Hệ phương trình ôn thi ĐẠI HỌC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (457.68 KB, 17 trang )
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 1
BÀI HỌC 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
Bài 1: (KB-2010)
(1)
(2)
2
x x 2
log (3y 1) x
4 2 3y
− =
+ =
* ĐK:
1
y
3
>
+ Từ (1)
x
2 3y 1⇒ = −
thay vào (2) ta có:
( )
2
2
y 1
3y 1 3y 1 3y
1
y x 1
2
=
− + − = ⇔
= ⇒ = −
Bài 2: (KD-2010)
(1)
2log (2)
2
2
2
x 4y y 2 0
(x 2) log y 0
− + + =
− − =
* ĐK: x > 2 và y > 0
+ Từ (2) ta có :
2 2 2 2
2log (x 2) 2log y 0 log (x 2) log y y x 2− − = ⇔ − = ⇔ = −
thay vào (1) ta có:
2
x 0
x 4x x 2 2 0
x 3 y 1
=
− + − + = ⇔
= ⇒ =
Bài 3: (KA-2009)
(1)
3 (2)
2 2
2 2
2 2
x xy y
log (x y ) 1 log (xy)
81
− +
+ = +
=
* ĐK: xy > 0
+ Từ (1) ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
log (x y ) log 2 log (xy) log (x y ) log (2xy)
x y 2xy (x y) 0 x y
+ = + ⇔ + =
⇔ + = ⇔ − = ⇔ =
Thay vào (2) ta có:
2
x 4
x 2 y
3 3
x 2 y
= =
= ⇔
= − =
Bài 4:
(1)
2 (2)
y x
x y
log xy log y
2 3
=
+ =
* ĐK:
0 x;y 1< ≠
+ Từ (1) ta có:
y x y y x
y
2
y
2
y y
1 1
log (xy) log y log x log y log y
2 2
x y
log x 1
1
log x 1 2.
1
x y
log x log x 2
y
−
= ⇔ + =
=
=
⇔ + = ⇔ ⇔
= =
= −
- Với x = y thay vào (2) ta có:
x x
2
3 3
2.2 3 2 x log y
2 2
= ⇔ = ⇔ = =
÷
- Với
2
1
x
y
=
thay vào (2) ta có:
2
1
y
y
2 2 3+ =
(+) Khi y > 1 ta có :
2
2
1
1
0
y
y
y
y 1
2 2 1
2 2 3
2 2 2
> =
⇒ + >
> =
⇒
phương trình vô nghiệm
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 2
(+) Khi 0 < y < 1 ta có :
2
2
1
1
1
y
y
y
y 0
2 2 2
2 2 3
2 2 1
> =
⇒ + >
> =
⇒
phương trình vô nghiệm
Bài 5:
( )
(1)
(2)
3
log x
3
2 x
3 log y 3
2y y 12 3 81y
+ =
− + =
* ĐK: x; y > 0
+ Từ (1) ta có:
3 x x
3 3
x
27 27
x log y 3 log y 3 x y 3 3
3 y
−
+ = ⇔ = − ⇔ = = ⇔ =
thay vào (2) ta có:
( )
2
x
y 4
27
2y y 12 . 81y
y
y 3 3 9 x 2
= −
− + = ⇔
= ⇒ = ⇔ =
Bài 6: (KB-2005)
(1)
3log (2)
2 3
9 3
x 1 2 y 1
(9x ) log y 3
− + − =
− =
* ĐK:
x 1
0 y 2
≥
< ≤
+ Từ (2) ta có:
3 3 3 3 3
3x 3x
3log (3x) 3log y 3 log (3x) log y 1 log 1 3 y x
y y
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
÷
Thay vào (1) ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 y
x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1 2 x 0
x 2 y
= =
− + − = ⇔ − + − − + − = ⇔ − − = ⇔
= =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
3x 2
x x 1
x
2 5y 4y
4 2
y
2 2
+
= −
+
=
+
Đáp số : (x ; y) = (0 ; 1) , (2 ; 4)
Bài 2:
1 4
4
2 2
1
log (y x) log 1
y
x y 25
− − =
÷
+ =
Đáp số : (x ; y) = (3 ; 4)
Bài 3:
2 2
x y x 1
x y y x
2 2 x y
+ −
+ = +
− = −
Đáp số : (x ; y) = (- 1 ; - 1), (1 ; 0)
Bài 4:
4 2
x 4 y 3 0
log x log y 0
− + =
− =
Đáp số : (x ; y) = (1 ; 1), (9 ; 3)
Bài 5:
3 3
log y log x
3 3
x 2y 27
log y log x 1
+ =
− =
Đáp số : (x ; y) = (3 ; 9),
1 1
;
9 3
÷
Bài 6:
x y
5
3 .2 1152
log (x y) 2
−
=
+ =
Đáp số : (x ; y) = (- 2 ; 7)
Bài 7:
x y
3
3 .2 972
log (x 2) 2
=
− =
Đáp số : (x ; y) = (5 ; 2)
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 3
Bài 8:
2
3 3
3 2
1
log x log y 0
2
x y 2y 0
− =
+ − =
Đáp số : (x ; y) = (1 ; 1), (- 1 ; 1)
Bài 9:
2 3 4 6
y 3
2x y y 2x x
log (y 2x).log y 1
+ = +
− =
Đáp số : (x ; y) = (3 ; 9)
Bài 10:
2 2 2
2 3
49 7
x 8y 15 y 2 x 15 4x 18y 18
3.log (49x ) log y 3
− + + + − = − +
− =
Đáp số : (x ; y) = (3 ; 3), (- 3 ; 3),
17 17 17 17
; , ;
3 3 3 3
−
÷ ÷
Bài 11:
2
2
x y 4 y 2
1 y
lg x 2lg 2 lg 1
2 2
+ = + +
− = +
÷
Đáp số : (x ; y) =
1 1
5; ; 5;
2 2
−
÷ ÷
Bài 12:
(x 2)
2
(x 4)(x 1) y(y 5)
x 2
lg (y 2)
y
−
− + = +
−
+ =
Đáp số : (x ; y) = (6 ; 2)
BÀI HỌC 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
(tiếp theo)
Bài 7: (KD-2008)
(1)
x (2)
2 2
xy x y x 2y
2y y x 1 2x 2y
+ + = −
− − = −
* ĐK:
x 0
y 0
≥
≥
+ Từ (1)
2 2 2
xy y x y x y y(x y) (x y) (x y)(x y) (x y)(2y 1 x) 0⇔ + + + = − ⇔ + + + = − + ⇔ + + − =
(do x + y > 0) x = 2y + 12y 1 x 0⇔ + − = ⇔
thay vào (2) có:
(Do y + 1 > 0) y = 2 x = 5(2y 1). 2y y 2y 2y 2 2y(y 1) 2(y 1) 2y 2+ − = + ⇔ + = + ⇔ = ⇔ ⇒
Bài 8: (KB-2009)
(1)
x (2)
2 2 2
xy x 1 7y
y xy 1 13y
+ + =
+ + =
+ Từ (1)
7y 1
x
y 1
−
⇒ =
+
thay vào (2) có:
2
2 2 4 3 2
2
(7y 1) 7y 1
.y .y 1 13y 36y 33y 5y y 1 0
(y 1) y 1
− −
+ + = ⇔ − − + + =
+ +
2
1
(y 1)(y )(36y 15y 3) 0
3
⇔ − − + + =
y 1 x 3
1
y x 1
3
= ⇒ =
⇔
= ⇒ =
Bài 9: (KD-2009)
(1)
(x+y) (2)
2
2
x(x y 1) 3 0
5
1 0
x
+ + − =
− + =
* ĐK:
x 0≠
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 4
+ Từ (1)
3
y x 1
x
⇒ = − −
thay vào (2) ta có :
2
2
2
x 1 y 1
3 5
1 1 0 2x 6x 4 0
3
x x
x 2 y
2
= ⇒ =
− − + = ⇔ − + = ⇔
÷
= ⇒ = −
Bài 10: (KA-2011)
(1)
xy(x (2)
2 2 3
2 2 2
5x y 4xy 3y 2(x y) 0
y ) 2 (x y)
− + − + =
+ + = +
+ Từ (2)
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
xy(x y ) 2 x y 2xy (x y )(xy 1) 2(xy 1)
xy 1
(xy 1)(x y 2) 0
x y 2
⇔ + + = + + ⇔ + − = −
=
⇔ − + − = ⇔
+ =
(+) Với
1
y
x
=
thay vào (1) ta có:
4 2
x 1 y
3x 6x 3 0
x 1 y
= =
− + = ⇔
= − =
(+) Với
x
2 2
y 2+ =
thay vào (1) ta có:
2 2 3 2 2 2 2 3 3
5x y 4xy 3y (x y )(x y) 0 4x y 5xy 2y x 0− + − + + = ⇔ − + − =
2 2 2 3 3 3 2 2 2
4x y 4xy xy y y x 0 4xy(x y) y (x y) (y x)(y xy y ) 0⇔ − − + + − = ⇔ − − − + − + + =
2 2 2 2
(x y)(3xy 2y x ) 0 (x y)(2xy 2y x xy) 0⇔ − − − = ⇔ − − − + =
[ ]
2
y x
(x y) 2y(x y) x(x y) 0 (x y) (2y x) 0
x 2y
=
⇔ − − − − = ⇔ − − = ⇔
=
+ Với y = x thay vào
x
2 2
y 2+ =
x 1 y
x 1 y
= =
⇒
= − =
+ Với x = 2y thay vào
x
2 2
y 2+ =
2 2
y x 2
5 5
2 2
y x 2
5 5
= ⇒ =
⇒
= − ⇒ = −
Bài 11: (KB-2008)
x
4 3 2 2
2
x 2x y x y 2x y
2xy 6x 6
+ + = +
+ = +
+ Hệ
(1)
x (2)
2 2
2
(x 2xy) 2x y
2xy 6x 6
+ = +
⇔
+ = +
+ Từ (2)
2
x
xy 3x 3
2
⇔ = + −
thay vào (1) có :
2
2
4 3 2 3
x 0
x
3x 3 2x 9 x 12x 48x 64x 0 x(x 4) 0
17
2
x 4 y
4
=
+ + = + ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔
÷
= − ⇒ =
Bài 12: (KD-2012)
(1)
2x (2)
3 2 2 2
xy x 2 0
x y x y 2xy y 0
+ − =
− + + − − =
+ Từ (2)
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 5
3 2 2 2 2 2 2
2
2
2x 2xy x y y x y 0 2x(x y) y(x y) x y 0
y x
(x y)(2x y 1) 0
y 2x 1
⇔ − − + + − = ⇔ − − − + − =
=
⇔ − − + = ⇔
= +
(+) Với
2
y x=
thay vào (1) ta có:
3 2
x x 2 0 (x 1)(x x 2) 0 x 1 y 1+ − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇒ =
(+) Với y = 2x + 1 thay vào (1) có: x(2x + 1) + x - 2 = 0
1 5
x y 5
2
1 5
x y 5
2
− −
= ⇒ = −
⇔
− +
= ⇒ =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
3
1 1
x y
x y
2y x 1
− = −
= +
Đáp số: hệ có 3 nghiệm là :
x 1 y 1
1 5 1 5
x y
2 2
= ⇒ =
− ± − ±
= ⇒ =
Bài 2:
3
x y x y
x y x y 2
− = −
+ = + +
Đáp số: (x ; y) =
( )
3 1
1;1 , ;
2 2
÷
Bài 3:
2
x y 2y 1
x y x 2y 3y
− = +
+ + − =
Đáp số: (x ; y) = (22 ; 3)
Bài 4:
2 2
x 2x y y 3 xy
xy x 2y 1
+ + + = −
+ + =
Đáp số: (x ; y) = (1 ; 0), (- 1 ; 2)
Bài 5:
2 3 4 6
2
2x y y 2x x
(x 2) y 1 (x 1)
+ = +
+ + = +
Đáp số:
( ) ( )
(x;y) 3;3 ; 3;3= −
Bài 6:
3 3
2 2
x 4y y 16x
1 y 5(1 x )
+ = +
+ = +
Đáp số
(x;y) (0;2),(0; 2),(1; 3),( 1;3)= − − −
BÀI HỌC 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài 1:
2 2
x y x y 8
xy(x 1)(y 1) 12
+ + + =
+ + =
+ Hệ
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
x x y y 8
x x . y y 12
+ + + =
⇔
+ + =
Đặt
2
2
2
2
1 1 1
u x x x
2 4 4
1 1 1
v y y y
2 4 4
= + = + − ≥ −
÷
= + = + − ≥ −
÷
khi đó ta có hệ :
u v 8 u 6 v 2
uv 12 u 2 v 6
+ = = ⇒ =
⇔
= = ⇒ =
Đáp số : (x ; y) = (2 ; 1); (2 ; - 2); (- 3 ; 1); (- 3 ; 2); (1 ; 2); (- 2 ; 2); (1 ; - 3); (2 ; - 3)
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 6
Bài 2:
( )
( )
2 2
2 2
1
x y 1 5
xy
1
x y 1 49
x y
+ + =
÷
+ + =
÷
* ĐK:
xy 0≠
+ Hệ
2
2
2
2 2
1 1
1 1
x y 5
x y 5
x y
x y
1 1
1 1
x y 49
x 2 y 2 49
x y
x y
+ + + =
+ + + =
÷
÷
⇔ ⇔
+ + + =
+ − + + − =
÷
÷
+ Đặt
1
u x ,u 2 u 2
x
1
v y ,v 2 v 2
y
= + ≤ − ∪ ≥
= + ≤ − ∪ ≥
khi đó ta có hệ
2 2
u v 5
u 7 v 2
u 2 v 7
u v 53
+ =
= ⇒ = −
⇔
= − ⇒ =
+ =
Đáp số:
7 3 5
x ;y 1
2
7 3 5
x 1;y
2
±
= = −
±
= − =
Bài 3: (KA-2008)
2 3 2
4 2
5
x y x y xy xy
4
5
x y xy(1 2x)
4
+ + + + = −
+ + + = −
+ Hệ
2 2
2 2
5
x y xy(x y) xy
4
5
(x y) xy
4
+ + + + = −
⇔
+ + = −
Đặt
2
u x y
v xy
= +
=
thay vào hệ ta có :
(1)
(2)
2
5
u uv v
4
5
u v
4
+ + = −
+ = −
Từ (2)
2
5
v u
4
⇒ = − −
thay vào (1)
3 2
5
u 0 v
4
4u 4u u 0
1 3
u v
2 2
= ⇒ = −
⇒ + + = ⇔
= − ⇒ = −
Đáp số: (x ; y) =
3
3
5 25 3
; ; 1;
4 16 2
− −
÷
÷
÷
Bài 4:
11x y y x 1
7 y x 6y 26x 3
− − − =
− + − =
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 7
* ĐK:
11x y 0
y x 0
− ≥
− ≥
+ Hệ
11x y y x 1
7 y x 4(y x) 2(11x y) 3
− − − =
⇔
− + − − − =
Đặt
u 11x y 0
v y x 0
= − ≥
= − ≥
thay vào hệ ta có :
2 2
v 1 u 2
u v 1
5
v 0
7v 4v 2u 3
2
= ⇒ =
− =
⇔
= − <
+ − =
Đáp số: (x ; y) =
1 3
;
2 2
÷
Bài 5:
3 3 3
2 2
1 x y 19x
y xy 6x
+ =
+ = −
+ Hệ
3
3
3
2
2
1 y 1
1
y 3 y 19
y 19
x x x
x
y y
y 1
6
y 6
x x
x x
+ − + =
+ =
÷ ÷
⇔ ⇔
+ = −
+ = −
÷
+ Đặt
1
u y
x
y
v
x
= +
=
thay vào hệ có :
3
u 1
u 3uv 19
v 6
uv 6
=
− =
⇔
= −
= −
Đáp số: (x ; y) =
1 1
; 2 ; ;3
3 2
− −
÷ ÷
Bài 6:
2
2 2
x(x y) y 4x 1
x(x y) 2y 7x 2
+ + = −
+ − = +
+ Hệ
2
2
2
2
2
2
y 1
y 1
x y 4
x y 4
x
x x
y 1
2y 2
(x y) 2 7
(x y) 7
x
x x
+
+ + =
+ + + =
⇔ ⇔
+
+ − =
+ − − =
÷
+ Đặt
2
u x y
y 1
v
x
= +
+
=
thay vào hệ có :
2
u v 4
(x;y) (2;1);(5; 2)
u 2v 7
+ =
⇒ = −
− =
Bài 7: (KA-2012)
3 2 3 2
2 2
x 3x 9x 22 y 3y 9y
1
x y x y
2
− − + = + −
+ − + =
+ Hệ
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 8
3 3 2 2
2 2
3 2
2
x y 3x 3y 9x 9y 22 0
1
x y x y
2
(x y) 3xy(x y) 3(x y) 6xy 9(x y) 22 0
1
(x y) 2xy (x y)
2
− − − − + + =
⇔
+ − + =
− + − − − − − − + =
⇔
− + − − =
+ Đặt
u x y
v xy
= −
=
thay vào hệ có :
(1)
u (2)
3 2
2
u 3uv 3u 6v 9u 22 0
1
2v u
2
+ − − − + =
+ − =
Từ (2)
2
2u 2u 1
v
4
− + +
⇒ =
thay vào (1) và rút gọn ta có :
3 2 2
3
2u 6u 45u 82 0 (u 2)(2u 2u 41) 0 u 2 x
4
− + − = ⇔ − − + = ⇔ = ⇒ = −
Đáp số: (x ; y) =
1 3 3 1
; ; ;
2 2 2 2
− −
÷ ÷
Bài 8: Tìm m để hệ sau có nghiệm
2 2
x y x y 8
xy(x 1)(y 1) m
+ + + =
+ + =
+ Hệ
2 2
2 2
x x y y 8
(x x)(y y) m
+ + + =
⇔
+ + =
+ Đặt
2
2
1
u x x
4
1
v y y
4
= + ≥ −
= + ≥ −
khi đó ta có hệ :
(1)
u.v = m (2)
u; v -
u v 8
1
4
+ =
≥
Từ (1)
(Do v
1 1 33
v 8 u 8 u u )
4 4 4
⇒ = − ≥ − ⇒ − ≥ − ⇒ ≤
thay vào (2) ta có :
(*);-
2
1 33
u 8u m u
4 4
− + = ≤ ≤
.
Để hệ đã cho có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn
-
1 33
u
4 4
≤ ≤
⇔
2 đồ thị
2
1 33
f(u) u 8u; u
4 4
y m
= − + − ≤ ≤
=
phải cắt nhau
- Có
f '(u) 2u 8;f '(u) 0 u 4= − + = ⇔ =
Ta có BBT:
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 9
Từ BBT suy ra giá trị m cần tìm là :
33
m 16
16
− ≤ ≤
Bài 9: (KD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm
3 3
3 3
1 1
x y 5
x y
1 1
x y 15m 10
x y
+ + + =
+ + + = −
* ĐK:
x, y 0≠
+ Hệ
3
3
1 1
x y 5
x y
1 1 1 1
x 3 x y 3 y 15m 10
x x y y
+ + + =
⇔
+ − + + + − + = −
÷ ÷
÷ ÷
Đặt
1
u x ,u 2 u 2
x
1
v y ,v 2 v 2
y
= + ≤ − ∪ ≥
= + ≤ − ∪ ≥
thay vào hệ ta có :
(1)
(2)
3 3
u v 5
u 3u v 3v 15m 15
+ =
− + − = −
+ Từ (1)
v 2 5 u 2 u 7
v 5 u Do
v 2 5 u 2 u 3
≤ − − ≤ − ≥
⇒ = − ⇒ ⇔
÷
≥ − ≥ ≤
,
kết hợp với
u 2 u 2 u 2 2 u 3 u 7
≤ − ∪ ≥ ⇒ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥
, thay v = 5 - u vào (2) ta được:
2
u 5u 8 m,u 2 2 u 3 u 7− + = ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥
(*).
+ Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì PT (*) phải có nghiệm thỏa mãn
u 2 2 u 3 u 7≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥
⇔
2 đồ thị
2
f(u) u 5u 8,u 2 2 u 3 u 7
y m
= − + ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥
=
phải cắt nhau
- Ta có f’(u) = 2u - 5, f’(u) = 0
5
u
2
⇔ =
Từ BBT suy ra giá trị m cần tìm là
7
m 2
4
m 22
≤ ≤
≥
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 10
Bài 10: (KD-2011) Tìm m để hệ sau có nghiệm
(*)
3 2
2
2x (y 2)x xy m
x x y 1 2m
− + + =
+ − = −
+ Từ (*)
yx
3 2 2 2 2
2x 2x xy m x (2x y) x(2x y) m (2x y)(x x) m⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔ − − =
Hệ
2
2
(2x y)(x x) m
x x 2x y 1 2m
− − =
⇔
− + − = −
+ Đặt
2
1
u x x
4
v 2x y
= − ≥ −
= −
khi đó hệ
(1)
(2)
2
u.v m
u v 1 2m
1
u
4
=
⇔ + = −
≥ −
Từ (2)
2
v 1 2m u⇒ = − −
thay vào (1) có :
(**), u -
2
2
1 u u 1
m(2u 1) u u,u m
4 2u 1 4
− +
+ = − + ≥ − ⇔ = ≥
+
+ Để hệ đã cho có nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm thỏa mãn
1
u
4
≥ −
⇔
2 đồ thị
, u -
2
u u 1
f(u) m
2u 1 4
y m
− +
= = ≥
+
=
phải cắt nhau.
- Có
(lo¹i)
2
2
1 3
u
2u 2u 1
2
f '(u) ,f '(u) 0
(2u 1)
1 3
u
2
− +
=
− − +
= = ⇔
+
− −
=
Từ BBT suy ra giá trị m cần tìm là
2 3
m
2
−
≤
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
2 2 2
2 2
x xy y 19(x y)
x xy y 7(x y)
+ + = −
− + = −
Đáp số :
(x;y) (0;0),( 2; 3),(3;2)= − −
Bài 2:
3 2
2x xy y 14
x 3x 3x y 1 0
+ + =
+ + − − =
Đáp số :
(x;y) (1;6);( 3; 10)= − −
Bài 3:
3 2 2 3
2 2
x y(1 y) x y (2 y) xy 30 0
x y x(1 y y ) y 11 0
+ + + + − =
+ + + + − =
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 11
Đáp số :
( ) ( )
5 21 5 21 5 21 5 21
(x;y) 1;2 , 2;1 , ; , ;
2 2 2 2
− + + −
=
÷ ÷
÷ ÷
Bài 4:
2 2 2
1 x xy 5y
1 x y 5y
+ + =
− =
Đáp số :
( )
1
(x;y) 2;1 , 1;
2
=
÷
Bài 5:
( )
( )
2
2
x 1 y(y x) 4y
x 1 y x 2 y
+ + + =
+ + − =
Đáp số : (x ; y) = (1 ; 2), (- 2 ; 5)
Bài 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm
2 2
m m 1
x y 2(x y) 2
xy(x 2)(y 2) 2 (2 1)
+
+ + + =
+ + = −
Đáp số :
m 0
≤
Bài 7: Tìm m để hệ sau có nghiệm
x y 1
x x y y 1 3m
+ =
+ = −
Đáp số :
1
0 m
4
≤ ≤
Bài 8: Tìm m để hệ sau có nghiệm
( )
( )
2 2
2 2
1
x y 1 4
xy
1
x y 1 10m 6
x y
+ + =
÷
+ + = +
÷
Đáp số :
1
m
5
m 3
= −
≥
BÀI HỌC 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
(tiếp theo)
Bài 11:
(1)
(2)
2 2
2 2x y 3 2x y
x y 2xy 2
+ = − −
− − =
* ĐK:
2x y 0+ ≥
+ Từ (1)
2x y 2 2x y 3 0⇔ + + + − =
. Đặt
t 2x y 0= + ≥
Khi đó ta có PT:
2
t 1 y 1 2x
t 2t 3 0
t 3 0
= ⇒ = −
+ − = ⇔
= − <
thay vào (2) có :
2 2
x 1 y 1
x (1 2x) 2x(1 2x) 2
x 3 y 7
= ⇒ = −
− − − − = ⇔
= − ⇒ =
Bài 12:
(1)
(2)
x
2 6y x 2y
y
x x 2y x 3y 2
+ = − −
+ − = + −
* ĐK:
x 2y 0
x x 2y 0
y 0
− ≥
+ − ≥
≠
+ Từ (1)
2 2
2y 6y x y x 2y x 2y y x 2y 6y 0⇔ + = − − ⇔ − − − − =
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 12
2
x 2y
x 2y
6 0
y y
−
−
⇔ − − =
. Đặt
x 2y
t
y
−
=
, khi đó ta có phương trình
2
t 3
t t 6 0
t 2
=
− − = ⇔
= −
+ Với t = 3
2 2
3y 0 y 0
x 2y 3y
x 2y 9y x 9y 2y
≥ ≥
⇒ − = ⇔ ⇔
− = = +
, thay vào (2) có:
( )
2 2 2 2 2
2
2
9y 2y 9y 9y 5y 2 9y 5y 9y 5y 2 0
9y 5y 1 0
y 1 0
9y 5y 2
4 24
y x
9 9
+ + = + − ⇔ + − + − =
+ = − <
= − <
⇔
+ = ⇔
= ⇒ =
+ Với t = - 2 có
2
y 0
x 2y 2y
x 4y 2y
≤
− = − ⇔
= +
, thay vào (2) có:
2 2 2 2
1
y 0
4y 2y 4y 4y 5y 2 2y 4y 5y 2
4
y 2 x 12
= >
+ + = + − ⇔ − = + − ⇔
= − ⇒ =
(Do
2
y 0 4y 2y≤ ⇒ = −
)
Bài 13 (KA-2006)
(1)
(2)
x y xy 3
x 1 y 1 4
+ − =
+ + + =
* ĐK:
xy 0
x 1;y 1
≥
≥ − ≥ −
+ Từ (2)
x 1 2 (x 1)(y 1) y 1 16 x y 2 xy x y 1 14⇔ + + + + + + = ⇔ + + + + + =
- Thay (1) vào ta có
3 xy 2 xy 4 xy 14+ + + + =
- Đặt
t xy 0= ≥
, khi đó ta có phương trình
2
2 2
11 t 0
2 t t 4 11 t
4(t t 4) (11 t)
− ≥
+ + = − ⇔
+ + = −
t 3
xy 3
35
t 3 x y 3
t
3
x y 6
t 11
=
=
⇔ ⇔ = ⇒ ⇔ = =
= −
+ =
≤
Bài 14:
(1)
(2)
x y 3
x 5 y 3 5
+ =
+ + + =
* ĐK:
x;y 0≥
, đặt
t x 0= ≥
thay vào (1) có
2
y 3 t(0 t 3) y t 6t 9= − ≤ ≤ ⇒ = − +
- Thay
2
x t=
và
2
y t 6t 9= − +
vào (2) có:
2 2
t 5 t 6t 12 5+ + − + =
2 2
t 6t 12 5 t 5⇔ − + = − +
, do
0 t 3 VP 0≤ ≤ ⇒ >
, bình phương 2 vế có:
2 2 2 2
t 6t 12 25 10 t 5 t 5 5 t 5 3t 9− + = − + + + ⇔ + = +
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 13
2 2
x 4
t 2
y 1
121
25(t 5) (3t 9)
x
11
64
t
8 169
y
64
=
= ⇒
=
⇔ + = + ⇔
=
= ⇒
=
Chú ý: Nếu hàm số f(t) luôn ĐB hoặc luôn NB trên miền D thì khi đó
1 2
t ;t D∀ ∈
ta có :
1 2 1 2
f(t ) f(t ) t t= ⇔ =
Bài 15:
(1)
(2)
2
2
1 x
y
x
2 2 2
3
2 xy 2
2
(x y 2x) 2x y 4x 1 0
−
+ + =
+ − − + =
* ĐK:
x 0≠
+ Từ (2)
2 2
x (xy 2) 2x(xy 2) 1 0⇔ + − + + =
. Đặt
t x(xy 2)= +
, khi đó ta có phương trình :
2
2
1 2x
t 2t 1 0 t 1 x(xy 2) 1 y
x
−
− + = ⇔ = ⇒ + = ⇔ =
thay vào (1) ta có:
2 2
2 2 2 2
1 x 1 2x 1 x 1 2x
x x x x
2x 1 3 1 1
2 2 2 2
x 2 2 x
− − − −
−
− + = ⇔ = + −
(*)
2 2
2 2 2 2
1 x 1 2x 1 x 1 2x
2 2
x x x x
2 2 2 2
1 2x 1 x 1 x 1 2x
2 2 2 2
2x 2x 2x 2x
− − − −
− − − −
⇔ = + − ⇔ + = +
+ Xét hàm
t t
t 1
f(t) 2 f '(t) 2 .ln 2 0
2 2
= + ⇒ = + > ⇒
f(t) là hàm đồng biến.
Đặt
2
1 2
2 2
1 x 1 2x
t ;t
x x
− −
= =
, khi đó (*)
2
1 2 1 2
2 2
1 x 1 2x
f(t ) f(t ) t t
x x
− −
⇔ = ⇔ = ⇔ =
x 2⇔ =
3
y
4
⇒ = −
Bài 16: (KA-2010)
(1)
4x (2)
2
2 2
(4x 1)x (y 3) 5 2y 0
y 2 3 4x 7
+ + − − =
+ + − =
* ĐK:
3
x
4
5
y
2
≤
≤
+ Từ (1)
2 2
(4x 1).2x (2y 6). 5 2y 0 (4x 1).2x (6 2y). 5 2y⇔ + + − − = ⇔ + = − −
(*)
2
(4x 1).2x (5 2y 1). 5 2y⇔ + = − + −
- Xét hàm
2 3 2
f(t) (t 1)t t t f '(t) 3t 1 0= + = + ⇒ = + > ⇒
f(t) là hàm đồng biến.
Từ (*)
2
x 0
2x 5 2y
5
y 2x
2
≥
⇒ = − ⇔
= −
thay vào (2) có :
4 2
16x 24x 8 3 4x 3 0(**)− + − − =
+ Ta thấy
1
x
2
=
là nghiệm của (**), xét hàm
4 2
3
g(x) 16x 24x 8 3 4x 3;0 x
4
= − + − − ≤ ≤
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 14
3 2
16 16
g'(x) 64x 48x 16(4x 3) 0
3 4x 3 4x
⇔ = − − = − − <
− −
;
3
x 0 x
4
∀ ≤ ≤
Vậy g(x) là hàm nghịch biến nên
1
x
2
=
là nghiệm duy nhất của (**)
y 2⇒ =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
3
3
y 1 x
2 1
x y 1
x y 1 x y 10 5
+
− =
+
+ + + − + =
Đáp số :
( ) ( ) ( )
49 41
x;y 7; 8 ; 1;7 ; ;
64 8
= −
÷
Bài 2:
2 2 2 2
(2x y) 5(4x y ) 6(2x y) 0
1
2x y 3
2x y
+ − − + − =
+ + =
−
Đáp số :
( )
3 1 3 1
x;y ; ; ;
8 4 4 2
=
÷ ÷
Bài 3:
( )
3 2 3
3
y x
x 3x y 3y 2
x 2 y 1
log log x 3
y 1 x 2
− = − −
− −
+ = −
÷
÷
− −
Đáp số : (x ; y) = (3 ; 2)
Bài 4:
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1
−
−
+ − + = +
+ − + = +
Đáp số : (x ; y) = (1 ; 1)
Bài 5:
2 y
2 x
x x 1 3
y y 1 3
+ + =
+ + =
Đáp số : (x ; y) = (0 ; 0)
BÀI HỌC 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG CƠ BẢN
I. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1
Là hệ gồm 2 phương trình mà khi ta thay x bởi y và y bởi x thì các phương trình trong hệ không có gì thay
đổi.
Cách giải: đặt
x y S
xy P
+ =
=
điều kiện
2
S 4P≥
Bài 1:
3 3
x y 8
x y 2xy 2
+ =
+ + =
Hệ
3
(x y) 3xy(x y) 8
x y 2xy 2
+ − + =
⇔
+ + =
+ Đặt
2
x y S
xy P
S 4P
+ =
=
≥
khi đó ta có hệ :
(1)
S + 2P = 2 (2)
3
S 3PS 8
− =
- Từ (2)
2 S
P
2
−
⇒ =
thay vào (1) có :
3 2 2
2S 3S 6S 16 0 (S 2)(2S 7S 8) 0 S 2 P 0+ − − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇒ =
Đáp số:
x 0;y 2
x 2;y 0
= =
= =
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 15
Bài 2:
2 2
4 2 2 4
x y 5
x x y y 13
+ =
− + =
+ Hệ
2
2
2 2
(x y) 2xy 5
(x y) 2xy 3(xy) 13
+ − =
⇔
+ − − =
.
+ Đặt
2
x y S
xy P
S 4P
+ =
=
≥
khi đó ta có hệ :
-2P=5 (1)
-3P =13 (2)
2
2
2 2
S
S 2P
−
S 3,P 2
S 1;P 2
= ± =
⇔
= ± = −
- Với
S 3 x 1;y 2
P 2 x 2;y 1
= = =
⇒
= = =
- Với
S 3 x 2;y 1
P 2 x 1;y 2
= − = − = −
⇒
= = − = −
- Với
S 1 x 2;y 1
P 2 x 1;y 2
= = = −
⇒
= − = − =
- Với
S 1 x 2;y 1
P 2 x 1;y 2
= − = − =
⇒
= − = = −
II. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2
Là hệ gồm 2 phương trình mà khi ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình trên trở thành phương trình
dưới và phương trình dưới trở thành phương trình trên
Cách giải: Lấy vế trừ vế nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích.
Bài 1: (KB-2003)
2
2
2
2
y 2
3y
x
x 2
3x
y
+
=
+
=
* ĐK:
x, y 0≠
+ Hệ
(1)
3xy (2)
2 2
2 2
3yx y 2
x 2
= +
⇔
= +
- Lấy (1) - (2) ta có :
2 2 2 2
3yx 3xy y x (x y)(3yx x y) 0 x y− = − ⇔ − + + = ⇔ =
(Do từ (1) và (2)
x, y 0 3yx x y 0⇒ > ⇒ + + >
)
- Thay y = x vào (1) có :
3 2 2
3x x 2 0 (x 1)(3x 2x 2) 0 x y 1− − = ⇔ − + + = ⇔ = =
Bài 2:
x
y
log (3x 2y) 2
log (3y 2x) 2
+ =
+ =
* ĐK:
0 x,y 1< ≠
+ Hệ
2
2
3x 2y x (1)
3y 2x y (2)
+ =
⇔
+ =
. Lấy (1) - (2) ta có :
x 0
y x
x 5 y
(x y)(1 x y) 0
x 2
y 1 x
x 2 y 1
=
= ⇒
= =
− − − = ⇔
= −
= − ⇒
= ⇒ = −
Đáp số : (x ; y) = (5 ; 5)
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 16
Bài 3:
(1)
(2)
x 1 7 y 4
y 1 7 x 4
+ + − =
+ + − =
* ĐK:
1 x;y 7− ≤ ≤
- Lấy (1) - (2) ta có :
x 1 y 1 7 y 7 x 0+ − + + − − − =
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
x 1 y 1 x 1 y 1 7 y 7 x 7 y 7 x
0
x 1 y 1 7 y 7 x
+ − + + + + − − − − + −
⇔ + =
+ + + − + −
1 1
(x y) 0 x y
x 1 y 1 7 y 7 x
⇔ − + = ⇔ =
+ + + − + −
- Thay y = x vào (1) có :
x 1 7 x 4 x 1 2 (x 1)(7 x) 7 x 16+ + − = ⇔ + + + − + − =
(x 1)(7 x) 4 x 3 y⇔ + − = ⇔ = =
Bài 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
2 2
2 2
x y m y (1)
y x m x (2)
m 0
+ =
+ =
<
+ Lấy (1) - (2) ta có :
(x y)(xy y x) 0 x y− + + = ⇔ =
(do m < 0 nên xy + y + x > 0)
Thay y = x vào (1) có :
(*)
3 2
x x m,x 0− + = >
- Để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm duy nhất
⇔
2 đồ thị
3 2
f(x) x x ,x 0
y m
= − + >
=
phải cắt nhau tại duy nhất 1 điểm
- Có
(ktm)
2
x 0
f '(x) 3x 2x,f '(x) 0
2
x
3
=
= − + = ⇔
=
Từ BBT suy ra giá trị m cần tìm là m < 0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
2 2 3 3
x y 4
(x y )(x y ) 280
+ =
+ + =
Đáp số : (x ; y) = (1 ; 3), (3 ; 1)
Bài 2:
2 2
3 3
x y xy 30
x y 35
+ =
+ =
Đáp số : (x ; y) = (2 ; 3), (3 ; 2)
Bài 3:
3 2
x
3 2
y
log (x 2x 3x 5y) 3
log (y 2y 3y 5x) 3
+ − − =
+ − − =
Đáp số : (x ; y) = (4 ; 4)
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN
Trang 17
Bài 4:
1 1
2 2
y
x
1 1
2 2
x
y
+ − =
+ − =
Đáp số : (x ; y) = (1 ; 1)
Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
3 2 2
3 2
x y 7x mx
y x 7y my
= + −
= + −
Đáp số : m > 16
Bài 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm
x 1 y 2 m
y 1 x 2 m
+ + − =
+ + − =
Đáp số :
m 3≥
HẾT
