Luận văn thạc sĩ Bài toán bù tuyến tính suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC




NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ




BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC









Thái Nguyên – 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ


BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG

Chuyên nghành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học :
PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm





Thái Nguyên – 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC



NGUYỄN THỊ HỒNG HÀ

BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH SUY RỘNG

Chuyên nghành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12



TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC









Thái Nguyên – 2014
1
Mục lục
Lời cảm ơn 3
Mở đầu 5
Một số kí hiệu 6
1 Một số kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Khái niệm về không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Tôpô yếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Bài toán bù tuyến tính suy rộng 19
2.1 Giới thiệu bài toán bù tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Một số kết quả cho nón đa diện . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Kết quả tồn tại trong trường hợp nón tổng quát . . . . . . 22
2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Một số kết quả nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Một đặc trưng của nón đa diện trong các không gian hữu
hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2
Kết luận 33
Tài liệu tham khảo 33
3
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm -
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô của trường Đại học Thái Nguyên
đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp
đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014
Nguyễn Thị Hồng Hà
4
CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
H Không gian Hilbert
R
n
không gian Hilbert n-chiều
. chuẩn trong không gian Hilbert
x, y tích vô hướng của hai véc tơ x; y
x⊥y x trực giao với y
S

⊥
phần bù trực giao của S
H
∗
không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục
RanT = {T x : x ∈ H} ảnh của toán tử T
KerT = {x ∈ H : T x = 0} hạt nhân của toán tử T
A
∗
toán tử liên hợp của toán tử A
K
∗
nón đối ngẫu của nón K
GLCP(T, K, q) bài toán bù tuyến tính suy rộng
5
Mở đầu
Bài toán bù tuyến tính có một vị trí rất quan trọng. Nhiều tác giả trong
và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng của nó
trong k trong không gian hữu hạn chiều và không gian vô hạn chiều. Luận
văn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản nhất về bài
toán bù tuyến tính suy rộng. Luận văn gồm 2 chương.
Chương 1: trình bày những kiến thức cơ bản về không gian Hinbert và
toán tử trong không gian Hilbert, tập lồi và hàm lồi.
Chương 2: trình bày về bài toán bù tuyến tính và sự tồn tại nghiệm của
nó.
6
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Nội dung chính của chương bao gồm một số kiến thức cơ sở về không
gian Hilbert thực và toán tử đơn tuyến tính trên không gian Hilbert.

1.1 Không gian Hilbert
Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [1] và [2].
1.2 Khái niệm về không gian Hilbert
Cho H là không gian vector trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.1.
Ta gọi mỗi ánh xạ
., . : H × H → R; (x, y) → x, y
là một tích vô hướng trên H nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn: Với
mọi x, y, z ∈ H và α ∈ R
i) x, y = y, x,
ii) αx, y = α x, y,
7
iii) x, y + z = x, y + x, z,
iv) x, x ≥ 0, x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Số x, y được gọi là tích vô hướng của x và y. Không gian véc tơ H
cùng với một tích vô hướng xác định được gọi là không gian có tích vô
hướng và thường được viết là (H, ., .).
Mệnh đề 1.1.
Cho không gian véc tơ H cùng với một tích vô hướng ., . xác định.
Khi đó công thức
x =

x, x
xác định một chuẩn trên H.
Định nghĩa 1.2.
Nếu không gian có tích vô hướng (H, ., .) với chuẩn xác định như
trên là một không gian đủ, thì ta gọi (H, ., .) là một không gian Hilbert.
Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert (H, ., .).
Ví dụ 1.1.
Lấy H = R

n
. Với x = (x
1
, . . . , x
n
), y = (y
1
, . . . , y
n
) ∈ H biểu thức
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
xác định một tích vô hướng trên không gian R
n
và với chuẩn
x =

x, x
R
n
trở thành một không gian Hilbert hữu hạn chiều.
Định nghĩa 1.3.
Tập S ⊂ H được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ S, đoạn thẳng nối x, y
đều nằm trong S. Nói cách khác, S ⊂ H là tập lồi khi và chỉ khi:

∀x, y ∈ S, ∀λ ∈ [0, 1] ta có x = λx
1
+ (1 − λ) x
2
∈ S.
8
Định nghĩa 1.4.
Cho S ⊂ H là một tập hợp khác rỗng. S được gọi là nón nếu ∀λ > 0
và x ∈ S ta luôn có λx ∈ S.
Nón S được gọi là nón lồi nếu S là tập lồi.
Nón S được gọi là nón lồi đóng nếu S vừa là nón lồi vừa là tập đóng.
Định nghĩa 1.5.
Cho một tập hợp khác rỗng S ⊂ H. Nón đối cực của S, được ký hiệu
là S
∗
, là tập hợp {y ∈ H | y, x ≤ 0, ∀x ∈ S}. Nếu S là tập rỗng thì nón
đối cực sẽ là H.
Định lý 1.1.
Cho H là không gian Hilbert với x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức
sau
|x, y| ≤ xy.
Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Cauchy- Schwartz.
Chứng minh.
Nếu x = 0 thì hiển nhiên nhiên bất đẳng thức Cauchy- Schwartz đúng.
Xét trường hợp x = 0. Với t ∈ R, đặt ϕ(t) = tx + y, tx + y. Theo định
nghĩa tích vô hướng ta có ϕ(t) ≥ 0, ∀t. Ta lại có
ϕ(t) = x, xt
2
+ 2x, yt + y, y
là một tam thức bậc hai biến t. Do tính không âm của ϕ(t)ta phải có

∆ = x, y
2
− x, x.y, y ≤ 0. Từ đây suy ra |x, y| ≤ xy, ta có điều
phải chứng minh.
9
Định lý 1.2.
Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó
., . : H × H → R
là một hàm liên tục.
Chứng minh.
Cho {x
n
}, {y
n
} là hai dãy trong không gian Hilbert H lần lượt hội tụ về
x
0
và y
0
. Khi đó, ta có
|x
n
, y
n
 − x
0
, y
0
|  |x
n

, y
n
 − x
n
, y
0
| + |x
n
, y
0
 − x
0
, y
0
|
= |x
n
, y
n
− y
0
| + |x
n
− x
0
, y
0
|
≤ x
n

y
n
− y
0
 + x
n
− x
0
y
0
.
Theo giả thiết {x
n
} hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số α > 0
sao cho x
n
 ≤ α với mọi số tự nhiên n. Vì vậy, ta có
|x
n
, y
n
 − x
0
, y
0
| ≤ αy
n
− y
0
 + x

n
− x
0
y
0
.
Chuyển qua giới hạn ta được
lim
n→∞
|x
n
, y
n
 − x
0
, y
0
| = 0.
Vậy định lý được chứng minh.
Định lý 1.3.
Cho S là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H. Khi
đó, với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ S sao cho x −y = inf{x−z |
z ∈ S}.
Ta kí hiệu d(x, S) = inf{x − z | z ∈ S}.
10
Định nghĩa 1.6.
Hai phần tử x và y của không gian Hilbert H gọi là trực giao nếu
x, y = 0, kí hiệu x⊥y.
Nếu S là một tập con của không gian Hilbert H thì tập
S

⊥
= {x ∈ H | x⊥y ∀y ∈ S}
gọi là phần bù trực giao của S.
Từ định nghĩa ta có thể suy ra tính chất đơn giản sau :
1. 0⊥x ∀x ∈ X;
2. x⊥y ⇒ y⊥x;
3. x⊥ {y
1
; y
2
; ; y
n
} ⇒ x⊥α
1
y
1
+ α
2
y
2
+ α
n
y
n
, n ∈ N
∗
α
i
∈ R, i = 1, 2, 3, , n;
4. x⊥y

n
, y
n
→ y khi n → ∞ thì x⊥y.
Định lý 1.4.
Giả sử S là một không gian con đóng của không gian Hilbert H. Khi
đó mỗi phần tử x ∈ H biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng
x = y + z, trong đó y ∈ S và z ∈ S
⊥
.
Chứng minh.
Nếu x ∈ S thì đặt y = x, z = 0. Ta có khẳng định đúng. Xét trường hợp
x /∈ S. Vì S đóng nên tồn tại duy nhất y ∈ S sao cho x − y = d(x, S).
Đặt z = x − y, ta có x = y + z, Ta phải chứng minh z ∈ S
⊥
. Thật vậy,
với mọi α ∈ R, u ∈ S ta có
z = x − y ≤ x − (y + αu)
= z − αu.
11
Từ đó suy ra
z
2
≤ z − αu, z − αu
= z
2
− αu, z − αz, u + α
2
u
2

.
Chọn α = z, u và u, ta suy ra 0 ≤ −|z, u|
2
. Do đó, z, u = 0 với mọi
u ∈ S và u = 1. Như vậy ta đã chỉ ra z ∈ S
⊥
.
Tiếp theo ta chứng minh sự biểu diễn là duy nhất, giả sử x = y
1
+ z
1
với
y
1
∈ S, z
1
∈ S
⊥
. Khi đó, y − y
1
= z
1
− z, ta có y − y
1
∈ S và y − y
1
∈ S
⊥
.
Từ đó suy ra y − y

1
, y − y
1
 = 0. Do vậy y = y
1
và do đó z = z
1
. Vậy định
lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.7.
Theo định lý trên, mọi x ∈ H đều biểu diễn được duy nhất dạng
x = y + z với y ∈ S, z ∈ S
⊥
. Như vậy, H = S ⊕ S
⊥
. Ánh xạ P : H → S,
xác định P (x) = y với x = y + z ∈ S ⊕ S
⊥
, được gọi là phép chiếu trực
giao từ H lên S.
Định lý 1.5.
Phép chiếu trực giao P từ không gian Hilbert H lên không gian con
đóng S = {0} là một toán tử tuyến tính liên tục.
Chứng minh.
Với x
1
, x
2
∈ H, α ∈ R, theo định lý 1.4 ta có
x

1
= P x
1
+ z
1
; x
2
= P x
2
+ z
2
,
trong đó z
1
, z
2
∈ S
⊥
.
Vì vậy
x
1
+ x
2
= P x
1
+ P x
2
+ z
1

+ z
2
,
12
trong đó P x
1
+ P x
2
∈ S, z
1
+ z
2
∈ S
⊥
. Từ tính duy nhất của sự biểu diễn
trong định lý trên ta suy ra
P (x
1
+ x
2
) = P x
1
+ P x
2
.
Tương tự P (αx
1
) = αP(x
1
). Vậy P tuyến tính.

Mặt khác, với x ∈ H ta có
x
2
= P x
2
z
2
≥ P x
2
.
Từ đó suy ra P bị chặn. Vậy P liên tục. Định được chứng minh.
Định lý 1.6. Định lý F.Riesz
Với mỗi véc tơ a cố định thuộc không gian Hilbert H , hệ thức :
f(x) = a, x (1.1)
xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x)trên không gian H , với
f = a (1.2)
Ngược lại bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục nào trên không gian
Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (1.1), trong đó
a là một véc tơ của H thỏa mãn (1.2).
Chứng minh.
Phần thứ nhất của định lí ta dễ dàng chứng minh được vì f(x) = a, x
rõ ràng là một phiếm hàm tuyến tính do
f(x) = |a, x| < a × x (1.3)
f(x) = |a, a| = a × a (1.4)
nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.1).
Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên
tục f(x)trên không gian Hilbert H . Tập hợp
13
M = {x ∈ H : f(x) = 0}
rõ ràng là một không gian con đóng của H. Nếu M

⊥
= {0} thì dựa vào cách
phân tích x = y + z với y ∈ M, z ∈ M
⊥
, ta thấy rằng z = 0 nên f(x) = f(y)
= 0 với ∀x ∈ H do đó f(x) = 0, x nghĩa là ta có thể biểu diễn (1.1)
với a = 0 . Vậy ta chỉ xét trường hợp M
⊥
= {0}. Ta có f(x
0
) = 0, nên véc
tơ
a =
f(x
0
)
x
0
, x
0

x
0
= 0
Với mọi x ∈ H
y = x −
f(x)
f(x
0
)

x
0
∈ M
vì
f(y) = f(x) −
f(x)
f(x
0
)
f(x
0
) = 0
Mà
x
0
∈ M
⊥
,
vậy y, x
0
 = 0 tức là

x −
f(x)
f(x
0
)
x
0
, x

0

= x, x
0
 −
f(x)
f(x
0
)
x
0
, x
0
 = 0
hay :
f(x) =

x −
f(x)
f(x
0
)
x
0
, x

= a, x
Như vậy f(x) có dạng (1.2). Cách biểu diễn đó là duy nhất vì nếu
f(x) = a


, x thì a − a

, x = 0, nghĩa là a − a

= 0. Cuối cùng do (1.3) và
(1.4) nên phải có (1.2) như trên. Định lí được chứng minh.
Định lý vừa chứng minh cho phép ta thiết lập một tương ứng đôi một
giữa hàm tuyến tính liên tục f trên H và véc tơ a ∈ H. Tương ứng đó là
14
một phép đẳng cự tuyến tính, cho lên nếu ta đồng nhất phiếm hàm f với các
véc tơ a sinh ra nó thì ta có H
∗
= H, nghĩa là: Không gian Hilbert trùng
với không gian liên hợp của nó.
1.3 Tôpô yếu trong không gian Hilbert
Định nghĩa 1.8.
Tôpô yếu nhất trên H để các ánh xạ f ∈ H
∗
vẫn còn liên tục được
gọi là tôpô yếu trên H.
Mệnh đề 1.2.
Dãy {x
k
} ⊂ H hội tụ yếu đến x nếu và chỉ nếu f(x
k
) → f(x) với mọi
f ∈ H
∗
.
Chứng minh.

Giả sử {x
k
} hội tụ yếu đến x và f ∈ H. Với mọi ε > 0 tồn tại
k
0
∈ U(f, x, ε) với mọi k ≥ k
0
. Nhưng điều đó có nghĩa là |f(x
k
)−f(x)| < ε
với mọi k ≥ k
0
. Vậy f(x
k
) → f(x).
Bây giờ giả sử f(x
k
) → f(x) với mọi f ∈ H
∗
. Lấy lân cận tùy ý có dạng
U(f
1
, f
2
, . . . , f
p
, x, ε) của x. Vì f
i
(x
k

) → f
i
(x) với i = 1, . . . , p nên tồn tại
k
0
để |f
i
(x
k
) − f
i
(x)|ε với mọi k ≥ k
0
, i = 1, 2, . . . , p. Điều này có nghĩa là
x
k
∈ U(f
1
, f
2
, . . . , f
p
, x, ε) với mọi k ≥ k
0
, tức là x
k
hội tụ yếu đến x.
Mệnh đề 1.3.
Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert H là compact yếu.
1.4 Toán tử trong không gian Hilbert

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H. Với mỗi
15
y ∈ H cố định ta xét phiếm hàm f : H → R được xác định như sau:
f(x) = Ax, y , x ∈ H.
Định nghĩa 1.9.
Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H,
ánh xạ A
∗
: H → H được xác định như sau:
∀y ∈ H, A
∗
y = y
∗
trong đó
Ax, y = x,A
∗
y = x, y
∗
.
Khi đó A
∗
được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Định lý 1.7.
Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử liên tục từ
H vào H. Khi đó: A
∗∗
= A và A
∗∗
 = A.
Định lý 1.8.

Giả sử H là một không gian Hilbert và A, B là một toán tử liên tục
từ H vào H, λ ∈ R. Khi đó:
(A + B)
∗
= A
∗
+ B
∗
,
(λA)
∗
= λA
∗
,
(B ◦ A)
∗
= A
∗
◦ B
∗
.
I
∗
= I (I là toán tử đồng nhất trên H).
16
Định lý 1.9.
Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử liên tục từ
H vào H .
A là một phép đồng phôi khi và chỉ khi A
∗

là một phép đồng phôi và
(A
∗
)
−1
= (A
−1
)
∗
.
Định nghĩa 1.10.
Với M ⊂ H, ta kí hiệu spanM là không gian tuyến tính nhỏ nhất của
H chứa M, intM là phần trong của M trong H, ∂M là biến của tập M
và M
⊥
= {x ∈ H : x, e = 0 ∀e ∈ M} = 0. Với mỗi toán tử T, chúng ta
viết RanT = {T x : x ∈ H} KerT = {x ∈ H : T x = 0} lần lượt là ảnh và
nhân của T.
Định nghĩa 1.11.
Cho H là một không gian Hilbert, T là một toán tử tuyến tính bị chặn
trên H, K và L là những nón lồi đóng trong H. Ta nói T là đồng dương
cộng trên K nếu:
i) k ∈ K thì T k, k  0;
ii) k ∈ K và T k, k = 0 thì (T + T
∗
)k = 0.
Định nghĩa 1.12.
Cho H là một không gian Hilbert, T là một toán tử tuyến tính bị chặn
trên H, K nón lồi đóng trong H. Ta nói T là đơn điệu trên K nếu
T x − T y, x − y  0; x, y ∈ K.

Định nghĩa 1.13.
Cho M là một tập trong không gian Hilbert H. M được gọi là khả ly
nếu M chứa một tập con đếm được trù mật trong M.
17
Định nghĩa 1.14.
Nón K trong không gian H được gọi là mỏng nếu K khả ly và vector
0 không thuộc vào bao đóng yếu của tập {k ∈ H : k = 1}.
Lưu ý rằng, mọi nón trong không gian hữu hạn chiều của H đều mỏng
(xem [5]).
Với α > 0 và phần tử e = 0 cố định trong không gian Hilbert khả ly H
ta có nón {x ∈ H : x, e  α x e}) là mỏng (xem [5]).
Định nghĩa 1.15.
Nón K trong H được gọi là một đa diện nếu tồn tại một tập hợp hữu
hạn {a
1
; a
2
; a
n
} ⊂ K sao cho
K =

x ∈ H : x =
n

m=1
λ
m
a
m

, λ
m
 0

.
Chúng ta lưu ý rằng hình nón đa diện luôn luôn mỏng.
Định nghĩa 1.16.
Với q
1
, q
2
∈ H, ta kí hiệu q
1
⊗ q
2
là toán tử tuyến tính trên h xác định
bởi
(q
1
⊗ q
2
)(x) = (q
1
, x)(q
2
)
Định nghĩa 1.17.
Ánh xạ ϕ từ K vào R được gọi là nửa liên tục dưới đối với tôpô yếu
của H nếu như:
lim inf ϕ(y) ≥ ϕ(x)

khi y hội tụ yếu đến x trong K.
18
Kết luận
Trong chương 1 đã trình bày một số khái niệm về không gian hilbert, toán
tử trong không gian Hilbert, định nghĩa về tập lồi , nón lồi, nón lồi đóng
các kết quả cơ bản sẽ dùng trong những phần sau.
19
Chương 2
Bài toán bù tuyến tính suy rộng
Chương 2 sẽ trình bày một số kết quả về bài toán bù tuyến tính suy rộng
trong không gian Hilbert. Các kết quả trình bày trong chương này được lấy
từ bài báo [5].
2.1 Giới thiệu bài toán bù tuyến tính
Có rất nhiều kết quả liên quan đến bài toán bù tuyến tính trong các
không gian hữu hạn chiều cũng như trong không gian vô hạn chiều (xem
[5], [4] và những tài liệu trích dẫn trong đó).
Bài toán bù tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều được phát biểu
như sau:
Tìm vectơ z ∈ R
n
sao cho
Mz + q, z  0, ∀z ∈ R
n
+
, Mz + q, z = 0,
trong đó M là ma trận vuông cấp n×n, q ∈ R
n
, R
n
+

= {x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈
R
n
| x
i
≥ 0 ∀i = 1, 2, . . . , n}.
Khái quát khái niệm trên trong không gian Hilbert:
20
Định nghĩa 2.1.
Cho H là một không gian Hilbert, K là một nón lồi trong H. Bài
toán bù tuyến tính trong không gian Hilbert là:
Tìm x ∈ K sao cho
T x + q, k  0, (∀k ∈ K) và T x + q, x = 0,
trong đó T là một toán tử tuyến tính trên H và q là một phần tử của H.
Bài toán trên được gọi là bài toán bù tuyến tính suy rộng trên không
gian Hilbert và được kí hiệu GLCP(T, K, q).
Định nghĩa 2.2.
Bài toán GLCP(T, K, q) được gọi là chấp nhận được nếu tồn tại x ∈ K
sao cho Tx + q ∈ K
∗
, trong đó
K
∗
= {x ∈ H : x, k ≥ 0 ∀k ∈ K}.

Nếu x ∈ K sao cho T x + q ∈ K
∗
thì ta nói x là chấp nhận được đối với
(cho) bài toán GLCP(T, K, q).
Định nghĩa 2.3.
Ta nói bài toán GLCP(T, K, q) chấp nhận được nếu tồn tại x chấp
nhận cho bài toán GLCP(T, K, q) và T x + q, x = 0.
Ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của bài toán bù tuyến
tính suy rộng.
2.2 Một số kết quả cho nón đa diện
Định lý 2.1. Cho K là một đa diện và T là một toán tử đồng dương
tăng cường trên K . Nếu bài toán bù tuyến tính suy rộng GLCP(T, K, q)
chấp nhận được thì nó có nghiệm.
21
Chứng minh.
Nếu dimH < ∞ thì, bằng cách sử dụng phép biến đổi bảo toàn tích
hướng, ta có thể giả sử H = R
n
với một n nào đó và sử dụng tích vô hướng
thông thường trên R
n
. Vì K là một nón đa diện, tồn tại số nguyên dương
m và ánh xạ tuyến tính B : R
m
→ R
n
sao cho B(R
m
+
) = K. Dễ dàng thấy

rằng

T = B
∗
T B là một toán tử đồng dương cộng trên R
m
+
. Vì bài toán bù
tuyến tính suy rộng GLCP(T, K, q) chấp nhận được, tồn tại x
0
∈ K sao cho
T x
0
+ q, k  0 với k ∈ K.
Với phần tử x
0
∈ R
m
+
bất kì thỏa mãn B x
0
= x
0
ta có


T x
0
+ B
∗

q, x

= B
∗
(T x
0
+ q), x = (T x
0
+ q), Bx  0
với mọi x ∈ R
m
+
. Như vậy, GLCP(

T,R
∗
+
, B
∗
q) chấp nhận được. Theo Định
lý Lemke [16], tồn tại x ∈ R
m
+
sao cho


T x + B
∗
q, x


 0 (x ∈ R
m
+
) và


T x + B ∗ q, x

= 0. (2.1)
Rút gọn (2.1) ta được
T (Bx + q, Bx  (x ∈ R
m
+
) và T (Bx) + q, Bx = 0 (2.2)
và ta thấy rằng Bx là nghiệm của GLCP(T, K, q).
Trong trường hợp tổng quát, giả sử X là một không gian hữu hạn chiều
của H chứa K. Kí hiệu P là phép chiếu vuông góc từ H lên X và đặt
S = P T. Khi đó, S : X → X là toán tử đồng dương cộng trên K và
Sx
0
+ P q, k = T x
0
+ q, k 0 ∀k ∈ K.
Như vậy, bài toán GLCP(S, K, P q) chấp nhận được trên K. Theo như trường
hợp hữu hạn chiều đã xét ở trên, tồn tại x ∈ K sao cho
Sx + P q, k  0 ∀k ∈ K và Sx + P q, x = 0. (2.3)
22
Vì Sx + P q, k = Tx + q, k với mọi k ∈ K, chứng tỏ rằng x là một
nghiệm của GLCP(T, K, q).
2.3 Kết quả tồn tại trong trường hợp nón tổng quát

Định lý 2.2.
Giả sử rằng
i) T là một toán tử đồng dương cộng trên K,
ii) Ánh xạ x → T x, x là nửa liên trục dưới yếu trên K,
iii) K là nón mỏng,
iv)

k ∈ K | Tk ∈ K
∗
, Tk, k = 0 và < q, k >= 0

= {0}.
Khi đó, nếu GLCP(T, K, q) chấp nhận được thì tập nghiệm của
GLCP(T, K, q) khác rỗng và compact yếu.
Chứng minh.
Trước tiên chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm. Lấy x
0
là chấp nhận được
đối với GLCP(T, K, q). Ta có thể giả sử rằng x
0
= 0 và K = 0; trái lại, 0
là một nghiệm của bài toán. Khi đó, theo (iii), tập { x
0
∈ K | x = 1}
khác rỗng và khả li. Kí hiệu {ε
0
, ε
1
, ε
2

} là tập con trù mật của {x ∈
K | x = 1} với ε
0
= x
0
/x
0
 và kí hiệu K
n
là nón lồi đóng sinh bởi
{ε
0
, ε
1
, ε
2
, . . . , ε
n
}. Ta có mỗi K
n
là nón đa diện chứa x
0
. Vì K
n
⊂ K, theo
(i) T là đồng dương cộng trên K
n
với mỗi n = 1, 2, 3,
Bây giờ ta cố định n. Vì x
0

là chấp nhận được đối với GLCP(T, K
n
, q),
theo định lý 2.1 tồn tại x
n
∈ K
n
sao cho
T x
n
+ q, k  0 (k ∈ K
n
) và T x
n
+ q, x
n
 = 0. (2.4)
Ta khẳng định rằng, dãy {x
n
} bị chặn khi n → ∞. Thật vậy, nếu {x
n
}
không bị chặn thì, không giảm tổng quát, ta có thể giả sử rằng x
n
 → ∞.