De thi GVG mon Toan-Truong THCS Than Nhan Trung

Đề thi giáo viên giỏi cấp trờng
Năm học: 2008 - 2009
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 120 phút
***
Bài 1 ( 2 điểm )
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x
2
- 2007x - 2008.
b) Giải phơng trình :

+ = +
x 4 x 3 x 2 x 1
2006 2007 2008 2009
.
Bài 2 ( 2 điểm )
a) Chứng minh a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3
với mọi a, b.
b) Cho P = n
4
+ 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.
Bài 3 ( 2 điểm )

Chứng minh A = n
3
- 3n
2
- n + 3 chia hết cho 48 với n là số nguyên lẻ.
Bài 4 (3 điểm )
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O; R) tiếp xúc ngoài tại A (R>R). Vẽ dây
AM của đờng tròn (O) và dây AN của đờng tròn (O) sao cho AM và AN
vuông góc với nhau.
a) Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Xác định vị trí của M và N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất.
Bài 5 ( 1 điểm )
Cho a, b, c là ba số thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Hãy tính giá
trị của biểu thức:
N = a
2006
+ b
2007

+ c
2008
.
Hết
Trờng THCS
thân nhân trung
Đáp án và hớng dẫn chấm toán
Chú ý: Dới đây chỉ là sơ lợc cách giải và cách cho điểm từng phần của mỗi
bài. Bài làm yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu giải cách khác mà
đúng thì chấm điểm của từng phần tơng ứng.
Bài
ý
Nội dung Điểm
Bài 1
(2đ)
a
(1đ)
x
2
- 2007x - 2008 = x
2
+ x - 2008x - 2008
=x(x + 1) - 2008(x + 1) = (x + 1)(x - 2008)
0,5đ
0,5đ
b
(1đ)


+ = +

x 4 x 3 x 2 x 1
2006 2007 2008 2009




+ = +
x 4 x 3 x 2 x 1
1 1 1 1
2006 2007 2008 2009



+ = +
x 2010 x 2010 x 2010 x 2010
2006 2007 2008 2009


+ =
ữ

1 1 1 1
(x 2010) 0
2006 2007 2008 2009

x - 2010 = 0 ( vì
+
1 1 1 1
0)
2006 2007 2008 2009

x = 2010 . Vậy phơng trình có nghiệm x = 2010.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2
(2đ)
Bài 3
a
(1đ)
a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3


a
4
+ b
4
- a
3
b - ab

3


0

a
4
- a
3
b + b
4
- ab
3


0

a
3
(a - b) + b
3
(b - a)

0

(a
3
- b
3
)(a - b)

0

(a - b)
2
(a
2
+ ab +b
2
)

0. (1)
Vì (a - b)
2


0 và a
2
+ ab +b
2
=
2
2
3
0
2 4
b
a b

+ +

ữ

.
Suy ra (1) đúng. Vậy a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3
.
0,5đ
0,25đ
0,25đ
b
(1đ)
P = n
4
+ 4 = n
4
+ 4n
2
+ 4 - 4n
2
= (n
2
+ 2)

2

- (2n)
2

= (n
2
- 2n + 2)(n
2
+ 2n + 2) = [(n - 1)
2
+ 1][(n+1)
2
+ 1].
Vì n là số tự nhiên nên (n+1)
2
+ 1

2;
Nh vậy muốn P là số nguyên tố thì phải có (n - 1)
2
+ 1 = 1
hay (n - 1)
2
= 0, suy ra n = 1.
Khi đó P = 5 là số nguyên tố.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

(2đ) A = n
3
- 3n
2
- n + 3 =n
2
(n - 3) - (n - 3) = (n - 3)(n - 1)(n +1)
0,25
Thay n = 2k + 1 ( k là số nguyên) ta đợc :
A = (2k - 2)2k(2k + 2) = 8(k - 1)k(k +1)
0,25
Ta thấy (k - 1)k(k + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên
chia hết cho 6
Vậy A chia hết cho 48
0, 5đ
0, 5đ
0, 5đ
0,5đ
Bài 4
(3đ)
a
1,5đ
Chứng minh OM//ON
Suy ra đợc
' ' 'O I O N R
IO OM R
= =

Lí luận để chỉ ra I cố định
0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ
b
1,5đ
Kẻ OK vuông góc với AM
OH vuông góc với AN.
Suy ra góc OAK bằng góc AOH (kí hiệu là

)
S
AMN
=
1
2
AM.AN=2AK.AH=RR.2sin

.cos

(0,5 đ)
áp dụng BĐT 2ab

a
2
+b
2
ta đợc:
2sin

.cos

sin
2

+cos
2

=1. Vậy S
AMN


RR
(0,5 đ)
Đẳng thức xảy ra <=> sin

=cos

<=>

=45
0
<=> OM và
ON vuông góc với OO. Vậy Max S
AMN
=RR <=> OM và
ON vuông góc với OO.
(0,5 đ)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

H
K
A
I
N
M
O'
O
Bµi 5
(1®)
(1®) a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1
Tõ a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 =>

1, 1, 1a b c≤ ≤ ≤
.
Ta cã: a
2
+ b
2
+ c
2
- (a
3
+ b
3
+ c
3
)

= 0
⇔
a
2
(1 - a) + b
2
(1 - b) + c
2
(1 - c) = 0 (1).
V× a
≤
1 => 1 - a
≥
0, do ®ã a

2
(1 - a)
≥
0. T¬ng tù ta cã:
b
2
(1 - b)
≥
0, c
2
(1 - c)
≥
0.
Nªn (1)
2
2
2
(1 ) 0
(1 ) 0
(1 ) 0
a a
b b
c c

− =

⇔ − =


− =


KÕt hîp víi ®Çu bµi a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 ta ®îc a, b, c
{ }
0;1∈
trong
®ã cã hai sè b»ng 0 vµ mét sè b»ng 1. VËy N = a
2006
+ b
2007
+
c
2008
= 1.
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
HÕt