Trích đoạn công phá BDT

NGUYỄN VĂN HƯỞNG – TĂNG HẢI TUÂN






CÔNG PHÁ
BẤT ĐẲNG THỨC











NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn
MỤC LỤC

PHẦN I: HAI BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 1
CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 1
$1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 1
I. Bất đẳng thức AM-GM 1
II. Các bất đẳng thức phụ hay dùng 1
III. Một số bài toán sử dụng AM-GM thông thường: 2
A. Ứng dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM 2

B. Sử dụng hằng đẳng thức:     



 

 

     . 2
C. Sử dụng các bất đẳng thức phụ 4
D. Vài bất đẳng thức mạnh hơn bất đẳng thức AM-GM 6
$2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 9
I. Kĩ năng dự đoán điểm rơi: 9
II. Kĩ năng biến hóa: 13
$3: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM DƯỚI MẪU 17
CHƯƠNG II: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 23
$1: LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 23
I. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 23
II. Một số dạng hay dùng trong đề thi đại học 23
III. Một vài ứng dụng 23
$2: CÁC KĨ NĂNG CẦN CÓ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ 28
I. Làm quen với dạng biểu diễn khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 28
II. Kĩ thuật chọn điểm rơi 29
III. Kĩ thuật thêm bớt 32
IV. Kĩ năng đưa về đại lượng giống nhau 34
V. Kĩ năng đổi biến số 36
VI. Kĩ năng nhân; chia đại lượng vào tử và mẫu 38
VII. Kết hợp nhiều kĩ năng 39
PHẦN II: BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 45
$1: TƯ TƯỞNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 45

$2: KĨ NĂNG ĐỔI BIẾN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN 54
$3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 59
PHẦN III: BẤT ĐẲNG THỨC HAI BIẾN SỐ 62
$1: PHƯƠNG PHÁP THẾ VỀ MỘT BIẾN 62
$2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DO TÍNH ĐỐI XỨNG 66
$3: BẤT ĐẲNG THỨC CÙNG BẬC VỚI HAI BIẾN 69
$4: MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 71
PHẦN IV: BẤT ĐẲNG THỨC BA BIẾN 73
$1: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ TOÀN PHẦN 73
$2: KĨ NĂNG ĐƯA VỀ MỘT BIẾN 82
I. Kĩ thuật dồn biến 82
II. Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức cổ điển, bất đằng thức phụ và những ý tưởng nhỏ 87
PHẦN V: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 96
I. Dạng sử dụng các loại bất đẳng thức 98
II. Phương pháp dồn biến trong bất đẳng thức lượng giác 101
PHẦN VI: PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI 107
1. Một số tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 107
2. Sử dụng tam thức bậc 2 để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 108
3. Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh các bất đẳng thức 116
4. Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức trong tam giác 132
PHẦN VII: “VÙNG BIỂN” CHƯA ĐƯỢC KHAI THÁC 136
$1: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC NÊN BIẾT 136
I. BÀI TOÁN I: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 136
II. BÀI TOÁN II: TỬ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV 140
III. BÀI TOÁN III : TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR 144
IV. BÀI TOÁN IV: TƯ TƯỞNG TỪ BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER 148
V. TƯ TƯỞNG BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG KHAI TRIỂN ABEL 151
VI. KĨ THUẬT PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG SOS 154
$2: MỘT PHƯƠNG PHÁP “LẠ” 156
PHẦN VIII: BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC 162

$1: CHIA SẺ KINH NGHIỆM TỪ MỘT BÀI TOÁN “CŨ” 162
$2: 131 BÀI TOÁN TUYỂN CHỌN VÀ PHÂN TÍCH GIẢI 168
$3 : TUYỂN TẬP CÁC CÂU BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2005 – 2014 240
$4 : BÀI TẬP RÈN KĨ NĂNG 252
PHẦN IX: ĐÀO SÂU VÀ MỞ RỘNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG 257
$1: PHƯƠNG PHÁP SOS SUY RỘNG 257
1. Phương pháp S.S 262
2. Phương pháp S.O.S hoán vị 265
$ 2: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ NHỮNG MỞ RỘNG 267
I. Bất đẳng thức Jensen tổng quát 267
II. Bất đẳng thức Karamata 269
III. Bất đẳng thức Muirhead 270
$3: BẤT ĐẲNG THỨC VORNICU-SCHUR 272
PHẦN X: MỘT SỐ BỔ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ. 276
PHẦN XI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP MỚI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC HIỆN ĐẠI 295
$1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN LY ĐẲNG THỨC 295
$2: ỨNG DỤNG GIẢI TÍCH TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 301
I. Một dạng toán xuất phát từ bất đẳng thức tích phân 301
A. Cơ sở lý thuyết 301
Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn
B. Bài tập minh họa 301
II. Sử dụng dãy số để chứng minh một số bất đẳng thức ba biến đối xứng 305
$3: BẤT ĐẲNG THỨC NHIỀU BIẾN 308
I. Một số kĩ thuật đặc trưng với bất đẳng thức bốn biến 308
II. Bất đẳng thức n biến 314
PHẦN XII: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG TRÊN CẢ NƯỚC 324
PHẦN A. ĐỀ BÀI 324
PHẦN B. LỜI GIẢI 328
PHẦN XIII: TUYỂN TẬP VÀ TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN KHÓ 354
$1: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BÀI THI TST (2000-2014) 354

$2: BÀI TẬP TỔNG HỢP 380
$3: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 434
PHỤ LỤC I : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ 437
PHỤ LỤC II : MỘT SỐ TỪ NGỮ TIẾNG ANH HAY DÙNG LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC 443
PHỤ LỤC III : TIỂU SỬ MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC ĐƯỢC ĐẶT TÊN CHO
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KINH ĐIỂN 446
TÀI LIỆU THAM KHẢO 455
LỜI KẾT 456

PHN VIII: BNG THC CHN LC

$1: CHIA S KINH NGHIM T M
Phn này tôi s xoay quanh mt bài toán t ng hp mt s kin thc quan trng cho các bn !
Bài toán 1: Cho  Tìm giá tr nh nht ca:



  
    

  


    

  


  

:
Khi gp bài toán này, bu tôi mun bn bit. Khi gp
mt bài toán bng thc, ng có hong s, c gng vch ra nhng mà mình có th 
n vông khi mà b
Vi bài toán 1, tôi thy ngay mu tiên: o hàm cho tng bin, bi l các bin x,
y, z không ràng buc vào nhau bi mng th, nó li quá phc tp cho vic xét
du co hàm.
V, hay nói cách khác, ta phi làm gì bây git phi làm gì,
 các bài toán bng th:
1. , mc ni gi thit và kt lun vi nhau.
2. Th d u bng xy ra.
3. La ch:
1. Công c mnh:
n bin.
 
 Bng thc Schur.
2. Bng thc c n:
 Bng thc Cauchy
 Bng thc Cauchy-Schwarz
 Bng thc Holder
 Bng thc Jensen
 
3. Phi h: Tách, ghép, i bin, bng thc ph, 
 các bài toán, nó ch na u mà tôi nhn
mnh  :  ch không phi là tt c.
Ví d  c hai, d u bng, rt nhii nói rng: d c du bng có th coi
i quyc 50% bài toán. : c khi d ,
ta ct câu hi: D u b làm gì (m); d (
sai), nhng bài toán nào nên d (ng) tr li nhng câu hi này, tôi s t s
ch tiêu sau:

- Mt là: Ch nên d ng bài có hình thn,  mc tiêu không b tn quá nhiu
vào vic d bài toán 1 trên chc ch u vào vic tìm du bng x
vy, cn nhn mnh mc tiêu mt: nên d u bng hay không?
- Hai là: Theo kinh nghim tôi thy, hu ht các bài toán có du bng xy ra khi:
 Hoc là mt bin ti biên. (nm  gi thit).
 Hoc là hai bin bng nhau.
y, ta ch còn mt bin,  tìm ra du bng d 
i là tt c.
- Ba là: D  du b làm gì? (mc tiêu). Thì khi b,  tng bng thc
trong bài, sau khi vit, bn phi kim tra nó có xy ra du bng hay không? Ví d u bng
xy ra khi mt trong ba bin x, y, z bng 0 mà bn li xut hi0 trong bng
Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn
thc thì chc chn rng bn làm kia thì li gii s vn sai. Kinh nghim này
bn s thy rõ  cân bng h s.
 c ba, a tôi là: t công c mn công c yu. Ti sao tôi l th? 
gin là ta phnh mc tiêu ca ta: gii quyt bài toán ch không phi tìm ra li gii bài toán . Hai
 nào? Ý mà tôi mun bn hiu là:
+ Gii quyt bài toán: là tìm ra kt qu bài toán, tìm ra cách chng minh kt lu
n cht . Tc là, dù cách gii dài hay ngn logic.
+ Tìm ra li gii bài toán: i quyt bài toán, tc là ta phi tìm ra li gii
hay, p mt, nhiu khi không theo mt suy lun logic nào c.
Chc chn rng, tìm ra li gii s phc ti quyt bài toán. Trong kì thi tuyi hc,
th mà chúng ta ci quyu bn nm rõ gc gác v thì ch cn suy lun thông
ng  tìm ra gi.
Tuy nhiên,  c ba này,  ph, ví d  cho bng thc hai bii
xng thì ch t dn bin, u mà tôi mun nhc nh: ng quá quy
tc, hãy càng linh hot càng tt.
Vi mng công c, ta cn chn công c nào cho hp lý????
Quay li bài toán 1, b? ng
i mt ln: Toán hn là công thc, mà còn là s tinh t và li

Sau mt th, ta có cách bii kinh hoàng:





 
 










, bài toán 1 tr thành:
Bài toán 2: Cho  Tìm giá tr nh nht ca:


  


  


  

Quá quen thui (*)?  là nh vào gi thit ,
s xut hin nhiu ln ca tích xyz cùng vi s m, nhy cm.
Bài toán 2, i gi:
Li gii 1: Áp dng bng thc Cauchy-Schwarz dng phân s:



  



  



  


    




    


Áp dng bng thc ph:

    





    




    




    




    



    





Dy ra khi: 
   



 




 
















 














Các b ng li gii trên i sao ta có li gii này. Vì nó
quá quen thuc, xut hin quá nhiu ln? Th , tôi khnh rng: Chúng ta ni
gii quyc bài toán. (xem li khái nim gii quyt ra nhé). Bn cht
li gic hé m. Hãy quay lm.
u tiên mà tôi thy, chc chn rng các bin a;b;c không ph thuc vào nhau, ng
o hàm theo bin là không th b qua !
Li gii 2: Gi s  Ta xét:






  


  


  










  



  





  











  




  





  



Suy ra: ng bin trên










  


  



  


  










  







Xét hàm s f(x) trên  có:









  







, c:












Bài toán có các bic lp vi nhau ta có th  d làm gim
bin s.

Tip tng gim bin s, ta có mt mnh:
Li gii 3: t:

  


Xét hiu:


  


  


  



  


  
  

  


  


  


  



  


  




  



  

  

  




  


  


  



  


  


  


  


  





  











  




Xét hàm s f(x) trên  có:











  









Lp bng bic:













Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn
Li gii c hai cách khá rõ ràng. Cách ba chính là s dng dn bin:
 




  


  


 



 





Khá quen thuy. Nh:

Bài toán ba bin, i xng, hình thn, có th n bin.

(m mt bin) ng th ng thi có rt nhiu
i xng, ta có mt li gii:
Li gii 4:
Xét hiu:
 




  


  


  




 







   
  

    
  

   
  

 




  



  


  
 

  




  


  
 

  



  


  

 




  



  

  




  



  

  


  



  

  






Li gin và ngn gn, d

i xng, c bing phân thc, có du bng ti các bin bng nhau có m
s d

Khi các bin  di xng, ta vn còn m:
Li gii 5: t:
      


  


  


  



  

  

 

  

  

 

  

  


  

  

  





   
  




  


Theo bng thc Schur bc ba ta có:
 


Li có:
  

  






    




    


, ta có:
  

  







i xng ba bin, i bi dùng bng thc Schur.

Khi hc v n, t ví d, ta th áp dng xem cho bài này
c không?
Tìm s  có:

  






 

 







, ta có li gii 6 :

  







 


 














 


 





 



, n là áp dng bng thc Cauchy:




 



 









 


 







ng thêm hai ln na rng ba bng thc lc:




Quay sang mt góc nhìn hoàn toàn khác vi s c lp, i xng ta còn thy bng thc trên
là bng thc cùng bc. Vì vy ta có th gi s:    

Bài toán có dng: 







 ta có th gi s mng thích hp không
i.

, bài toán 2 tr thành:
Cho     Tìm giá tr nh nht ca:


  


  


  

Có bao nhiêu li ging bài tp này. Chc chn ri, s có ít nh:
Li gii 7: Ta chng minh:







  



 






Tht vy ta có:





  

  




  


  




Áp dng (*) ta có:






  



 



  



 



  




 







    



















Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn
Bài toán có g(a) + g(b) + g(c)=0, và cn chng minh: f(a) + f(b) + f(c) ta có th :










Li gii 8:






  














  










  







, theo bng thc Jensen ta có:




 




 



 
  










Bài toán có tng hoc tích a;b;c và có f(a) + f(b) + f(c), ta có th i bng thc Jensen.

Bài toán 1 quy v bài toán 2. Bài toán 2 li có nhng 7, 8 li gii vi nhng khác nhau hoàn
toàn. Mng là s t mt công c,  cn qquan sát tinh t, suy
lun theo li mòn, ri s dn tóng khung trên là mc c ý, 
chính là ôn li mt s dc h, tip ti là 123
bài toán khin bn có cái nhìn khác v bng thc.

Còn na.

3. Sử dụng phương pháp tam thức bậc 2 chứng minh các bất đẳng thức.

Ngoài khả năng tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức, phương pháp tam thức bậc hai
còn dùng để chứng minh một số bất đẳng thức. Chúng ta cần nhớ lại rằng
Với tam thức bậc hai
  
2
()f x ax bx c
với
0a

 Muốn chứng minh
  ( ) 0,f x x R
, ta sẽ chứng minh





0
0
a
.
Muốn chứng minh
  ( ) 0,f x x R
, ta chứng minh





0

0
a
.
 Muốn chứng minh
0
, ta chứng minh
  


  

( ) 0,
( ) 0,
f x x
f x x
.
 Muốn chứng minh
0
, ta chứng minh
 
fx
có nghiệm và có thể chọn một trong các
cách sau:
 Chỉ ra nghiệm cụ thể của
( ).fx

 Chỉ ra một số

mà


( ) 0.af

 Chỉ ra 2 số

,
sao cho

( ). ( ) 0.ff

Chúng ta qua các ví dụ dưới đây để hiểu rõ.
Ví dụ 1. Cho các số thực dương
,,a b c
thỏa
  3a b c
. Chứng minh rằng:
  
9
2
2
a ab abc

Lời giải
Từ giả thiết ta rút ra
  3b a c
. Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:
      
9
(3 ) 2 (3 )
2
a a a c ac a c

,
tương đương với
      
22
9
( ) (2 1) (2 5 4) 0.
2
f a c a c c a

Ta thấy
()fa
là 1 tam thức bậc 2 của
a
có hệ số của
2
a
luôn dương và vì
03c
nên ta có
     
   
   
   

22
22
2
2
(2 5 4) 18(2 1)
(2 1) ( 4 2)

(2 1) (3 4 2)
(2 1) ( 2)
0.
c c c
c c c
c c c
cc

Vậy nên, theo định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có
( ) 0fa
.
Bài toán được chứng minh xong. Dấu đẳng thứcc xảy ra tại
  
31
, 1, .
22
a b c

Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số thực
,ab
ta có
22
( 2)( 2) 3( ).a b ab a b    

Lời giải
Nhận xét rằng bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức bậc hai theo
a
hoặc
.b
Ta viết lại bất

đẳng thức này như sau:
2 2 2
( ) ( 2) 3( 1) 2 3 4 0.f a b a b a b b       

Ta có
()fa
là một tam thức bậc hai với hệ số của
2
a
luôn dương và có biệt thức
Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn
2 2 2
22
9( 1) 4( 2)(2 3 4)
( 1) (8 4 23)
0.
a
b b b b
b b b
      
    


Do đó, theo định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có
( ) 0.fa

Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1. ab

Ví dụ 3. Cho

,,x y z
là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện
4.xyz x y z   
Chứng minh rằng
khi đó ta có
x y z xy yz zx    

Lời giải
Để ý rằng, từ giả thiết, nếu ta rút một biến theo các biến còn lại, và thay vào bất đẳng thức cần chứng
minh, thì sẽ được một bất đẳng thức bậc hai theo một biến. Do đó, ta sẽ nghĩ đến phương pháp tam
thức bậc hai.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử
min{ , , }z x y z
, khi đó ta có
3
4 3 1.xyz x y z z z z       

Từ giả thiết, ta rút được
4 yz
x
y z yz



, do đó ta cần chứng minh
44
()
yz yz
y z y z yz
y z yz y z yz


     
   

Hay tương đương
2 2 2 2
( ) (1 ) ( 4) ( 2) 0.f y z z y z z y z        

Ta có
()fy
là một tam thức bậc hai có hệ số của
2
y
là
2
1 1 (1 ) 1 0z z z z      
và biệt thức
2 2 2 2
2
2
2
( 4) 4(1 )( 2)
( 1) (5 8)
( 1) (5 8)
3 ( 1)
0.
y
z z z z z
z z z
zz

zz
       
  
  
  


Nên do đó, theo định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có
( ) 0, .f y y

Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1xy
hoặc
2, 0x y z  
hoặc
các hoán vị.
Ví dụ 4. Chứng minh bất đẳng thức sau
        
2 2 2 2
3( 1)( 1) 2( 1), , .x x y y x y xy x y R

Dấu "=" xảy ra khi nào?
Chọn HSG Quốc gia, Quảng Trị, 2014 - 2015
Lời giải
Để ý rằng nếu coi một biến cố định, chẳng hạn
y
, thì bất đẳng thức này là bất đẳng thức bậc hai theo
x
. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
          

2 2 2 2
( 3 3 ) ( 3 5 3 ) 1 3 3 0y y x y y x y y
.
Ta có hệ số của
2
x
là

   



2
2
33
0
24
33 yyy
và
        
  

  
   

2 2 2 2
4 3 2
22
( 3 5 3 ) 4( 3 3 )(1 3 3 )
3 18 33 18 3

3( 3 1)
0.
x
y y y y y y
y y y y
yy

Do đó, theo định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


35
.
2
xy

Nhận xét: Đây là một bài toán khó (ngoài cách nêu trên, bạn đọc hãy thử sức giải bài toán này theo
cách khác), nhưng phương pháp tam thức bậc hai đã thể hiện được hiệu quả của nó. Lần đầu tiên tôi
gặp bài này, tôi đã giải nó cũng bằng phương pháp tam thức bậc hai nhưng lời giải dài dòng và phức
tạp hơn. Tôi xin trình bày lại lời giải đó cho mọi người tham khảo, và thấy được tính đặc sắc của
phương pháp này.
Sau khi khai triển, rút gọn thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
        
2 2 2
1 3( ) 3 ( ) 3( ) 0,x y xy x y xy x y x y

hay
      
22
( , ) 1 3 3 3 0.f P S P P S SP S

Nếu coi
( , )f P S
là một tam thức bậc hai theo P thì ta có
         
2 2 2
(1 3 ) 4(3 3 1) 3 18 3.
P
S S S S S

- Nếu
 0S
thì
0
P
nên
( ) 0fP
. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp
0S
.
- Trong trường hợp
0S
, lại coi
( , )f P S
là một tam thức bậc hai theo
,S
khi đó ta có
         
2 2 2
9(1 ) 12( 1) 3 30 3.

S
P P P P P

+ Nếu
 0P
thì
0
S
nên
( ) 0fS
. Do đó ta chỉ cần xét
 0P
là đủ.
+ Nếu
 0P
và
  4 1 0PP
tức là

2
( 1) 16PP
hay
  
2
10 1 4P P P
, khi đó
 
       
2
3 10 1 12 0,

S
P P P
nên suy ra
( ) 0.fS

+ Nếu
 0P
và
  4 1 0PP
, và chú ý

2
4SP
nên
 2SP
thì ta có

  
  
   
  
( ) 6 3 3
12 3 3
3( 4 1)
0, 2 .
f S S P
PP
PP
SP

Do đó
()fS
là một hàm đồng biến trên
[2 ; )P
, nên
( ) (2 )f S f P
, tức là
          
22
( ) 1 3 4 6 6 ( 3 1) 0.f S P P P P P P P P

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên bài toán chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


35
.
2
xy

Ví dụ 5. Cho
,,x y z
là các số thực không âm. Chứng minh rằng khi đó ta có
        
2 2 2 2 2 2
3(1 )(1 )(1 ) 1x x y y z z xyz x y z
.
Lời giải
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
  1x y z

.
Quan sát biểu thức vế phải, rõ ràng biểu thức vế phải là một biểu thức bậc hai theo một biến. Ta chọn
z
làm biến chẳng hạn (chọn
,xy
cũng được, vì do tính đối xứng của bất đẳng thức này). Khi đó vế
phải còn
xy
là tham số. Vế trái cũng là một biểu thức bậc hai theo
z
bởi sự xuất hiện của đại lượng

2
(1 )zz
, và
   
22
(1 )(1 )x x y y
là tham số. Nếu ta đánh giá được
   
22
(1 )(1 )x x y y
về một biểu
Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn
thức phụ thuộc vào
xy
thì khả năng thành công khi dùng phương pháp tam thức bậc hai sẽ cao hơn,
bởi khi đó cả vế trái và vế phải đều là biểu thức bậc hai theo biến
z
và tham số

xy
. Ta hãy thử xem
sao?
Một lẽ tự nhiên nhất, do dự đoán được đẳng thức, nên ta sẽ đánh giá bằng AM-GM như sau để đưa
đại lượng
   
22
(1 )(1 )x x y y
về
xy
:
       
22
(1 )(1 ) (2 )(2 ) .x x y y x x y y xy
(*)
Khi đó ta cần phải chứng minh
    
2 2 2 2
3 (1 ) 1xy z z xyz x y z
.
Tuy nhiên, bất đẳng thức này lại không đúng, chẳng hạn cho
 0xy
. Điều này chứng tỏ rằng đánh giá
bằng AM-GM ở (*) hơi “quá đà” làm “lỏng” bất đẳng thức. Như vậy, ta cần phải có một đánh giá chặt
hơn. Chú ý rằng theo AM-GM thì


22
1
2

xy
xy
, nên do đó ta hi vọng bất đẳng thức chặt hơn sau đây
đúng:

    
22
22
1
(1 )(1 )
2
xy
x x y y
.
Thế nhưng, thật may mắn, bất đẳng thức này đúng thật, bởi vì ta có
           
2 2 2 2 2 2 2
2(1 )(1 ) (1 ) ( ) (1 ) (1 ) 0x x y y x y x y x y
.
Do đó, ta đưa bài toán về chứng minh
     
2 2 2 2 2 2
3(1 )(1 ) 2(1 )x y z z xyz x y z
,
tương đương
         
2 2 2 2 2 2 2
( ) (3 ) (3 2 3 ) 1 3 0f z x y z xy x y z x y

Đây là một tam thức bậc hai theo

z
có hệ số của
2
z
luôn dương, mặt khác
      
  

2 2 2 2 2 2 2
4
(3 2 3 ) 4(3 )(1 3 )
(1 )
0.
xy x y x y x y
xy

Nên theo định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có
( ) 0, f z z
.
Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
  1. x y z

Ví dụ 6. Cho 4 số thực
, , ,a b c d
. Chứng minh bất đẳng thức:
       
2 2 2 2 2
( ) 3( ) 6a b c d a b c d ab

Lời giải
Rõ ràng đây là một đa thức thuần nhất bậc hai. Một cách tự nhiên, ta mong muốn đưa bất đẳng thức
về dạng tam thức bậc 2 của 1 ẩn nào đó. Vì bất đẳng thức này đối xứng với hai biến
,ab
nên ta sẽ đưa
về tam thức bậc 2 theo biến
a
hoặc
b
.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
          
2 2 2 2 2 2
2 ( ) ( ) 3( ) 6a a b c d b c d a b c d ab

           
2 2 2 2 2
2 2 ( 2 ) ( ) 3( ) 0a a c d b b c d b c d
.
Xét
          
2 2 2 2 2
( ) 2 2 ( 2 ) ( ) 3( )f a a a c d b b c d b c d
.
Ta thấy hệ số của
2
a
là
20
và có biệt thức


là
         
         
  

2 2 2 2 2
2 2 2
2
( 2 ) 2[( ) 3( )]
( ) ( ) 2( )( ) 2( )
3( )
0.
c d b b c d b c d
c b d b c b d b c d
cd

Vậy nên
  ( ) 0, , , ,f a a b c d R
.
Còn nữa….

Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn
PHN III: BNG THC HAI BIN S
Bng thc hai hay nhiu bin s gt hing xuyên  i hc. Và v
bng thc hai bin s là rn khi bn hc tt nhng phn khác ca toán.
Kinh nghim khi gp bng thc hai bin s là gì? Không phi ch vi hai bin s 
biy. Luôn có hai mc tiêu chính: Hoc là làm gim v mt bin ro hàm, hoc s
dng các loi bng th ng thc hin thì không
h d. Mt bài toán luôn có nhi t câu hi ti ta hình

thành ra nhi bng thc hai bi c hình thành
t cách gii h n s? Vì sao vy? Chúng ta cùng tìm hiu chúng xem sao nhé.

 V MT BIN

ng chung: T u kin bài toán rút mt bin theo bin kia, tìm tnh ca bin và ri xét
hàm s trên t
Bài 1: Cho  tha mãn: 

    Tìm giá tr nh nht, ln nht ca:


  

  


Phân tích: c khi gi gì vi. Tôi th t câu hi h 


   

  

  


s
gi nào, thì thc y là 1 nên có th rút  theo . T
pháp th.

Li gii:
T gi thit ta suy ra: 

     

  

  


Ngoài ra: 

  

  

  


Vi 





  .








 



























  













y ta có kt lun:


  









  






Bài 2: Cho   



. Tìm giá tr nh nht, ln nht ca 

   


Li gii:
 













  




  

  








   








  




.

























y ta có kt lun:









  








  

  


Li gii:








  









 

  







    
  






























Kt lun:













    












  

 
  
   

  
Phân tích: ng  trong biu thc  xut hi theo .
Li gii:






    

  

  





  





  



Thay vào ta có: 

  


  

 

  

   

  







  


  

 

  


     







  

 

    
Ta có








  

 

    


  

   

    

  


  



 

  

 
 

  

    



  





  



 

  

 



   

  







  



 

  

 









    






  




Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn





















  















 







Nhn xét: Bài toán 4 này là mt bài khá hay. Hãy luôn cnh giác tp giá tr ca c khi xét hàm
s. Nó nhc nh ta cách gi. Ngoài cách gii trên, ta có th t

  




  r h ng thi nc nh v o hàm ca các
hàm phc hp.
T

  


 

  


t 

  



  


.

  


 




 



Gii h . Tìm ra  ri th li.
Bài 5: Cho  tha mãn:   Tìm giá tr nh nht ca:






  








  



Phân tích: Nu  không b ràng bu phn bng thc mt bin ta nhn thy  có dng





 



 ta có th áp dng bng thc





 








 


 và theo lp lu  thì ta
phi chn 




  




  



 


 tc là 



 

 
 không tha mãn ràng buc ca gi thiy, thì  c ch có
m nhiên là thay   vào ri xét hàm s.
Li gii:
Ta có:   nên: 



   



  
ng gii: Mt là dùng bng thc vec-o hàm.
Ta s ng hai vì nó gii quyc nhi
Xét 








   



   có:






  



  

 



  









  

  



  



  



 



  










 




























Bài 6: Cho 

 

 Tìm giá tr nh nht, ln nht ca:


   

  
ng dn gii:
u kin: 
 theo bin (thc ra th theo bin y.


   

 

  


  vic:















 GTNN ca 
 GTLN ca  


t cách gii luôn có sn  u chúng ta, mang bn cht ca li gii. Tuy nhiên,
theo m  thun có mt li gi
 Do nên:


   

   

  





 Do  nên:


   


  

   

  


 






Bài 7: Cho    Tìm giá tr ln nht ca:


 


Li gii:
Th    c:




  








Xét  trên  ta có:








  

  

  


   

  

o hàm hàm s 










là ly logarit hai v ro hàm và nhân lên)
Khá là khó gii tic, biu thc phc tp nên ta li th biu din li v hai bin.










   








 







 




n ca ta là phi có:   xét du ca tng ngoc nhn trên.
 



 








  



  










  


  










  







    



  









  



Xét hàm s  trên  có:





   






























 nghch bin trên 




 












 

 





. Tuy nhiên, theo trên ta cn ph
vi i có: 




 D Suy ra: 





Li có:











y: 

  


Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn
t hp



 ta có:












.
T p bng bic:









Còn na
PHẦN X: MỘT SỐ BỔ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ
Bất đẳng thức hoán vị luôn là những bài toán khó và thú vị. Trong chuyên đề này, tôi giới thiệu bạn
một số kinh nghiệm khi xử lí các bất đẳng thức hoán vị, bằng việc giới thiệu một số bổ đề khá hay và
quan trọng.
Bổ đề 1 (Vasile Cirtoaje). Cho
,,a b c
là các số thực không âm. Chứng minh rằng khi đó ta có
2 2 2 3
4
( ) .
27
a b b c c a abc a b c     

Chứng minh
Không mất tính tổng quát, giả sử
b
là số nằm giữa

a
và
c
. Khi đó ta có
2 2 2
( )( ) 0 .c b a b c b c c a abc bc      

Sử dụng đánh giá này và kết hợp với bất đẳng thức AM-GM bộ ba số, ta có
      

     
   

  
2 2 2 2 2
2
3
3
()
1
2 ( ) ( )
2
1 (2 )
2 27
4
( ) .
27
a b b c c a abc a b abc bc abc
b a c
b a c a c

b a c a c
a b c

Bổ đề được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c
hoặc
2 , 0a b c
hoặc các hoán vị.
Tương tự, ta cũng chứng minh được
2 2 2 3
4
( ) .
27
ab bc ca abc a b c     

Nhận xét, nếu cho
3a b c  
thì ta sẽ có
2 2 2
4.a b b c c a abc   

2 2 2
4.ab bc ca abc   

Và bất đẳng thức này được dùng khá nhiều trong việc chứng minh bất đẳng thức.
Ví dụ 1 (Phạm Kim Hùng): Cho
,,a b c
là các số thực không âm thỏa mãn
3a b c  

. Chứng minh rằng
3 3 3
1 1 1 5.a b b c c a     

Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức
AM GM
, ta có
22
32
1 1 2
1 (1 )( 1) .
22
b b b ab a
a b a b b b a
    
       

Thiết lập hai biểu thức tượng tự, rồi cộng vế với vế ta được
2 2 2 2 2 2
3 3 3
1 1 1 3.
22
ab bc ca ab bc ca
a b b c c a a b c
   
          

Mặt khác, theo bổ đề 1, ta có
2 2 2

4 4.a b b c c a abc    

Từ đó suy ra
3 3 3
4
1 1 1 3 5.
2
a b b c c a       

Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2, 1, 0a b c  
hoặc các hoán vị.
Ví dụ 2 (Trần Quốc Anh): Cho
,,a b c
là các số thực không âm thỏa mãn
3a b c  
. Chứng minh rằng
3 3 3
1
.
6
16 16 16
a b c
b c a
  
  

Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn
Lời giải
Nhìn hình thức vế trái ta nghĩ ngay đến kĩ thuật AM-GM ngược dấu.

Ta có
3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 16 1 ( 16) 1

16 16 16
16 16 16 2 2
a a a b ab ab
a
b b b b


   

    


Sử dụng bất đẳng thức
AM GM
, ta có
3
3 3 3 3 3 3
2 2 3 2 2 12 .b b b     

Từ đó ta có
2
3
1
16 12
16

a ab
a
b






Tương tự với các biểu thức còn lại, sau đó cộng vế theo vế, ta được
2 2 2
3 3 3
1
3.
16 12
16 16 16
a b c ab bc ca
b c a


   

  


Mặt khác, theo bổ đề 1, ta có
2 2 2
4 4.a b b c c a abc    

Từ đó suy ra

3 3 3
1 4 1
3.
16 12 6
16 16 16
a b c
b c a

    

  


Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2, 1, 0a b c  
hoặc các hoán vị.
Ví dụ 3 (Tăng Hải Tuân): Cho
,,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
3a b c  
. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
36
5
a b c abc
b c c a a b
abc

  

  


Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
 
2
3 3 3
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c a b c
b c c a a b ab ac bc ba ca cb ab bc ca ac ba cb

     
          

Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì
 
 
 
 
 
 
2
2
3 3 3
4
2
3 3 3

2
9
3
a b c a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
   

    



Và
2
()
3.
3
a b c
ac ba cb

   
Sử dụng bổ đề, ta có
   
2 2 2
4.ab bc ca abc

Do đó ta có
2 2 2

2 2 2
9
.
7
a b c
abc
b c c a a b
  

  

Như vậy, ta cần chứng minh
9 3 6
.
7
5
abc
abc
abc





Thật vậy, đặt
01t abc  
bất đẳng thức này tương đương với
2
22
9 3 6 3(1 )(8 3 2 )

0.
5
7 (7 )(5 )
t t t t
t
t t t
   
  

  

Hiển nhiên đúng vì
2
2
10
8 3 2 8 3 2 3 0
7 7 1 6
t
tt
t



      


   

. Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1. a b c  


Công phá Bất đẳng thức Lovebook.vn

S dng Bng thc gii mt s bài toán Vt lí.
Bài 1. Mn tr
9 R 
c cn tr nh. Vi
1 3 9 2 4 5 6 7 8
,,R R R R R R R R R     

c lp vào m. Bit hin th n mch là
6UV
i.
nh giá tr n tr c c công sut tiêu th trên toàn mch là
18PW
.

(Dit lí ph thông  )
Li gii
Bài toán này hình thc phát biu rn và ngn g  gii quyc nó.

1 3 9
2 4 5
6 7 8
0
0
0
R R R a

R R R b
R R R c
   


   


   

.
n tr
9 R 
c cn tr
1 3 9 2 4 5 6 7 8
,,R R R R R R R R R     


3 3 3 9a b c  

3.a b c  


18PW

2
2
td
U
R

P


( ) ( ) ( )
2
2 2 2
a b a b c b c a c
a b b c c a
  
  
  

Phng thc  ng thc vi 3 bin hoán v vòng quanh
và khi
1a b c  
(tha mãn
3a b c  
ng thc xy ra. T d i gi

2 2 2
( ) ( ) ( )
.
2 2 2 2 2 2
a b a b c b c a c a b c
a b c Q
a b b c c a a b b c c a
  
        
     


Cauchy Schwarz

2 2 2 2
()
1.
2 2 2 2 2 2 3
a b c a b c a b c
a b b c c a a b b c c a
   
    
       


3 1 2.Q   


a b c


1 

18 PW
c gii quyt xong.
Còn na