2 10 5 5
.10 .10 .10 .10 .10M A B A C A AC AB BC= + + = + + +
Tính trên máy:
2
493817284; 1481451852; 1234543210; 3703629630A AC AB BC= = = =
Tính trên giấy:
A
2
.10
10
4 9 3 8 1 7 2 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AB.10
5
1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0
AC.10
5
1 4 8 1 4 5 1 8 5 2 0 0 0 0 0
BC 3 7 0 3 6 2 9 6 3 0
M 4 9 3 8 4 4 4 4 4 3 2 0 9 8 2 9 6 3 0
Kết quả: M = 493844444320829630
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1.1 Tính chính xác số sau: 1023456
3
1.2 Tính kết quả đúng các tích sau:
a) M = 20032003 . 20042004; N = 3344355664 . 3333377777
b) P = 123456
3
;Q = 13032006 . 13032007
1.3 Tính kết quả đúng của phép tính sau:
3 3 3 3 3 3 3 3
2001 2002 2004 2005 2006 2007 2008 2009E = + + + + + + +
Ví dụ 2. Tính tổng sau:
1.1! 2.2! 3.3! 4.4! 16.16!S
= + + + + +
Hướng dẫn:
Vì :
( ) ( )
. ! 1 1 . ! 1 ! !n n n n n n= + − = + −
Suy ra:
1.1! 2.2! 3.3! 4.4! 16.16!S
= + + + + +
=
( ) ( ) ( )
2! 1! 3! 2! 17! 16!− + − + + −
( )
17! 1! 13!.14.15.16.17 1 6227020800.57120 1S = − = − = −
355687428095999S =
Bài tập tự luyện:
1.3 Tính
23!
12!.17!

N =
Ví dụ 3. Tính GTBT sau:
( )
( )
( )
2 3 2 2
2 2 4
3 5 4 2 4 2 6
5 7 8
x y z x y z y z
M
x x y z
− + + − + + −
=
+ − + +
, với
9 7
; ; 4
4 2
x y z= = =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1.6 Tính giá trị biểu thức sau:
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 1
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
2 2 2
2
2 3 2 3
3
2 3 2 3
2 2 2 1 1 1

2 1
1 201120112011
7 7 7 3 3 3
: :
1 1 1 2 2 2
2 201220122012
1 2
7 7 7 3 3 3
M
 
− + − + + +
 ÷
=
 ÷
 ÷
− + − + + −
 ÷
 
1.7 Tính giá trị biểu thức sau:
3 3
5 2 3 3 2
3 4 5
2 3
a a b b a b
G
a a b a b
+ + +
=
+ +
, biết

2 3 2,211
5 7 1,946
a b
a b
+ =


− =

1.8 Tính giá trị biểu thức
1 1 2
:
1 1 1
x x x x
H x
x x x x x
   
− + +
= + −
 ÷  ÷
− − + +
   
, với
169,78x =
B à i 1.9 : Tính:
a) sin2
0
.sin18
0
.sin22

0
.sin38
0
.sin42
0
.sin58
0
.sin62
0
.sin78
0
.sin82
0
b) tag5
0
+ tag10
0
+ tag15
0
+ … + tag80
0
+ tag85
0
Hướng dẫn:
a) Nhập toàn bộ phép tính
b) Lập quy trình truy hồi
X = X + 5 : A = A + Tag (5 + X)
Nhấn CALC
Nhập X = 0, A = Tag 5
0

Bấm liên tục đến khi X + 5 = 80
0
, ta sẽ được kết quả 34, 55620184
Bài 2.0: Cho sin x = 0,356 (0 < x < 90
0
)
Tính A = (5cos
3
x – 2sin
3
x + cos x) : (2cos x – sin
3
x + sin
2
x)
Hướng dẫn:
Tìm x sau đó tính giá trị biểu thức với x tìm được, có hai cách tìm x
+) Dùng SHIFT, CALC
+) Dùng SHIFT, SIN
Bài 2.1: Cho cos
2
x = 0,26 (0 < x < 90
0
)
Tính B =
x2gcot4x2tg5
xtg3x2sin5xsin2
2
22
+

++
Hướng dẫn:
cos
2
x = 0,26 => cosx =
0,26
(vì 0 < x < 90
0
). Từ đó tìm x và giải tương tự bài tập 24
Bài 2.2: Cho biết sin x = 0,482 (0 < x < 90
0
)
Tính C =
xtg)xsinx(cos
xtg)xcos1.(xsin
333
233
+
++
- Giải tương tự bài tập 24
Bài 2.3: Cho biết sin
2
x

= 0,5842 (0 < x <90
0
)
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 2
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
Tính D =

xcos1)xgcot1)(xtg1(
)xsin1(xcos)xcos1(xsin
322
33
+++
+++
- Giải tương tự bài tập 25
Bài 2.4: Cho biết tgx = tg33
0
tg34
0
tg35
0
… tg55
0
tg56
0
(0 < x < 90
0
)
Tính E =
xcosxsin)xcosxsin1(
)xsin1(xgcot)xcos1(xtg
33
3232
+++
+++
Hướng dẫn:
Lập quy trình truy hồi
X = X + 1 : A = A . tg (33 + X)

Nhấn CALC
Nhập X = 0 và A = tg 33
0
Bấm liên tục “=” đến khi X + 1 = 23 ta được tgx = 0,6494075932
Nhập tiếp SHIFT, tg(ans), = ta được giá trị của x = 33
0
Từ đó ta nhập biểu thức và tính được kết quả 1,657680306
Bài 2.5: Cho cos x.sin (90
0
– x) = 0,4585. (0 < x < 90
0
)
Tính F =
xgcotxtg
xsinxsinxsinxsin
22
234
+
+++
Hướng dẫn:
Thay sin (90
0
- x) = cosx => cos
2
x =0,4585 => cosx =
0,4585
Từ đó tìm được x và tính được giá trị biểu thức
3 . Tính C =
3
2 0 3 0 2 0 3 0

0 2 0
2
sin 37 40'.cos 41 3 20 . 0 49' 0
3
sin 42 : cot 40
tg tg a
g
 
−
 ÷
 

4.a) B =
3 0 2 0 3
2 0 4 0
cot 35 15'. 20 15'.15,06
3
sin 54 36' os 40 22'
2
g tg
c
 
+
 ÷
 
b) D=
'02'033
'02'02
2035cos.4515cot.06,3
3023sin.2520.35,12

g
tg
c)B =
3sin15 25` 4cos12 12`.sin 42 20` cos36 15`
2cos15 25` 3cos65 13`.sin15 12` cos31 33`.sin18 20`
° + ° ° + °
° + ° ° + ° °
d)C =
3 2 2 3 2 3
3 2 2 3 2 3
(1 sin 17 34`) (1 25 30`) (1 cos 50 13`)
(1 cos 35 25`) (1 cot 25 30`) (1 sin 50 13`)
tg
g
+ ° + ° − °
+ ° + ° − °
e)
3 0 5 0 2 0 4 0
3
4 0 6 0
cos 37 43'.cot 19 30' 15 sin 57 42'. 69 13'
5
cos 19 36':3 5 cot 52 09'
6
g tg
B
g
−
=
DẠNG 2. TÌM THƯƠNG VÀ DƯ KHI CHIA HAI SỐ TỰ NHIÊN

GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 3
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
1. Kiến thức cần nhớ :
1) Số A không quá lớn:
Số dư r= a-b.
a
b
 
 
 
;
a
b
 
 
 
là phần nguyên A chia cho B( thương)
*Quy trình bấm phím :
a
→
A
b
→
B, Lấy phần nguyên của a chia cho b
Rồi thực hiện: r= a- b.q
2) Số bị chia quá lớn
- Tách a thành nhiều nhóm ( không quá 10 số), tìm dư phần đầu khi chia cho b
- Viết phần còn lại vào sau số dư vừa tìm , rồi thực hiện phép chia
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm thương và dư của phép chia 987654321 cho 12345

Hướng dẫn: Bấm phím
987654321 12345 80004,40024÷ =
, đưa con trỏ lên
màn hình biểu thức và sửa dấu
÷
thành
−
và nhập tiếp
80004×
như sau:
987654321 12345 80004− × = →
dư là : 4941
Ví dụ 2; Tìm số dư của phép chia cho .
Lời giải:
Ta tìm số dư của phép chia cho . Kết quả là .
Tiếp tục tìm số dư của phép chia cho . Kết quả là .
Vậy số dư của phép chia cho là .
Ví dụ 3: Tìm dư của phép chia:
6
12
cho 19
Hướng dẫn : Ta có
2
12 144 11= ≡
( mod 19) ;
( )
3
6 2 3
12 12 11 1= ≡ ≡
(mod 19

Vậy dư của phép chia
6
12
cho 19 là
1r =
*Kiến thức bổ trợ về đồng dư:
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a
đồng dư với b theo modun c ký hiệu
(mod )a b c≡
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c ,m,n thuộc Z+

(mod )a a m≡

(mod ) (mod )a b m b a m≡ ⇔ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m b c m a c m≡ ≡ ⇒ ≡

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m a c b d m≡ ≡ ⇒ ± ≡ ±

(mod ); (mod ) (mod )a b m c d m ac bd m≡ ≡ ⇒⇒ ≡

a b(mod p) k.a k.b(mod p)
≡ ⇒ ≡
Phương pháp
a) Thủ công : Dùng tính chất đồng dư số học , nâng lũy thừa 2 vế lớn dần
b) Dùng định lí Ơle, và Fecma
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 4
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
* Ơle:
Nếu (a,m)=1 thì

(m)
a 1(modm)
ϕ
≡
, trong đó
1 2 k
1 1 1
(m) m(1 )(1 ) (1 )
p p p
ϕ = − − −
* Fecma: p là số nguyên tố , a là số nguyên tùy ý ta có :
p
a a(modp)≡
, đặt biệt : (a,p)=1 thì:
p 1
a 1(mod p)
−
≡
.Nếu (a,m)=r>1, ta không thể áp dụng định lí Ơle một cách trực tiếp.
Ta làm như sau:
G/s : a=r.q, m=r.t ,ta biến đổi như sau:
(m)
a ?(mod m)
ϕ
≡
:
⇔
1
a r .q ?(mod r.t) r.r .q ?(mod r.t)
α α α α− α

= ≡ ⇔ ≡
Tìm dư
1 2
x ,x
trong đồng dư thức:
1
1
2
q x (mod t)
r x (mod t)
α
α−

≡

≡

( Ơle)
1 1
1 2 1 2
r .q x .x (mod t) r.r .q r.x .x (mod r.t)
α− α α− α
⇒ ≡ ⇒ ≡
Vậy :
1 2
a r.x .x (mod m)
α
≡
c) Dùng dấu hiệu tuần hoàn của số dư của lũy thừa
3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1. Tìm dư trong các phép chia sau.
a) Tìm số dư của phép chia cho .
b) Tìm số dư của phép chia cho .
c) 903566896235 cho 37869.
d) 1234567890987654321 : 123456
e)
109 67
2011 2012 6739543+ +
cho 57
Bài 2. Tìm dư trong các phép chia sau.
1)
5555 2222
2222 5555 2007
+ +
cho 7
2)
2008 2009
18 8
+
cho 49
3)
376
2004
cho 1975
4) 3
8
+3
6
+3
2004

cho 91
5) c)2009201020112012 cho 2010
6) 1234567890987654321 cho 2010
7) 98765432112345 cho 2010
8) 9123456217 cho 123456
9) 987896854 cho 698521
DẠNG 3. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 5
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
1. Kiến thức bổ trợ
a) ƯCLN
*) Cách 1:
a
A
B b
=
(phân số tối giản)=> ƯCLN (A ; B) = A : a
*) Cách 2: Thuật toán Ơ – clít
A = |B – A| : B = |A – B|
CALC
Nhập A = … và B = …
Nhấn “=” liên tục đến kết quả cuối cùng là ƯCLN (A ; B)
*) Cách 3: Dùng chức năng của máy và thuật toán Ơ – clít
- Trước hết biết cách tìm số dư của phép chia A cho B
Số dư của phép chia A cho B là
A
A B.
B
 
−

 
 
, trong đó
A
B
 
 
 
là phần nguyên của A chia
cho B
- Để tìm ƯCLN (a , b) ta dựa vào chức năng của máy và thuật toán Ơ-clít như sau:
Gán a vào A ; b vào B (a > b) Bấm:
Alpha A : Alpha B = Shift a/bc (nếu máy không chuyển được về phân số).
Ta tìm số dư của phép chia trên rồi gán vào C Bấm:
Alpha B : Alpha C = Shift a/bc .Nếu máy không chuyển được kết quả về phân số ta tiếp tục
như trên cho đến khi chuyển được về phân số ta lấy số bị chia chia cho tử của phân số trên
màn hình được kết quả chính là ƯCLN (a,b)
Lưu ý : ƯCLN (a ; b ; c) = ƯCLN [ƯCLN(a ; b) ; c]
b) BCNN
BCNN(a ; b) =
a.b
CLN(a; b)
; BCNN (a ; b ; c) = BCNN [BCNN (a ; b) ; c]
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm a) ƯCLN(90756918 ; 14676975)
Hướng dẫn:
- Dùng máy casio fx – 570 MS như sau:
Bấm: 90756918 Shift Sto A, 14676975 Shift Sto B
Alpha A : Alpha B = Shift a/bc (6,183625577)
A – B.6, =, (được 2695068) Shift Sto C, Alph B : Alpha C = Shift a/bc

(được 37925 /6964)
Lấy Alpha B : 37925 = 387 . Vậy: ƯCLN(90756918 ; 14676975) = 387
- Dùng máy casio fx – 570 ES tương tự như vậy, nhưng làm thêm một lần nữa
mới cho kết quả (bấm phím nhiều hơn)
b) Tìm BCNN (99110 ; 13965)
- Trước hết tìm ƯCLN (99110 ; 13965) = 5
=> BCNN (99110 ; 13965) =
99110.13965
276814230
5
=
Ví dụ 2: Tìm và của và .
Lời giải:
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 6
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
Ta có:
Ta không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Vậy ta
phải dùng phương pháp 2.
Số dư của phép chia là . Suy ra:
Ta có:
Ta cũng không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Ta
tiếp tục tìm số dư của phép chia:
. Số dư tìm được là . Suy ra:
Ta có:
. Suy ra:
. Suy ra:
. Vậy:
. Ta có:
.
Ví dụ 3: Tìm ƯCLN và BCNN của 2419580247 cho 3802197531

Hướng dẫn: Thực hiện phép chia :
2419580247 7
3802197531 11
=
ƯCLN(2419580247, 3802197531) = 2419580247 : 7 = 345654321
BCNN(2419580247, 3802197531) = 2419580247 . 11 = 2.661538272.10
10
( tràn màn hình )
Cách tính đúng : Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xóa số 2 để chỉ còn 419580247 . 11
KQ:
[ ]
9
2419580247,3802197531 4615382717 2.10 .11 26615382717= + =
3. VÀI DẠNG TOÁN KHÁC LIÊN QUAN
a) Kiến thức bổ trợ:
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 7
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
Xác định số ước và tính tổng các ước :
Cho số tự nhiên n>1 , phân tích thành thừa số nguyên tố như sau:
n=
1 2
1 2
.
i
i
p p p
α
α α
;(
;

i
i N p
∗
∈
, là các số nguyên tố) khi đó :
+ Số ước dương của n được tính theo công thức :
( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 . 1 1
i
n
τ α α α
= + + +
+ Tổng các ước dương của n tính theo công thức:
( )n
σ
=
1 2
1
1 1
1 2
1 2
1
1 1
.
1 1 1
i
i
i

p
p p
p p p
α
α α
+
+ +
 
   
−
− −
 ÷
 ÷  ÷
− − −
   
 
Ví dụ:
a) Tìm tổng các ước số lẻ của: 7677583
Giải : Ư(7677583)=
{ }
83;92501
=> Tổng các ước lẻ là: 83+92501=92584
b) Tìm số ước dương của :A= 6227020800
Giải: Ta có : A=2
10
.3
5
.5
2
.7.11.13 =>Số ước là

( )n
τ
=
(10+1).(5+1).(2+1).(1+1).(1+1).(1+1)=1584
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
Kiểm tra một số n là số nguyên tố:
+ Tính
n
gán giá trị phần nguyên vào biến C
+ Lập trình theo cấu trúc : 2→X : X=X+1:
A
X
: C-B → CALC
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
+ Cách 1:a→A;1→B
B=B+2:
A
B
Calc = ….
Nếu
A
B
là số nguyên thì B là ước của A
Kiểm tra đến khi
A
B
hạ xuống dưới
A
thì dừng ( chú ý xem có chia hết cho 2 không)
+ Cách 2: a→A;

Kiểm tra xem A có chia hết cho 2,3 hay không; Lấy A: 3 , bấm A : (A: Ans+2)= … ,
khi số trên màn hình nhỏ hơn
A
thì dừng
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
|a| |shift| |sto| |A|
xem A có chia hết cho 2, cho 3 hay không? (chuyện này đơn giản)
lấy A chia cho 3: A/3 =
Ấn tiếp: A/(A/Ans+2)
Sau đó ấn = = = để kiểm tra, khi số trên màn hình hạ xuống dưới căn A thì ngưng.
Tìm ước, bội của một số
Cơ sở: Muốn tìm ước ta chia a cho các số không vượt quá a.
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 8
TI LIU GII TON TRấN MTCT DNG CHO HC SINH
Quy trỡnh: -1 A
A + 1 A: a
ữ
A
Mun tỡm bi ta nhõn s ú ln lt vi 0, 1, 2,
Quy trỡnh: (-2) A
A + 1 A: aA =
BI TP T LUYN
Bi toỏn 1: Trong cỏc s sau s no l s nguyờn t , s no l hp s:
a ) 2
20
-1 b) 3
15
+2 c) 2
19
-1 d) 19549

Bi toỏn 2: Tỡm c ng t nh nht v ln nht ca:
a) A=215
2
+314
2
b) 10001
c) C= 1897
5
+2981
5
+3523
5
d) D=73110
2
+73109
2
Bi toỏn 3: Phõn tớch cỏc s sau ra tha s nguyờn t:
a)984808 b) 187771103 c) 355312901
Bi toỏn 4: Tớnh tng cỏc c dng v tỡm s c dng ca cỏc s sau:
a) 483292 b)2492820 c) 234564 d) 87765
Bi 5. Tỡm CLN , BCNN ca:
a) Tỡm SCLN ca 40096920 , 9474372 và 51135438.
b) Tỡm UCLN, BCNN ca A = 45563, B = 21791, C = 182252 .
c) 12356 và 546738 b) 20062007 và 121007
DNG 4.CC BI TON V LIấN PHN S
1. Tính giá trị của liên phân số:
N =
292
1
1

1
15
1
7
1
3
2008
+
+
+
+
+
4
5+
4
6+
4
7+
4
8+
4
9+
10
-
2
56
4
3
11
5

2
6
3

+


20082008,0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
20072007,0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

+

+
+

+

+
+=B
2. Tìm số trong liên phân số:
Tỡm caực chửừ soỏ a, b, c, d, e , bit:
GIO VIấN BIấN SON : NGUYN TRNG AN THCS NG NM SểC TRNG Page 9
TÀI LIỆU GIẢI TỐN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
a)
20032004 1
a
2
243
b
1
c
1
d
e
= +
+
+
+
b)
5584 1
a

1
1051
b
1
c
1
d
e
= +
+
+
+
c)
3
1
1
1
1
1
1
5
364
2007
+
+
+
+
+
+=
e

d
c
b
a
3. Gi¶I ph¬ng tr×nh cã liªn quan ®Õn liªn ph©n sè:
Ví dụ: Tìm x biết :
3 381978
3
382007
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
1
8
1 x
=
+
+

+
+
+
+
+
+
+
+
Lập quy trình ấn liên tục trên máy
381978 ÷ 382007 = 0.999924085
Ấn tiếp phím
1−
x
× 3 - 8 và ấn 9 lần phím = .
Lúc đó ta được
x
Ans
+
=
1
1
tiếp tục ấn Ans
1−
x
- 1 =
Kết qu¶ø : x = - 1.11963298
Bµi tËp ¸p dơng:
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SĨC TRĂNG Page 10
TI LIU GII TON TRấN MTCT DNG CHO HC SINH
Bài 1 : Tỡm nghieọm cuỷa phửụng trỡnh: a)

1 1 1
. 4
3 2 1
2 3 1
5 3 1
4 5 1
7 4
2
6 7
8 9
x




= + +

+ + +

+ + +


+ +
1 1 1
) . 1 2 . 3
1 1 1
1 2 3
1 1 1
1 2 3
1 1 1

1 2 3
1 1 1
1 2 3
1 1 1
1 2 3
1
1 1 3
2
1
2
2
s x x


ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
+ = + + +
ữ
ữ
ữ

ữ
+ +
ữ
ữ
+ + +
ữ
ữ
+ +
ữ
ữ
ữ
ữ
+ + +
ữ
ữ
+ +
ữ
ữ
+

+
+
x 4
k
2011 6
1993 63
2010 3
1994 11
2009
2011

1995
2008
1996
2007
1997
2006
1998
2005
1999
2004
2000
2003
2001
2002
=
+
+

+

+

+

)
2011 10
)112 2011
211
11
223

322
334
433
445
544
556
655
667
766
778
877
889
988
x
r
+ =

+

+

+

DNG 5. BIU DIN S TPVHTH V S HU T
1. Kin thc b tr
S dng cỏc kt qu sau:
( )
1
1

0,
9 9
n
n
a a
a a =
1 2 3
;
( )
1
1

,
9 9
n
n
a a
m a a =
1 2 3
GIO VIấN BIấN SON : NGUYN TRNG AN THCS NG NM SểC TRNG Page 11
n s 9 n s 9
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
( )
1 1 1
1 1

0,
9 90 0
k n k
k n

b b a a b b
b b a a
−
=
1 4 2 4 3 1 42 43
( )
1 1 1
1 1

,
9 90 0
k n k
k n
b b a a b b
m b b a a m
−
=
1 4 2 4 3 1 4 2 4 3
2, Ví dụ
a)Biển diễn 0,(123) về số hữu tỉ
GIẢI:
Cách 1: Ta có 0,(123)=0,(001).123=
1
.123
999
=
=
123 41
999 333
Cách 2: Đặt a=0,(123)

Ta có:1000a=123,(123)=123+0,(123)=123+a
Suy ra 999a =123 ,,vậy a=
=
123 41
999 333
b)Biểu diễn số 3,15(321)
GIẢI:
Cách 1:Đặt 3,15(321)=a,hay 100000a=315321,(321) (1)
100a=315,(321) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế , ta có 999000a=315006
Vậy a=
=
315006 52501
999000 16650
Cách 2: Đặt a=3,15(321)=3,15 +0,00(321)=3,15+b
Ta có :1000b=3,21(321)=3,21+0,00(321)=3.21+b
→999b=3,21 →
→ = + =
3, 21 3, 21 52501
a 3,15
999 999 16650
3, Bài tập tự luyện
Tính:a)
2 2 2
A
0,19981998 0,019981998 0,0019981998
= + +
Hướng dẫn: Đặt 0,0019981998….=a
Ta có:A=
+ +

1 1 1
2.( )
100a 10a a
→A=
2.111
100a
100a=0,19981998….=0,(0001).1998=
1998
9999
, Vậy A=
=
2.111.9999
1111
1998
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 12
n số 9 k số 0
n số 9 k số 0
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH

= + +
3 3 3
F
2.0,019991999 2.0,0019991999 2.0,00019991999

223 223 223
G
0,20072007 0,020072007 0,0020072007
= + +
A
2

=
31216 31216 31216
0,(2008) 0,0(2008) 0,00(2008)
+ +
= + + + +
12 12 12 12
B
0,(2012) 0, 0(2012) 0,00(2012) 0,0000000(2012)
G=
+ +
670 670 670
0, 2012010 0,020122010 0,0020122010
DẠNG 6. TÌM CHỮ SỐ THẬP PHÂN THỨ K SAU DẤU PHẨY
Khái niệm về số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Nếu phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5
thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Nếu phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì
phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ 1: Phân số
40
9
viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn vì 40=2
3
.5
(không có ước nguyên tố khác 2 và 5)
Phân số
30
7
viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn vì
30=2.3.5 (có ước nguyên tố 3 khác 2 và 5)

Ví dụ 2: Viết phân số
41
64
dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Giải: Chia 64 cho 41 ta được 1,5607956079
Vậy:
41
64
=1,(56079)
Vấn đề được đặt ra là có những dạng thập phân vô hạn tuần hoàn, mà chu kì của
có hàng chục chữ số thì việc tìm chu kì bằng cách thực hiện trên giấy là rất khó mà mất
nhiều thời gian. Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tìm chu kì (vài chục chữ số) của
một số thập phân vô hạn tuần hoàn một cách dễ dàng.
Ví dụ 3:
Viết phân số
97
92
dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Ta tiến hành như sau:
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 13
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
Lần 1
Chia 92 cho 97, ta được 10 số đầu tiên là 0,948453608
92 ÷ 97 = 0,948453608
Khi đó:
97
92
≈
0,948453608
Lấy 0,948453608 x 97 = 91,99999998 (0,948453608 nhập từ bàn phím)

Lấy 92 - Ans = 0,0000000024
Lần 2
24 ÷ 97 = 0,24742268
Khi đó:
97
92
≈
0,94845360824742268
Ấn 0,24742268 x 97 = 23,99999996
Ấn 24 - Ans = 0,000000004
Lần 3
4 ÷ 97 = 0,041237113
Khi đó:
97
92
≈
0,94845360824742268041237113
Ấn 0,041237113 x 97 = 3,999999961
Ấn 4 - Ans = 0,0000000039
Lần 4
Chia 39 ÷ 97 = 0,402061855
Khi đó:
97
92
≈
0,94845360824742268041237113402061855
Ấn 0,402061855 x 97 = 38,99999994
Ấn 39 - Ans = 0,0000000065
Lần 5
Chia 65 ÷ 97 = 0,67010392

Khi đó:

97
92
≈
0,9484536082474226804123711340206185567010392
Ấn 0,67010392 x 97 = 64,99999992
Ấn 65 - Ans = 0,0000000076
Lần 6
76 ÷ 97 = 0,783505154
Khi đó:

97
92
≈
0,9484536082474226804123711340206185567010392783505154
Ấn 0,783505154 x 97 = 75,99999994
Ấn 76 - Ans = 0,0000000062
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 14
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
Lần 7
62 ÷ 97 = 0,639175257
Khi đó:
97
92
≈
0,948453608247422680412371134020618556701039278350 5154639175257
Ấn 0,639175257 x 97 = 61,99999993
Ấn 62 - Ans = 0,0000000071
Lần 8

71 ÷ 97 = 0,731958762
Khi đó:
97
92
≈
0,9484536082474226804123711340206185567010392
78350 5154639175257731958762
Ấn 0,731958762 x 97 = 70,99999991
Ấn 71 - Ans = 0,00000086
Lần 9
86 ÷ 97 = 0,886597938
Khi đó:

97
92
≈
0,9484536082474226804123711340206185567010392
78350 5154639175257731958762886597938
Ấn 0,886597938 x 97 = 85,99999999
Ấn 86 - Ans = 0,000000014
Lần 10
Chia 14 ÷ 97 = 0,144329896
Khi đó:
97
92
≈
0,9484536082474226804123711340206185567010392
78350 5154639175257731958762886597938144329896
Ấn 0,144329896 x 97 = 13,99999991
Ấn 14 - Ans = 0,000000088

Lần 11
88 ÷ 97 = 0.907216494
Khi đó:
97
92
≈
0,948453608247422680412371134020618556701039278350
5154639175257731958762886597938144329896907216494
Đến đây ta thấy chu kì tuần hoàn gồm 97 chữ số, kết thúc.
Vậy,
97
92
=0,(9484536082474226804123711340206185567010309278350
515463917525773195876288659793814432989609072164)
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 15
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
*Bài tập tham khảo thêm: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân vô hạn
tuần hoàn.

23
17
;
23
10
;
29
34
;
47
85

;
69
88
;
89
91
;
49
1
.
(Đáp số:

23
17
=0,(7391304347826086956521);

23
10
=0,(4347826086956521739130);

29
34
=1,(1724137931034482758620689655);

47
85
=1,(8085106382978723404255319148936170212765957446);

69
88

=1,(2753623188405797101449);

89
91
=1,(02247191011235955056179775280898876404494382). )

49
1
=0,(020408163265306122448979591836734693877551),
DẠNG 7. TÌM SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ DẠNG LŨY THỪA. TÌM K CHỮ SỐ TẬN CÙNG
CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN
A, TÌM SỐ CHỮ SỐ
Cho số tự nhiên
b
N a=
khi đó số chữ số của N là :
[ ]
.lg 1
N
n b a= +
Ví dụ: Số
23
6
có bao nhiêu chữ số viết trong hệ thập phân.
Gỉai Ta bấm phím : 23
log
6
=
17,89747876≈
[ ]

23log6 7 17 1 18
N
n⇒ = ⇒ = + =
chữ số
Bài tập tự luyện : Tìm số chữ số của
a)
243
23
b)
5
12
3
c)
25!
d)
12!
23
B.TÌM K CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN
I) Thuật toán
1) + Dùng đồng dư số học ( tìm số dư của phép chia số đó với
10,100,1000,10000,……
+ Dùng định lí Ferma và Ơle
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 16
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
2) (Sử dụng qui luật số lũy thừa ): Muốn tìm k chữ số của một số dạng lũy
thừa ta làm như sau:
+ Bước 1:Tìm chu kì tuần hoàn j của k chữ số sau lần thứ m lũy
thừa
+Tìm số dư khi chia số ở lũy thừa của số cần tìm với j
+ Kết luận k là chữ số cần tìm qua phép đếm

3) Dùng dấu hiệu nhận biết:
a) Số có đuôi bất biến với mọi lũy thừa m
α
(m
N
∗
∈
,α
N
∈
)
Chữ số tận cùng của m Chữ số tận cùng của m
α
1;5;6 1;5;6
76;25 76;25
376;625 376;625
9376;0625 9376;0625
b) Dấu hiệu nhận biết 3 chữ số tận cùng của m
α
( α có dạng 100.k) ,k= 1,2 ,3…
m Ba chữ số cuối Ví dụ
2m
/
M
và
5m
/
M
001 13
200

≡
001 (mod 1000)
2mM
và
5m
/
M
376 1998
1600

≡
376 (mod 1000)
2m
/
M
và
5mM
625 25
2300

≡
625 (mod 1000)
2mM
và
5mM
000 20
2300

≡
000 (mod 1000)

c) Dấu hiệu nhận biết đối với
,,,abc kn
m
nguyên dương bất kì và a,b,c,…,k.n là các
số nguyên từ 0 → 9 ,a ≠ 0
Nếu
kn
>2 thì
,,,abc kn
m
=
kn
m
(mod 1000) đúng
m∀
Ví dụ: 2
20032003

≡
2
3

≡
8 (mod 1000)
5
20082008

≡
5
8

≡
625 (mod 1000)
Tổng quát ta có:
m Đồng dư Ví dụ
2m
/
M
và
5m
/
M
,,,abc kn
m

≡

kn
m
(mod 1000)
27
48761209

≡
27
09
(mod 1000)
2mM
và
5m

/
M
,,,abc kn
m

≡
376.
kn
m
(mod 1000)
2
2001

≡
376.2
01
(mod 1000)
2m
/
M
và
5mM
,,,abc kn
m

≡
625.
kn
m
(mod 1000)

15
4023
≡
625.15
23
(mod 1000)
d) Tìm 4 chữ số cuối của m
α

(α có dạng 1000.k)
m Ba chữ số cuối Ví dụ
2m
/
M
và
5m
/
M
0001 13
200
≡
0001 (mod 10000)
2mM
và
5m
/
M
9376 1998
1600

≡
9 376 (mod 10000)
2m
/
M
và
5mM
0625 25
2300

≡
0625 (mod 10000)
2mM
và
5mM
0000 20
2300

≡
0000 (mod 10000)
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 17
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
với
,,,abc kn
m
nguyên dương bất kì và a,b,c,…,k.n là các số nguyên từ 0 → 9 ,a≠ 0
Nếu
gkn
>3thì
,,,abc kn

m
=
kgn
m
(mod 10000) đúng
m∀
2,Ví dụ:
Ví dụ 1. Tìm chữ số hàng đơn vị của:
2002
17

( )
2
1000
2 2000 1000
2
1000
2000
17 9(mod10)
17 17 9 (mod10)
9 1(mod10)
9 1(mod10)
17 1(mod10)
≡
= ≡
≡
≡
≡
Vậy
2000 2

17 .17 1.9(mod10)≡
. Chữ số tận cùng của 17
2002
là 9
Ví dụ 2. Tìm chữ số cuối cùng của số:
4
3
2
Giải:
- Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện
theo quy trình sau:
1
SHIFT

STO

A
2
∧

ANPHA

A
ANPHA

:

ANPHA

A

ANPHA

=

ANPHA

A

+
1
=

=
)
ta được kết quả sau:
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7

2
8
2
9
2
10
2
11

(2 4 8 6) (2 4 8 6) (2 4 8
⇒ hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số (2, 4, 8, 6)
ta có 3
4
= 81 ≡ 1 (mod 4) ⇒ số dư khi chia
4
3
2
cho 10 là 2
Vậy chữ số cuối cùng của số
4
3
2
là 2.
Ví dụ 3. Tìm bốn chữ số tận cùng của 5
1994
.
Giải:
- Ta có: 5
4
= 625

- Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625
- Do đó:
5
1994
= 5
4k + 2
= 25.(5
4
)
k
= 25.(625)
k
= 25( 625) = 5625.
Vậy bốn chữ số tận cùng của số 5
1994
là 5625.
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 18
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
Ví dụ 4.
Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 23
2005
.
Giải
+ Tìm chữ số hàng chục của số 23
2005
1
2
3
4
23 23(mod100)

23 29(mod100)
23 67(mod100)
23 41(mod100)
≡
≡
≡
≡
Do đó:
( )
5
20 4 5
2000 100
2005 1 4 2000
23 23 41 01(mod100)
23 01 01(mod100)
23 23 .23 .23 23.41.01 43(mod100)
= ≡ ≡
≡ ≡
⇒ = ≡ ≡
Vậy chữ số hàng chục của số 23
2005
là 4 (hai chữ số tận cùng của số 23
2005
là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 23
2005

1
4
5

20 4
2000 100
23 023(mod1000)
23 841(mod1000)
23 343(mod1000)
23 343 201(mod1000)
23 201 (mod1000)
≡
≡
≡
≡ ≡
≡
5
100
2000
2005 1 4 2000
201 001(mod1000)
201 001(mod1000)
23 001(mod1000)
23 23 .23 .23 023.841.001 343(mod1000)
≡
≡
≡
= ≡ ≡
Vậy chữ số hàng trăm của số 23
2005
là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 23
2005
là số 343)
Bài tập tự luyện:

1) Tìm 4 chữ số cuối cùng của :
2010
1996
2) Tìm 5 chữ số tận cùng của:
2005
6
3) Tìm 2 chữ số tận cùng của số A = 2007
2008
+ 2008
2009
DẠNG 8. TÍNH TỔNG HỮU HẠN
1) Kiến thức bổ trợ
( )
1 1 1
1 1k k k k
= −
× + +
;
1
1
1
k k
k k
= + −
+ +
,
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 19
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
1 1 1 1
.

k(k 1)(k 2) 2 k(k 1) (k 1)(k 2)
 
= −
 
+ + + + +
 
Bài toán tổng quát:
nchusok
S k kk kkk kkkk kkk kkk
1 k 9

= + + + + +



≤ ≤

14 2 43
=> S =
nchuso1
1
1 11 111 1111 111 111
k
 
× + + + + +
 ÷
 
142 43
( ) ( ) ( )
( )

k
1
10 1 100 1 1000 1 10 1
k
 
= × − + − + − + + −
 
( )
( )
k 1
2 3 k
1 1 10 1
10 10 10 10 k k 1
k k 9
+
 
−
 
= × + + + + − = × − +
 
 
 
Bài tập tự luyện : Tính các tổng sau:
a) S=
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 2011.2012
+ + + +
b)S=
1 1 1

1 3 3 5 2009 2011
+ + +
+ + +
c)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 3 2009 2010
B = + + + + + + + + +
d)
4 4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1 3 5 2011
4 4 4 4
20122012
1 1 1 1
2 4 6 2012
4 4 4 4
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
×
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
L

L
e) S=
100chuso3
3 33 333 3333 333 333+ + + + +
142 43
f) S=
100so3
31 331 3331 333 3331+ + + +
142 43
DẠNG 9. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I) Phương trình bậc nhất
1) T×m x biÕt:
13010137,0:81,17
20
1
62:
8
1
.
25
3
288,1
2
1
1.
20
3
3,0
5
1

4.65,2
20
1
3
003,0:
2
1
4
=+


















+







−
+






−






−x
2) T×m y biÕt :
13 2 5 1 1
: 2 1
15,2 0,25 48,51:14,7
44 11 66 2 5
.
1
3,2 0,8 5 3.25
2
y

 
− − ×
 ÷
× −
 
=
 
+ × −
 ÷
 
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 20
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
3) Tìm x biết:
(9 2 3) 6 14 2 3 6 8 16
( 2 3 2 3) .
3 6 2 2 2 3 28 2 3 4
x
x
 
− + + + + +
− + + − − =
 ÷
 ÷
− + + +
 
4) Tìm số tự nhiên
*
n N
∈
thoả mãn:

( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2011 1
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 2011
1
n
n
−
+ + + + + + + + + + + + =
+

II) Hệ phương trình và phương trình bậc 2, bậc 3
+) Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn:
2
0ax bx c
+ + =
+) Ph¬ng tr×nh bËc ba mét Èn:
3 2
0ax bx cx d
+ + + =
+) HÖ 2 ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =



+ =

+) HÖ 3 ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ba Èn:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =


+ + =


+ + =

III) Phương trình nghiệm nguyên
Bài 1. Tìm cặp số ( x; y ) nguyên dương thoả mãn phương trình
5 2
3 19(72 ) 240677x x y
− − =
Đáp số:
( )
5
5 2
5
3 240677
3 19(72 ) 240677 72

19
3 240677
72 ( : 9) 32; 5 ;( 32; 4603)
19
x
x x y x y
x
y x dk x x y x y
−
− − = ⇔ − = ±
−
⇒ = − > ⇒ = = = =
Bài 2: Giải hệ phương trình sau
(
)
(
)
3 2
2 2
13 26102 2009 4030056 0(1)
4017 1 4017 3(2)
x x x
x x y x

− − − =


+ + + + =



Đáp số: Giải phương trình (1) được x = 2008 thế vào phương trình (2) tính y.
2008
2006,268148
x
y
=


= −

Bài 3. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 21
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH

( )
2 3 2 3
2 2 2
/ 6 3 10 2
/ 7 1 3 2
/ 2 2 10 25 567
a x y x y
b x y xy
c x xy y yz z
+ − = −
− + =
+ + − + =
Bài 4: Tìm một cặp nghiệm nguyên của phương trình:
1975yx =+
Hướng dẫn:
- Ta có :

(
)
2
y 1975 x= −
- Nhập x = x + 1 :
(
)
2
y 1975 x= −
- Kết quả: (x; y) = (79; 1264) ; (316 ; 711) ; (1264 ; 79) ; (711; 316)
- Lưu ý : x và y đối xứng
Bài 5: Tìm một cặp nghiệm nguyên dương của phương trình: 2006
x
+ 1 = y
2
Hướng dẫn:
- Ta có:
x
y 2006 1= +
- Nhập x = x + 1 :
x
y 2006 1= +
DẠNG 10. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ
Bài 1: Cho hai đường thẳng
1 3
(1)
2 2
y x= +
và
2 7

(2)
5 2
y x= − +
cắt nhau tại điểm
A.Một đường thẳng (d) đi qua điểm
(5;0)H
và song song với trục tung Oy lần lượt cắt
(1) và (2) theo thứ tự tại B và C.
a/ Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ đồ thị của các hàm số trên.
b/ Tìm toạ độ các điểm A, B, C bằng phân số.
c/ Tính diện tích tam giác ABC ( viết dưới dạng phân số )
d/ Tính số đo mỗi góc của tam giác ABC ( chính xác đến phút ).
Đáp số:
( )
µ µ
µ
0 0 0
20 47 3 125
; ; 5;4 ; 5; ;
9 18 2 36
48 22'; 63 26'; 68 12'.
ABC
A B C S
A B C
   
=
 ÷  ÷
   
= = =
Bài 2. Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho 4 ®iÓm A(-2;0), B(3; 0), C(1;4) vµ D(-3;2).

a) TÝnh sè ®o gãc ABC.
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 22
TI LIU GII TON TRấN MTCT DNG CHO HC SINH
b) Tính diện tích tứ giác ABCD. (Đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm)
Gii:
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10
-5
5
10 15
D
C
N
P
B
A
M
a) Từ C hạ đờng vuông góc xuống điểm (1;0) trên Ox.
Ta có : Tan ABC = 4/2 =2 => góc ABC .63
0
266
b) Dựng hình chữ nhật MBNP với M(-3;0), B(3;0),N(3;4), P(-3;4)
S
ABCD

= S
MBNP
- S
MAD
- S
BNC
- S
CDP
= 24 - 1 - 4 - 4 = 15 (cm
2
)
Bi 3. Trong mt phng ta cho ba iờm
( ) ( ) ( )
2; 5 , 4; 2 , 7; 1A B C
. T inh A ve
ng cao AH, ng phõn giac AD va ng trung tuyờn AM (cac iờm H, D, M
thuục canh BC). Cho biờt tinh chõt cua ng phõn giac trong tam giỏc:
DB AB
DC AC
=
.
1) Tớnh din tớch tam giac ABC. Nờu s lc cỏch gii.
2) Tinh ụ dai cua AH, AD, AM va diờn tich tam giac ADM
(Kờt qua lõy vi 2 ch sụ phõn thõp phõn). n v o trờn cỏc trc ta l cm.
Bi 4 :
Trong mt phng ta Oxy cho hai im A(1,107275127; 1,32182538) v
B(-2,107275127; -8,32182538)
a) Tớnh khong cỏch gia hai im A v B.
b) Tớnh giỏ tr ca a v b ng thng y = ax + b i qua hai im A v B.
Bi 5. Trờn mt phng to Oxy cho 4 im A(-4 ; 2), B(1; -4), C(5 ; 3) v D(-5 +

5
;
6 -
3
)
a) Tớnh s o gúc DAB.
b) Tớnh din tớch t giỏc ABCD. (n v o trờn cỏc trc ta l cm)
Gii:
a. gúc DAB =
180
0
(gúc MAD + gúc QAB) 68
0
4351
b. K hỡnh ch nht MNPQ
GIO VIấN BIấN SON : NGUYN TRNG AN THCS NG NM SểC TRNG Page 23
O
1
1
A
D
C
B
M
N
P
Q
TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
bao xung quanh tứ giác ABCD như hình vẽ,
có các cạnh MN// Ox, MQ//Oy.

Khi đó S
ABCD
=S
MNPQ
-(S
AMD
+S
AQB
+S
BPC
+S
CND
)
≈ 36,323805 (cm
2
).
DẠNG 11. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC
2) Kết luận (ngày càng chính xác hơn về số năm nhuận dựa theo các phân số nhận được) và so
sánh với cách tính cứ 4 năm lại có một năm nhuận.
I. Lí thuyết
- Định lí: Cho hai đa thức một biến f(x) và g(x)
0≠
. Bao giờ ta cũng tìm được hai đa thức q(x)
và r(x) sao cho:
f(x) = g(x).q(x) + r(x)
- Trong đó bậc của đa thức r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức g(x)
+ f(x) : Đa thức bị chia
+ g(x) : Đa thức bị chia
+ q(x) : Đa thức thương, gọi tắt là thương
+ r(x) : Đa thức dư, gọi tắt là dư

- Nếu r(x) = 0, ta có phép chia hết
- Nếu r(x)
0≠
, ta có phép chia có dư
- Định lí Bê – du: Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a thì dư trong phép chia này là f(a)
- Hệ quả định lí Bê – du: Nếu x = a là một nghiệm của đa thức f(x) thì đa thức f(x) chia hết cho
nhị thức x – a
- Định lí về nghiệm nguyên của đa thức:
Cho đa thức f(x) =
n n 1 1 0
n n 1 1
a x a x a x a
−
−
+ + + +
Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của số hạng độc lập a
0
(hạng tử tự do)
- Đặc biệt :
+) Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có một nghiệm bằng 1
+) Nếu hiệu của tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn với tổng các hệ số của
các hạng tử bậc lẻ là bằng 0 thì đa thức có nghiệm là – 1
+) Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng
p
q
thì p là ước của hạng tử tự do, q là
ước dương của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất
I. Bài tập:
Bài 1: Tính (làm tròn đến 4 chữ số thập phân)
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 24

TÀI LIỆU GIẢI TOÁN TRÊN MTCT DÙNG CHO HỌC SINH
Cho C =
5x
1xx3x2x3
245
+
+−+−
khi x = 1,8363
Hướng dẫn:
+ Gán 1,8368 là X
+ Nhập biểu thức C, di chuyển con trỏ vào biểu thức và ấn “=”
+ Nếu tính với giá trị khác ta dùng phím CALC là nhanh hơn cả
Bài 2: Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625
a) Tính P(2
2
)
b) Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3
Hướng dẫn:
b) P(x) + a
2
chia hết cho x + 3  P(-3) + a
2
= 0. Từ đó tìm được a
Bài 3:
Tính P(x) = 17x
5

– 5x
4
+ 8x
3
+ 13x
2
– 11x – 357 khi x = 2,18567
Bài 4:
a) Cho P(x) = x
3
– 2,531x
2
+ 3x – 1,356. Tính P(-1,235) với 3 chữ số thập phân.
b) Tìm số dư với 3 chữ số thập phân của phép chia sau:
(3x
4
– 2x
3
– x
2
– x + 7) : (x – 4,532)
Hướng dẫn:
b) Số dư của phép chia là giá trị của đa thức 3x
4
– 2x
3
– x
2
– x + 7 tại x = 4,532
Bài 5: Tìm phần dư của phép chia đa thức:

(2x
5
– 1,7x
4
+ 2,5x
3
– 4,8x
2
+ 9x – 1) : (x – 2,2)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x
4
+ 2x
3

– 13x
2
– 14x + 24 b) x
4
+ 2x
3
– 25x
2
– 26x + 120
c) 20x
2
+ 11xy – 3y
2
d) 8x
4

– 7x
3
+ 17x
2
- 14x + 32
e) x
5
– 4x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
– 4x + 1 f) 6x
4
– 11x
3
– 32x
2
+ 21x + 36
Hướng dẫn:
- Sử dụng máy tính để tìm nghiệm (dùng SHIFT, CALC hoặc dùng CALC tìm nghiệm là
các ước của hệ số tự do), dựa vào nghiệm đó để phân tích
- Có thể sử dụng sơ đồ Hooc – ne để tìm nghiệm
Bài 7: Tính A =
5x3xx4
1xx3x2x3
23
245
++−

+−+−
khi x = 1,8165
*) KÕt qu¶:
Bµi 1: 7,1935
Bµi 2: - 509,0344879; a =
27,5136329
±
Bµi 3: 498,438088 Bµi 4: a) - 10,805 ; b) 1061,318
Bµi 5: 85,43712 Bµi 6: a) (x – 1)(x + 2)(x – 3)(x + 4)
Bµi 6: b)(x – 2)(x + 3)(x – 4)(x +
5)
Bµi 6: c) (4x + 3y)(5x – y)
Bµi 6: d) (x
2
+ x + 2)(8x
2
– 15x +
16)
Bµi 6: e) (x – 1)
2
(x + 1)(x
2
– 3x + 1)
( ) ( )
2
3 5 3 5
x 1 x 1 x x
2 2
  
− +

= − + − −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
Bµi 7: A = 1,498465582
B à i 8 :
GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN : NGUYỄN TRƯỜNG AN – THCS NGÃ NĂM – SÓC TRĂNG Page 25